清華數(shù)學實驗復習試題八

1、考試課程數(shù)學實驗 下午班級姓名學號得分說明 （ 1 ）第一、二、三題的答案直接填在試題紙上；（ 2 ）第四題將數(shù)學模型、簡要解題過程和結(jié)果寫在試題紙上；卷面空間不夠時，請寫在背面；（3 ）除非特別說明，所有計算結(jié)果小數(shù)點后保留4 位數(shù)字。（4 ）考試時間為120 分鐘。一、（ 10 分）某廠生產(chǎn)A 、B 兩種產(chǎn)品， 1 千克原料在甲類設(shè)備上用12 小時可生產(chǎn)3 件 A ，可獲凈利潤64 元；在乙類設(shè)備上用8 小時可生產(chǎn)4 件 B，可獲凈利潤54 元。該廠每天可獲得 55 千克原料，每天總的勞動時間為480 小時，且甲類設(shè)備每天至多能生產(chǎn)80 件 A 。試為該廠制訂生產(chǎn)計劃使每天的凈利潤最大。1

2、 ） 以生產(chǎn) A 、 B 產(chǎn)品所用原料的數(shù)量x1 、 x2 （千克）作為決策變量，建立的數(shù)學規(guī)劃模型是：決策變量：生產(chǎn) A 原料 x1 ；生產(chǎn) B 原料 x2目標函數(shù)：y=64*x1+54*x2約束條件：x1+x25512*x1+8*x24803*x1 80x1,x20基本模型：max(y)= 64*x1+54*x2.x1+x2 5512*x1+8*x24803*x1 80x1,x20c=6454;A1=11 ;128;3 0;b1=55;480;80; v1=0 0; x,z,ef,out,lag=linprog(-c,A1,b1,v1)輸出結(jié)果 :x =ans =2 ） 每天的最大凈利潤是

3、_3070_ 元。若要求工人加班以增加勞動時間，則加班費最多為每小時元。若A 獲利增加到26 元 / 件，應(yīng)否改變生產(chǎn)計劃_不變 _c=7854;A1=11 ;128;3 0;b1=55;480;80; v1=0 0; x,z,ef,out,lag=linprog(-c,A1,b1,v1)二、 (10 分 ) 已知常微分方程組初值問題試用數(shù)值方法求_ (保留小數(shù)點后5 位數(shù)字 )。你用的 MATLAB命令是 _ ode45(ff,ts,y0)_，其精度為 _四階 _。% 待解常微分方程組函數(shù)M 文件源程序：function dy=ff (x,y)dy=y(2);-y(2)./x-y(1)*(x

4、./(x.2);% 應(yīng)用歐拉方法和龍格 - 庫塔方法求解該常微分方程：ts=pi/2:- pi/12:pi/6;！步長必須是可以整除步長區(qū)間長度的數(shù)y0=2,-2/pi;x,y=ode45(ff, ts,y0);% 龍格 - 庫塔方法求數(shù)值解x, y(:,1)輸出結(jié)果：三、 (10 分 ) 已知線性代數(shù)方程組Ax = b, 其中, , ,若方程組右端項有小擾動，試根據(jù)誤差估計式估計（分別表示原問題的解和右端項小擾動后對應(yīng)的解的變化量） ；若取初值，則用高斯- 賽德爾迭代法求解Ax = b 時， _, , , _；對本題而言，此迭代方法是否收斂_是 _，原因是 _譜半徑 (B)=k1&k=k2h

5、=0;elseh=1;endendif tail=1k0=chi2inv(1-alpha,n-1)if k=k0h=0;elseh=1;endh1=ktest(x,70,0)h2=ktest(y,50,0)輸出結(jié)果：h1 =0h2 =02) 根據(jù)這組數(shù)據(jù)給出隨機變量 X 和 Y 相關(guān)系數(shù)的一個點估計。相關(guān)系數(shù)點估計：x=4786;y=-688785-32 ;r=corrcoef(x,y)輸出結(jié)果：r=3)用蒙特卡羅方法求炮彈落在橢圓形區(qū)域內(nèi)的概率（取 10000個數(shù)據(jù)點；請附程序）。% 炮彈命中橢圓形區(qū)域概率源程序：a=110;b=90;sx=70;sy=50;r=;z=0;n=10000;x

6、=unifrnd(-a,a,1,n);y=unifrnd(-b,b,1,n);for i=1:nif (x(i)2)/(a2)+y(i)2/(b2)=1u=exp(1-r2)*(x(i)2/sx2-2*r*x(i)*y(i)/(sx*sy)+y(i)2/sy2);z=z+u;endendP=4*a*b*z/(2*pi*sx*sy*sqrt(1-r2)*n)輸出結(jié)果：P =考試課程數(shù)學實驗 下午班級學號姓名得分說明 （ 1 ）第一、二、三題的答案直接填在試題紙上；（ 2 ）第四題將數(shù)學模型、簡要解題過程和結(jié)果寫在試題紙上；卷面空間不夠時，請寫在背面；（3 ）除非特別說明，所有計算結(jié)果小數(shù)點后保留

7、4 位數(shù)字。（4 ）考試時間為120 分鐘。一、（ 10 分）某廠生產(chǎn)A 、B 兩種產(chǎn)品， 1 千克原料在甲類設(shè)備上用12 小時可生產(chǎn)3 件 A ，可獲凈利潤64 元；在乙類設(shè)備上用8 小時可生產(chǎn)4 件 B，可獲凈利潤56 元。該廠每天可獲得 55 千克原料，每天總的勞動時間為480 小時，且甲類設(shè)備每天至多能生產(chǎn)80 件 A 。試為該廠制訂生產(chǎn)計劃使每天的凈利潤最大。1）以生產(chǎn)A 、 B 產(chǎn)品所用原料的數(shù)量x1 、 x2 （千克）作為決策變量，建立的數(shù)學規(guī)劃模型是：2 ） 每月的最大凈利潤是元。若要求工人加班以增加勞動時間，則加班費最多為每小時元。若 A 獲利增加到二、 (10 分 ) 已知

8、常微分方程組初值問題試用數(shù)值方法求27 元 / 件，應(yīng)否改變生產(chǎn)計劃_保(留小數(shù)點后 5 位數(shù)字 )。你用的 MATLAB命令是，其精度為。三、 (10分 )已知線性代數(shù)方程組Ax = b ,其中, , ,若方程組右端項有小擾動，試根據(jù)誤差估計式估計_（分別表示原問題的解和右端項小擾動后對應(yīng)的解的變化量）；若取初值，則用高斯-賽德爾迭代法求解Ax= b 時，；對本題而言，此迭代方法是否收斂，原因是。四、（20 分）炮彈射擊的目標為一橢圓形區(qū)域，在 X 方向半軸長100m ，Y 方向半軸長80m.當瞄準目標的中心發(fā)射炮彈時，在眾多隨機因素的影響下，彈著點服從以目標中心為均值的二維正態(tài)分布，設(shè)彈著

9、點偏差的均方差在X 方向和 Y 方向分別為70m和 50m 。今測得一組彈著點的橫縱坐標如下：XY-6887X4786Y85-321 ） 根據(jù)這組數(shù)據(jù)對X 方向和Y 方向的均值和均方差進行假設(shè)檢驗（設(shè)顯著性水平為）。2 ） 根據(jù)這組數(shù)據(jù)給出隨機變量X 和Y 相關(guān)系數(shù)的一個點估計。3 ） 用蒙特卡羅方法求炮彈落在橢圓形區(qū)域內(nèi)的概率（取10000個數(shù)據(jù)點；請附程序）?？荚囌n程數(shù)學實驗參考答案與評分標準A 卷（班級 - 姓名 - 學號 - 得分）一、 1）（如果進一步要求3 x1 和4x2 為非負整數(shù)，不扣分）2） 3070元，元；不變二、 (或 , ode23(或ode45)， 3級 2階(或 5

10、級4 階 )（不寫3級(或5級）不扣分；個別同學可能用其他命令，則結(jié)果相應(yīng)略有變化)三、, ,收,斂 ,譜半徑為1（不寫出譜半徑的具體數(shù)值不扣分，但寫錯要扣分）四、 1）對均值做的假設(shè)為(X,Y方向相同)X,Y方向均接受0對 X 方向的方差做的假設(shè)為H0 : =4900,H0: 4900（如果做單側(cè)檢驗，可不扣分）接受H 0對 Y 方向的方差做的假設(shè)為H0 : =2500,H0: 2500（如果做單側(cè)檢驗，可不扣分）接受H 02)相關(guān)系數(shù)的點估計為（用r=corrcoef(x,y)命令）3) 大約，結(jié)果具有隨機性 附 主要程序示例：%1)2)x=(%4786;h1=ztest(x,0,70),

11、 %x方向均值檢驗y=-688785-32 ;h2=ztest(y,0,50), %Y方向均值檢驗r=corrcoef(x,y)% 相關(guān)系數(shù)的點估計pausen=20;alpha=;sx2=var(x),sx0=70;chi2=(n-1)*sx2/(sx02)chi2alpha=chi2inv(1-alpha,n-1)if chi2=chi2alpha H0=0else H0=1endsy2=var(y),sy0=50;chi2=(n-1)*sy2/(sy02)chi2alpha=chi2inv(1-alpha,n-1)if chi2=chi2alpha H0=0else H0=1end%3)

12、a=;b=;m=0;z=0;p=;c=;d=;%A% p=;c=1; d=; %B n=10000;for i=1:n x=2*rand(1,2)-1; y=0;if x(1)2+x(2)2=1y=exp(1-p*p)*(c2*x(1)2/a2+d2*x(2)2/b2-2*p*c*d*x(1)*x(2)/a/b);z=z+y;m=m+1;endendP=4*c*d*z/2/pi/a/b/sqrt(1-p*p)/n,mB 卷（班級 - 學號 -姓名）一、 1）2） 3160 元；2 元；不變二、(或 , 龍格 - 庫塔方法ode23( 或 ode45) ， 3 級 2 階 (或 5 級 4 階

13、)三、, , , 收斂, 譜半徑為 1四、 1) 同 A 卷。 2);3) 大約，結(jié)果具有隨機性評分標準：一、 1)5 分 (每個式子一分)， 2) 前兩空每空2 分，最后一空1 分。二、第一空6 分，后兩空每空2 分。三、第一空3 分，中間一空5 分，最后兩空每空1 分。四、 1)8 分（ 4 個檢驗每個2 分）； 2） 2 分；3） 10 分（看程序及結(jié)果分析：積分表達式2 分，程序5 分，結(jié)果3 分）考試課程數(shù)學實驗參考答案與評分標準A 卷（班級 - 姓名 - 學號 - 得分）一、 1）（如果進一步要求3 x1 和4x2 為非負整數(shù)，不扣分）2） 3070元，元；不變二、 (或 , od

14、e23(或ode45)， 3級 2階(或 5級4 階 )（不寫3級(或5級）不扣分；個別同學可能用其他命令，則結(jié)果相應(yīng)略有變化)三、, ,收,斂 ,譜半徑為1（不寫出譜半徑的具體數(shù)值不扣分，但寫錯要扣分）四、 1）對均值做的假設(shè)為(X,Y方向相同)X,Y方向均接受H0對 X 方向的方差做的假設(shè)為H0 : =4900,H0: 4900（如果做單側(cè)檢驗，可不扣分）接受H 0對 Y 方向的方差做的假設(shè)為H0: =2500, H0 : 2500 （如果做單側(cè)檢驗，可不扣分）接受H 02)相關(guān)系數(shù)的點估計為（用 r=corrcoef(x,y)命令）3) 大約，結(jié)果具有隨機性 附 主要程序示例：%1)2)

15、x=(%4786;h1=ztest(x,0,70), %x方向均值檢驗y=-688785-32 ;h2=ztest(y,0,50), %Y方向均值檢驗r=corrcoef(x,y)% 相關(guān)系數(shù)的點估計pausen=20;alpha=;sx2=var(x),sx0=70;chi2=(n-1)*sx2/(sx02)chi2alpha=chi2inv(1-alpha,n-1)if chi2=chi2alpha H0=0else H0=1endsy2=var(y),sy0=50;chi2=(n-1)*sy2/(sy02)chi2alpha=chi2inv(1-alpha,n-1)if chi2=chi2alpha H0=0else H0=1end%3)a=;b=;m=0;z=0;p=;c=;d=;%A% p=;c=1; d=; %B n=10000;for i=1:n x=2*rand(1,2)-1; y=0;if x(1)2+x(2)2=1y=exp(1-p*p)*(c2*x(1)2/a2+d2*x(2)2/b2-2*p*c*d*x(1)*x(2)/a/b);z=z+y;m=m+1;endendP=4*c*d*z/2/pi/a/b/sqrt(1-p*p)/n,mB 卷（班級 - 學號 -姓名）一、 1）2） 3160 元；2 元；不變二、(或