全微分方程及積分因子

1、全微分方程及積分因子全微分方程及積分因子內(nèi)容：湊微分法，全微分方程的判別式，全微分 方程的公式解，積分因子的微分方程，只含一個 變量的積分因子和其他特殊形式的積分因子。由于有數(shù)學分析多元微積分的基礎，本節(jié)的定理 1 可以簡化處理。對課本中第三塊知識即全微分方 程的物理背景可以留到后面處理，對第四塊知識增解和失解的情況要分散在本章各小節(jié)，每次都 要重視這個問題。關(guān)于初等積分法的局限性可歸 到學習近似解法時一起講解。重點：全微分方程的公式解和積分因子的計算， 難點為湊微分法和積分因子的計算。習題 1(1,3,5), 2, 3思考題：討論其他特殊形式的積分因子。方程：M(x, y)dx N(x,y)

2、dy 0判定：全微分型上 y x解法： 、M(x,y)dx y N(x0,y)dy C %y。初值問題C 0積分因子：1 N M地叁xx(x):(y):1)解:1 d y xdx NM N1 d y xdy M解下列方程:2xydx2xydx(x2 y2)dy 0(0/3N = 2x x)dy C 既2)解:ydx(2yxey)dy 0ydx3)解:2x(1x0 2x(12 ( 23(x4)2y)dyC 既 xe y y2，x2 y)dx x2 ydyy)dx3y)222,2x2 -(x233y)21*<9-2、x y0y. ydy3y)2dx (y3 In x)dy x3y)20解:M

3、N _ 1 yx xx y -dx0 x°yy3dy C 既 yln|x| y4/4 C5)223x y2ydx2x3 5y3ydy 0解:6x2y-2X3x25/ y2dx2 , 5y dy6)(i2y sin 2x)dxy cos2xdy解:N _ 2ysin 2x(12y sin 2x)dxy0 ydy cy2cos2x 1 y212c-y C 2120 cx y cos2x C2求下列方程的積分因子和積分:1)(x2 yx)dx xydy 0解:1 z2y y y N x1ddxCxlet C 1 既(x)/ 3(x2xy)dxy00dy C1 2-x y 21 3一 x32

4、)(2xy4ey2xy3 y)dx/ 2 4 y(x y ex2y2 3x)dy 0N 2xy4ey x8xy3ey6xy2 12xy4ey 2xy28xy3ey248xy2 4 -My1d_ dy(y)x0 (2xey 2x/y)dxy° 0dy Cx2/y xy3)(x44.y )dx3xydy解:4y-N x1d_dx(x)x0(x5yx)dxC 既 Inx六C4x4)(2x3y224x y2xJxy4 2y)dx 2(y3 x2y x)dy 0解:4x4x2 4xy 4xy3 2 4xy 24x3y 4x2 4xy32xNu dx2x(x)x2 e2x23 22e (2x y

5、 4x y242xy xyy 32y)dx 02y3dy Cx20 2yex dx2 x I 2ye dx_2_2_22 2 x 2 x 2xx y e y e y 2xye2 x2214 x21 4y e y -ye -y22y4/2 C14 x2 小2xy y e C23.求下列方程的積分因子:1)M (x)N(y)dx P(x)Q(y)dy解:2)dy p(x)y f(x)dx,、1(x,y)P(x)N (y)解:所以工ddxp(x) (x)p(x)dx3) dyP(x)y q(x)yndx(n0,1)M NP(x)N y x解:1 (n 1) p(x)dx(x,u) ey4.設fi(z)，f2(z)連續(xù)可微,(x,y) fi(xy) f2(xy)xy 0 求證：1(x,y)是方程f1(xy) ydxf2(xy)xdy 0的一個積分因子。證明:fi (xy) xy fi (xy) f? (xy) xy f?( xy)My11N Mx y11 NM x y1 一f2(xy)x fi(xy)f2(xy)y2_fi (xy) f2 (xy)xy fi(xy)y fi(xy) f2(xy)x2fi (xy) f2 (xy)x y5.設“eq連續(xù)，試證方程dy f(x,y)dx