第二節(jié)導數(shù)的運算ppt課件

1、第二節(jié)第二節(jié) 導數(shù)的運算導數(shù)的運算一、根本初等函數(shù)的求導公式一、根本初等函數(shù)的求導公式二、導數(shù)的四那么運算法那么二、導數(shù)的四那么運算法那么三、反函數(shù)的求導法那么三、反函數(shù)的求導法那么四、復合函數(shù)的求導法那么四、復合函數(shù)的求導法那么五、隱函數(shù)的求導法那么五、隱函數(shù)的求導法那么六、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導法那六、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導法那么么七、對數(shù)求導法七、對數(shù)求導法一、根本的初等函數(shù)的求導公式一、根本的初等函數(shù)的求導公式).(0 為常數(shù)cc .11)(arcsin2xx.11)(arctan2xx.tansec)(secxxx.sec)(tan2xx .cos)(sinxx ).1, 0

2、(ln11)(logaaaxxa).1, 0(ln)(aaaaaxx. )()(1為實數(shù)aaxxaa.e)e (xx .1)(lnxx .csc)(cot2xx.sin)(cosxx.cotcsc)(cscxxx.11)(arccos2xx.11)cotarc(2xx二、導數(shù)的四那么運算法那么定理2.2 設(shè)u=u(x),v=v(x)可導，那么 可導，且有vu證 設(shè)自變量在x獲得增量 時，函數(shù)u，v分別獲得增量，)()(xuxxuux.)(vuvu于是)()()()()(xvxuxxvxxuvuvu)()()()(xvxxvxuxxu),()(xvxxvv.vu 此定理可以推行到有限個函數(shù)相加減

3、的情況.例如，假設(shè)u,v,w分別可導，那么. )(wvuwvu因此xvuxvuvuxx00lim)(lim)(xvxuxx00limlim定理2.3 設(shè)u=u(x),v=v(x)可導，那么 可導，且有.)(vuvuvuvu證 設(shè)自變量在x獲得增量 時，函數(shù)u，v分別獲得增量 ，那么vu ，x)()()()()(xvxuxxvxxuuvvuvvuu)()(, vuvuvuxvuvuvuxuvuvxx00lim)(lim)(.limlimlimlim0000uvvuvxuxvuvxuxxxx 此定理可以推行到有限個函數(shù)相乘的情況，例如u，v，w分別可導，那么.)(uvwuvwuvwuvw由定理3.

4、3容易得到一個重要的結(jié)論：假設(shè)u可導，c為常數(shù)，那么 .即求導時，常數(shù)因子可以提出來.cucucucu)(定理2.4 設(shè)u=u(x),v=v(x)可導，且 ，那么 可導，且有vu0)(xv.)(2v vuuvvu)()()()()(xvxuxxvxxuvu證 設(shè)自變量在x獲得增量 時，函數(shù)u，v分別獲得增量 ，那么xvu ，,)(vvvvuvuvuvvuu)(lim0vvvxvuvxux)(lim0vvvxvuvux因此vvuvux)(lim)(0.2vuvvu.,2yxxxy求設(shè)xx)(2)()(2121.121)21(2212321xxxxx例1xxxxxy)2()2( 2121解.)si

5、n(coseyxxyx，求設(shè))(sin)(cose)sin(cose xxxxxx.cose2)cossin(e)sin(cosexxxxxxxx例2xxxxxxyxxx)sin(cose)sin(cos)e ( )sin(cose 解例3 用四那么運算法那么證明根本初等求導公式：.tansec)(secsec)(tan2xxxxx和.seccos122xxxxxxx2cos)sin(sincoscosxxxxx2cos)(cos1cos) 1 ()cos1()(sec.tanseccos)sin(2xxxxxxxxxxxx2cos)(cossincos)(sin)cossin()(tan解同

6、樣可以得到另外兩個根本公式：.cotcsc)(cscxxx,csc)(cot2xx. )e( , )2(sin, )(cos22xxxx計算xxxxxxx)(coscoscos)(cos )cos(cos)(cos2解)sin(coscossinxxxx,2sincossin2xxxxx)cos1 (21)2(sin2,sin21)(cos) 1(21xx.)1 ()e (ee2xxxxexx例42)e ()e (e)()e(xxxxxxx例5 設(shè)f(x)=(1+x)(1+2x) (1+10 x)，求 .)0(f 解xxxxf)101 ()21)(1()( )101 ()21 ()1 (xxx

7、 )101 ()31 ()21)(1 (xxxx xxx)101)(91 ()1 ( )101 ()21 (xx )101 ()31)(1 (2xxx ).91 (21)(1 (10 xxx .551021)0( f三、反函數(shù)的求導法那么定理2.5 設(shè)函數(shù) 在某區(qū)間內(nèi)嚴厲單調(diào)、可導，且 ，那么其反函數(shù)y=f(x)在相應區(qū)間內(nèi)也嚴厲單調(diào)且可導，且有)(yx0)( y.dd1dd,)(1)(yxxyyxf或xyxfx0lim)(證 由于 在某區(qū)間內(nèi)嚴厲單調(diào)、延續(xù)，而嚴厲單調(diào)延續(xù)的反函數(shù)也是嚴厲單調(diào)延續(xù)的.)(yxyxx1lim0.)( 1lim10yyxy所以當 時,0 x 0,y 且x0時, y

8、0,故.11)(arcsin2xx例6 證明：0)( y證 內(nèi)嚴厲單調(diào)、延續(xù)，且)2,2(sin)(在yyx)(1)(arcsinyx所以其反函數(shù)y=f(x)=arcsin x在(1,1)內(nèi)嚴厲單調(diào)、延續(xù)、可導，且有.11sin1122xyycos1同樣可得21(arccos ).1x x xx)arcsin2()(arccos當然，假設(shè)得到了arcsin x 的導數(shù)，也可以用下面的方法得到arccos x的導數(shù)，即.11)(arcsin2xx.11)(arctan2xx例7 證明：所以其反函數(shù)y=f(x)=arctan x在 內(nèi)嚴厲單調(diào)，延續(xù)，可導，且有),()( 1)(arctanyx同樣

9、也可得.11)cotarc(2xxxx)arctan2()cotarc(證 在內(nèi) 嚴厲單調(diào)、延續(xù)，且 ，0)(yyyxtan)()2,2(.11tan1122xyy2sec121(arctan ).1x x 四、復合函數(shù)的求導法那么四、復合函數(shù)的求導法那么定理2.6 設(shè)u=g(x)在x可導，y=f(u)在相應點u=g(x)可導，那么復合函數(shù)y=f(g(x)在x可導，且有).()(ddddddxgufxuuyxy證 由 得到)(lim0ufuyu, 0lim)(0uufuy，其中 ( ).yf uuu 即當 時，由u=g(x)可導知u=g(x)延續(xù)，0 xxuuufxyxyxx)( limlim

10、dd00000( )limlimlim( )( ).xxxuuf uxxf ug x 復合函數(shù)的求導法那么普通稱為鏈式法那么，它也適用于多層復合的情況.比如y=f(u)，u=g(v)，v=h(x)，那么只需滿足相應的條件，復合函數(shù)y=f(g(h(x)就可導，且有).()()(ddddddddxhvgufxvvuuyxy此時必有 或者 .因此總有 .故0u0u0lim0 x例8 設(shè)y=sin3 x，求 .y解 令，則，xuuysin3xuuyxyddddddxu cos32.cossin32xx例9 設(shè)y=ln(cos x)，求 . y解 令，則，xuuycoslnxuuyxydddddd)si

11、n(1xu. tan)sin(cos1xxx.etanyyx，求例10 設(shè)解 令則，. tan,exvvuyuxvvuuyxydddddddd.21sece2tanxxxxvu21sece2例11 設(shè)1arctan.1xyyx，求解 令 那么1arctan ,1xyu uv vx，ddddddddyyuvxuvx2211(1)(1)1(1)2xxuxv21121(1)11211xxxxx21 112221 (1)xxxxx112 (1)1xx xx .) 12(sin3yxy，求例12 設(shè)解xy)12(sin3xxx) 12() 12cos() 12(sin322) 12cos() 12(si

12、n32xx. ) 12cos() 12(sin62xx23sin (21) sin(21)xx例13 設(shè)y=ln(x+tan x)，求 .y解xxy)tan(ln( )sec1 (tan12xxx.tansec12xxxxxxx)tan(tan1例14.21sin2y，yxx求設(shè) )1(1cos1sin2 2ln221sin2xxxxxxx)1(1cos1sin2 2ln2221sin2xxxxxxx解xxyxxxx)1sin(2ln2)2(21sin1sin22)1(sin1sin)(2ln2221sin2xxxxxx).1cos1sin2(2ln21sin2xxxxx.)1ln(2xx例1

13、5 計算 假設(shè)完全掌握了復合函數(shù)求導的鏈式法那么，那么在對初等函數(shù)求導時，就可以“一步到位.解) 12121(11)1ln(222xxxxxx.11) 11(11222xxxxx例16. ) 1(2xx計算解xxxxxx21211) 1(222.11222xx例17. )sin(sinnxxn計算解nxxn)sin(sinnnxxnxxxnnncossinsincossin1)cossinsin(cossin1nxxnxxxnn.) 1sin(sin1xnxnn例18 一人以2米/秒的速度經(jīng)過一座高為20米的橋，在此人的正下方有一小船以 米/秒的速度與橋垂直方向前進，求第5秒末人與小船的分別速

14、度.，222)2()34()20(tts34解經(jīng)過t秒人走過的間隔為x=2t，船走過的間隔為y= t,此時人與船的間隔為s,那么s滿足34.)2()34()20()4916(dd222tttts兩端關(guān)于t求導，得那么,2126|dd5tts即所求的分別速度為 米/秒.2126五、隱函數(shù)的求導法那么五、隱函數(shù)的求導法那么自變量x和因變量y是經(jīng)過一個方程建立起函數(shù)關(guān)系.比如 建立了x和y之間的關(guān)系，此時對應規(guī)那么是對x在允許范圍內(nèi)的每一個值，y將以方程的解與之對應，這種函數(shù)稱為隱函數(shù).13yyx隱函數(shù)普通可用F(x,y)=0表示.如今的問題是經(jīng)過方程F(x,y)=0確定了y是x的函數(shù)，如何來求 .

15、容易看出：“先將方式隱函數(shù)顯化，然后再求導不是一個好的方法，由于將隱函數(shù)顯化，即將其變成顯函數(shù)方式普通是非常困難的，甚至是不能夠的.對于隱函數(shù)求y導，可以采用這樣的方法：首先在等式兩邊對x求導,遇到y(tǒng)時將其認作中間變量，利用復合函數(shù)的求導法那么，得到含 的方程，解出 即可.yy例19 設(shè)y=y(x)由 確定，求 .xyyx2ey解 兩邊對x求導，得，2eyxyyyx解方程得.2eyxyyx例20 求隱函數(shù) 的導數(shù)yxye2.|0 xyy及, 2e yxy若注意到解，yxyyyee.e1e yyxy 從而.3e)2(1e yyyyy也可得.e| 2e2020 xyy，yxy，x于是可解得由時例2

16、1 求橢圓曲線 處的切線方程和法線方程.)2, 1 (14222上點yx解，021yyx,2yxy切線斜率, 222|)2, 1 (1 yk法線斜率.22112kk所以切線方程為. 222 ),1(22xyxy即法線方程為. 2222 ),1(222xyxy即六、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導法那么六、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導法那么假設(shè)將由參數(shù)方程 所確定的函數(shù)看成復合函數(shù)： ，那么由復合函數(shù)的求導法那么，有)()(tytx)(),(1xttx.ddddddxttyxy留意到反函數(shù)的求導法那么，有 ，所以txxtdd1dd這就是由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導法那么.).0)( )()(dddddd

17、1ddddttttxtytxtyxy例22 設(shè),sin,cos33taytax解txtyxydddddd.ddxy求.tan)sin(cos3cossin322tttatta例23 設(shè),sine,cosetytxtt解txtyxydddddd.ddxy求)sin(ecosecosesinetttttttt . sincos cossintttt例24 求曲線 在t=e處的切線方程和法線方程.tyttx2ln,ln解txtyxydddddd.231121dd1etxyk所以切線斜率當t=e時，x=e，y=e.法線斜率. 32112kk.1lnln2ln1ln1ln2ln22tttttttttt故

18、切線方程為. 2e23 ),e(23exyxy即法線方程為. e 3532 ),e(32exyxy即例25 以速度v0,發(fā)射角發(fā)射炮彈,炮彈的運動方程為020cos ,1sin.2xv tyv tgt求:(1)炮彈在時辰t的運動方向;(2)炮彈在時辰t的速度.解 (1)炮彈在時辰t的運動方向就是炮彈運動軌跡在時辰t的切線方向，所以只需求出切線的斜率,00d( )sin.d( )cosyy tvgtxx tv(2)炮彈在時辰t沿x軸方向的分速度為0dcos ,dxxvvt沿y軸方向的分速度為0dsin,dyyvvgtt故炮彈在時辰t的速率為220 xyvvv2200(cos )(sin)vvgt22002sin() .vv gtgt七、對數(shù)求導法七、對數(shù)求導法在求導運算中，常會遇到以下兩類函數(shù)的求導問題，一類是冪指函數(shù)，即形如 的函數(shù)，一類是一系列函數(shù)的乘、除、乘方、開方所構(gòu)成的函數(shù).)()(xgxf 所謂對數(shù)求導法，就是在y=f(x)的兩邊分別取對數(shù)，然后用隱函數(shù)求導法求導的方法.解用對數(shù)求導法，那么兩邊分別取對數(shù). )(sinyxyx，求設(shè) .sin ln )ln(sin ln xxxyx所以).cotsin(ln)(sin )co