計算方法試驗

1、計算方法實驗指導姓名學號院系專業(yè)哈爾濱工業(yè)大學計算方法實驗指導根據實際問題建立的數學模型, 一般不能求出所謂的解析解, 必須針對數學模 型的特點確定適當的計算方法,編制出計算機能夠執(zhí)行的計算程序,輸入計算機, 進行調試,完成運算,如果計算結果存在問題或不知是否正確,還需要重新確定 新的計算方法,再編制出計算程序,輸入計算機,重新調試,完成運算,直至獲 得正確的計算結果,這就是數值計算的全部過程.學生在學習“計算方法和“高級語言等課程時普遍存在的問題是：只會套用教科書中的標準程序進行數值計算,很少有人能夠獨立地將學過的數值算法編 制成計算機程序,至于靈活應用已經掌握的算法求解綜合性較大的課題,那

2、么更是 困難的事情.編寫?計算方法實驗指導?的目的是：突出數值計算程序結構化的思想.提 高學生的編程水平,加深對“計算方法課程內容的理解和掌握,為計算方法“課程的教學效勞,進一步奠定從事數值計算工作的根底.具體地1 .根據“計算方法課程內容的特點,給出五個典型算法的分析流程,學生 可以利用所掌握的“高級語言順利地編制出計算機程序,上機實習,完成實驗環(huán)節(jié)的教學要求.2 .所有的計算實習題目都經過任課教師逐一檢驗,準確無誤.3 .充分利用循環(huán)的思想、迭代的思想,給出算法結構描述和程序語言的對應關系,有利于學生編制相應的程序.4 .結合實習題目,提出實驗要求,要求學生按標準格式寫出相應的實驗報告,實

3、驗報告成績記入期末總成績.需要提醒學生：不能簡單地套用現成的標準程序完成實驗題目,應當把重點放在對算法的理解、程序的優(yōu)化設計、上機調試和計算結果分析上,否那么就失去實驗課的目的啦.5 .五個具體的實驗題目是：實驗題目1拉格朗日(Lagrange)插值實驗題目2龍貝格(Rombe積分法實驗題目3四階龍格一庫塔(Runge-Kutta)方法實驗題目4牛頓(Newton)迭代法實驗題目5高斯(Gauss)列主元消去法要求必須完成其中三個(如果全部完成更好).實驗題目1拉格朗日(Lagrange)插值方法概要：給定平面上n+1個不同的數據點(xk, f(xk), k =0,1,|l, n ,X# Xj

4、 , i # j ；那么滿足條件Pn(Xk)= f (Xk) , k =0,1,IH, n的n次拉格朗日插值多項式是存在唯一的.假設xk a, b, k =0,1,HI ,n ,且函數f(x)充分光滑,那么當xa,b時,有誤差估計式f(n 1)() f(X)Pn(X)=-(X-X0)(X-Xi)|(X-Xn),其一(n 1)!拉格朗日插值算法實驗實驗目的：利用拉格朗日插值多項式Pn(X)求f(X)的近似值輸 入：n+1 個數據點(Xk,f(Xk) , k=0,1,|,n;插值點 x輸 出：f(x)在插值點x的近似值pn(x)程序流程：1 置 y=0.0; k=02 當 k 4n 時,做 2.1

5、 2.42.1 置 l =1.0;2.2 對 j =0,1,|n,k-1,k+1,|,n,置 l =l «x-Xj)/(x Xj)2.3 置 y = y +l f (xk )2.4 置卜=k 13輸出x, y4停機問題1拉格朗日插值多項式的次數 n越大越好嗎？考慮下面兩個拉格朗日插值問題：(1)設f(x)=y, XW5,5,考慮等距節(jié)點的拉格朗日插值多項式Pn(x),1 X即將區(qū)間-5,5進行 n 等分,記 h 二100 , xk =-5.0 +k h , k =0,1,|,n ,構造 Pn(x), n利用拉格朗日插值多項式Pn(x)作為f(x)的近似值.分別取n = 5, n=10

6、, n = 20,同時計算 Pn(x)在 x=0.75, x=1.75, x = 2.75, x = 3.75, x = 4.75 處的函數值.(2)設f(x)=eX , x-1,1,考慮等距節(jié)點的拉格朗日插值多項式R(x),即2 0將區(qū)間-1,1進仃 n 等分,記 h=,xk=1.0+k,h, k = 0,1,|,n ,構造 R(x),利 n用拉格朗日插值多項式Pn(x)作為f (x)的近似值.分別取n = 5, n=10, n = 20,同時計算 (x)在 x = -0.95, x = -0.05, x = 0.05, x = 0.95處的函數值.問題2插值區(qū)間越小越好嗎？考慮下面兩個拉格

7、朗日插值問題：(1)設f(x)= 工,xw1,1,考慮等距節(jié)點的拉格朗日插值多項式Pn(x),1 x即將區(qū)間-1,1進行 n 等分,記 hn20, xk = -1.0 + k,h, k = 0,1j|,n,構造 Pn(x), n利用拉格朗日插值多項式Pn(x)作為f(x)的近似值.分別取n = 5, n =10, n = 20,同時計算 Pn(x)在 x = -0.95, x=0.05, x = 0.05, x = 0.95 處的函數值.(2)設f(x)=ex, x-5,5,考慮等距節(jié)點的拉格朗日插值多項式R(x),即 一 ,、 、一 2 0將區(qū)間-5,5進仃n等分,記h =,xk = -1.

8、0+k h , k =0,1川,n ,構造Pn(x),利 n用拉格朗日插值多項式Pn(x)作為f (x)的近似值.分別取n = 5, n=10, n = 20,同時計算 P1(x)®x = .75, x = -0.25, x = 0.25, x = 4.75處的函數值.問題3在區(qū)間1,1考慮拉格朗日插值問題,為了使得插值誤差較小,應如何選取插值節(jié)點？考慮下面兩個拉格朗日插值問題：(1)設f(x)=3, xM-1,1,考慮非等距節(jié)點的拉格朗日插值多項式E(x),1 x記xi.ncosR1- , k =0,1,|, n,構造Pn(x),利用拉格朗日插值多項式P(x)作為2( n 1)f(

9、x)的近似值.分另 I取 n=5, n=10, n=20,同時計算 R (x)在 x = 0.95, x =-0.05 ,x = 0.05, x =0.95處的函數值.(2)設f(x)=ex, x-1,1,考慮非等距節(jié)點的拉格朗日插值多項式Pn(x),記xk =cos竺+1)n , k =0,1,m,n,構造P*x),利用拉格朗日插值多項式 (x)作為 2( n 1)f(x)的近似值.分另1J取 n=5, n=10, n=20,同時計算 R (x)在 x = 0.95, x =-0.05 , x = 0.05, x =0.95處的函數值.問題4考慮拉格朗日插值問題,內插比外推更可靠嗎？考慮下面

10、兩個拉格朗日插值問題：(1)設f (x)=",關于以 =1 , x=4, x2 =9為節(jié)點的拉格朗日插值多項式 P2(x),利用拉格朗日插值多項式P2(x)作為f(x)的近似值.同時計算P2(x)在x = 5,x=50, x=115, x=185處的函數值.(2)設f(x)=7x關于以x0=36, x1=49, x2 = 64為節(jié)點的拉格朗日插值多 項式P2(x),利用拉格朗日插值多項式P2(x)作為f(x)的近似值.同時計算 P2(x)在x=5, x=50, x=115, x=185處的函數值.(3)設f(x)=仃,關于以x0 =100, X =121 , x2 =144為節(jié)點的拉

11、格朗日插值 多項式F2(x),利用拉格朗日插值多項式 P2(x)作為f(x)的近似值.同時計算P2(x)在 x=5, x=50, x=115, x=185處的函數值.(4)設f(x)=?,關于以 =169, x=196, x2 =225為節(jié)點的拉格朗日插值 多項式F2(x),利用拉格朗日插值多項式 P2(x)作為f(x)的近似值.同時計算P2(x)在 x=5, x=50, x=115, x=185處的函數值.思考題：1 .對實驗1存在的問題,應如何解決？2 .對實驗2存在的問題的答復,試加以說明3 .對實驗3存在的問題的答復,試加以說明4 .如何理解插值問題中的內插和外推?寫出實驗報告實驗題目

12、2龍貝格(Romberg)積分法方法概要：利用復化梯形求積公式、復化辛普生求積公式、復化柯特斯求積公式的誤差估計式計算積分廣f(x)dx.記h=b, Xk=a + k,h, k = 0,1,|,n,其an計算公式：一般地,利用龍貝格算法計算積分,要輸出所謂的T數表龍貝格(Romberg)積分法實驗實驗目的：利用龍貝格(Romberg)積分法計算積分b f(x)dx a輸入：a,b, N,s輸出：龍貝格T-數表程序流程：1 置卜=,m = 1 n2輸出Ti3 對 i =2,3|, N,做 3.1 3,53.1 置 ii =2i,皿 11 ii1置 T2T1h" f (a (k )h)2

13、2 km2輸出T213.2 置 S=(4T2-T)3輸出S213.3 對 m/1,置 C2= (16S2-S)15輸出C2,轉3.613.4 對 m#2,置 R = (64C2 Ci)63輸出R2 ,轉3.63.5 對 m=3,置 tol = R2 R如果tol 鼻,那么停機,否那么轉3.63.6 置 R = R2,Ci= C2,S(=S2,工=丁2, h ,m = m + 124停機問題1:利用龍貝格(Romberg)積分法計算積分1 o公(1) 0 x exdx ,6=103人(2) e exsin xdx ,名=10(3) ,為x, ；=10 ,1 1(4) dx , 1 =100x 1

14、問題2:被積函數無界,如何處理？(1)呼dx,"成 0 x提示：f (0)=呵辿»=1/C、1 cosx ,提示：引進變換(2) 1 / dx,君=10(3)t =、1 - x；二10 上提示：利用等式i1竿dx = f-dx+f號二dx,第一個積分值等于2,第二個 0,x 0、x -.,x積分,利用 f (0) = l'm co,) 1=0;也可以考慮利用分部積分1 cosxdx =2 pCosxd晨 x)1 xsin x§(4) 、dx ； W =10 - 12一,1 -x提示：利用第一類Gauss-Chebyshev求積公式問題3:積分區(qū)間無限,如何

15、處理？七白 、,2公(1) e dx, , 1 =10 J-OQ提不：利用ex dx作近似-o1(2) 1 dx,8=10丘(x 1" x提示：利用變換t =、, 1(3) e"cos3xdx, “10' J_oO提示：Gauss-Hermite求積公式(4) esin2 xdx ,君=10上 -0提示：Gauss-Lagurre求積公式思考題：1 .輸入的參數N有什么意義？2 .在實驗1中二分次數和精度的關系如何？3 .在實驗2中給出的提示具有普遍性嗎？存在其它的方法嗎？試加以說明4 .在實驗3中給出的提示具有普遍性嗎？存在其它的方法嗎？試加以說明 寫出實驗報告實

16、驗題目3四階龍格一庫塔(Runge-Kutta)方法方法概要：給定常微分方程初值問題 記xn =a+n 'h , n =0,1,|, N ,利用四階龍格一庫塔方法可逐次求出微分方程初值問題的數值解yn , n=1,2,川,N.四階龍格一庫塔(Runge- Kutta)方法實驗實驗目的：利用四階龍格一庫塔(Runge-Kutta)方法求解微分方程初值問題輸 入：a,b,a, N輸出：初值問題的數值解xn,yn, n=0,1,2,|,N.程序流程：1 置 xo =a,y0 =a,h ="aN2 對 n =1,2,川,N ,做 2.1 2.42.1 置2.2 置x1 = x0 h2

17、.3 輸出為2.4 x0 = x, y0 = y13停機問題1(1)準確解(2)準確解問題2(1)準確解(2)準確解問題3(1)準確解(2)準確解(3)準確解思考題：1 .對實驗1,數值解和解析解相同嗎？為什么？試加以說明.2 .對實驗2, N越大越精確嗎？試加以說明.3 .對實驗3, N較小會出現什么現象？試加以說明寫出實驗報告實驗題目4牛頓(Newton)迭代法方法概要：求非線性方程f (x) = 0的根x* ,牛頓迭代法計算公式一般地,牛頓迭代法具有局部收斂性,為保證迭代收斂,要求,對充分小的0 >0, a W0(x*,6).如果 f(x)wc2a,b , f(x*)=0, f&#

18、39;(x*) # 0 ,那么,對充分小的0 >0,當口 WO(x ,6)時,由牛頓迭代法計算出的xn收斂于x ,且收斂速度是2階的；如果 f (x)WCma,b , f (x*) = f'(x* )=川=f(m-1)(x*) =0 , f(m)(x*) #0(m >1),那么,對充分小的6>0,當口 WO(x*,6)時,由牛頓迭代法計算出的xn收斂于x*,且收斂速度是1階的;牛頓(Newton)迭代法實驗實驗目的：利用牛頓迭代法求 f(x)=0的根輸 入：初值口,精度的后 ,最大迭代次數N輸 出：方程f (x) =0根X*的近似值或計算失敗標志程序流程：1 置 n

19、=12 當 nEN 時,做 2.1 2.42.1 置 F = f (x0), DF = f <x0)如果曰?鳥,輸出x0;停機如果df|<22,輸出失敗標志；停機2.2 置 x1 =x0 -F / DF2.3 置 Tol = x, -x0如果Tol|<馬,輸出x,；停機2.4 置 n = n +1 , x0 =x,3輸出失敗標志4停機 冗問題 1: (1) cosx x=0, 0=10： *2=10",N =10, x0 =-0.785398163 4(2) esinx=0,鳥=10*,=10",N=10, x0=0.6I可題 2: (1) x e =0,

20、 5=10 ,82 =10 , N 10, x0=0.5(3) x22xe'+e"x =0 ,= 10"6, £2=10", N=20, x0=0.5問題3: (1)由下面的遞推公式可以生成勒讓德(Legendre )多項式試確定 F2(x), P3(x), P4(x)和 P5(x)確定P6(x),求R(x)得所有零點,精度注=106(2)由下面的遞推公式可以生成切比雪夫勒讓德( Chebyshev)多項式試確定 T2(x),T3(x),TKx)和 T5(x)確定T6(x),求T6(x)得所有零點,精度6=10*2j 1xj =cos(n) ,

21、j =0,1, |, n2(n 1)(3)由下面的遞推公式可以生成拉蓋爾( Laguerre )多項式試確定 L2(x), L3(x),L4(x)和 L5(x)求L5(x)得所有零點,精度名=10上(4)由下面的遞推公式可以生成埃爾米特(Hermite )多項式試確定 H2(x), H3(x), H4(x)和 H5(x)確定H6(x),求H6(x)得所有零點,精度名=10上思考題：1 .對實驗1確定初值的原那么是什么？實際計算中應如何解決？2 .對實驗2如何解釋在計算中出現的現象？試加以說明3 .對實驗3存在的問題的答復,試加以說明寫出實驗報告實驗題目5相對高斯(Gauss)列主元消去法方法概

22、要：高斯(Gauss)列主元消去法：對給定的 n階線性方程組Ax = b,首先進行列 主元消元過程,然后進行回代過程,最后得到解或確定該線性方程組是奇異的.如果系數矩陣的元素按絕對值在數量級方面相差很大,那么,在進行列主元消元過程前,先把系數矩陣的元素進行行平衡：系數矩陣的每行元素和相應的右 端向量元素同除以該行元素絕對值最大的元素.這就是所謂的平衡技術.然后再 進行列主元消元過程.如果真正進行運算去確定相對主元,那么稱為顯式相對Gauss列主元消去法；如果不進行運算,也能確定相對主元,那么稱為隱式相對Gauss列主元消去法.顯式相對Gauss列主元消去法：對給定的n階線性方程組Ax = b,

23、首先進行列 主元消元過程,在消元過程中利用顯式平衡技術,然后進行回代過程,最后得到 解或確定該線性方程組是奇異的.隱式相對Gauss列主元消去法：對給定的n階線性方程組Ax = b,首先進行列 主元消元過程,在消元過程中利用隱式平衡技術,然后進行回代過程,最后得到 解或確定該線性方程組是奇異的.實驗目的：利用 Gauss列主元消去法、顯式相對 Gauss列主元消去法、隱式相對 Gauss列主元消去法求解線性方程組 Ax = bo輸 入：n ； a/ bi , i,j =1,21|,n輸出：線性方程組 人乂5的近似解Xi , i =1,2,川,n程序流程：一、Gauss列主元消去法1對k =1,

24、2,川,n1,做1.1 1.3 ,消元過程1.1 尋找最小的正整數 p, k E p En和apk = max ajk.如果apk =0 ,輸出 kk Wj 百 J奇異標志,停機；1.2 如果p#k,那么交換p,k兩行；1.3 對1=卜+1川川,記外=永心計算2.如果ann =.輸出奇異標志,停機;3,置xn = bn / ann)回代過程4,對 k =n 1,2,1 ,置 xk =(bk -Z '4akjXj )/akk、顯式相對Gauss列主元消去法1,對 k =1,2,|,n 1,做 1.1 1.4 ,消元過程1.1 對i =k,k +1,|,n ,計算Si =max a.,如果

25、s =0 ,輸出奇異標志,停機; k<< J計算 aj =aij /Si , j =k, k +1,|,n ;1.2 尋找最小的正整數 p, k E p wn和apk = max ajk ,如果apk=0,輸出 p kg且j奇異標志,停機；1.3 如果p/k,那么交換p,k兩行；1.4 i=k+1J|,n,記 mik = aik /akk ,計算2.如果ann =.輸出奇異標志,停機；3,置Xn = bn /ann,回代過程4,對 k=n1,2,1,置 Xk =(bk -£ nakjXj)/akk三、隱式相對Gauss列主元消去法1,對k=1,2,川,n1 ,做1.1 1

26、.3消元過程1.1 對1 =k,k+1,川,n ,計算s =mOX ajk ,如果S =0 ,輸出奇異標志,停機; k q與 j尋找最小的正整數 p, k W p Wn和apk /sp =mOX aik /§ ;1.2 如果p/k,那么交換p,k兩行；1.3 對 i =k+1,|,n ,記 mik = aik /akk ,計算2 .如果ann =0輸出奇異標志,停機；3,置Xn = bn / ann ,回代過程4 .對 k =n 1,2,1 ,置 Xk =(bk g n'+akjXj )/akk問題1實驗題目:(1)0.40960.22460.3645-0.17840.123

27、40.38720.19200.40020.36780.40150.37810.27860.2943 X10.1129 x20.0643 IX30.3927 _x41.29511.126210.9989 J .2499 -136.0190.860/2 90.860 98.810 0- 67.590-000-67.590132.0146.2600046.260177.171%1 IX2X3一X4 一226.87122.08110.68-223.43-(3 )一 11/21/3-1/41/2 1/31/3 1/41/4 1/51/5 1/61/4 X11/5 x21/6 X31/7_X425/127

28、7/6057/60-319/4201(4 )10 7 87 5 68 6 10X2X3-3212333_7 59 10_X4_ _31實驗題目的準確結果：(1 ) x =(X1, X2,X3, X4)T =(1,1,1,1)T ；(2 ) x =(X1, X2,X3, X4)T =(1,1,1,1)T ；(3 ) x =(X1, X2,X3, X4)T =(1,1,1,1)T ；(4 ) x =(X1, X2,X3, X4)T =(1,1,1,1)t.問題2197 305-206-804 X1(1)(2 )46.8 71.3 -47.488.6 76.4 -10.8J.45 5.90 6.13

29、0.53980.52570.6465-0.58140.71610.6924-0.81870.940052.080236.5-0.55540.3565-0.1872-0.777913611.725.160_-0.2982 X1-0.62550.1291-0.4042X2X3-X40.2058-0.05030.1070-0.1859 -思考題:1 .計算實驗1、實驗2的各個題目說明：對什么類型的線性方程組三種方法是一致的？2 .用三種方法計算實驗1、實驗2的各個題目,哪種方法最好？試加以說明3 .綜合上述兩種結論,總結三種方法的關系,試加以說明.寫出實驗報告說明1 本課程給出五類實驗題目,供學生選

30、用,要求必須完成其中三個實驗.2 實驗課的目的是為了讓學生深入理解和掌握“計算方法課程的根本內容, 同時有助于培養(yǎng)學生的上機調試程序進行數值計算的動手水平,進一步提升利用 數值方法求解數學問題、分析計算結果、選擇算法的綜合水平.3 為了順利完成實驗教學的規(guī)定內容,建議學生按下面方法準備實驗、進行實 驗、寫出實驗報告：(1)應明確實驗的目的,清楚實驗的內容,包括算法和誤差分析；(2)寫出內容摘要,包括算法的理論根底和對算法的初步熟悉；(3)上機前,編寫好計算程序；(4)上機調試程序要做到快速、準確；(5)記錄計算結果要做到真實、準確;(6)課后,認真寫好實驗報告,包括對算法的新熟悉和體會,要特別

31、注意對計算結果的分析和討論,當然包括對計算結果的誤差分析.實驗報告一題目(摘要)Lagrange插值給定平面上n十1個不同的數據點(xk,f(xk), k =0,1,|, n , x-Xj,i # j ;那么滿足條件R(Xk) = f(Xk) , k =0,1,Hl,n的n次拉格朗日插值多項式是存在唯一的.假設 XkWa,b,k=0,1川,n ,且函數f(x)充分光滑,那么當xWa,b時,有誤差估計式f(n ")(、f (X) -Pn(x)(X-Xo)(X-X1)|H(X-Xn) ,a,b(n 1)!前言：(目的和意義)目的：利用拉格朗日插值多項式Pn(x)求f(x)的近似值意義：數學原理程序設計流程本實驗采用CodeBlocks的C文件編寫.Lagrange插值源程序：#include?<stdio.h>?#include