2018年山東高考真題數學理

1、絕密啟用前2018年普通高等學校招生全國統一考試理科數學注意事項：1答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1. 設，則A. B. C. D. 2. 已知集合，則A. B. C. D. 3. 某地區(qū)經過一年的新農村建設，農村的經濟收入增加了一倍實現翻番為更好

2、地了解該地區(qū)農村的經濟收入變化情況，統計了該地區(qū)新農村建設前后農村的經濟收入構成比例得到如下餅圖：則下面結論中不正確的是A. 新農村建設后，種植收入減少B. 新農村建設后，其他收入增加了一倍以上C. 新農村建設后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D. 新農村建設后，養(yǎng)殖收入及第三產業(yè)收入的總和超過了經濟收入的一半4. 設為等差數列的前項和，若，則A. B. C. D. 5. 設函數，若為奇函數，則曲線在點處的切線方程為A. B. C. D. 6. 在中，為邊上的中線，為的中點，則A. B. C. D. 7. 某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如右圖圓柱表面上的點在正視圖上的對應點為，圓柱表面上的點在左

3、視圖上的對應點為，則在此圓柱側面上，從到的路徑中，最短路徑的長度為A. B. C. D. 28. 設拋物線C：y2=4x的焦點為F，過點（2，0）且斜率為的直線及C交于M，N兩點，則=A. 5 B. 6 C. 7 D. 89. 已知函數 若g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是A. 1，0） B. 0，+） C. 1，+） D. 1，+）10. 下圖來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，ACABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I，黑色部分記為II，其余部分記為III在整個圖形中隨機取一點，此點取自I，II，III的概率

4、分別記為p1，p2，p3，則A. p1=p2 B. p1=p3C. p2=p3 D. p1=p2+p311. 已知雙曲線C：，O為坐標原點，F為C的右焦點，過F的直線及C的兩條漸近線的交點分別為M、N.若OMN為直角三角形，則|MN|=A. B. 3 C. D. 412. 已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線及平面所成的角相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為A. B. C. D. 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13. 若，滿足約束條件，則的最大值為_14. 記為數列的前項和，若，則_15. 從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有_

5、種（用數字填寫答案）16. 已知函數，則的最小值是_三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。（一）必考題：60分。17. 在平面四邊形中，.（1）求； （2）若，求.18. 如圖，四邊形為正方形，分別為的中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且.（1）證明：平面平面；（2）求及平面所成角的正弦值.19. 設橢圓的右焦點為，過的直線及交于兩點，點的坐標為.（1）當及軸垂直時，求直線的方程；（2）設為坐標原點，證明：.20. 某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶之

6、前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品檢驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗，設每件產品為不合格品的概率都為，且各件產品是否為不合格品相互獨立 （1）記20件產品中恰有2件不合格品的概率為,求的最大值點（2）現對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以（1）中確定的作為的值已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用 （i）若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用及賠償費用的和記為，求;（ii）以檢驗費用及賠償費用和的期望值為決策依據，是否該對這箱余下的所有產品作檢驗？

7、21. 已知函數（1）討論的單調性；（2）若存在兩個極值點，證明：（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。22. 選修44：坐標系及參數方程在直角坐標系中，曲線的方程為以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為（1）求的直角坐標方程； （2）若及有且僅有三個公共點，求的方程23. 選修45：不等式選講已知.（1）當時，求不等式的解集；（2）若時不等式成立，求的取值范圍.絕密啟用前2018年普通高等學校招生全國統一考試理科數學注意事項：1答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2回答選擇題時，

8、選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1. 設，則A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：首先根據復數的運算法則，將其化簡得到，根據復數模的公式，得到，從而選出正確結果.詳解：因為，所以，故選C.點睛：該題考查的是有關復數的運算以及復數模的概念及求解公式，利用復數的除法及加法運算法則求得結果，屬于簡單題目.2. 已知集合，則A.

9、B. C. D. 【答案】B【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出的解集，從而求得集合A，之后根據集合補集中元素的特征，求得結果.詳解：解不等式得，所以，所以可以求得，故選B.點睛：該題考查的是有關一元二次不等式的解法以及集合的補集的求解問題，在解題的過程中，需要明確一元二次不等式的解集的形式以及補集中元素的特征，從而求得結果.3. 某地區(qū)經過一年的新農村建設，農村的經濟收入增加了一倍實現翻番為更好地了解該地區(qū)農村的經濟收入變化情況，統計了該地區(qū)新農村建設前后農村的經濟收入構成比例得到如下餅圖：則下面結論中不正確的是A. 新農村建設后，種植收入減少B. 新農村建設后，其他收入增加了一

10、倍以上C. 新農村建設后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D. 新農村建設后，養(yǎng)殖收入及第三產業(yè)收入的總和超過了經濟收入的一半【答案】A【解析】分析：首先設出新農村建設前的經濟收入為M，根據題意，得到新農村建設后的經濟收入為2M，之后從圖中各項收入所占的比例，得到其對應的收入是多少，從而可以比較其大小，并且得到其相應的關系，從而得出正確的選項.詳解：設新農村建設前的收入為M，而新農村建設后的收入為2M，則新農村建設前種植收入為0.6M，而新農村建設后的種植收入為0.74M，所以種植收入增加了，所以A項不正確；新農村建設前其他收入我0.04M，新農村建設后其他收入為0.1M，故增加了一倍以上，所以B項正確；新

11、農村建設前，養(yǎng)殖收入為0.3M，新農村建設后為0.6M，所以增加了一倍，所以C項正確；新農村建設后，養(yǎng)殖收入及第三產業(yè)收入的綜合占經濟收入的，所以超過了經濟收入的一半，所以D正確；故選A.點睛：該題考查的是有關新農村建設前后的經濟收入的構成比例的餅形圖，要會從圖中讀出相應的信息即可得結果.4. 設為等差數列的前項和，若，則A. B. C. D. 【答案】B詳解：設該等差數列的公差為，根據題中的條件可得，整理解得，所以，故選B.點睛：該題考查的是有關等差數列的求和公式和通項公式的應用，在解題的過程中，需要利用題中的條件，結合等差數列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差數列的通項公式得到及的關系

12、，從而求得結果.5. 設函數，若為奇函數，則曲線在點處的切線方程為A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：利用奇函數偶此項系數為零求得，進而得到的解析式，再對求導得出切線的斜率，進而求得切線方程.詳解：因為函數是奇函數，所以，解得，所以，所以，所以曲線在點處的切線方程為，化簡可得，故選D.點睛：該題考查的是有關曲線在某個點處的切線方程的問題，在求解的過程中，首先需要確定函數解析式，此時利用到結論多項式函數中，奇函數不存在偶次項，偶函數不存在奇次項，從而求得相應的參數值，之后利用求導公式求得，借助于導數的幾何意義，結合直線方程的點斜式求得結果.6. 在中，為邊上的中線，為的中點，則A.

13、B. C. D. 【答案】A【解析】分析：首先將圖畫出來，接著應用三角形中線向量的特征，求得，之后應用向量的加法運算法則-三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應用相反向量，求得，從而求得結果.詳解：根據向量的運算法則，可得所以，故選A.點睛：該題考查的是有關平面向量基本定理的有關問題，涉及到的知識點有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認真對待每一步運算.7. 某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如右圖圓柱表面上的點在正視圖上的對應點為，圓柱表面上的點在左視圖上的對應點為，則在此圓柱側面上，從到的路徑中，最短路徑的長度為A.

14、 B. C. D. 2【答案】B【解析】分析：首先根據題中所給的三視圖，得到點M和點N在圓柱上所處的位置，點M在上底面上，點N在下底面上，并且將圓柱的側面展開圖平鋪，點M、N在其四分之一的矩形的對角線的端點處，根據平面上兩點間直線段最短，利用勾股定理，求得結果.詳解：根據圓柱的三視圖以及其本身的特征，可以確定點M和點N分別在以圓柱的高為長方形的寬，圓柱底面圓周長的四分之一為長的長方形的對角線的端點處，所以所求的最短路徑的長度為，故選B.點睛：該題考查的是有關幾何體的表面上兩點之間的最短距離的求解問題，在解題的過程中，需要明確兩個點在幾何體上所處的位置，再利用平面上兩點間直線段最短，所以處理方法

15、就是將面切開平鋪，利用平面圖形的相關特征求得結果.8. 設拋物線C：y2=4x的焦點為F，過點（2，0）且斜率為的直線及C交于M，N兩點，則=A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】D【解析】分析：首先根據題中的條件，利用點斜式寫出直線的方程，涉及到直線及拋物線相交，聯立方程組，消元化簡，求得兩點，再利用所給的拋物線的方程，寫出其焦點坐標，之后應用向量坐標公式，求得，最后應用向量數量積坐標公式求得結果.詳解：根據題意，過點（2，0）且斜率為的直線方程為，及拋物線方程聯立，消元整理得：，解得，又，所以，從而可以求得，故選D.點睛：該題考查的是有關直線及拋物線相交求有關交點坐標所滿足的條件的

16、問題，在求解的過程中，首先需要根據題意確定直線的方程，之后需要聯立方程組，消元化簡求解，從而確定出，之后借助于拋物線的方程求得，最后一步應用向量坐標公式求得向量的坐標，之后應用向量數量積坐標公式求得結果，也可以不求點M、N的坐標，應用韋達定理得到結果.9. 已知函數 若g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是A. 1，0） B. 0，+） C. 1，+） D. 1，+）【答案】C【解析】分析：首先根據g（x）存在2個零點，得到方程有兩個解，將其轉化為有兩個解，即直線及曲線有兩個交點，根據題中所給的函數解析式，畫出函數的圖像（將去掉），再畫出直線，并將其上下移動，從圖中可以發(fā)現，當時，滿足及曲線有

17、兩個交點，從而求得結果.詳解：畫出函數的圖像，在y軸右側的去掉，再畫出直線，之后上下移動，可以發(fā)現當直線過點A時，直線及函數圖像有兩個交點，并且向下可以無限移動，都可以保證直線及函數的圖像有兩個交點，即方程有兩個解，也就是函數有兩個零點，此時滿足，即，故選C.點睛：該題考查的是有關已知函數零點個數求有關參數的取值范圍問題，在求解的過程中，解題的思路是將函數零點個數問題轉化為方程解的個數問題，將式子移項變形，轉化為兩條曲線交點的問題，畫出函數的圖像以及相應的直線，在直線移動的過程中，利用數形結合思想，求得相應的結果.10. 下圖來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形此圖由三個半圓構成，三個半

18、圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，ACABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I，黑色部分記為II，其余部分記為III在整個圖形中隨機取一點，此點取自I，II，III的概率分別記為p1，p2，p3，則A. p1=p2 B. p1=p3C. p2=p3 D. p1=p2+p3【答案】A詳解：設，則有，從而可以求得的面積為，黑色部分的面積為 ，其余部分的面積為，所以有，根據面積型幾何概型的概率公式，可以得到，故選A.點睛：該題考查的是面積型幾何概型的有關問題，題中需要解決的是概率的大小，根據面積型幾何概型的概率公式，將比較概率的大小問題轉化為比較區(qū)域的面積的大小，利用相關圖形的面積公式求得

19、結果.11. 已知雙曲線C：，O為坐標原點，F為C的右焦點，過F的直線及C的兩條漸近線的交點分別為M、N.若OMN為直角三角形，則|MN|=A. B. 3 C. D. 4【答案】B【解析】分析：首先根據雙曲線的方程求得其漸近線的斜率，并求得其右焦點的坐標，從而得到，根據直角三角形的條件，可以確定直線的傾斜角為或，根據相關圖形的對稱性，得知兩種情況求得的結果是相等的，從而設其傾斜角為，利用點斜式寫出直線的方程，之后分別及兩條漸近線方程聯立，求得，利用兩點間距離同時求得的值.詳解：根據題意，可知其漸近線的斜率為，且右焦點為，從而得到，所以直線的傾斜角為或，根據雙曲線的對稱性，設其傾斜角為，可以得出

20、直線的方程為，分別及兩條漸近線和聯立，求得，所以，故選B.點睛：該題考查的是有關線段長度的問題，在解題的過程中，需要先確定哪兩個點之間的距離，再分析點是怎么來的，從而得到是直線的交點，這樣需要先求直線的方程，利用雙曲線的方程，可以確定其漸近線方程，利用直角三角形的條件得到直線的斜率，結合過右焦點的條件，利用點斜式方程寫出直線的方程，之后聯立求得對應點的坐標，之后應用兩點間距離公式求得結果.12. 已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線及平面所成的角相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：首先利用正方體的棱是3組每組有互相平行的4條棱，所以及12條棱

21、所成角相等，只需及從同一個頂點出發(fā)的三條棱所成角相等即可，從而判斷出面的位置，截正方體所得的截面為一個正六邊形，且邊長是面的對角線的一半，應用面積公式求得結果.詳解：根據相互平行的直線及平面所成的角是相等的，所以在正方體中，平面及線所成的角是相等的，所以平面及正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，同理平面也滿足及正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等，要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個面及中間的，且過棱的中點的正六邊形，且邊長為，所以其面積為，故選A.點睛：該題考查的是有關平面被正方體所截得的截面多邊形的面積問題，首要任務是需要先確定截面的位置，之后需要從題的條件中找尋相關的字眼，從

22、而得到其為過六條棱的中點的正六邊形，利用六邊形的面積的求法，應用相關的公式求得結果.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13. 若，滿足約束條件，則的最大值為_【答案】6【解析】分析：首先根據題中所給的約束條件，畫出相應的可行域，再將目標函數化成斜截式，之后在圖中畫出直線，在上下移動的過程中，結合的幾何意義，可以發(fā)現直線過B點時取得最大值，聯立方程組，求得點B的坐標代入目標函數解析式，求得最大值.詳解：根據題中所給的約束條件，畫出其對應的可行域，如圖所示：由可得，畫出直線，將其上下移動，結合的幾何意義，可知當直線過點B時，z取得最大值，由，解得，此時，故答案為6.點睛：該題考查的是

23、有關線性規(guī)劃的問題，在求解的過程中，首先需要正確畫出約束條件對應的可行域，之后根據目標函數的形式，判斷z的幾何意義，之后畫出一條直線，上下平移，判斷哪個點是最優(yōu)解，從而聯立方程組，求得最優(yōu)解的坐標，代入求值，要明確目標函數的形式大體上有三種：斜率型、截距型、距離型；根據不同的形式，應用相應的方法求解.14. 記為數列的前項和，若，則_【答案】【解析】分析：首先根據題中所給的，類比著寫出，兩式相減，整理得到，從而確定出數列為等比數列，再令，結合的關系，求得，之后應用等比數列的求和公式求得的值.詳解：根據，可得，兩式相減得，即，當時，解得，所以數列是以-1為首項，以2為公布的等比數列，所以，故答案

24、是.點睛：該題考查的是有關數列的求和問題，在求解的過程中，需要先利用題中的條件，類比著往后寫一個式子，之后兩式相減，得到相鄰兩項之間的關系，從而確定出該數列是等比數列，之后令，求得數列的首項，最后應用等比數列的求和公式求解即可，只要明確對既有項又有和的式子的變形方向即可得結果.15. 從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有_種（用數字填寫答案）【答案】16【解析】分析：首先想到所選的人中沒有女生，有多少種選法，再者需要確定從6人中任選3人總共有多少種選法，之后應用減法運算，求得結果.詳解：根據題意，沒有女生入選有種選法，從6名學生中任意選3人有種選法，

25、故至少有1位女生入選，則不同的選法共有種，故答案是16.點睛：該題是一道關于組合計數的題目，并且在涉及到至多至少問題時多采用間接法，總體方法是得出選3人的選法種數，間接法就是利用總的減去沒有女生的選法種數，該題還可以用直接法，分別求出有1名女生和有兩名女生分別有多少種選法，之后用加法運算求解.16. 已知函數，則的最小值是_【答案】【解析】分析：首先對函數進行求導，化簡求得，從而確定出函數的單調區(qū)間，減區(qū)間為，增區(qū)間為，確定出函數的最小值點，從而求得代入求得函數的最小值.詳解：，所以當時函數單調減，當時函數單調增，從而得到函數的減區(qū)間為，函數的增區(qū)間為，所以當時，函數取得最小值，此時，所以，故

26、答案是.點睛：該題考查的是有關應用導數研究函數的最小值問題，在求解的過程中，需要明確相關的函數的求導公式，需要明白導數的符號及函數的單調性的關系，確定出函數的單調增區(qū)間和單調減區(qū)間，進而求得函數的最小值點，從而求得相應的三角函數值，代入求得函數的最小值.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。（一）必考題：60分。17. 在平面四邊形中，.（1）求； （2）若，求.【答案】 (1) .(2).【解析】分析：(1)根據正弦定理可以得到，根據題設條件，求得，結合角的范圍，利用同角三角函數關

27、系式，求得；(2)根據題設條件以及第一問的結論可以求得，之后在中，用余弦定理得到所滿足的關系，從而求得結果.詳解：（1）在中，由正弦定理得.由題設知，所以.由題設知，所以.（2）由題設及（1）知，.在中，由余弦定理得所以.點睛：該題考查的是有關解三角形的問題，涉及到的知識點有正弦定理、同角三角函數關系式、誘導公式以及余弦定理，在解題的過程中，需要時刻關注題的條件，以及開方時對于正負號的取舍要從題的條件中尋找角的范圍所滿足的關系，從而正確求得結果.18. 如圖，四邊形為正方形，分別為的中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且.（1）證明：平面平面；（2）求及平面所成角的正弦值.【答案】(1)證

28、明見解析.(2) .【解析】分析：(1)首先從題的條件中確定相應的垂直關系，即BFPF，BFEF，又因為，利用線面垂直的判定定理可以得出BF平面PEF，又平面ABFD，利用面面垂直的判定定理證得平面PEF平面ABFD.(2)結合題意，建立相應的空間直角坐標系，正確寫出相應的點的坐標，求得平面ABFD的法向量，設DP及平面ABFD所成角為，利用線面角的定義，可以求得，得到結果.詳解：（1）由已知可得，BFPF，BFEF，又，所以BF平面PEF.又平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.（2）作PHEF，垂足為H.由（1）得，PH平面ABFD.以H為坐標原點，的方向為y軸正方向，為單位長，建立如

29、圖所示的空間直角坐標系Hxyz.由（1）可得，DEPE.又DP=2，DE=1，所以PE=.又PF=1，EF=2，故PEPF.可得.則 為平面ABFD的法向量.設DP及平面ABFD所成角為，則.所以DP及平面ABFD所成角的正弦值為.點睛：該題考查的是有關立體幾何的問題，涉及到的知識點有面面垂直的證明以及線面角的正弦值的求解，屬于常規(guī)題目，在解題的過程中，需要明確面面垂直的判定定理的條件，這里需要先證明線面垂直，所以要明確線線垂直、線面垂直和面面垂直的關系，從而證得結果；對于線面角的正弦值可以借助于平面的法向量來完成，注意相對應的等量關系即可.19. 設橢圓的右焦點為，過的直線及交于兩點，點的坐

30、標為.（1）當及軸垂直時，求直線的方程；（2）設為坐標原點，證明：.【答案】(1) AM的方程為或.(2)證明見解析.【解析】分析：(1)首先根據及軸垂直，且過點，求得直線l的方程為x=1，代入橢圓方程求得點A的坐標為或，利用兩點式求得直線的方程；(2)分直線l及x軸重合、l及x軸垂直、l及x軸不重合也不垂直三種情況證明，特殊情況比較簡單，也比較直觀，對于一般情況將角相等通過直線的斜率的關系來體現，從而證得結果.詳解：（1）由已知得，l的方程為x=1.由已知可得，點A的坐標為或.所以AM的方程為或.（2）當l及x軸重合時，.當l及x軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，所以.當l及x軸不重合也不垂

31、直時，設l的方程為，則，直線MA，MB的斜率之和為.由得將代入得所以，.則.從而，故MA，MB的傾斜角互補，所以.綜上，.點睛：該題考查的是有關直線及橢圓的問題，涉及到的知識點有直線方程的兩點式、直線及橢圓相交的綜合問題、關于角的大小用斜率來衡量，在解題的過程中，第一問求直線方程的時候，需要注意方法比較簡單，需要注意的就是應該是兩個，關于第二問，在做題的時候需要先將特殊情況說明，一般情況下，涉及到直線及曲線相交都需要聯立方程組，之后韋達定理寫出兩根和及兩根積，借助于斜率的關系來得到角是相等的結論.20. 某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不

32、合格品，則更換為合格品檢驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗，設每件產品為不合格品的概率都為，且各件產品是否為不合格品相互獨立 （1）記20件產品中恰有2件不合格品的概率為,求的最大值點（2）現對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以（1）中確定的作為的值已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用 （i）若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用及賠償費用的和記為，求;（ii）以檢驗費用及賠償費用和的期望值為決策依據，是否該對這箱余下的所有產品作檢驗？【答案】(1).(2) （i

33、）490.（ii）應該對余下的產品作檢驗.【解析】分析：(1)利用獨立重復實驗成功次數對應的概率，求得，之后對其求導，利用導數在相應區(qū)間上的符號，確定其單調性，從而得到其最大值點，這里要注意的條件；(2)先根據第一問的條件，確定出，在解（i）的時候,先求件數對應的期望，之后應用變量之間的關系，求得賠償費用的期望；在解（ii）的時候，就通過比較兩個期望的大小，得到結果.詳解：（1）20件產品中恰有2件不合格品的概率為.因此令，得.當時，；當時，.所以的最大值點為.（2）由（1）知，.（i）令表示余下的180件產品中的不合格品件數，依題意知，即.所以.（ii）如果對余下的產品作檢驗，則這一箱產品所

34、需要的檢驗費為400元.由于，故應該對余下的產品作檢驗.點睛：該題考查的是有關隨機變量的問題，在解題的過程中，一是需要明確獨立重復試驗成功次數對應的概率公式，再者就是對其用函數的思想來研究，應用導數求得其最小值點，在做第二問的時候，需要明確離散型隨機變量的可取值以及對應的概率，應用期望公式求得結果，再有就是通過期望的大小關系得到結論.21. 已知函數（1）討論的單調性；（2）若存在兩個極值點，證明：【答案】（1）當時，在單調遞減.，當時， 在單調遞減，在單調遞增.（2）證明見解析.【解析】分析：(1)首先確定函數的定義域，之后對函數求導，之后對進行分類討論，從而確定出導數在相應區(qū)間上的符號，從

35、而求得函數對應的單調區(qū)間；(2)根據存在兩個極值點，結合第一問的結論，可以確定，令，得到兩個極值點是方程的兩個不等的正實根，利用韋達定理將其轉換，構造新函數證得結果.詳解：（1）的定義域為，.（i）若，則，當且僅當，時，所以在單調遞減.（ii）若，令得，或.當時，；當時，.所以在單調遞減，在單調遞增.（2）由（1）知，存在兩個極值點當且僅當.由于的兩個極值點滿足，所以，不妨設，則.由于所以等價于.設函數，由（1）知，在單調遞減，又，從而當時，.所以，即.點睛：該題考查的是應用導數研究函數的問題，涉及到的知識點有應用導數研究函數的單調性、應用導數研究函數的極值以及極值所滿足的條件，在解題的過程中，需要明確導數