三角形重心性質(zhì)定理

1、三角形重心性質(zhì)定理1. 三角形重心性質(zhì)定理課本原題（人教 八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)習(xí)題 19.2第16題）在厶ABC中，BD、CE是邊AC、AB上的中線，BD與CE相交于 0。 BO與0D的長(zhǎng) 度有什么關(guān)系？ BC邊上的中線是否一定過(guò)點(diǎn) 0?為什么？（提示：作 B0中點(diǎn)M , C0的中點(diǎn)N。連接ED、EM、MN、ND）分析：三角形三條中線的交點(diǎn)是三角形的重心（第十九章課題學(xué)習(xí)重心）。這道習(xí)題要證明的結(jié)論是三角形重心的一個(gè)重要數(shù)學(xué)性質(zhì)：三角形的重心將三角形的每條中線都分成1 : 2兩部分，其中重心到三角形某一頂點(diǎn)的距離是到該頂點(diǎn)對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍。證法1:（根據(jù)課本上的提示證明）取 GA、GB 中點(diǎn) M、

2、N，連接 MN、ND、DE、EM。（如圖 1）/ MN 是厶 GAB 的中位線， MN / AB , MN= AB又ED是厶ACB的中位線， DE / AB , DE= AB DE / MN , DE=MN，四邊形 MNDE是平行四邊形 GM=GD，又 AM=MG ，貝U AG=2GD同理可證：CG=2GF , BG=2GE點(diǎn)評(píng)：證法1是利用中點(diǎn)構(gòu)造三角形中位線，從而得到平行四邊形， 再利用平行四邊形性質(zhì)得到中線上三個(gè)線段之間的相等關(guān)系。證法2 :延長(zhǎng)BE至F,使GF=GB，連接FC。/ G是BF的中點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn) GD 是厶 BFC 的中位線，GD / FC, GD= FC 由 GD /

3、 FC, AE=CE，易證 AEG CEF1 AG=FC，即 GD= AG點(diǎn)評(píng)：利用線段中點(diǎn)，還可以將與線段中點(diǎn)有關(guān)的線段倍長(zhǎng)，構(gòu)造全等，從而利用全等三角形的性質(zhì)及三角形中位線的性質(zhì)證明結(jié)論。證法3:取EC中點(diǎn)M ,連DM，利用平行線分線段成比例及 E是AC中點(diǎn)可證得相同 的結(jié)論。（證明過(guò)程略）2. 三角形重心性質(zhì)定理的應(yīng)用求線段長(zhǎng)例1 如圖3所示，在 Rt ABC中，/ A=30。，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，當(dāng) G是Rt ABC 的重心，GE丄 AC 于點(diǎn) E,若 BC=6cm，貝U GE= cm。解：Rt ABC 中，/ A=30 ° , BC=6 / AB=BC=12 ,D是斜邊A

4、B的中點(diǎn)， CD= AB=62G 是 Rt ABC 的重心， CG= 1 CD=4由 CD=AD，/ A=30。，/ GCE=30 °1Rt GCE 中，/ GCE=30 ° , CG=4 , GE= CG=2 (cm)求面積例2 在厶ABC中，中線AD、BE相交于點(diǎn) 0,若厶BOD的面積等于 5,求厶ABC的面積。解： 0是厶ABC的重心， A0 : 0D=2 : 1 Sa AOB : Sa BOD =2 : 1 即 SA AOB=2 S ABOD=10 SaABD = SaAOB+ SBOD = 10+5=15又AD是 ABC的中線Sa ABC =2 S ABD =30。練習(xí)：1.如圖5,A ABC中，AD是BC邊上的中線，G是重心，如果