《學案與測評》2011年高考數(shù)學總復習 第十單元第五節(jié) 直線、平面垂直的判定及其性質精品課件 蘇教版

1、第五節(jié)第五節(jié) 直線、平面垂直的判定及其性質直線、平面垂直的判定及其性質基礎梳理基礎梳理1. 直線與平面垂直(1)直線與平面垂直的定義如果一條直線a與一個平面內的 一條直線都垂直,就說直線a與平面互相垂直.(2)直線與平面垂直的判定定理如果一條直線和一個平面內的兩條 垂直,那么這條直線垂直于這個平面.(3)直線與平面垂直的性質定理如果兩條直線垂直于同一個平面,那么這兩條直線 .任意相交直線平行2. 點面、線面距離及線面角(1)點到平面的距離從平面外一點引平面的垂線, 的距離,叫做這個點到這個平面的距離.(2)直線和平面的距離一條直線和一個平面 ,這條直線上 到這個平面的距離,叫做這條直線和這個平

2、面的距離.(3)直線與平面所成的角平面的一條斜線與它在這個平面內的 所成的 ,叫做這條直線與這個平面所成的角.一條直線 于平面,則稱它們所成的角是直角;一條直線與平面 或 ,則稱它們所成的角是0的角.這個點和垂足間平行任意一點射影銳角垂直平行在平面內3. 二面角及其平面角4. 平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義如果兩個平面所成的二面角是 ,那么就說這兩個平面互相垂直.(1)二面角的定義一條直線和由這條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做 ,這條直線叫做二面角的 ,每個半平面叫做二面角的 .(2)二面角平面角的定義以二面角的棱上任意一點為端點,在兩個面內分別作垂直于棱的射線,這兩條射線所成

3、的角叫做二面角的 .二面角棱面平面角直二面角(2)平面與平面垂直的判定定理如果一個平面經(jīng)過另一個平面的 ,那么這兩個平面互相垂直.典例分析典例分析題型一題型一 線線垂直線線垂直【例1】如圖,=CD,EA,垂足為A,EB,垂足為B,求證:CDAB.分析 要證CDAB,只需證CD平面ABE即可.(3)平面與平面垂直的性質定理如果兩個平面互相垂直,那么在一個平面內垂直于它們 的直線垂直于另一個平面.一條垂線交線證明 =CD,CD,CD.又EA,CD,EACD.同理EBCD.EACD,EBCD,EAEB=E,CD平面EAB.AB平面EAB,ABCD.學后反思 證明空間中兩直線互相垂直,通常先觀察兩直線

4、是否共面.若兩直線共面,則一般用平面幾何知識即可證出,如勾股定理、等腰三角形的性質等;若兩直線異面,則轉化為線面垂直進行證明.舉一反三舉一反三1. 如圖所示,四邊形ABCD為正方形,SA垂直于ABCD所在的平面,過A且垂直于SC的平面分別交SB、SC、SD于E、F、G.求證:AESB,AGSD.證明： SA平面ABCD,BC 平面ABCD,SABC.又BCAB,SAAB=A,BC平面SAB.又AE平面SAB,BCAE.SC平面AEFG,AE平面AEFG,SCAE.BCSC=C,AE平面SBC.又SB平面SBC,AESB.同理可證,AGSD.題型二題型二 線面垂直線面垂直【例2】如圖,P為ABC

5、所在平面外一點,PA平面ABC,ABC=90,AEPB于E,AFPC于F.求證:(1)BC平面PAB;(2)AE平面PBC;(3)PC平面AEF.分析 要證明線面垂直，只要證明這條直線與這個平面內的兩條相交直線垂直即可.證明 (1)PA平面ABCPABC ABBC BC平面PAB. PAAB=A(2)AE平面PAB,由(1)知AEBC AEPB AE平面PBC. PBBC=B(3)PC平面PBC,由(2)知PCAE PCAF PC平面AEF. AEAF=A學后反思 本題的證明過程是很有代表性的,即證明線面垂直,可先證線線垂直,而已知的線面垂直又可以產(chǎn)生有利于題目的線線垂直.在線線垂直和線面垂直

6、的相互轉化中,平面在其中起著至關重要的作用.由于線線垂直是相互的,應充分考慮線和線各自所在平面的特征,以順利實現(xiàn)證明需要的轉化.舉一反三舉一反三2. 已知P為RtABC所在平面外的一點，且PA=PB=PC，D為斜邊AB的中點，求證：PD平面ABC.證明：如圖，連接CD.PA=PB，D為斜邊AB的中點，PDAB. D為斜邊AB的中點，CD= AB=AD.又PA=PC， PDDC.又ABCD=D,PD平面ABC.222PAADPD12222PCCDPD題型三題型三 面面垂直面面垂直【例3】如圖所示，ABC為正三角形，EC平面ABC，BDCE,且CE=CA=2BD,M是EA的中點.求證：（1）DE=

7、DA;(2)平面MBD平面ECA;(3)平面DEA平面ECA.分析 （1）要證明DE=DA,只需證明取EC中點F構造的RtDEFRtADB.(2)注意到M為EA中點，可取CA中點N，先證明N點在平面BDM內，再證明BN與平面ECA垂直即可.(3)仍需證明平面DEA經(jīng)過平面ECA的一條垂線.證明 （1）方法一：如圖，取EC的中點F，連接DF.EC平面ABC，ECBC.CE=2BD，BD=CF.又BDCE,BD CF.四邊形BDFC是平行四邊形.BC DF.DFEC.在RtDEF和RtADB中，EF= EC=BD,FD=BC=AB,RtDEFRtADB.DE=DA.方法二：如圖，取AC中點N，連接

8、BN、MN.ABC是正三角形，BNAC于點N.又EC平面ABC，EC 平面CAE，12平面ACE平面ABC，交線為AC.BN平面ACE.又M、N分別是AE、AC中點,在ACE中，MN CE,又BDCE且2BD=CE,BD CE MN.四邊形BDMN是平行四邊形,MD BN.DM平面ACE.又AE平面ACE，DMAE于點M.又M是AE中點，DA=DE.(2)取CA的中點N，連接MN、BN，則MN EC.又BDEC且EC=2BD,MN DB.N點在平面BDM內.121212學后反思 在求證面面垂直時，一般要用性質定理，在一個平面內作交線的垂線,使之轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直，要熟練掌

9、握“線線垂直”、“線面垂直”、“面面垂直”間的轉化條件和轉化運用，這種轉化方法是本節(jié)內容的顯著特征.掌握轉化思想方法是解決這類問題的關鍵.EC平面ABC，BN平面ABC，ECBN.ABC為正三角形，BNAC.又ACEC=C,EC平面ACE，AC 平面ACE,BN平面ACE.BN 平面MBN,平面MBN平面ECA，即平面MBD平面ECA.（3）DMBN,BN平面ECA，DM平面ECA.又DM 平面DEA,平面DEA平面ECA.舉一反三舉一反三3. 如圖所示，在三棱錐SABC中，SA平面ABC，平面SAB平面SBC.求證：ABBC.證明： 如圖，作AHSB于H，連接EH、AE，平面SAB平面SBC

10、，AH平面SBC,AHBC.又SA平面ABC，SABC.又SAAH=A,SA,AH平面SAB,BC平面SAB.BCAB.題型四題型四 二面角的求法二面角的求法【例4】(14分)如圖,在長方體ABCD A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,點E在棱AB上移動.(1)求證:D1EA1D;(2)AE等于何值時,二面角D1-EC-D的大小為 .(3)當E為AB的中點時,求點E到面ACD1的距離.4分析 (1)線面垂直的性質;(2)二面角的逆用;(3)根據(jù)三棱錐等體積法.解 (1)證明:AE平面AA1D1D,AEA1D. .2又AA1D1D為正方形,A1DAD1,A1D面AD1E,A1DD1E

11、. .4(2)過D作DHCE于H,連接D1H、DE,則D1HCE, .5DHD1為二面角D1ECD的平面角. .7設AE=x,則BE=2-x.在RtD1DH中,DHD1= ,DH=1.在RtDAE中,DE= ,在RtDHE中,EH=x.在RtDHC中,CH= ,在RtCBE中,CE= , , .9當AE= 時,二面角D1-EC-D的大小為 . 1042x1354xx232x54xx3x2324(3)設點E到面ACD1的距離為h.在ACD1中,AC=CD1= ,AD1= ,故SACD1=而SACE= AEBC= ,VD1ACE= SACEDD1= SACD1h,.13 1= h,h= . .14

12、學后反思 確定二面角的平面角的方法:(1)定義法:在二面角的棱上找一特殊點,在兩個半平面內分別作垂直于棱的射線.(2)垂面法:過棱上一點作與棱垂直的平面,該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線,這兩條交線所成的角,即為二面角的平面角.(3)垂線法:過二面角的一個面內一點作另一個平面的垂線,過垂足作棱的垂線,利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補角.此種方法通用于求二面角的所有題目,具體步驟為:一找,二證,三求.5223215221312121213131324. 如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面為正方形,O1、O分別為上、下底面的中心,且A1在底面ABCD上的射影是O.(1)求

13、證:面O1DC面ABCD;(2)若點E、F分別在棱AA1、BC上,且AE=2EA1,問:點F在何處時,EFAD?(3)若A1AB=60,求二面角C-AA1-B的余弦值的大小.舉一反三舉一反三解析: (1)證明:連接AC、BD、A1C1,則O為AC、BD的交點,O1為A1C1、B1D1的交點.由平行六面體的性質可知, A1O1OC,所以四邊形A1OCO1為平行四邊形,A1OO1C.又A1O平面ABCD,所以O1C平面ABCD.又O1C平面O1DC,所以平面O1DC平面ABCD.(2)當F為BC的三等分點(靠近B)時,有EFAD.(3)連接A1C,A1B,作BGA1A與A1A交于點G,連接OG,可

14、證OGAA1,則OGB為二面角C-AA1-B的平面角.設AB=1,則OB= ,BG=ABsin 60= ,AG= .又OA= ,所以OG= .在OGB中,利用余弦定理得2122232221AGOA222321232214143 OG2BGOBOGBGOGBcos222易錯警示易錯警示【例】設平面與平面的交線為l,直線AB在平面內,且ABl,垂足為B,直線CD垂直于平面,且CD平面.求證:AB平面.錯解 如圖1所示,CD平面,且CD平面,而ABl,ABCD,AB平面.錯解分析 錯解僅將已知條件復述一遍,就直接從CD平面,得出CDAB,這是沒有根據(jù)的,犯了論據(jù)不足的錯誤.正解 如圖2所示,過CD及

15、平面內任一異于AB的點P作平面,設平面與平面的交線為EF.CD平面,EFCD.CD平面,EF平面,EFl.EF、AB均在平面內,且EF、AB均與l垂直,ABEF.又EF平面,AB平面.考點演練考點演練10. 如圖，在直角三角形ABC中，D是斜邊AB的中點，AC=6,BC=8，M是平面ABC外的一點，MC平面ABC，且MC=12,求MD的長.解析： 如圖，連接CD，MC平面ABC, MD=13.22222222112132MDMCCDACBC11. (2009江蘇)如圖，在直三棱柱 中，E、F分別是 、 的中點，點D在 上， 求證：（1）EF平面ABC;(2)平面 平面 .111ABCABC1AB1AC11BC1AD1BC1AFD11BBC C證明： （1）E、F分別是 、 的中點，EFBC,EF 平面ABC，BC 平面ABC.EF平面ABC.(2)三棱柱 為直三棱柱, 平面 ， ,又 , 平面 又 平面 平面 平面 1AB1AC111ABCABC1BB111ABC1BB1AD1AD1BC1AD11BBC C1AD1AFD11BBC C12. (2010淮安質檢)如圖，在三棱柱BCEADF中，四邊形ABCD是正方形，DF平面ABCD,M