量子力學課件(2+)

1、第二章第二章 波函數(shù)波函數(shù)和和 Schrodinger Schrodinger 方程方程l1 1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋波函數(shù)的統(tǒng)計解釋l2 2 態(tài)疊加原理態(tài)疊加原理l3 Schrodinger 3 Schrodinger 方程方程l4 4 粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律l5 5 定態(tài)定態(tài)SchrodingerSchrodinger方程方程l6 6 一維無限深勢阱一維無限深勢阱l7 7線性諧振子線性諧振子l8 8貫穿勢壘貫穿勢壘123456返回返回1 1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（一）波函數(shù)（一）波函數(shù)（二）波函數(shù)的解釋（二）波函數(shù)的解釋（三）波函數(shù)的性質（三）波函數(shù)的

2、性質返回返回exp()iAprEt 3 3個問題？個問題？ 描寫自由粒子的描寫自由粒子的平平 面面 波波(, )rt如果粒子處于如果粒子處于隨時間和位置變化的力場隨時間和位置變化的力場中運動，他的動中運動，他的動量和能量不再是常量（或不同時為常量）粒子的狀態(tài)就不量和能量不再是常量（或不同時為常量）粒子的狀態(tài)就不能用平面波描寫，而必須用較復雜的波描寫，一般記為：能用平面波描寫，而必須用較復雜的波描寫，一般記為：描寫粒子狀態(tài)的描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)，它通常波函數(shù)，它通常是一個是一個復函數(shù)復函數(shù)。稱為稱為 dedeBroglieBroglie 波。此式稱為自由粒子的波函數(shù)。波。此式稱為自由粒子的波函數(shù)

3、。(1) (1) 是怎樣描述粒子的狀態(tài)呢？是怎樣描述粒子的狀態(tài)呢？(2) (2) 如何體現(xiàn)波粒二象性的？如何體現(xiàn)波粒二象性的？(3) (3) 描寫的是什么樣的波呢？描寫的是什么樣的波呢？（一）波函數(shù)（一）波函數(shù)（二）波函數(shù)（二）波函數(shù)的解釋的解釋電子源電子源感感光光屏屏（1 1）兩種錯誤的看法）兩種錯誤的看法1. 1. 波由粒子組成波由粒子組成如如水波，聲波水波，聲波，由分子密度疏密變化而形成的一種分布由分子密度疏密變化而形成的一種分布。這種看法是與實驗矛盾的，它這種看法是與實驗矛盾的，它不能解釋長時間單個電子衍射實驗不能解釋長時間單個電子衍射實驗。 電子一個一個的通過小孔，但只要時間足夠長，

4、底片上增加呈電子一個一個的通過小孔，但只要時間足夠長，底片上增加呈現(xiàn)出衍射花紋。這說明電子的波動性并不是許多電子在空間聚集在現(xiàn)出衍射花紋。這說明電子的波動性并不是許多電子在空間聚集在一起時才有的現(xiàn)象，一起時才有的現(xiàn)象，單個電子就具有波動性單個電子就具有波動性。 PPOQQO 波由粒子組成的看法：波由粒子組成的看法：顯然夸大了粒子性的一面，顯然夸大了粒子性的一面，而抹殺了粒子的波動性的一面，具有片面性。而抹殺了粒子的波動性的一面，具有片面性。O 事實上，正是由于單個電子具有波動性，事實上，正是由于單個電子具有波動性，才能理解才能理解氫原子氫原子（只含一個電子?。┲须娮舆\動的穩(wěn)定性以及能（只含一個

5、電子?。┲须娮舆\動的穩(wěn)定性以及能量量子化這樣一些量子現(xiàn)象。量量子化這樣一些量子現(xiàn)象。2. 粒子由波組成粒子由波組成 電子是波包電子是波包。把電子波看成是電子的某種實際結。把電子波看成是電子的某種實際結構，是三維空間中連續(xù)分布的某種物質波包。因此呈構，是三維空間中連續(xù)分布的某種物質波包。因此呈現(xiàn)出干涉和衍射等波動現(xiàn)象。波包的大小即電子的大現(xiàn)出干涉和衍射等波動現(xiàn)象。波包的大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運動速度。小，波包的群速度即電子的運動速度。l什么是波包？什么是波包？波包是各種波數(shù)（長）平面波的迭加。波包是各種波數(shù)（長）平面波的迭加。 平面波描寫自由粒子，其特點是充滿整個空間，這是平面波

6、描寫自由粒子，其特點是充滿整個空間，這是因為平面波振幅與位置無關。如果粒子由波組成，那因為平面波振幅與位置無關。如果粒子由波組成，那么自由粒子將充滿整個空間，這是沒有意義的，么自由粒子將充滿整個空間，這是沒有意義的，與實與實驗事實相矛盾。驗事實相矛盾。 l實驗上觀測到的電子，總是處于一個小區(qū)域內。例如實驗上觀測到的電子，總是處于一個小區(qū)域內。例如在一個原子內，其廣延不會超過原子大小在一個原子內，其廣延不會超過原子大小1 1 。 l電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？ “ “ 電子既不是粒子也不是波電子既不是粒子也不是波 ” ”，既不是經(jīng)典的，既不是經(jīng)典的

7、粒子也不是經(jīng)典的波，粒子也不是經(jīng)典的波，但是我們也可以說，但是我們也可以說，“ “ 電子電子既是粒子也是波，它是粒子和波動二重性矛盾的統(tǒng)既是粒子也是波，它是粒子和波動二重性矛盾的統(tǒng)一一。” ” 這個波不再是經(jīng)典概念的波，粒子也不是經(jīng)典概這個波不再是經(jīng)典概念的波，粒子也不是經(jīng)典概念中的粒子。念中的粒子。經(jīng)典概念中經(jīng)典概念中 1.1.有一定質量、電荷等有一定質量、電荷等“顆粒性顆粒性”的屬性的屬性; ;粒子意味著粒子意味著 2 2有確定的運動軌道，每一時刻有一定有確定的運動軌道，每一時刻有一定 位置和速度。位置和速度。經(jīng)典概念中經(jīng)典概念中 1.1.實在的物理量的空間分布作周期性的變化實在的物理量的

8、空間分布作周期性的變化; ;波意味著波意味著 2 2干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性。干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性。（2 2）Born Born 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋波函數(shù)的統(tǒng)計解釋 幾率波幾率波1.1.入射電子流強度小，開始顯示電子的微粒性，長時間亦顯示衍射圖樣入射電子流強度小，開始顯示電子的微粒性，長時間亦顯示衍射圖樣; ;電子源電子源感感光光屏屏QQOPP我們再看一下電子的衍射實驗我們再看一下電子的衍射實驗2.2. 入射電子流強度大，很快顯示衍射圖樣入射電子流強度大，很快顯示衍射圖樣. .l結論：結論：衍射實驗所揭示的電子的波動性是：衍射實驗所揭示的電子的波動性是： 許多電子在同一個實驗中的統(tǒng)計

9、結果，或者是一個許多電子在同一個實驗中的統(tǒng)計結果，或者是一個電子在許多次相同實驗中的統(tǒng)計結果。電子在許多次相同實驗中的統(tǒng)計結果。 l波函數(shù)波函數(shù)正是為了描述粒子的這種行為而引進的，在此基正是為了描述粒子的這種行為而引進的，在此基礎上，礎上，Born Born 提出了波函數(shù)意義的統(tǒng)計解釋。提出了波函數(shù)意義的統(tǒng)計解釋。 r r 點附近衍射花樣的強度點附近衍射花樣的強度 正比于該點附近感光點的數(shù)目，正比于該點附近感光點的數(shù)目， 正比于該點附近出現(xiàn)的電子數(shù)目，正比于該點附近出現(xiàn)的電子數(shù)目， 正比于電子出現(xiàn)在正比于電子出現(xiàn)在 r r 點附近的幾點附近的幾率。率。在電子衍射實驗中，在電子衍射實驗中，照相底

10、片上照相底片上 據(jù)此，據(jù)此，描寫粒子的波可以認為是幾率波，反映描寫粒子的波可以認為是幾率波，反映微觀客體運動的一種統(tǒng)計規(guī)律性，波函數(shù)微觀客體運動的一種統(tǒng)計規(guī)律性，波函數(shù) (r) (r)有有時也稱為幾率幅。時也稱為幾率幅。這就是首先由這就是首先由 BornBorn 提出的提出的波函波函數(shù)的幾率解釋數(shù)的幾率解釋，它是，它是量子力學的基本原理量子力學的基本原理。假設衍射波波幅用假設衍射波波幅用 (r) (r) 描述，與光學相似，描述，與光學相似， 衍射花紋的強度則用衍射花紋的強度則用 | (r)| (r)|2 2 描述，但意義與經(jīng)典描述，但意義與經(jīng)典波不同。波不同。| (r)| (r)|2 2 的意

11、義是代表電子出現(xiàn)在的意義是代表電子出現(xiàn)在 r r 點附近幾率點附近幾率的大小，確切的說，的大小，確切的說， | (r)| (r)|2 2 x y z x y z 表示在表示在 r r 點處，體積元點處，體積元xx、 y y 、zz中找到粒子的幾率。波函數(shù)在空間某點的中找到粒子的幾率。波函數(shù)在空間某點的強度（振幅強度（振幅絕對值的平方）和在這點找到粒子的幾絕對值的平方）和在這點找到粒子的幾率成比例，率成比例，返返 回回（三）波函數(shù)的性質（三）波函數(shù)的性質在在 t t 時刻，時刻，r r 點，點，d = dx dy dzd = dx dy dz 體積內，找到由體積內，找到由波函數(shù)波函數(shù) (r,t)

12、 (r,t)描寫的粒子的幾率是：描寫的粒子的幾率是： d W( r, t) = C| (r,t)|d W( r, t) = C| (r,t)|2 2 d d，其中，其中，C C是比例系數(shù)。是比例系數(shù)。根據(jù)波函數(shù)的幾率解釋，波函數(shù)有如下重要性質：根據(jù)波函數(shù)的幾率解釋，波函數(shù)有如下重要性質：（1 1）幾率和幾率密度）幾率和幾率密度在在 t t 時刻時刻 r r 點，單位體積內找到粒子的幾率是：點，單位體積內找到粒子的幾率是：( r, t ) = dW(r( r, t ) = dW(r, t )/ d = C | (r,t)|, t )/ d = C | (r,t)|2 2 稱為幾率密度。稱為幾率密

13、度。 在體積在體積 V V 內，內，t t 時刻找到粒子的幾率為：時刻找到粒子的幾率為：W(t) = W(t) = V V dW dW = = V V( r, t ) d( r, t ) d= C= CV V | (r,t)| | (r,t)|2 2 d d（2 2）平方可積平方可積由于粒子在空間總要出現(xiàn)（不討論粒子產(chǎn)生和湮滅情由于粒子在空間總要出現(xiàn)（不討論粒子產(chǎn)生和湮滅情況），所以在全空間找到粒子的幾率應為況），所以在全空間找到粒子的幾率應為1 1，即：，即： CC | (r , t)| | (r , t)|2 2 d= 1 d= 1, , 從而得常數(shù)從而得常數(shù) C C 之值為：之值為：C

14、= 1/ C = 1/ | (r , t)| | (r , t)|2 2 d d這即是要求描寫粒子量子這即是要求描寫粒子量子狀態(tài)的波函數(shù)狀態(tài)的波函數(shù) 必須是絕必須是絕對值平方可積的函數(shù)。對值平方可積的函數(shù)。若若 | (r , t)| (r , t)|2 2 d d , , 則則 C C 0 0, , 這是沒有意義的。這是沒有意義的。( , )exp()ir tAp rEt 注意：自由粒子波函數(shù)注意：自由粒子波函數(shù) 不滿足這一要求。關于自由粒子波函數(shù)如何歸一化問不滿足這一要求。關于自由粒子波函數(shù)如何歸一化問題，以后再予以討論。題，以后再予以討論。 （3 3）歸一化波函數(shù)）歸一化波函數(shù) (r ,

15、t ) (r , t ) 和和 C (r , t )C (r , t ) 所描寫狀態(tài)的相對幾率是相同的，這里的所描寫狀態(tài)的相對幾率是相同的，這里的 C C 是常數(shù)。是常數(shù)。 因為在因為在 t t 時刻，空間任意兩點時刻，空間任意兩點 r r1 1 和和 r r2 2 處找到粒子處找到粒子的相對幾率之比是：的相對幾率之比是： 221122(, )(, )(, )(, )CrtrtCrtrt可見，可見， (r , t ) (r , t ) 和和 C (r , t ) C (r , t ) 描述的是同描述的是同一幾率波，所以波函數(shù)有一常數(shù)因子不定性。一幾率波，所以波函數(shù)有一常數(shù)因子不定性。這與經(jīng)典波

16、不同。經(jīng)典波波幅增大一倍（原來這與經(jīng)典波不同。經(jīng)典波波幅增大一倍（原來的的 2 2 倍），則相應的波動能量將為原來的倍），則相應的波動能量將為原來的 4 4 倍，倍，因而代表完全不同的波動狀態(tài)。經(jīng)典波無歸一化問因而代表完全不同的波動狀態(tài)。經(jīng)典波無歸一化問題。題。 由于粒子在全空間出現(xiàn)的幾率等于一，所以粒子由于粒子在全空間出現(xiàn)的幾率等于一，所以粒子在空間各點出現(xiàn)的幾率只取決于波函數(shù)在空間各點強在空間各點出現(xiàn)的幾率只取決于波函數(shù)在空間各點強度的相對比例，而不取決于強度的絕對大小，因而，度的相對比例，而不取決于強度的絕對大小，因而，將波函數(shù)乘上一個常數(shù)后，所描寫的粒子狀態(tài)不變，將波函數(shù)乘上一個常數(shù)后

17、，所描寫的粒子狀態(tài)不變，即即 (r, t) (r, t) 和和 C (r, t) C (r, t) 描述同一狀態(tài)描述同一狀態(tài)歸一化常數(shù)歸一化常數(shù)l若若 (r , t ) (r , t ) 沒有歸一化，沒有歸一化， | (r , t )| (r , t )|2 2 d= A d= A （A A 是大于零的常是大于零的常數(shù)），則有數(shù)），則有l(wèi) | |(A)(A)-1/2-1/2 (r , t ) (r , t )| |2 2 d= 1 d= 1l也就是說，也就是說，(A)(A)-1/2-1/2 (r , t ) (r , t )是歸一化的波函數(shù)，是歸一化的波函數(shù)，與與 (r , t ) (r ,

18、t )描寫同一幾率波，描寫同一幾率波， (A)(A)-1/2 -1/2 稱為歸一化因子稱為歸一化因子。l注意：對歸一化波函數(shù)仍有一個注意：對歸一化波函數(shù)仍有一個模為模為1 1的因子不定的因子不定性，性，若若 (r , t ) (r , t )是歸一化波函數(shù)，那末，是歸一化波函數(shù)，那末， expiexpi (r , t ) (r , t ) 也是歸一化波函數(shù)（其中也是歸一化波函數(shù)（其中是實常數(shù)），與前者描述同一幾率波。是實常數(shù)），與前者描述同一幾率波。（4 4）平面波歸一化）平面波歸一化I Dirac 函數(shù)函數(shù) 定義：定義： 0000)(xxxxxx )0(1)()(0000 dxxxdxxxx

19、x或等價的表示為：對在或等價的表示為：對在x=xx=x0 0 鄰鄰域連續(xù)的任何函數(shù)域連續(xù)的任何函數(shù) f f（x x）有：）有：)()()(00 xfdxxxxf 0 x0 x)(0 xx 函數(shù)函數(shù) 亦可寫成亦可寫成 Fourier Fourier 積分形式：積分形式：)(0021)(xxikedkxx 令令 k=pk=px x/ / , dk= dp, dk= dpx x/ / , , 則則xxxpidpexxx)(0021)( 性質：性質：)()()()(000 xxxfxxxf )(|1)(xaax )()(xx dxeppxpxpxppixxxxxx)(021)( ，則則，作作代代換換：

20、II II 平面波平面波 歸一化歸一化EtipEtrpiperAetr )(),(寫成分量形式寫成分量形式321)()()()(zpiypixpippprpipzyxzyxeAeAeAzyxAer t=0 t=0 時的平面波時的平面波考慮一維積分考慮一維積分dxxxexxxxpptEEi)()(* dxxxexxxxpptppi)()(*2222 dxtxtxxxpp),(),(* )(),(),(22*22xxtppippppedxtxtxxxxx dxxxxxpp)()(* )(221xxppA 若取若取 A A1 12 2 2 2 = 1 = 1，則，則 A A1 1= 2= 2 -1/

21、2-1/2, , 于是于是xpipxxex 21)( )(xxpp 平面波可歸一化為平面波可歸一化為函數(shù)函數(shù))(xxpp )(xxpp dxeAxppixx21 ()1()2xxippxxxppedx)()()()(000 xxxfxxxf 三維情況：三維情況：EtipEtrpiperetr )(21),(2/3 drredtrtrpptEEipp)()(),(),(* )()()()()()(*ppppppppdrrzzyyxxpp 2/332121 AAAA)()(ppppetEEi 其中其中2/321)(rpiper 注意：注意：這樣歸一化后的平面波其模的平方仍不表示幾率密度，這樣歸一化

22、后的平面波其模的平方仍不表示幾率密度，依然只是表示平面波所描寫的狀態(tài)在空間各點找到粒子的幾率依然只是表示平面波所描寫的狀態(tài)在空間各點找到粒子的幾率相同。相同。2 2 態(tài)疊加態(tài)疊加原理一、態(tài)疊加原理一、態(tài)疊加原理二、動量空間（表象）的波函數(shù)二、動量空間（表象）的波函數(shù)返回返回一、態(tài)疊加原理一、態(tài)疊加原理l微觀粒子具有波動性，會產(chǎn)生衍射圖樣。而干涉和微觀粒子具有波動性，會產(chǎn)生衍射圖樣。而干涉和衍射的本質在于衍射的本質在于波的疊加性波的疊加性，即可相加性，兩個相，即可相加性，兩個相加波的干涉的結果產(chǎn)生衍射。加波的干涉的結果產(chǎn)生衍射。l因此，同光學中波的疊加原理一樣，因此，同光學中波的疊加原理一樣，量

23、子力學中也量子力學中也存在波疊加原理存在波疊加原理。因為量子力學中的波，即波函數(shù)。因為量子力學中的波，即波函數(shù)決定體系的狀態(tài)，稱波函數(shù)為狀態(tài)波函數(shù)，所以量決定體系的狀態(tài)，稱波函數(shù)為狀態(tài)波函數(shù)，所以量子力學的波疊加原理稱為子力學的波疊加原理稱為態(tài)疊加原理態(tài)疊加原理。考慮電子雙縫衍射考慮電子雙縫衍射 P1 12 2S1S2電子源電子源感感光光屏屏一個電子有一個電子有 1 1 和和 2 2 兩種可能的狀態(tài)，兩種可能的狀態(tài)， 是這兩種狀態(tài)的疊加。是這兩種狀態(tài)的疊加。= C= C1 11 1 + C + C2 22 2 也是電子的可能狀態(tài)。也是電子的可能狀態(tài)?？臻g找到電子的幾率則是：空間找到電子的幾率則

24、是：|2 2 = |C = |C1 11 1+ C+ C2 22 2| |2 2 = (C= (C1 1* *1 1* *+ C+ C2 2* *2 2* *) (C) (C1 11 1+ C+ C2 22 2) ) = |C = |C1 1 1 1| |2 2+ |C+ |C2 22 2| |2 2 + + CC1 1* *C C2 21 1* *2 2 +C +C1 1C C2 2* *1 12 2* * 電子穿過狹電子穿過狹縫出現(xiàn)在縫出現(xiàn)在點的幾率點的幾率密度密度電子穿過狹電子穿過狹縫出現(xiàn)在縫出現(xiàn)在點的幾率點的幾率密度密度相干項相干項正是由于相干項正是由于相干項的出現(xiàn)，才產(chǎn)生的出現(xiàn)，才產(chǎn)

25、生了衍射花紋。了衍射花紋。其中其中C C1 1 和和 C C2 2 是復常數(shù)，這就是量子力學的態(tài)疊加是復常數(shù)，這就是量子力學的態(tài)疊加原理。原理。態(tài)疊加原理一般表述：態(tài)疊加原理一般表述：若若1 1 ，2 2 ,., ,., n n ,.,.是體是體系的一系列可能的狀態(tài)，則這些態(tài)的線性疊加系的一系列可能的狀態(tài)，則這些態(tài)的線性疊加 = C= C1 11 1 + C + C2 22 2 + .+ C + .+ Cn nn n + .+ . ( (其中其中 C C1 1 , C , C2 2 ,.,C,.,Cn n ,.,.為復常數(shù)為復常數(shù)) )。 也是體系的一個可能狀態(tài)。也是體系的一個可能狀態(tài)。 處于

26、處于態(tài)的體系，部分的處于態(tài)的體系，部分的處于 1 1態(tài)，部分的處于態(tài)，部分的處于2 2態(tài)態(tài).，部分的處于，部分的處于n n，.態(tài)疊加原理：態(tài)疊加原理：如果如果1 1和和2 2 是體系的可能狀態(tài)，那是體系的可能狀態(tài)，那末它們的線性疊加末它們的線性疊加= C= C1 11 1 + C + C2 22 2 也是該體系的一個可能狀態(tài)也是該體系的一個可能狀態(tài).例：例：exp()piAprE t了了求求和和。所所以以后后式式應應用用積積分分代代替替是是連連續(xù)續(xù)變變化化的的，由由于于其其中中，pdpdpdppdpdtrpctrtrpctrzyxppp ),()(),(),()(),(電子在晶體表面反射后，電

27、子可電子在晶體表面反射后，電子可能以各種不同的動量能以各種不同的動量 p p 運動。具運動。具有確定動量的運動狀態(tài)用有確定動量的運動狀態(tài)用dedeBroglie Broglie 平面波表示平面波表示根據(jù)疊加原理，在晶體表面反射后，電子的狀態(tài)根據(jù)疊加原理，在晶體表面反射后，電子的狀態(tài)可可表示成表示成 p p 取各種可能值的平面波的線性疊加，即取各種可能值的平面波的線性疊加，即而衍射圖樣正是這些平面波疊加干涉的結果。而衍射圖樣正是這些平面波疊加干涉的結果。 dp p返回返回二、動量空間（表象）的波函數(shù)二、動量空間（表象）的波函數(shù)l (r,t) (r,t)是以坐標是以坐標 r r 為自變量的波函數(shù)，

28、為自變量的波函數(shù)， 坐標空間波函數(shù)，坐標空間波函數(shù)，坐標表象坐標表象波函數(shù)；波函數(shù)；lC(p, t)C(p, t) 是以動量是以動量 p p 為自變量的波函數(shù)，為自變量的波函數(shù)， 動量空間波函數(shù)，動量空間波函數(shù)，動量表象動量表象波函數(shù)；波函數(shù)；l二者描寫同一量子狀態(tài)。二者描寫同一量子狀態(tài)。exp21)(2/3rpirp ）（ 波函數(shù)波函數(shù) (r,t) (r,t) 可用各種不同動量的平面波表示，可用各種不同動量的平面波表示， 下面我們給出簡單證明。下面我們給出簡單證明。( , )( )( , )pc p trr t d同同描描述述方方式式。是是同同一一量量子子態(tài)態(tài)的的兩兩種種不不一一一一對對應應

29、，與與所所以以的的。變變換換式式，故故而而總總是是成成立立顯顯然然，二二式式互互為為),(),(tpctrFourier 展開展開系數(shù)系數(shù)pdrtpctrp)(),(),( 令令則則 可按可按p p 展開展開dxdydzrpitrexp),(212/3 ）（ zyxdpdpdprpitpcexp),()2(12/3 若若 (r,t) (r,t)已歸一化，則已歸一化，則 C(p, t)C(p, t)也是歸一化的也是歸一化的pdtpctpcpdtpc),(),(| ),(|2 證證明明：pdrdrtrrdrtrpp ) (), ()(),( pdrrrdrdtrtrpp) ()(), (),( )

30、 (), (),(rrrdrdtrtr 1),(),(rdtrtr函函數(shù)數(shù)的的目目的的。平平面面波波歸歸一一化化為為由由此此我我們們也也可可以以看看出出把把關關系系式式其其中中使使用用了了 ) () ()(rrpdrrpprdtrrtpcp),()(),( 體體積積元元內內的的幾幾率率；點點附附近近時時刻刻粒粒子子出出現(xiàn)現(xiàn)在在rdrtrdtrtrdW 2|),(|),(具具有有類類似似的的物物理理含含義義與與),(),(trtrc 體體積積元元內內的的幾幾率率。點點附附近近時時刻刻粒粒子子出出現(xiàn)現(xiàn)在在動動量量pdptpdtrctpdW 2|),(|),(返回返回作作 業(yè)業(yè) 補補 充充 題題12

31、/2/3/1232/(2)/2/456,3,(42 ).ixixi xixixixeeeeei e 1.請問下列波函數(shù)中，哪些與描寫同一狀態(tài)？返返 回回A axaxaxanAxn,0,2sindxex2 2 .求下列波函數(shù)的歸一化常數(shù)：求下列波函數(shù)的歸一化常數(shù)：（1 1） （2 2） 積分公式：積分公式：22( )exp(/2)xAxx 3 Schrodinger 3 Schrodinger 方程方程（一）引言（一）引言（二）引進方程的基本考慮（二）引進方程的基本考慮（三）自由粒子滿足的方程（三）自由粒子滿足的方程（四）勢場中的（四）勢場中的SchrodingerSchrodinger方程方程

32、（五）多粒子體系的（五）多粒子體系的SchrodingerSchrodinger方程方程返回返回 這些問題在這些問題在19261926年年Schrodinger Schrodinger 提出了波提出了波動方程之后得到了圓滿解決。動方程之后得到了圓滿解決。 微觀粒子量子狀態(tài)用波函數(shù)完全描述，波函微觀粒子量子狀態(tài)用波函數(shù)完全描述，波函數(shù)確定之后，粒子的任何一個力學量的平均值及數(shù)確定之后，粒子的任何一個力學量的平均值及其測量的可能值和相應的幾率分布也都被完全確其測量的可能值和相應的幾率分布也都被完全確定，波函數(shù)完全描寫微觀粒子的狀態(tài)。因此量子定，波函數(shù)完全描寫微觀粒子的狀態(tài)。因此量子力學最核心的問題

33、就是要解決以下兩個問題：力學最核心的問題就是要解決以下兩個問題：(1)(1)在各種情況下，找出描述系統(tǒng)的各種可能的波函數(shù)；在各種情況下，找出描述系統(tǒng)的各種可能的波函數(shù)；(2)(2)波函數(shù)如何隨時間演化。波函數(shù)如何隨時間演化。（一）引言（一）引言返回返回（二）（二）引進方程的基本考慮引進方程的基本考慮 從牛頓方程，人們可以確定以后任何時刻從牛頓方程，人們可以確定以后任何時刻 t t 粒粒子的狀態(tài)子的狀態(tài) r r 和和 p p 。因為初條件知道的是坐標及其。因為初條件知道的是坐標及其對時間的一階導數(shù)，所以方程是時間的二階常微分對時間的一階導數(shù)，所以方程是時間的二階常微分方程。方程。讓我們先回顧一下

34、經(jīng)典粒子運動方程，看是否能給我讓我們先回顧一下經(jīng)典粒子運動方程，看是否能給我們以啟發(fā)。們以啟發(fā)。（1 1）經(jīng)典情況）經(jīng)典情況0000,ttdtrdmprtt 時時刻刻，已已知知初初態(tài)態(tài)是是：22dtrdmF 方方程程：粒粒子子滿滿足足的的方方程程是是牛牛頓頓（2 2）量子情況）量子情況3 3第三方面，方程不能包含狀態(tài)參量，如第三方面，方程不能包含狀態(tài)參量，如 p, Ep, E等，等，否則方程只能被粒子特定的狀態(tài)所滿足，而不能否則方程只能被粒子特定的狀態(tài)所滿足，而不能為各種可能的狀態(tài)所滿足。為各種可能的狀態(tài)所滿足。1 1因為，因為，t = tt = t0 0 時刻，已知的初態(tài)是時刻，已知的初態(tài)是

35、( r, t( r, t0 0) ) 且只知道這樣一個初始條件，所以，描寫粒子狀態(tài)且只知道這樣一個初始條件，所以，描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)所滿足的方程只能含的波函數(shù)所滿足的方程只能含對時間對時間 的一階導的一階導數(shù)。數(shù)。2 2另一方面，另一方面，要滿足態(tài)疊加原理要滿足態(tài)疊加原理，即，若即，若1 1( r, ( r, t ) t ) 和和2 2( r, t )( r, t )是方程的解，那末。是方程的解，那末。( r, t)= C( r, t)= C1 11 1( r, t ) + C( r, t ) + C2 22 2( r, t )( r, t )也應是該方程的解。這就要求方程應是線性的，也也應

36、是該方程的解。這就要求方程應是線性的，也就是說方程中只能包含就是說方程中只能包含, , 對時間的一階導數(shù)和對時間的一階導數(shù)和對坐標各階導數(shù)的一次項，不能含它們的平方或開對坐標各階導數(shù)的一次項，不能含它們的平方或開方項。方項。返回返回（三）自由粒子滿足的方程（三）自由粒子滿足的方程這不是所要尋找的方程，因為它包含狀態(tài)參這不是所要尋找的方程，因為它包含狀態(tài)參量量 E E 。將。將對坐標求二次微商，得：對坐標求二次微商，得：）（1 EtiEit )(expEtrpiA描寫自由粒子波函數(shù)描寫自由粒子波函數(shù): :應是所要建立的方程的解。應是所要建立的方程的解。將上式對將上式對 t t 微商，得：微商，得

37、：， 2222)(xxEtzpypxpipxpiAexxzyx(1)(2)(1)(2)式式 12222222222zyxpppzyx 22222222zypzpy同同理理有有)2(221222222 pp或或 )2()2(222 pEti滿足上述構造方程滿足上述構造方程的三個條件的三個條件討論：討論：通過引出自由粒子波動方程的過程可以看出，通過引出自由粒子波動方程的過程可以看出，如果能量、動量關系式如果能量、動量關系式 E = pE = p2 2/2/2 寫成如寫成如下方程形式：下方程形式： 22224ppipptiE）（做做算符替換（算符替換（4 4）即得自由即得自由粒子滿足的方程（粒子滿足

38、的方程（3 3）。）。）（所所以以3222 ti 22pE 對對自自由由粒粒子子，0)2(2 pE(1)(2)(1)(2)式式返回返回（四）勢場中的（四）勢場中的Schrodinger Schrodinger 方程方程該方程稱為該方程稱為 Schrodinger Schrodinger 方程，也常稱為波動方程。方程，也常稱為波動方程。量量。算算符符，亦亦常常稱稱為為是是體體系系的的式式中中HamiltonHamiltonHtrHtrrVtrti),(),()(2),(22 若粒子處于勢場若粒子處于勢場 V(r)V(r) 中運動，則能動量關系變?yōu)椋褐羞\動，則能動量關系變?yōu)椋篐rVpE )(22

39、)(22rVpE 將其作用于波函數(shù)得：將其作用于波函數(shù)得：做（做（4 4）式的算符替換得：）式的算符替換得：返回返回（五）多粒子體系的（五）多粒子體系的 Schrodinger Schrodinger 方程方程設體系由設體系由 N N 個粒子組成，個粒子組成，質量分別為質量分別為 i i (i = 1, 2,., N) (i = 1, 2,., N)體系波函數(shù)記為體系波函數(shù)記為 ( r( r1 1, r, r2 2, ., r, ., rN N ; t); t)第第i i個粒子所受到的外場個粒子所受到的外場 U Ui i(r(ri i) )粒子間的相互作用粒子間的相互作用 V(rV(r1 1,

40、 r, r2 2, ., r, ., rN N) )則多粒子體系的則多粒子體系的 Schrodinger Schrodinger 方程可表示為：方程可表示為：);,(),()(2);,(211212221trrrrrrVrUtrrrtiNNiNiiiiN 多粒子體系多粒子體系 Hamilton Hamilton 量量 ZjijiZrrerrrV|),(221iiirZerU2)( 對有對有 Z Z 個電子的原子，電子間相互作用為個電子的原子，電子間相互作用為 Coulomb Coulomb 排斥作用：排斥作用：而原子核對第而原子核對第 i i 個電子的個電子的 Coulomb Coulomb

41、吸引能為：吸引能為：假定原子核位于坐標原點，無窮遠為勢能零點。假定原子核位于坐標原點，無窮遠為勢能零點。 NiNiiiirrrVrUH12122),()(2 例如：例如：返回返回4 4 粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律（一）定域幾率守恒（一）定域幾率守恒（二）再論波函數(shù)的性質（二）再論波函數(shù)的性質返回返回（一）（一） 定域幾率守恒定域幾率守恒 考慮低能非相對論實物粒子情況，因沒有粒子考慮低能非相對論實物粒子情況，因沒有粒子的產(chǎn)生和湮滅問題，粒子數(shù)保持不變。對一個粒子的產(chǎn)生和湮滅問題，粒子數(shù)保持不變。對一個粒子而言，在全空間找到它的幾率總和應不隨時間改變，而言，在全空間找到它

42、的幾率總和應不隨時間改變，即即2|),(|),(),(),(trtrtrtr 0),( dtrdtd 在討論了狀態(tài)或波函數(shù)隨時間變化的規(guī)律后，在討論了狀態(tài)或波函數(shù)隨時間變化的規(guī)律后，我們進一步討論粒子在一定空間區(qū)域內出現(xiàn)的幾我們進一步討論粒子在一定空間區(qū)域內出現(xiàn)的幾率將怎樣隨時間變化。粒子在率將怎樣隨時間變化。粒子在 t t 時刻時刻 r r 點周圍點周圍單位體積內粒子出現(xiàn)的幾率即幾率密度是：單位體積內粒子出現(xiàn)的幾率即幾率密度是：證證：考慮考慮 Schrodinger Schrodinger 方程及其共軛式：方程及其共軛式：)5(222 Vti )6(222 Vti 式式得得：將將)6()5(

43、 2222 titi22 ）（ti取共軛取共軛 dddtdi22 ）（在空間閉區(qū)域在空間閉區(qū)域中將上式積分，則有：中將上式積分，則有：0 Jt 其微分形式與其微分形式與流體力學中連流體力學中連續(xù)性方程的形續(xù)性方程的形式相同式相同 diddtd2 ）（ dJdtrdtd ),(2 iJ閉區(qū)域閉區(qū)域上找到粒上找到粒子的總幾子的總幾率在單位率在單位時間內的時間內的增量增量J J是幾率流密度，是幾率流密度，是一矢量。是一矢量。所以所以(7)(7)式是幾率（粒子數(shù)）式是幾率（粒子數(shù)）守恒的積分表示式。守恒的積分表示式。令令 Eq.Eq.（7 7）趨于趨于 ，即讓積分對全空，即讓積分對全空間進行，考慮到任

44、何真實的波函數(shù)應該是間進行，考慮到任何真實的波函數(shù)應該是平方可積的，波函數(shù)在無窮遠處為零，則平方可積的，波函數(shù)在無窮遠處為零，則式右面積分趨于零，于是式右面積分趨于零，于是 Eq.Eq.（7 7）變?yōu)椋海┳優(yōu)椋?0),( dtrdtd的的表表面面。是是體體積積）（ StrSdJdtrdtdS ),(7),(單位時間內通過單位時間內通過的封閉表面的封閉表面 S S 流入（面積分前面的負號）流入（面積分前面的負號）內內的幾率的幾率SdS 使用使用 Gauss Gauss 定理：定理： 0),( dtrdtd討論：討論：表明，波函數(shù)歸一化不隨表明，波函數(shù)歸一化不隨時間改變，其物理意義是時間改變，其物

45、理意義是粒子既未產(chǎn)生也未消滅。粒子既未產(chǎn)生也未消滅。（1 1） 這里的幾率守恒具有定域性質，當空間某處這里的幾率守恒具有定域性質，當空間某處幾率減少了，必然另外一些地方幾率增加，使總幾率幾率減少了，必然另外一些地方幾率增加，使總幾率不變，并伴隨著某種流來實現(xiàn)這種變化。不變，并伴隨著某種流來實現(xiàn)這種變化。（2 2） 以以乘連續(xù)性方乘連續(xù)性方程等號兩邊，得到：程等號兩邊，得到：0 Jt量子力學的質量量子力學的質量守恒定律守恒定律同理可得量子力學同理可得量子力學的電荷守恒定律：的電荷守恒定律：0 eeJt 表明電荷總量表明電荷總量不隨時間改變不隨時間改變 )(2| ),(|2iJJtr 質量密度質量

46、密度 和和 質量流密度矢量質量流密度矢量 )(2| ),(|2 ieJeJtreeee電荷密度電荷密度 和和 電流密度矢量電流密度矢量返回返回（二）再論波函數(shù)的性質（二）再論波函數(shù)的性質1. 1. 由由 Born Born 的統(tǒng)計解釋可知，描寫粒子的波函數(shù)已知后，就的統(tǒng)計解釋可知，描寫粒子的波函數(shù)已知后，就知道了粒子在空間的幾率分布，即知道了粒子在空間的幾率分布，即 d (r, t) = |(r, t)|d (r, t) = |(r, t)|2 2 d d 2. 2. 已知已知 (r, t)(r, t)， 則任意力學量的平均值、可能值及相應則任意力學量的平均值、可能值及相應的幾率就都知道了，也

47、就是說，描寫粒子狀態(tài)的一切力學量的幾率就都知道了，也就是說，描寫粒子狀態(tài)的一切力學量就都知道了。所以波函數(shù)又稱為狀態(tài)波函數(shù)或態(tài)函數(shù)。就都知道了。所以波函數(shù)又稱為狀態(tài)波函數(shù)或態(tài)函數(shù)。3.3.知道體系所受力場和相互作用及初始時刻體系的狀態(tài)后，由知道體系所受力場和相互作用及初始時刻體系的狀態(tài)后，由SchrodingerSchrodinger方程即可確定以后時刻的狀態(tài)。方程即可確定以后時刻的狀態(tài)。（1 1）波函數(shù)完全描述粒子的狀態(tài)）波函數(shù)完全描述粒子的狀態(tài)（2 2）波函數(shù)標準條件）波函數(shù)標準條件1. 1. 根據(jù)根據(jù)BornBorn統(tǒng)計解釋統(tǒng)計解釋 (r, t) = (r, t) = * *(r, t)

48、 (r, t)(r, t) (r, t)是是粒子在粒子在t t時刻出現(xiàn)在時刻出現(xiàn)在 r r點的幾率，這是一個確定的數(shù)，所以點的幾率，這是一個確定的數(shù)，所以要求要求(r, t)(r, t)應是應是 r, tr, t的單值函數(shù)且有限。的單值函數(shù)且有限。l式右含有式右含有及其對坐標一階導數(shù)的積分，由于積分區(qū)域及其對坐標一階導數(shù)的積分，由于積分區(qū)域是任是任意選取的，所以意選取的，所以S S是任意閉合面。要使積分有意義，是任意閉合面。要使積分有意義，必須在變必須在變數(shù)的全部范圍，即空間任何一點都應是有限、連續(xù)且其一階導數(shù)的全部范圍，即空間任何一點都應是有限、連續(xù)且其一階導數(shù)亦連續(xù)。數(shù)亦連續(xù)。l概括之，波

49、函數(shù)在全空間每一點通常應滿足單值、有限、連續(xù)概括之，波函數(shù)在全空間每一點通常應滿足單值、有限、連續(xù)三個條件，該條件稱為三個條件，該條件稱為波函數(shù)的標準條件波函數(shù)的標準條件。( , )2SSdr t dJdSdtidS 2.2.根據(jù)粒子數(shù)守恒定律根據(jù)粒子數(shù)守恒定律 : :（3 3）量子力學基本假定）量子力學基本假定 I I、 IIII量子力學基本假定量子力學基本假定 I I微觀粒子的運動狀態(tài)完全由波函數(shù)描述。微觀粒子的運動狀態(tài)完全由波函數(shù)描述。量子力學基本假定量子力學基本假定 IIII波函數(shù)隨時間的演化遵從波函數(shù)隨時間的演化遵從 Schrodinger Schrodinger 方程。方程。返回返

50、回5 5 定態(tài)定態(tài)SchrodingerSchrodinger方程方程（一）定態(tài)（一）定態(tài)SchrodingerSchrodinger方程方程（二）（二）HamiltonHamilton算符和能量本征值方程算符和能量本征值方程（三）求解定態(tài)問題的步驟（三）求解定態(tài)問題的步驟（四）定態(tài)的性質（四）定態(tài)的性質返回返回（一）定態(tài)（一）定態(tài)SchrodingerSchrodinger方程方程),()(2),(22trrVtrti )()(),(tfrtr )(2)()()(22rVtftfdtdri 現(xiàn)在讓我們討論有外場情況下的定現(xiàn)在讓我們討論有外場情況下的定態(tài)態(tài) Schrodinger Schrod

51、inger 方程：方程：E )()(2)()(22rErVtEftfdtdi 令：令：/)(iEtetf Etiertr )(),( 于是：于是：若若V(rV(r) )與與t t無關時，則無關時，則可以分離變量可以分離變量代代入入)(2)(1)()(122rVrtfdtdtfi )()(tfr 兩兩邊邊同同除除等式兩邊是相互等式兩邊是相互獨立的變量，一獨立的變量，一般不相等，除非般不相等，除非它們同等于一個它們同等于一個與與 t, r t, r 無關的無關的常數(shù)。常數(shù)。 該方程稱為該方程稱為定態(tài)定態(tài) Schrodinger Schrodinger 方程方程，(r(r) )也也可稱為定態(tài)波函數(shù)，

52、或可看作是可稱為定態(tài)波函數(shù)，或可看作是t=0t=0時刻時刻(r,0)(r,0)的定的定態(tài)波函數(shù)。態(tài)波函數(shù)。 此波函數(shù)與時間此波函數(shù)與時間t t的關系是正弦型的，其角的關系是正弦型的，其角頻率頻率=2E/h=2E/h。 由由de Brogliede Broglie關系可知：關系可知： E E 就是體系處于波函數(shù)就是體系處于波函數(shù)(r,t(r,t) )所描寫的狀所描寫的狀態(tài)時的能量。也就是說，此時態(tài)時的能量。也就是說，此時體系能量有確定的體系能量有確定的值值，所以這種狀態(tài)稱為定態(tài)，波函數(shù)所以這種狀態(tài)稱為定態(tài)，波函數(shù)(r,t(r,t) )稱稱為定態(tài)波函數(shù)。為定態(tài)波函數(shù)。Etiertr )(),( )

53、()(222rErV 空間波函數(shù)空間波函數(shù)(r(r) )可由方程可由方程和具體問題和具體問題(r(r) )應滿足的邊界條件得出。應滿足的邊界條件得出。返回返回（二）（二）HamiltonHamilton算符的本征方程算符的本征方程（1 1）Hamilton Hamilton 算符算符),()(2),(22trrVtrti 算算符符。亦亦稱稱量量，稱稱為為與與經(jīng)經(jīng)典典力力學學相相同同，HamiltonHamiltonH )()(2)()(22rErVtEftfdtdi EVEti22 二方程的特點：二方程的特點：都是以一個算符作用于都是以一個算符作用于(r(r, t), t)等于等于E(rE(r

54、, t), t)。所以這兩個算符是完全相當?shù)模ㄗ饔糜诓ê瘮?shù)上的效果一樣）。所以這兩個算符是完全相當?shù)模ㄗ饔糜诓ê瘮?shù)上的效果一樣）。 HVti222 是相當?shù)?。這是相當?shù)?。這兩個算符都稱兩個算符都稱為能量算符。為能量算符。也可看出，作用于任一波函數(shù)也可看出，作用于任一波函數(shù)上的二算符上的二算符)(r ，得得：注注意意到到/expiEt /expiEt 再由再由 Schrodinger Schrodinger 方程：方程：（2 2）本征方程）本征方程（1 1）一個算符作用于一個函數(shù)上得到一個常數(shù)乘以該函數(shù)這與）一個算符作用于一個函數(shù)上得到一個常數(shù)乘以該函數(shù)這與 數(shù)學物理方法中的本征值方程相似。數(shù)學

55、物理方法中的本征值方程相似。數(shù)學物理方法中：數(shù)學物理方法中：微分方程微分方程 + + 邊界條件構成本征值問題邊界條件構成本征值問題； （2 2）量子力學中：波函數(shù)要滿足三個標準條件，對應數(shù)學物理）量子力學中：波函數(shù)要滿足三個標準條件，對應數(shù)學物理方法中的邊界條件，稱為方法中的邊界條件，稱為波函數(shù)的自然邊界條件波函數(shù)的自然邊界條件。因此在量子力學中稱與上類似的方程為束縛的本征值方程。因此在量子力學中稱與上類似的方程為束縛的本征值方程。常量常量 E E 稱為稱為算符算符 H H 的的本征值本征值；稱為稱為算符算符 H H 的的本征函數(shù)本征函數(shù)。（3 3）由上面討論可知，當體系處于能量算符本征函數(shù)所

56、描寫的）由上面討論可知，當體系處于能量算符本征函數(shù)所描寫的狀態(tài)（簡稱狀態(tài)（簡稱能量本征態(tài)能量本征態(tài)）時，粒子能量有確定的數(shù)值，這個數(shù)）時，粒子能量有確定的數(shù)值，這個數(shù)值就是與這個本征函數(shù)相應的能量算符的本征值。值就是與這個本征函數(shù)相應的能量算符的本征值。 EH EV 22 將將改寫成改寫成返回返回（三）求解定態(tài)問題的步驟（三）求解定態(tài)問題的步驟討論定態(tài)問題就是要求出體系可能有的定態(tài)波函數(shù)討論定態(tài)問題就是要求出體系可能有的定態(tài)波函數(shù)( r, t)( r, t) 和在這些態(tài)中的能量和在這些態(tài)中的能量 E E。其具體步驟如下：。其具體步驟如下：)()(222rErV ,2121nnEEE ，本本征征

57、函函數(shù)數(shù)本本征征值值：/exp)(),(tiErtrnnn 1| )(|2 drCnn（1 1）列出定態(tài)）列出定態(tài) SchrodingerSchrodinger方程方程（2 2）根據(jù)波函數(shù)三個標準）根據(jù)波函數(shù)三個標準條件求解能量條件求解能量 E E 的的本征值問題，得：本征值問題，得：（3 3）寫出定態(tài)波函數(shù)即得）寫出定態(tài)波函數(shù)即得到對應第到對應第 n n 個本征值個本征值 E En n 的定態(tài)波函數(shù)的定態(tài)波函數(shù)（4 4）通過歸一化確定歸一化系數(shù)）通過歸一化確定歸一化系數(shù) C Cn n返回返回（四）定態(tài)的性質（四）定態(tài)的性質（2）幾率流密度與時間無關）幾率流密度與時間無關nnntr ),( 2

58、),(nnnnnitrJ （1 1）粒子在空間幾率密度與時間無關）粒子在空間幾率密度與時間無關)/exp()/exp(tiEtiEnnnn )/exp()/exp(tiEtiEnnnn )()(rrnn )/exp()/exp()/exp()/exp(2tiEtiEtiEtiEinnnnnnnn )()()()(2rrrrinnnn )( rJn 綜上所述，當綜上所述，當滿足下列三個等價條件中滿足下列三個等價條件中的任何一個時，的任何一個時，就是定態(tài)波函數(shù)：就是定態(tài)波函數(shù)：l1. 1. 描述的狀態(tài)其能量有確定的值；描述的狀態(tài)其能量有確定的值；l2. 2. 滿足定態(tài)滿足定態(tài)Schrodinger

59、Schrodinger方程；方程；l3. |3. |2 2 與與 t t無關。無關。( , )( , )nnFr t Fr t d（3 3）任何不顯含）任何不顯含t t的力學量平均值與的力學量平均值與t t 無關無關( )exp(/ )( )exp(/ )nnnnriE tFriE td( )( )nnr Fr d2.6 一維無限深勢阱返回返回 從這一節(jié)起，我們將用薛定諤方程處理幾從這一節(jié)起，我們將用薛定諤方程處理幾個簡單的定態(tài)問題，研究這些問題，不僅因為個簡單的定態(tài)問題，研究這些問題，不僅因為它們簡單，容易得到嚴密的結果，而更重要的它們簡單，容易得到嚴密的結果，而更重要的是因為這些問題具有典

60、型性，處理方法帶有一是因為這些問題具有典型性，處理方法帶有一般性，是研究各種復雜問題的基礎。此外，微般性，是研究各種復雜問題的基礎。此外，微觀體系的許多特性，可以在這些問題中明顯地觀體系的許多特性，可以在這些問題中明顯地表露出來，通過學習，可以進一步加深我們對表露出來，通過學習，可以進一步加深我們對微觀現(xiàn)象所具有的特性的認識。微觀現(xiàn)象所具有的特性的認識。（一）一維無限深勢阱中粒子的勢能（一）一維無限深勢阱中粒子的勢能l求解求解 S S 方程方程 分四步：分四步： l（1 1）列出各勢域的一維）列出各勢域的一維S S方程方程l（2 2）解方程求通解）解方程求通解l（3 3）使用波函數(shù)標準條件求定