八上培優(yōu)5-半角模型

1、八上培優(yōu)5 半角模型方法：截長(zhǎng)補(bǔ)短圖形中，往往出現(xiàn) 90°套45°的情況，或者120°套60°的情況。還有 2套 的情況。求 證的結(jié)論一般是線段的和與差。解決的方法是：截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)造全等三角形。旋轉(zhuǎn)移位造全等，翻折分割構(gòu)全等。截長(zhǎng)法，補(bǔ)短法。勤學(xué)早和新觀察均有專(zhuān)題。勤學(xué)早在第49頁(yè)，新觀察在第34頁(yè)，新觀察培優(yōu)也有涉及，在第27頁(yè)2兩個(gè)例題，29頁(yè)有習(xí)題。這些題大同小異，只是圖形略有變化而已。證明過(guò)程一般要證明兩 次全等。下面是新觀察第34頁(yè)14題1如圖，四邊形 ABCD 中，Z A= Z C=90 °,Z D=60 AB=BC , E、F,分別

2、在 AD、CD 上, 且/ EBF=60 ° .求證：EF=AE+CF .DF分別在AD、DC的延長(zhǎng)線上，其余條件不變，求證： AE=EF+CF .3如圖，Za= Zb=90 ° , CA=CB=4, Z ACB=120 ° , Z ECF=60 °,AE=3, BF=2, 求五邊形 ABCDE的面積EE4.如圖1在四邊形ABCD中.AB=AD，/ B+ / D=180 °, E、F 分別是邊 BC、CD 上的點(diǎn),且/ BAD=2 / EAF .(1) 求證：EF=BE+DF ;(2) 在(1)問(wèn)中，若將 AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn) E、F分

3、別運(yùn)動(dòng)到BC、CD延長(zhǎng)線上時(shí),如圖2所示，試探究EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系.3如圖3,在四邊形 ABDC中，/ B+ Z C=180 ° , DB=DC，/ BDC=120 °，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°的角，角的兩邊分別交 AB、AC于E、F兩點(diǎn)，連接EF,探索線段BE、CF、EF之間的數(shù)量 關(guān)系，并加以證明.T-勤學(xué)早第40頁(yè)試題1. (1)如圖，已知 AB= AC, Z BAC=90Z MAN=45° ,過(guò)點(diǎn)C作NC丄AC交AN于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)B作BM 垂直AB交AM于點(diǎn)M，當(dāng)Z MAN在Z BAC內(nèi)部時(shí)，求證:BM+CN =MN;證明：延長(zhǎng) MB 到

4、點(diǎn) G,使 BG=CN,連接 AG ,證厶ABGACN(SAS),二 AN=AG,Z BAG= , Z NAC.L TZ GAM= Z GAB + Z BAM= Z CAN+ Z BAM=45 ° = L Z MAN, 證厶 AMN 也厶 AMG(SAS),'二 MN= MG= BM + BG= BM十 NC.證明二：(此證明方法見(jiàn)新觀察培優(yōu)第 27頁(yè)例3)(1)的結(jié)論是否成立 巧青說(shuō)明理由如圖，在(1)的條件下，當(dāng) AM和AN在AB兩側(cè)時(shí),解:不成立，結(jié)論是：MN=CN BM, 證明略.基本模型二120°套 60°2.如圖， ABC 中,CA=CB, /

5、 ACB=120 ° ,E 為 AB 上一點(diǎn)，/ DCE=60 °，/DAE= 120 求證:DE=BE證明：（補(bǔ)短法）延長(zhǎng)EB至點(diǎn)F,使BF=AD,連接。卩則厶CBF CAD , CED CEF,.DE- AD=EF- BF= BE.3如圖, ABC 中,CA=CB, / ACB=120。，點(diǎn) E 為 AB 上一點(diǎn)，/ DCE= / DAE= 60 求證:AD+DE= BE.E F B證明:（截長(zhǎng)法）在BE上截取BF=AD,連接CF,易證 CBFCAD , CED 也 ACEF, DE= EF, AD+DE= BF+EF=BE.比較：新觀察培優(yōu)版 27頁(yè)例4如 圖， AB

6、C是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形， BDC是頂角，/ BDC= 120 °的等腰三角形， 以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交 AB、AC于M、N,連結(jié)MN,試求 AMN的周長(zhǎng). 分析：由于/ MDN=60 °，/BDC=120 ° ,所以/ BDM 十/ CDN=60 ° ,注意到 DB=DC ,考慮運(yùn)用“旋轉(zhuǎn)法”將/ BDM和/ CDN移到一起，尋找全等三角形。 另一方面, AMN的周長(zhǎng)AM+AN +MN= AB+ AC+MN-BM- CN. 猜想MN= BM+CN,證三角形全等解決新觀察培優(yōu)68頁(yè) 例5 如圖， 點(diǎn)A、B(2,0)在x軸上原點(diǎn)

7、兩側(cè)，C在y軸正半軸上，0C平分/ACB.(1) 求A點(diǎn)坐標(biāo)；如圖1, AQ在/ CAB內(nèi)部，P是AQ上一點(diǎn)，滿足ZACB= Z AQB, AP=BQ .試判斷 CPQ的形狀，并予以證明；如圖2. BD丄BC交y軸負(fù)半軸于 D. Z BDO=60 ° , F為線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，E在CB延長(zhǎng)線上， 滿足Z CFD+ Z E=180 ° .當(dāng)F在AC上移動(dòng)時(shí)，結(jié)論：CE+CF值不變；CE- CF值不變，其中 只有一個(gè)正確結(jié)論，請(qǐng)選出正確結(jié)論并求其值分析:(1)由 Z A0C BOC 得 AO= BO=2, A(- 2,0).由 ACP BCQ 得 CP=CQ.由BD丄BC, Z

8、 BDO=60 °，可證得等邊 ABC.由角平分線和 DB_丄BC的條件，運(yùn)用對(duì)稱(chēng)性知 DA丄AC,連結(jié) DA,加上條件Z CFD+ Z E=180 °，可證得厶 ADF BDE,于是 CE+CF=2AC= 2AB= 8.基本模型三4.(1)如圖1，在四邊形 ABCD中， AB=AD, Z B+ Z D=180 ° , E,F分別是 BC,CD上的點(diǎn)，且/1EAF= Z BAD,求證:EF= BE+ DF;2(2) 如圖2,在(1)的條件下，若將 AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E,F分別運(yùn)動(dòng)到BC,CD延長(zhǎng)線上時(shí),則EF,BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系是 EF=BE- D

9、F解:(1)EF=BE+DF,延長(zhǎng) FD 到點(diǎn) G,使 DG=BE,連接 AG,證厶 ABE ADG (SAS), AE = AG,1Z BAE= Z DAG , vZ EAF= Z BAD,2 Z GAF= Z DAG+ Z DAF= Z BAE+ Z DAF= Z BAD- Z EAF= Z EAF, /-Z 'EAF= Z GAF,證厶 AEF 也厶 GAF(SAS),./ EF= FG, v FG=DG+ DF=BE+ DF , EF=BE +DF;(2)EF=BE DF .外地試題：4.探究：如圖，點(diǎn) E、F分別在正方形 ABCD的邊BC、CD上，/ EAF=45 °

10、;，連結(jié) EF，求 證：EF=BE+DF .應(yīng)用：如圖，在四邊形 ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，AB=AD，/ B+ / D=90 °，/1EAF= / BAD，若 EF=3, BE=2，貝U DF=.25通過(guò)類(lèi)比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類(lèi)的目的下面是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ) 充完整.原題：如圖1,點(diǎn)E、F分別在正方形 ABCD的邊BC、CD上，/ EAF=45 °，連接EF,求證：EF=BE+DF .(1 )思路梳理/ AB=AD ,把 ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°至厶ADG，可使AB與AD重合./ ADG= / B=90 ° ,

11、/ FDG= / ADG+ / ADC=180 °，則點(diǎn) F、D、G 共線.根據(jù)，易證 AFG也，從而得EF=BE+DF ;(2 )類(lèi)比引申如圖2,四邊形 ABCD中，AB=AD , / BAD=90 °點(diǎn)E、F分別在邊 BC、CD上，/ EAF=45 ° .若/ B、/ D都不是直角，但當(dāng)/ B與/ D滿足等量關(guān)系時(shí)，仍有EF=BE+DF ,請(qǐng)給出證明；(3 )聯(lián)想拓展如圖 3，在 ABC 中，/ BAC=90 ° , AB=AC，點(diǎn) D、E 均在邊 BC 上，且/ DAE=45 °，猜想 BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并寫(xiě)出推理過(guò)程.7

12、. ( 1)如圖1,在四邊形 ABCD中，AB=AD，/ B= / D=90 ° , E、F分別是邊 BC、CD上的點(diǎn)，1且AE=AF，/ EAF= / BAD .現(xiàn)有三種添加輔助線的方式：延長(zhǎng) EB至G,使BG=BE，連接2AG;延長(zhǎng)FD至G，使DG=BE，連接AG ;過(guò)點(diǎn)A作AG丄EF，垂足為G;選擇其中一種方 法添加輔助線，求證：EF=BE+FD ;1(2) 如圖 2,在四邊形 ABCD 中，AB=AD，若/ B+ / D=180。，/ EAF= / BAD，證明(1)2中結(jié)論是否還成立？(3) 如圖3,在四邊形 ABCD中，AB=AD，/ B+ / ADC=180 °

13、; , E、F分別是邊 BC、CD延長(zhǎng)1線上的點(diǎn)，且/ EAF= / BAD , (1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)2寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.& (1)如圖1,在四邊形 ABCD中，AB=AD，/ B= / D=90 ° , E、F分別是邊 BC、CD上的點(diǎn)，1且/ EAF= / BAD .求證：EF=BE+FD .2(2) 如圖2,在四邊形 ABCD中，AB=AD，/ B+ / D=180 ° , E、F分別是邊 BC、CD上的點(diǎn)，1 一且/ EAF= / BAD , (1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出線段E

14、F、2BE、FD它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.(3) 如圖3,在四邊形 ABCD中，AB=AD，/ B+ / ADC=180 ° , E、F分別是邊 BC、CD延長(zhǎng)1線上的點(diǎn)，且/ EAF= / BAD , (1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)2寫(xiě)出線段EF、BE、FD它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.半角模型問(wèn)題放到平面直角坐標(biāo)系中是什么樣子?1如圖1在平面直角坐標(biāo)系中， AOB為等腰直角三角形，A(4，4)/ FDC+ / DCF=90 ° ,/ ACF= / FDC ,又/ DFC= / AEC=90 ° , DFC CEA (AAS ), EC

15、=DF=4 , FC=AE ,A ( 4, 4), AE=OE=4 , FC=OE ,即 OF+EF=CE+EF , OF=CE , OF=DF, / DOF=45 ° , AOB為等腰直角三角形， / AOB=45 ° , / AOD= / AOB+ / DOF=90 °囲1.區(qū)2圖？(1 )求B點(diǎn)坐標(biāo)；(2) 如圖2,若C為x正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，以 AC為直角邊作等腰直角 ACD，/ ACD=90。，連 接OD，求/ AOD的度數(shù)；(3) 如圖3,過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線交y軸于E, F為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，G在EF的延長(zhǎng)線上，以EG為直角邊作等腰 RtA EGH，過(guò)A作

16、x軸垂線交EH于點(diǎn)M ,連FM，等式AM=FM+OF是 否成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明；若不成立，說(shuō)明理由.解：(1 )如圖所示，作 AE丄OB于E,A (4, 4),OE=4 , AOB為等腰直角三角形，且 AE丄OB, OE=EB=4 , OB=8 ,- B (8, 0 )；(2 )如圖所示，作 AE丄OB于E, DF丄OB 于F, ACD為等腰直角三角形， AC=DC，/ ACD=90 °即/ ACF+ / DCF=90 ° , >"0Eb i0B s(3) AM=FM+OF 成立，理由：如圖所示，在 AM 上截取 AN=OF，連EN .A (4, 4)， A

17、E=OE=4 ,JLlkV4AX又/ AEO=90 °， / AEN+ / OEM=45 ° / NEM=45 ° = / FEM , 又: EM=EM ,又/ EAN= / EOF=90 ° , AN=OF , NEM FEM (SAS), EAN EOF ( SAS )， / OEF= / AEN，EF=EN， 又 EGH為等腰直角三角形, MN=MF , AM-MF=AM-MN=AN , AM-MF=OF ,/ GEH=45 °，即/ OEF+ / OEM=45 ° ,即 AM=FM+OF ;【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形綜合題、全等三

18、角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形性質(zhì)的綜 合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.2.如圖，直線L交x軸、(1 )求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)；(2) C為線段AB上一點(diǎn),y 軸分別于 A、B 兩點(diǎn)，A (a, 0) B (0, b),且(a-b) 2+|b-4|=0C點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3，P是y軸正半軸上一點(diǎn)，且滿足/ OCP=45。，求P點(diǎn)坐標(biāo)；(3 )在(2 )的條件下，過(guò)B作BD丄OC,交OC、OA分別于F、D兩點(diǎn)，E為OA上一點(diǎn)，且/ CEA= / BDO，試判斷線段 OD與AE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.(1 )解：( a-b) 2+|b-4|=0， a

19、-b=0， b-4=0， a=4, b=4, A (4, 0), B ( 0, 4);(2)3.如圖，已知 A (a, b), AB丄y軸于B ,且滿足|a-2|+ ( b-2) 2=0,(1 )求A點(diǎn)坐標(biāo)；(2) 如圖1,分別以AB , AO為邊作等邊三角形 ABC和厶AOD，試判定線段 AC和DC的數(shù) 量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3) 如圖2，過(guò)A作AE丄x軸于E,點(diǎn)F、G分別為線段 OE、AE上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足/ FBG=45 ° : 試探究OF AG的值是否發(fā)生變化？如果不變，求其值；如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.FG2017-2018江漢期中如圖點(diǎn) PABC的外角/ BCD的平分

20、線上一點(diǎn)， PA=PB(1)(2)(3)求證：/ PAC=z PBC作 PEI BC于 E,若 AC=5 BC=11,求 SA PCE SA PBE若M N分別是邊AC BC上的點(diǎn)，且/ MPN=l / APB則線段AM MN BN之間有何數(shù)量關(guān)2系，并說(shuō)明理由.D,解：(1)如圖1,過(guò)點(diǎn)P作PE丄BC于E, PF丄AC于F,DV/ PC 平分/ DCB , PE=PF,在 Rt PAF 和 Rt PEB 中,PF = PEPA = PB, Rt PAFB Rt PEB, / PAC=Z PBC,(2)如圖 2，過(guò)點(diǎn) P作PF丄AC于F ,/ PE丄BC , CP是/ BCD的平分線, PE=

21、PF,Z PCF= / PCE,/ PC=PC, PCFA PCE, CF=CE,由(1)知，Rt PAF也 Rt PEB , AF=BE ,/ AF=AC+CF , BE=BC-CE , AC+CF=BC-CE , 5+CF=11-CE , CE=CF=3,/ PFCA PEC,PFC = S“ PEC ,/ Rt PAFB Rt PEB,-Sa PAF = Sa PEB ,.Sa pce : Sapbe =Sapfc : Sa pfa11=CF X PF:AC X PF22=CF : AC=3 : (3+5) =3: 8;.PM=PQ，/ MPA=QPB ,/ APM+ / QPA= /

22、APQ+ / QPB ,即：/ APB= / MPQ ,/ 1 /MPN= / APB ,21./ MPN= _ / MPQ ,2(3)如圖3,在BC上截取BQ=AM , 在厶PMA和厶PQB中， / MPN= / QPN, 在厶MPN和厶QPC中，PN= PNMPN = QPNMP= QP, MPN QPC, MN=QN , BN=AM+MN .PA= PBPAM= PBQMA= BQ,【點(diǎn)評(píng)】此題是三角形綜合題,主要考查了全 等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線定理和角平 分線的定義，解(1)的關(guān)鍵是判斷出 PE=PF， 解(2)的關(guān)鍵是求出 CE=CF=3，解(3)的關(guān) 鍵是構(gòu)造全等三角形判斷

23、出/APB= / MPQ ,是一道中等難度的中考常考題.2015-2016江岸八上期末 已知在 ABC中，AB=AC ,射線BM、BN在/ ABC內(nèi)部，分別交線段 AC于點(diǎn)G、H .(1) 如圖 1,若/ ABC=60。、/ MBN=30。，作 AE 丄BN 于點(diǎn) D,分別交 BC、BM 于點(diǎn) E、F. 求證：CE=AG ; 若BF=2AF，連接CF，求/ CFE的度數(shù)；(2) 如圖2,點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，AE交BM于點(diǎn)F，連接CF,若/ BFE= / BAC=2 / CFE，直接寫(xiě)出 VABF= VACF【分析】(1)由AB=AC，/ ABC=60 °得到 ABC為等邊三角形，根據(jù)等

24、邊三角形的性質(zhì)得 到/ BAC= / ACB=60 ° , AB=CA，求得/ BFD= / AFG=60 °，推出 / EAC= / GBA 證得 GBA EAC ,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；如圖1，取BF的中點(diǎn)K連接AK ,由BF=2AF ,【解答】 解：(1)T AB=AC , Z ABC=60 ABC為等邊三角形，則 Z BAC= Z ACB=60 ° , AB=CA ,/ AD 丄 BN , Z MBN=30 ° , Z BFD= Z AFG=60 ° , tZ ABF+ Z BAF=60 ° , Z BAF+ Z EAC=60 ° Z EAC= Z GBA 在厶GBA與厶EAC中，Z GBA = Z EACAB = CAZ GAB = Z ECA, GBA EAC , CE=AG ;如圖1，取BF的中點(diǎn)K連接AK ,/ BF=2AF ,方法二：只要證明厶ADB BFC即可解決問(wèn) 題；取BK=AF，連接AK ,1推出 FAK是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/FAK= / FKA，求得