最新201X學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第六章《反比例函數(shù)》全章復(fù)習(xí)與鞏固知識(shí)講解及例題演練（新版）北師大版

1、反比例函數(shù)全章復(fù)習(xí)與鞏固【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1使學(xué)生理解并掌握反比例函數(shù)的概念，能根據(jù)實(shí)際問題中的條件確定反比例函數(shù)的解析式，能判斷一個(gè)給定函數(shù)是否為反比例函數(shù)；2能描點(diǎn)畫出反比例函數(shù)的圖象，會(huì)用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式；3能根據(jù)圖象數(shù)形結(jié)合地分析并掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，能利用這些性質(zhì)分析和解決一些簡單的實(shí)際問題.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、反比例函數(shù)的概念一般地，形如 (為常數(shù)，)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，其中是自變量，是函數(shù)，自變量的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù).要點(diǎn)詮釋：在中，自變量的取值范圍是， ()可以寫成()的形式，也可以寫成的形式.要點(diǎn)二、反比例函數(shù)解析式的確定 反比例函數(shù)解析式的

2、確定方法是待定系數(shù)法.由于反比例函數(shù)中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要知道一對(duì)的對(duì)應(yīng)值或圖象上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出的值，從而確定其解析式.要點(diǎn)三、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限或第二、四象限它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，反比例函數(shù)的圖象與軸、軸都沒有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交要點(diǎn)詮釋：觀察反比例函數(shù)的圖象可得：和的值都不能為0，并且圖象既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸，對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)的圖象是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸為兩條直線；的圖象是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為原點(diǎn)（0，0）；(k0)在同一坐標(biāo)系中

3、的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，也關(guān)于軸對(duì)稱. 注：正比例函數(shù)與反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，兩圖象沒有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，兩圖象必有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱. （1）圖象位置與反比例函數(shù)性質(zhì) 當(dāng)時(shí)，同號(hào)，圖象在第一、三象限，且在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減小；當(dāng)時(shí)，異號(hào)，圖象在第二、四象限，且在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大.（2）若點(diǎn)()在反比例函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)（）也在此圖象上，故反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.（3）正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)比較正比例函數(shù)反比例函數(shù)解析式圖 像直線有兩個(gè)分支組成的曲線（雙曲線）位 置，一、三象限；，二、四象限，一、三象限，二、四象限增減性，隨的增大而增大，隨的增大而減小，在每個(gè)

4、象限，隨的增大而減小，在每個(gè)象限，隨的增大而增大（4）反比例函數(shù)y中的意義過雙曲線(0) 上任意一點(diǎn)作軸、軸的垂線，所得矩形的面積為.過雙曲線(0) 上任意一點(diǎn)作一坐標(biāo)軸的垂線，連接該點(diǎn)和原點(diǎn)，所得三角形的面積為.要點(diǎn)四、應(yīng)用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題須注意以下幾點(diǎn)1反比例函數(shù)在現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在，在應(yīng)用反比例函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí)，要注意將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.2列出函數(shù)關(guān)系式后，要注意自變量的取值范圍.【典型例題】類型一、確定反比例函數(shù)的解析式1、在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y=（x0，k0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（m，n），B（2，1），且n1，過點(diǎn)B作y軸的垂線，垂足為C，若ABC的面積為2，

5、求點(diǎn)A的坐標(biāo)【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圖象和ABC的面積求出n的值，根據(jù)B（2，1），求出反比例函數(shù)的解析式，把n代入解析式求出m即可【答案與解析】解：B（2，1），BC=2，ABC的面積為2，×2×（n1）=2，解得：n=3，B（2，1），k=2，反比例函數(shù)解析式為：，n=3時(shí)，m=，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，3）【總結(jié)升華】本題考查的是反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，用待定系數(shù)法求出k、根據(jù)三角形的面積求出n的值是解題的關(guān)鍵，解答時(shí)，注意數(shù)形結(jié)合思想的準(zhǔn)確運(yùn)用舉一反三：【變式】已知反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)P(2，1)，且當(dāng) 時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)值互為相反數(shù)，求這兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系式.【答案】因

6、為雙曲線經(jīng)過點(diǎn)P(2，1)，所以所以反比例函數(shù)的關(guān)系式為，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由題意知，所以直線經(jīng)過點(diǎn)(2，1)和(1，2)，所以有 解得所以一次函數(shù)解析式為類型二、反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)2、已知反比例函數(shù)(0)的圖象上有兩點(diǎn)A()，B()，且，則的值是( ) A正數(shù) B負(fù)數(shù) C非負(fù)數(shù) D不能確定【思路點(diǎn)撥】一定要確定了A點(diǎn)和B點(diǎn)所在的象限，才能夠判定的值.【答案】D；【解析】分三種情形作圖求解 (1)若，如圖，有，0，即是負(fù)數(shù)； (2)若，如圖，有，0，即是正數(shù)；(3)若，如圖，有，0，即是負(fù)數(shù)所以的值不確定，故選D項(xiàng)【總結(jié)升華】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，比較函數(shù)值的大小時(shí)，要注意相應(yīng)點(diǎn)所在的象限，

7、不能一概而論.舉一反三：【變式】已知，點(diǎn)P（）在反比例函數(shù)的圖象上，則直線不經(jīng)過的象限是（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C；提示：由，點(diǎn)P（）在反比例函數(shù)的圖象上，知反比例函數(shù)經(jīng)過二、四象限，所以，直線經(jīng)過一、二、四象限.3、反比例函數(shù)（a0，a為常數(shù)）和在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點(diǎn)M在的圖象上，MCx軸于點(diǎn)C，交的圖象于點(diǎn)A；MDy軸于點(diǎn)D，交的圖象于點(diǎn)B，當(dāng)點(diǎn)M在的圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下結(jié)論：SODB=SOCA；四邊形OAMB的面積不變；當(dāng)點(diǎn)A是MC的中點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)B是MD的中點(diǎn)其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A0 B1 C2 D3【思路點(diǎn)撥】由反比例系數(shù)的

8、幾何意義可得答案；由四邊形OAMB的面積=矩形OCMD面積（三角形ODB面積+面積三角形OCA），解答可知；連接OM，點(diǎn)A是MC的中點(diǎn)可得OAM和OAC的面積相等，根據(jù)ODM的面積=OCM的面積、ODB與OCA的面積相等解答可得【答案】D【解析】解：由于A、B在同一反比例函數(shù)圖象上，則ODB與OCA的面積相等，都為×2=1，正確；由于矩形OCMD、三角形ODB、三角形OCA為定值，則四邊形MAOB的面積不會(huì)發(fā)生變化，正確；連接OM，點(diǎn)A是MC的中點(diǎn)，則OAM和OAC的面積相等，ODM的面積=OCM的面積=，ODB與OCA的面積相等，OBM與OAM的面積相等，OBD和OBM面積相等，點(diǎn)

9、B一定是MD的中點(diǎn)正確；故選：D【總結(jié)升華】本題考查了反比例函數(shù)y=（k0）中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點(diǎn)引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|，是經(jīng)?？疾榈囊粋€(gè)知識(shí)點(diǎn)；這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義4、反比例函數(shù)與一次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（ ）【答案】C；【解析】一次函數(shù)是經(jīng)過定點(diǎn)（1，0）,排除掉B、D答案；選項(xiàng)A中的符號(hào)自相矛盾，選項(xiàng)C符合要求.【總結(jié)升華】還可以按照0，0分別畫出函數(shù)圖象，看哪一個(gè)選項(xiàng)符合要求.舉一反三：【變式】已知,且則函數(shù)與在同一坐標(biāo)系中的圖象不可能是( ) 【答案】B ；提示：因?yàn)閺腂的圖像上分析，對(duì)于直線來說

10、是，則，對(duì)于反比例函數(shù)來說，所以相互之間是矛盾的，不可能存在這樣的圖形.類型三、反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合5、如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)(0)的圖象與反比例函數(shù)(0)的圖象相交于A、B兩點(diǎn)求：(1)根據(jù)圖象寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)并分別求出反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)根據(jù)圖象寫出：當(dāng)為何值時(shí)，一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值【答案與解析】解：(1)由圖象可知：點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，1) 反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(2，)， 1 反比例函數(shù)的解析式為： 一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，點(diǎn)B(1，1)， 解得： 一次函數(shù)的解析式為 (2)由圖象可知：當(dāng)2或l0時(shí)一次函數(shù)值大于反比例

11、函數(shù)值【總結(jié)升華】一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值從圖象上看就是一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)的圖象上方的部分，這部分圖象的橫坐標(biāo)的范圍為所求.舉一反三：【變式】如圖所示，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P，PA軸于點(diǎn)A，PB軸于點(diǎn)B，一次函數(shù)的圖象分別交軸、軸于點(diǎn)C、點(diǎn)D，且，(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式；(3)根據(jù)圖象寫出當(dāng)取何值時(shí)，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值？【答案】解：(1)由一次函數(shù)可知：D(0，3)(2)設(shè)P(，)，則OA，得由點(diǎn)C在直線上，得，9，DB3b3(3)9，BP由， 6， ，6，36 一次函數(shù)的表達(dá)式為，反比例函數(shù)的表達(dá)式為(3)根據(jù)圖象可知

12、：當(dāng)6時(shí)，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值類型四、反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用6、制作一種產(chǎn)品，需先將材料加熱達(dá)到60后，再進(jìn)行操作，設(shè)該材料溫度為()，從加熱開始計(jì)算的時(shí)間為據(jù)了解，設(shè)該材料加熱時(shí)，溫度與時(shí)間成一次函數(shù)關(guān)系；停止加熱進(jìn)行操作時(shí)，溫度與時(shí)間成反比例關(guān)系(如圖)已知該材料在操作加工前的溫度為15，加熱5min后溫度達(dá)到60(1)分別求出將材料加熱和停止加熱進(jìn)行操作時(shí)，與的函數(shù)關(guān)系式；(2)根據(jù)工藝要求，當(dāng)材料的溫度低于15時(shí)，須停止操作，那么從開始加熱到停止操作，共經(jīng)歷了多少時(shí)間？【思路點(diǎn)撥】（1）首先根據(jù)題意，材料加熱時(shí)，溫度與時(shí)間成一次函數(shù)關(guān)系；停止加熱進(jìn)行操作時(shí)，溫度與時(shí)間成反比例關(guān)系；將題中數(shù)據(jù)代入用待定系數(shù)法可得