巧用“旋轉(zhuǎn)”求解一類幾何最值問題

1、_巧用“旋轉(zhuǎn)”求解一類幾何最值問題【模型1 】如圖，正方形ABCD 的邊長為2 ，在對角線BD 上有一點P ，求當(dāng) PA+PC+PB的值最小時，則這個最小值為多少？【解析】如圖，將 ABP 以點 B 為中心逆時針旋轉(zhuǎn)60 o，得到 EBQ ，連接PQ ，則 BPQ 和 ABE 均為等邊三角形。設(shè)y=PA+PC+PB，則 y=EQ+QP+PC，故當(dāng)點E 、 Q 、 P、C 在同一條直線上時y 最小，即y 的最小值為CE 的長度。過點E 作 EM BC ，交 CB 延長線于點M，易知， EBM=30 o， EM= 2/2 ， BM= 3 ·2/2= 6/2 ； CE 2=（ 2/2 ）

2、2+（ 6/2+ 2 ） 2精品資料_=4+2 3= （ 3+1 ） 2， CE= 3+1 ，即當(dāng)PA+PC+PB的和最小時，最小值為3+1 。通過求解過程我們發(fā)現(xiàn)，點 P 在不在BD 上與結(jié)果并無關(guān)系，可以認為點P 為 ABC內(nèi)部的一點，當(dāng) ABC=90o， BA=BC=2 時， PA+PB+PC的最小值仍然是3+1 。于是我們設(shè)想當(dāng) ABC 為其他特殊角，BA 和 BC 不相等時，PA+PB+PC的最小值可以求得嗎？【模型2 】在 ABC 中， BAC=30o， AB=6 ， AC=8 ，點P 為 ABC內(nèi)一點，連接PA ， PB ， PC ，求 PA+PB+PC的最小值?！窘馕觥咳鐖D，將

3、 ABP 以點 A 為中心逆時針旋轉(zhuǎn)60 o，得到 AB P，連接PP 。則 APP 為等邊三角形。則PA+PC+PB=BP+PP +PC ，故當(dāng)PA+PC+PB最小時，點 B 、 P 、 P、 C 在同一條直線上，即PA+PC+PB的最小值為B C 的長度。易知， B AC=30 o+60 o=90 o， AB =AB=6 ， B C=10 ，即當(dāng)PA+PC+PB的和最小時，最小值為10 。精品資料_【模型3 】在 ABC 中， BAC=60o， AB=2 3 ， AC=4- 3 ，點P 為 ABC內(nèi)一點，連接 PA ， PB ， PC ，求 PA+PB+PC的最小值。【解析】如圖，將 AB

4、P 以點 A 為中心逆時針旋轉(zhuǎn)60 o，得到 AB P，連接PP 。則 APP 為等邊三角形。則PA+PC+PB=BP+PP +PC ，故當(dāng)PA+PC+PB最小時，點 B 、 P 、 P、 C 在同一條直線上，即PA+PB+PC的最小值為B C 的長度。過點 B 作 B D AC ，交 CA 延長線于點D ，易知， B AD=60 o， B D=2 3·3/2=3 ， AD= 3 ； CD=4- 3+ 3=4 ， B C=5 ，即當(dāng)PA+PC+PB的和最小時，最小值為5 。【模型4 】在 ABC 中， BAC=90 o，AB=2 3 ，AC=3 3-3 ，點 P 為 ABC 內(nèi)一點，連接 PA ， PB ， PC ，求 PA+PB+PC的最小值。精品資料_【提示】如下圖，與【模型1 】情況類似，最小值為30 ?！灸Ｐ? 】在 ABC中， ABC=75o， AB=2 2 ， BC=2 ，點P 為 ABC 內(nèi)一點，連接 PA ， PB ， PC ，求 PA+PB+PC的最小值。【提示】 如下圖，通過旋轉(zhuǎn)可知PA+PC+PB的最小值為CD 的長度。 過點 D 作 DM BC ，交 CB