相似三角形及黃金分割

1、學(xué)思達(dá)教育相似三角形2012 年暑期第 20 頁 共 11 頁1、比例的有關(guān)性質(zhì)：acad bcbd(比例基本定理)相似三角形知識點合比性質(zhì)：cca 或cdabcmacmab d n 0 等比性質(zhì)：dnbdnbb b2 a cb是 a,c的比例中項2、黃金分割的定義：ac , 求證: ab d ab證明 : （ 1） a c bdbdc a kb，cd bbdacackbd在線段 AB 上，點 C 把線段 AB 分成兩條線段c kddabcd aa caba kb c kdkbdAC 和 BC，如果ACABccdBC 小線段AC ( 大線段大線段整段AB 被點 C 黃金分割(golden se

2、ction) ,點 C 叫做線段AB 的黃金分割點，AC 與 AB 的比叫做.其中 0.618.ABACBx 1x 251推導(dǎo)黃金比：設(shè) AB=1 ， AC=x， 則 BC=1-x， 所以 x 1 x ， 即 x 1 x， 用配方法解得x= 5 11x20.618特別提示：1、一條線段有2 個黃金分割點，它們關(guān)于原點對稱。2、黃金比并不為黃金分割所專有，只要任兩條線段的比值滿足這一常數(shù)，就稱這兩條線段的比為黃金比。黃金比沒有單位。例：若矩形的兩鄰邊長度的比值約為0.618，這個矩形稱為黃金矩形；若在黃金矩形中截取一個正方形，那么剩余的矩形仍是黃金矩形。3、必須滿足位置和數(shù)量兩個條件，才能判斷一

3、個點是一條線段的黃金分割點。涉及概念：第四比例項比例中項比的前項、后項，比的內(nèi)項、外項黃金分割等。1、 、 相似三角形定義 ：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形。2、 相似三角形的表示 方法：用符號“”表示，讀作“相似于”。3、 相似三角形的相似比 ：相似三角形的對應(yīng)邊的比叫做相似比。4、 相似三角形的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所截成的三角形與原三角形相似。5、 相似三角形的判定 定理：（1）三角形相似的判定方法與全等的判定方法的聯(lián)系列表如下：類型斜三角形直角三角形全等三角形的判定SASSSSAAS（ ASA）HL相似三角形 的判定兩邊對應(yīng)

4、成比例夾角 相等三邊 對應(yīng)成比例兩角 對應(yīng)相 等一條直角邊 與斜邊對應(yīng) 成比例從表中可以看出只要將全等三角形判定定理中的“對應(yīng)邊相等”的條件改為“對應(yīng)邊成比例”就 可得到相似三角形的判定定理，這就是我們數(shù)學(xué)中的用類比的方法，在舊知識的基礎(chǔ)上找出新知識并 從中探究新知識掌握的方法。6、直角三角形相似1 ）直角三角形被斜邊上的高分成兩個直角三角形和原三角形相似。2）如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似。射影定理 ： CD2=AD· BD，AC2=AD· AB，BC2=BD· BA（在直角三角形的計

5、算和證明中有廣泛的應(yīng)用）7、 相似三角形的性質(zhì) 定理：（ 1 ）相似三角形的對應(yīng)角相等。2）相似三角形的對應(yīng)邊成比例。3）相似三角形的對應(yīng)高線的比，對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比。4）相似三角形的周長比等于相似比。5）相似三角形的面積比等于相似比的平方。8、 相似三角形的傳遞性如果ABCA1B1C1，A1B1C1A2B2C2，那么ABC A2B2C2三、注意1 、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一個判定定理，也是后面學(xué)習(xí)的相似三角形的判定定理的基礎(chǔ)，這個定理確定了相似三角形的兩個基本圖形“A”型和“Z”型。ADDEAE在利用定理證明時要注意A 型圖的比例，每個比的前項是同一個

6、三角形的三條ABBC AC邊，而比的后項是另一個三角形的三條對應(yīng)邊，它們的位置不能寫錯，尤其是要防止寫成AD DEAEDB BC EC2、相似三角形的幾種基本圖形A型 Z 型圖為“A”型圖，條件是圖為“X”型圖，條件是DE BC，基本結(jié)論是ED BC，基本結(jié)論是ADE ABC；ADEABC；EAFB3題圖4題圖CD為斜邊上的高，基本結(jié)論是ACDABCCBD。3、三角形相似及比例式或等積式。4、添加輔助平行線是獲得成比例線段和相似三角形的重要途徑。k。5、對比例問題，常用處理方法是將“一份”看著k; 對于等比問題，常用處理辦法是設(shè)“公比”為6、對于復(fù)雜的幾何圖形，采用將部分需要的圖形(或基本圖形

7、)“抽”出來的辦法處理。1. 如圖，已知DE/BC,EF/AB, 則下列比例式中錯誤的是()AD AECEB 、AB ACCF2. 如圖， E是平行四邊形ABCD的邊BC的延長線上的一點，連接AE交 CD于 F, 則圖中共有相似三角形對。3. 三角形ABC中，DE/BC, 且 AD:DB=2:1，那么 DE:BC=。4. 如圖，已知DE/BC,CD 和 BE交于點O,若 BE:BO=5:3，則AD:DB=。5如圖，已知AB/CD,BO:CO=1:4，點 E,F 分別是OC,OD的中點，則EF:AB=。6. 如圖，已知DE/FG/BC, 且 AD:FD=1:2， FG是 DE,BC的比例中項，則

8、DF:BF=7. 梯形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,過 O作 EF平行于底，與腰AD,BC相交于E.F, 若 DC=14， OF=8.AE=12.則 DE=。ED,BE交 AC于 F, 則 =8. 如圖，E 是平行四邊形ABCD的邊AD上的點，AE=9. 若 FD/BC,FB/AC. = ，則 =10. 如圖， E 是 AC的中點，C是 BD的中點，則=10題圖11. 如圖，三角形ABC中，BD是角平分線，過D作 DE/AB 交 BC于點E,AB=8， BE=3，求EC的長12. 如圖，直線L1/L2 ， AF:FB=2:3 ， BC:CD=2:1，求AE： EC= 作輔助線構(gòu)造“A”

9、 “X”型BD AEAF1、如圖，BD AE 1 ，求 AF 。 （試用多種方法解）CD DEBF方法一：方法二：方法三：2、如圖，AD是ABC的中線，E是AD上的一點，且AE=1AD，CE交AB于點F，若AF=1.2cm，求AB的長。33、已知：如圖，梯形ABCD中，ADBC，AC、BD交于O點，過O點的直線EFBC，若AD=9，BC=12。求 EF 的長。O為對角線AC、 BD的交點，過B作 BE CD交 CA延長線于E。5、已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AE=EF=BF， DF、 DB與 CE分別交于G、 H。4、已知：如圖，梯形ABCD中，AD BC，求證：OC2=OA·

10、; OE。AD于 B、 E， AG交 BE、 CD于 F、 G。求 EG GH HC。 鞏固練習(xí)與能力拓展1. 已知：如圖，ACD 中，EB CD交 AC、求證：BFCGEFGD2. 已知：如圖，四邊形ABCD中，B=D=90°，M是AC上一點，MEBC于E，MFAD于F求證：CEAF 1CBAD3.已知：如圖，ABC 中，CDAB 于D，DEBC交AC于E，EFAB于F。求證：AD2 AF ?AB4. 已知：如圖，在ABC中，AD為中線，F(xiàn) 為 AB上一點，CF交 AD于 E求證：AEDE2AFBF5. 已知：如圖，ABCD中，F(xiàn) 是 AB延長線上任一點，連結(jié)DF交 BC于 E點。

11、求證：BCBE=（ AB BF） +12、 已知：如圖，在ABC 中，AD為中線，AB、 AC的長. 相似三角形應(yīng)用A型X型作業(yè)1、 已知：如圖，ABC 中，AE=CE， BC=CD。求證：ED=3EFE 在AB 上，AE=AC，CE交AD于F，EFFC=35，EB=8cm。求3.AD如圖，已知，ABC 中，DE BC， DF AC，求證：DBAEDFDEBF黃金分割1 、如圖，若點P 是 AB 的黃金分割點，則線段AP、 PB、 AB 滿足關(guān)系式 ，即 AP 是 與 的比例中項.2、黃金矩形的寬與長的比大約為（精確到0.001 ） .3、如果線段d 是線段a、 b、 c 的第四比例項，其中a

12、=2 cm,b=4 cm,c=5 cm, 則 d=cm.4、已知O 點是正方形ABCD 的兩條對角線的交點，則AO AB AC=.acac5、若=3 （ b+d 0） ，則=.bdbd321 、已知,那么下列式子成立的是（）xyy2 D.x3c 2a D.bd）D.3 2x2A.3x=2yB.xy=6C.y312、把a(bǔ)b= cd 寫成比例式，不正確的寫法是（）2adad2adA.B.C.c2b2cbcb3、已知線段x,y滿足（ x+y）（x y） =3 1,那么x y 等于（A.3 1B.2 3C.2 1 4、有以下命題如果線段d 是線段 a,b,c 的第四比例項，則有a cbd如果點C 是線

13、段 AB 的中點，那么AC 是 AB 、 BC 的比例中項如果點C 是線段 AB 的黃金分割點，且AC>BC ，那么 AC 是 AB 與 BC 的比例中項如果點C 是線段 AB 的黃金分割點，AC>BC ，且AB=2，則AC= 5 1其中正確的判斷有（）A.1 個B.2 個C.3 個D.4 個5、已知P 為線段 AB 的黃金分割點，且AP< PB，則（）D、 AP2 BP2 AB2A、 AP2 AB PB； B、 AB2 AP PB； C、 PB2 AP AB；4、已知P、 Q是線段 AB 的兩個黃金分割點，且AB 10cm，則PQ 長為（）A、 5（ 5 1）B、 5（ 5

14、 1）C、 10（ 5 2） D、 5（35）已知實數(shù)a,b,c滿足b c c a a b ,求 b c的值 .abc a如圖4 2 2，以長為2 的線段 AB 為邊作正方形ABCD ，取 AB 的中點P，連結(jié)PD，在BA 的延長線上取點F，使PF=PD，以AF 為邊作正方形AMEF ，點 M 在 AD 上。（ 1 ）求 AM 、 DM 的長 .（ 2）求證：AM2=AD · DM.（ 3）根據(jù)（2）的結(jié)論你能找出圖中的黃金分割點嗎？a b c4a 3b 2c3472a 3b 4c五、已知，且 a b c 0，求的值。六、已知點C 是線段 AB 的黃金分割點AC 5 5 5 ，且AC> BC，求線段AB 與 BC 的長。參考答案AP PB21、 （1）ABAP PB AB（ 2） 0.618（ 3）10（ 4）2 12 即 12 2（ 5）32、 （1）D（ 2）B （ 3） C（ 4） Cbc ca ab三、解：設(shè)a b c =k則 b+c=ak,c+a=bk,a+b=ck 2（ a+b+c） =k（ a+b+c）bc當(dāng) a+b+c 0 時，k=2, a =2bc當(dāng) a+b+c=0 時 ,b=（b+c） , a = 1