2020版高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)(全國(guó)理)講義：專(zhuān)題五第三講用空間向量的方法解立體幾何問(wèn)題

1、1第三講用空間向量的方法解立體幾何問(wèn)題向考考點(diǎn)考點(diǎn)解讀利用空間向量證明平行與垂直關(guān)系L建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的知識(shí)證明 平行與垂直2 .考資向展的數(shù)最積與向最垂直的關(guān)系以及建 立空間直角坐標(biāo)系的方法利用空間向量求線線角、線面角、面面角以具體幾何體為命題背景，直接求角或已知角 求相關(guān)量利用空間向量解決探索性問(wèn)題或其他問(wèn)題1 .常借助空間立角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)探求點(diǎn) 的存在問(wèn)題2 .常利用空間向量的關(guān)系，設(shè)某一個(gè)參數(shù)，利 用向量運(yùn)算探究平行、垂直問(wèn)題耳栩考點(diǎn)聚焦把握考點(diǎn)明確方向備考策略本部分內(nèi)容在備考時(shí)應(yīng)注意以卜幾個(gè)方面：(1)加強(qiáng)對(duì)空間向量概念及空間向量運(yùn)算律的理解，掌握空間向量的加、減法

2、，數(shù)乘、 數(shù)量積運(yùn)算等.(2)掌握各種角與向量之間的關(guān)系，并會(huì)應(yīng)用.(3)掌握利用向量法求線線角、線面角、二面角的方法.預(yù)測(cè)2020年命題熱點(diǎn)為：(1)二面角的求法.(2)已知二面角的大小，證明線線、線面平行或垂直.(3)給出線面的位置關(guān)系，探究滿足條件的某點(diǎn)是否存在.知識(shí)整合易錯(cuò)警示(2)知識(shí)整合 土hi shi zheng he *1.向量法求空間角(1)異面直線所成的角：設(shè)，b分別為異面直線d b的方向向最，則兩異面直線所成的角滿足cos6=緇.(2)線面角設(shè)/是斜線/的方向向量，是平面a的法向量，則斜線/與平面a所成的角滿足sin。=蜩(3)二面角如圖(iCD是二面角a-1-fi的兩個(gè)

3、半平面內(nèi)與棱I垂直的直線，則二面角的大小8=萬(wàn)，麗.如圖如i)(iii), /ri, ”2分別是二面角口一/一夕的兩個(gè)半平面a, 一的法向量,則二面角的大小6滿足cos8=cos 儲(chǔ)1，齒或一cosi，”2-(4)點(diǎn)到平面的距離的向量求法如圖，設(shè)為平而。的一條斜線段，為平面a的法向量，則點(diǎn)5到平面a的距離d n=T-2 .利用向量方法證明平行與垂直設(shè)直線/，小的方向向量分別為。=(。1，ci)，b=(6，b?, ci).平面a,夕的法向量 分別為 =(。3，歷，/)，。=(。4，兒，Q).(1)線線平行Imgabh kb-qy - kg, b=kg. ci-=C2.(2)線線垂直7mOa bO

4、a b=0ag+b他2+cic?=0.(3)線面平行l(wèi)/aa “=0m/+ cicy=0(4)線面垂直/an /0a=依。1=而=kb c=kc(5)面面平行a/00fl/=kvOa尸ka、, b尸kg, c、=依+(6)面面垂直a B0H -L0=+ b 邊二+c3c4=03 .模、夾角和距離公式(1)設(shè)。=(41，。2，。3)，b=Si，加),則a =/=/、+碓-|1,/ 八 a bqi/歷+。3公C0S ,i El囪二U孤昆+ &/尻+役+招.(2)距離公式設(shè),4(xi, yi, zi), 3(X2, yiy Z2),則西=d(Xl - X2)2 +。7 -刈5 +(Z1 Z2)2 -

5、Y易錯(cuò)警示力2i cuo jing shi ,1 .在建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，易忽略說(shuō)明或證明建系的條件.2 .忽略異面直線的夾角與方向向量夾角的區(qū)別：兩條異面直線所成的角是銳角或直角， 與它們的方向向量的夾角不一定相等.3 .不能區(qū)分二面角與兩法向量的夾角：求二面角時(shí)，兩法向量的夾角有可能是二面角 的補(bǔ)角，要注意從圖中分析.淤驗(yàn)高考真題,把握規(guī)律一因1. (2018全國(guó)卷I , 18)如圖,四邊形48 為正方形,E,產(chǎn)分別為HD, 5C的中點(diǎn), 以。尸為折痕把。尸C折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)F的位置，且尸尸_L5F.(1)證明：T ffii PEF1- T ifn abfd.(2)求。尸與平面ABFD

6、所成角的正弦值.解析(1)由已知可得，BFPF, BFLEF, PFCEF=F, 所以35_1_平面PEF.又時(shí)U平面.45FD,所以平面尸EF_L平面.45ED.(2)方法一：作PHLEF,垂足為H由(1)得，尸H_L平面.7).以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，市的方向?yàn)閥軸正方向，設(shè)正方形458的邊長(zhǎng)為2,建立如圖所 示的空間直角坐標(biāo)系平.由（1）可得，DEtPE.又Z）尸=2, DE=1,所以尸又尸尸=1, EF=2,枇PE工PF.可得尸H=坐，EH=.則即,0,0）, P（0, 0,乎）,D（1，-1. 0）,而=（1, 1,坐），定=（0, 0,坐）為 平面A5ED的一個(gè)法向量.麗.而 3設(shè)。產(chǎn)與平

7、面.4立）所成角為仇 則sm8= /力IW” =1=#所以QP與平面.1&TO所成角的正弦值為手.方法二：因?yàn)镻FLBF, BF/ED,所以尸F(xiàn)_LE。, 又PFUD, EDCWP=D,所以尸產(chǎn)_1_平面尸ED, 所以PF上PE,設(shè).45=4,見(jiàn)石尸=4, PF=2,所以尸石=2于， 過(guò)?作PH人EF交EF于H點(diǎn)、,由平面PEF平面ABFD,所以尸A_L平面.43FD,連接。H,則/尸即為直線。尸與平面.4ED所成的角，一,23X2 廣由 PE PF=EF PH,所以 PH=t=小,PH因?yàn)槭?4,所以smNPQH=5=+，所以。尸與平面H5FD所成角的正弦值為坐.2.(2018全國(guó)卷II

8、,20)如圖，在三棱錐P-.l5c中,45=50=29.&=PB=PC=.4C=4, O 為,4C 的中點(diǎn).(1)證明：尸O_L平面.15C.(2)若點(diǎn)M在棱3C上，且二面角M-E4-C為30。，求尸。與平面 巴士W所成角的正弦值.解析(1)因?yàn)?止=。尸=.4C=4, O為.4C的中點(diǎn),所以 OP_L,4C,且 0尸=241連接05.因?yàn)?=5。=竽式;所以ZUBC為等腰直角三角形，且O5L4C, OB=XC=2.由 OP? + OB?=PB?知 POLOB.由 OPLO5, OPLAC, OBQ4C=O,知產(chǎn)。，立面.45C.(2)連接OM,如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方的方向?yàn)閤軸正方向，文的

9、方向?yàn)閥軸正方向，市的方向?yàn)閦軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.由已知得 500,0)，5(2,0,0), 4(0, 2,0),。(0,2,0),尸(0,0,25)，切=(0,2,25)，取平面24。的法向量5? = (2,0,0).設(shè) Af(a2a0)(0VW2),貝|上外/=(。4一。,0).設(shè)平面上皿的法向量為=(x, y, z).一 一+2*=0,由 Ap = 0, JAE = 0 得。工+(4叨=0,可取=(小(a4),幣a, a).所以 cos OB . n)2 班(a-4)2yj 3 (a-4下+3 + 標(biāo)由已知得|cos OB ,而1=當(dāng).2小Q4| 二小23 (a-4戶 + 3標(biāo)

10、+a?24 解得。=4(舍去).a=y所以尸(一羋，羊，又記=(0,2, 一26一 J3所以 cos 相交.解析因?yàn)镃C 平面H6C，.4CU平面.45C,所以CGL4C.在平行四邊形山，4CG中，E,產(chǎn)分別是HC, .41cl的中點(diǎn)， 所以E尸CQ,所以ACLEF.在八13。中，H5=3C,左是HC的中點(diǎn)，所以.4C_L3E,又因?yàn)?4C_LF, BE, FU平面 5H尸，BECEF=E,所以,4C_L平面屏E(2)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系E-qw則七(0,0,0), H( 1,0,0), 5(020), c(-1,0,0), J 1( 1,0,2), 51(0,2,2), Ci(1,0,2

11、),HO,0,2), 50,2,1),顯然說(shuō)=(0,2,0)是平面8G的一個(gè)法向量，設(shè)加= (x, y, z)是平面5CZ)的一個(gè)法向量，又?jǐn)?shù)=(- 1, -2,0), 5D=(1, -2,1),x2y=0,所以1. 不妨取y=l,則x=-2, z=4,lx2y+z=0,所以平面BCD的一個(gè)法向量為加=(-2,1,4),cos EB * ni)=EB m而-另寄鼻陰由圖知，二面角5-8-G為鈍角，所以，二面角5-8-0的余弦值為一皆.所以四邊形3Gb是梯形，直線尸G與直線51一定有交點(diǎn),(3)方法一：記CD, EF交點(diǎn)、為I,連接5/, 由(1)及已知，EF/CC, CCIIBB、 所以EFB

12、5i,直線5G與直線廠/共面， 又因?yàn)?5G =夕51 = *工41 =* )，.4 iZY/7,又因?yàn)?/U平面58, FGC平面BCD,所以直線尸G與平面38相交.方法二：反證法.顯然產(chǎn),平面38,假設(shè)尸G 平面5CD,下面推出矛盾.記CD, EF交點(diǎn)、為I,連接班，因?yàn)楫a(chǎn)G平面58,平面58n平面8GEf=3/,所以產(chǎn)G5/,由(1)及已知，EF/CC1. CCBB、所以EFBBi,即方G/7,所以四邊形5GH是平行四邊形，所以BG=FI,而 BG zBB 1 -4D2 故/。05=90。.所以平面H8_L平面ABC.(2)由題設(shè)及(1)知，OH, OB, QD兩兩垂直,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

13、。4的方向?yàn)閤軸正方向，|CU|為單位長(zhǎng)度. 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則,4（1,0,0）, 5（0,巾,0）, C（-1,0,0）, （0,0,1）.由題設(shè)知，四面體.13CE的體積為四面體.458的體積的：，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的看即E為05的中點(diǎn)，得E（0.坐，1）,if1故但（一1,0,1）,力。=（一2。0）,力=（一1,三 5設(shè)=（，y z）是平面niE*的法向量,n .Ib=09n AE=0.-x+z=0,一升監(jiān)+y。,可取W = （l,半，1）./w、4C=0, 設(shè)m是平面zLEC的法向量，則_ m AE=Q.同理可取所=（0, -1,

14、中）,市 / n m Vz 則 cos（，m 一麗所以二面角。一.小一。的余弦值為號(hào).即i熱點(diǎn)突破經(jīng)典例is 提升能力命題方向1利用空間向量證明平行與垂直關(guān)系例1 (2018濟(jì)南二模)如圖，在四棱錐尸一.458中，底面*58, .4。L45, zBOC, JD=OC=z(P=2, ,第=1,點(diǎn) E 為棱 PC 的中點(diǎn).證明：(1)3FDC：(2)5E平面 BLD.(3)平面尸8_L平面RID.解析依題意.以點(diǎn).4為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可得5(100).。(2,2,0).0(020),尸(0,0,2).由 E 為棱尸C 的中點(diǎn)，#(1,1,1).(1)向量能=(0,1,1), 灰=(

15、2,0,0),故庭 歷=0.所以 3ELQC.(2)因?yàn)镠5L1D,又衛(wèi)4，平面.458, A5U平面所以。5_LE4,用AJZ=4所以平面上山,所以向量.為=(1,0,0)為平面R4D的法向量,而運(yùn)益=(0,1,1) (1,0,0)=0,所以方EL4,又BEQ平面曰D.所以3E平面E1D.(3)由(2)知平面E1D的法向量.5=(1,0,0),向量防=(0,2, 2),戌7=(2,0,0),n PD=09設(shè)平面尸CD的法向量為/f=(x, y9 z),貝科 , n DC=Q.epi2y2z=Q.2x=0,不妨令y=l,可得=(04,l)為平面尸8的一個(gè)法向量.且同=(0,1,1) (1,0,

16、0)=0,所以所以平面RLD_L平面PCD.規(guī)律總結(jié)J利用空間向量證明平行與垂直的方法與步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系，建系時(shí)，要盡可能地利用載體中的垂直關(guān)系；(2)建立空間圖形與空間向量之間的關(guān)系，用向量表示出問(wèn)題中所涉及的點(diǎn)、直線、平 面的要素；(3)通過(guò)空間向量的運(yùn)算研究平行、垂直關(guān)系；(4)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果解釋相關(guān)問(wèn)題.跟蹤訓(xùn)練之屋 11 zong xun hail、如圖所示,在底面是矩形的四棱錐尸一W5CZ)中，E4_L底面，58, E,尸分別是PC, 尸。的中點(diǎn)，上4=35=1, BC=2.(1)求證：E尸平面(2)求證：平面上10_平面?。C.證明以.4為原點(diǎn)，.鋁，所在直線分別為x軸

17、，y軸，z軸，建立空間直角 坐標(biāo)系如圖所示，則(0,0,0), 5(100), 0(120)，2X0,2,0),尸(0。1),所以 1,；),尸(0,1, J), F=(-1, 0,0), .IP=(0AD, .W=(0,2,0),皮=(1。0),益=(1,0,0).一. 1 一. 一. 一,(1)因?yàn)樯鲜?一,，所以石尸，聲，即EF,西.又J5U平面E切，EF7平面？4, 所以EF平面RL5.(2)因?yàn)?，力?(0。1) (1。0) = 0,AD DC=(0,2,0) (1,0,0)=0,所以反，ib，虎，即j_qc.又因?yàn)?一口0=1 M尸U平面上4。，.1DU平面EID, 所以QC_L平

18、面240.因?yàn)镼CU平面PQC,所以平面RID_L平面PDC.命題方向2利用空間求量求空間中的角(一)利用空間向量求線線角、線而角例2如圖，六面體ABCDHEFG中,四邊形.48為 菱形，.4E, BF, CG, DH都垂直于平面.458.若ZU=OH=D5 =4, .E=CG=3.(1)求證：EG工DF；(2)求8E與平面EFGH所成角的iH弦值.解析(1)證明：連接.4C，由HE觸CG可知四邊形.4EGC為平行四邊形.所以 EG/4C,而.4C_L5E,所以 EG上BD, EGLBF,因?yàn)锽DCBF=B,所以EG上平面3DHF,又DFU平面BDHF,所以EGLD匠(2)設(shè)HCGAD=O,

19、EGCHF=P,由已知可得：平面平面5CG尸，所以EHFG,同理可得：E產(chǎn)HG,所以四邊形EFGH為平行四邊形，所以?為EG的中點(diǎn)，。為,4。的中點(diǎn)，所以O(shè)P然AE,從而OP,平面.48,又0,4上OB,所以CU, OB, OP兩兩垂直，由平面幾何知識(shí)，得5尸=2.1).如圖，建立空間直角坐標(biāo)系。一產(chǎn)，M 5(0,2,0), EQ4 0,3),萬(wàn)(0,2,2),尸(0,0,3),所以豆=(2立，- 2,3), PE=(2y3, 0,0),而=(0,2, 一設(shè)平面EFGH的法向量為 = (x, y. z).PEn = 0.叫PFn=0.可得x=0, 2y-z=0.令 y=l,則 z=2.設(shè)BE與

20、平面EFGH所成角為8,則$1116=儂或=絆. *7dBE-n(二)利用空間向量求二面角例3如圖，在以,4, B, C, D, E, F為頂點(diǎn)的五面體中，面.13E產(chǎn)為正方形, .1F=2FD, Z.FD=90,且二面角 DAFE 與二面角 CBEF 都是 60.(1)證明：平面口平面EFDC;(2)求二面角E-BC-A的余弦值.解析(1)由已知可得.MD7, .“LEE，所以LL平面EFDC.又.1FU平面.45EE 故平面.4跳戶_1_平面EEDC(2)過(guò)。作。G_LK 垂足為G,由(1)知。G_L平面.15EF以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，才的方向 為x軸正方向，|的為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角

21、坐標(biāo)系G-x*.由(1)知/。尸七為二面角D-dF-E的平面角,故 NDFE=60c,則。尸=2, DG=y3,可得(1,4,0), 5(-3,4,0), (-3,0,0), 0(0,0,小).由已知，所以.45平面EEDC.又平面.45CZ)n 平面 EFDC=CD,板 ABCD、CD/EF由跖.IF,可得5石，平面7匯。，所以NCE戶為二面角C一成一廠的平面角，NCE尸=60。一從而可得C(2,0,小).連接 HC,則正=(1,0,小),麗=(0,4,0)，元=(-3, 4,4)，.石=(-4,0,0).設(shè)/f = (x, y, z)是平面5CE的法向量，則|/f C=0,x+yfiz=0

22、,i 動(dòng)=o.Ly=a所以可取”=(3,o, 一小).設(shè)加是平面,15。的法向量，則，m AC=O.”,15=0,同理可取析=(0,小,4).故二面角E-BC-A的余弦值為微亙.規(guī)律總結(jié)5 .利用空間向量求空間角的一般步驟(1)建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.(2)求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫(xiě)出相關(guān)向量的坐標(biāo).(3)結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算.(4)轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論.6 .利用空間向量求線線角、線面角的思路(1)異面直線所成的角仇可以通過(guò)兩直線的方向向量的夾角口求得，即cos6=|cow|.(2)直線與平面所成的角夕主要通過(guò)直線的方向向量與平面的法向量的夾角(p求得,即 sm=|cos|.7 .利用空間向量求二面

23、角的思路二面角的大小可以利用分別在兩個(gè)半平面內(nèi)與棱垂直的直線的方向向量的夾角(或其補(bǔ) 角)或通過(guò)二面角的兩個(gè)面的法向量的夾角求得，它等于兩個(gè)法向量的夾角或其補(bǔ)角.8 .利用空間向量求點(diǎn)到平面距離的方法如圖，設(shè)H為平面a內(nèi)的一點(diǎn)，5為平面a外的一點(diǎn)，為平面a的法向量，則5到平面a的距離d=嚕G 跟蹤訓(xùn)練 力en zong xuii liaii、如圖，四邊形.458 為正方形，尸DJ平面.158, PD/QA. OA=AB=PD.(1)證明：平面尸0CJ平面。(2)求二面角0一5尸一。的正弦值.解析(1)由題意可得04J_平面.158,所以。.4_L8.由四邊形.158為正方形知DCL),又因?yàn)镼

24、3AD為平面尸94。內(nèi)兩條相交直線， 所以CD_L平面尸D40,所以 8_1_尸0.在直角梯形尸D40中可得尸0=半尸D,所以Pp+D/nPD2.由勾股定理得：PQ工QD.又因?yàn)?,四為平面。C0內(nèi)兩條相交直線，所以尸0_L平面。C2,再由尸0U平面 PQC,可得平面尸？C_L平面。C。(2)如圖，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段。4的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線。4為x軸的正半軸建立空 間直角坐標(biāo)系，依題意有00,1,0), C(0,0,l),尸(020)，5(10,1)，C5=(1,0,0),而=(T,2, -1).設(shè)=(x, z)是平面尸的法向量,x=0.即，x+2yz=0.n CB=。,叫_5 尸=0,可取

25、 =(0, 1, -2).同理求得平面尸3。的法向量m = (l,l,l),m n 0-1-2 所以 cos m, =-=-T故有sm m.Vio =5即二面角0一3尸一。的正弦值為華.命題方向3利用向量解決探索性問(wèn)題例4如圖所示，正方形W41QO與矩形所在平面互相或直，5 = 24。=2,點(diǎn)、E為.48的中點(diǎn),A,(1)求證：DELADx(2)在線段AB上是否存在點(diǎn)A八使二面角D-MC-D的大小為看？并存在, 的長(zhǎng)，若不存在，說(shuō)明理由.解析(1)連結(jié)交.4。于凡:四邊形.LhDD為正方形，.1DiL4iD,正方形W41DO與矩形.158 所在平面互相垂直，交線為.40, .4E_L1D, 平

26、面4。，又ZU平面，丸)1。：AEUiD,又 AD(AE=A，山。，平面.4Z)i又 OiEU 平面.1D1E, ：.ADLDiE.(2)存在滿足條件的點(diǎn)一坐解法一：假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)。作ON_LCM于點(diǎn)N,連結(jié)QN,CM,則 DiNL所以ND1ND為二面角Zh-CAf-。的平面角,所以NQMW，在 RtAZhND 中，DiD=l 所以 DN=小,又在 RtZiONC 中，CD=AB=2,所以 NNDC=, A ZAZC5=7 oo. A .n I3在 RtAMCB 中，BA/=BC tanT=V，.,.W=2-乎.故在線段.45上存在一點(diǎn)M 使得二面角。i-CID 為小 且皿=2一

27、坐解法二：依題意，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，“4、OC、所在直線分別為x軸、y軸、z軸 建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?4=2zLD=2,則。(0,0,0),。(0,2,0),。1(0,0,1)，所以麗 1=(0,0,1), 慶=(0,2, -1).易知應(yīng)1為平面MCZ)的法向量，設(shè) Ml，a,0)(0WaW2), 所以證=(- 1,24,0),設(shè)平面。1A1C的法向量=(x, y, z),n DC=0.所以_ n MC=Q9(x, y, z) (0, 2, 1)=0, 即， 、, 、 , l(x, y, z) (1 2。，0)=0,_ (z=2y9所以彳,、 取y=l,卜=(2一吻，則”=(2。,1,2),

28、又二面角Di-MC-D的大小為士 o訴, 兀 DDvn 所以cost=應(yīng)川山(0, 0,1)(2，1,/)| 4/+ )+2?又因?yàn)?WaW2,所以=2即 32-i2a+ll=0,解得 a=2i*. 近故在線段.15上是存在點(diǎn)M,使二面角Zh-MC。的大小為去 且皿=2一坐規(guī)律總結(jié)利用空間向量求解探索性問(wèn)題的策略(1)假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在(或結(jié)論成立)或暫且認(rèn)可其中的一部分結(jié)論.(2)在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把 “是否存在問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)(或參數(shù))是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等.若由 此推導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè)；否則，給出肯定結(jié)論.跟蹤訓(xùn)練

29、 之Qen zong xuii liaii e(2016北京高考)如圖，在四棱錐尸一.458 中，平面RLD_L平面.458. R4PD, PA-PDy AB-AD, AB 1 AD=2, AC= CZ)=5.(1)求證：?ZL平面E4瓦(2)求宜線尸5與平面尸8所成角的正弦值.(3)在桂衛(wèi)4上是否存在點(diǎn)M,使得皿，平面尸CD?若存在，求若的值；若不存在，說(shuō)明理由.解析因?yàn)槠矫嫫矫?48,交線為.m-4U平面所以平面 R1D.因?yàn)槭珼U平面RI。，所以.45，產(chǎn)D.又因?yàn)樾l(wèi)4_1_尸, PACAB=A, 24, .15U 平面 24,所以尸D_L平面R4B.(2)取AD中點(diǎn)O,連接OP, OC

30、.因?yàn)樯?=尸。，所以O(shè)PL”.又因?yàn)槠矫鍱ID J_平面.48,交線為山，。尸U平面RLD,所以O(shè)P_L平面H5CD.又因?yàn)?4C=CD,所以O(shè)C_L.4O.因?yàn)?5L山,所以O(shè)C/.1B且0c=215.如圖，分別以O(shè)C, OA, O尸所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.尸(0,0,1),5(1,1,0), C(2,0,0), D(0, -1,0).-1),0(2,0, 1)，和(0，1, -1).設(shè)平面尸CD的法向量為=(x, y, z),(n PC = 2.r - z = 0,則 _ n - PI) = - y - z =().所以 z=2x, y=2x.令 x=l 得， =

31、(1, -2,2)./由“ PR 1-2-2 萬(wàn)(、, =-=；=-=PH In I &x33所以直線尸3與平面尸CD所成角的正弦值為坐.(3)方法一：過(guò)5作踮40,交。于H,交CD于E.因?yàn)?OC,5 且 OC=2J5,所以 OHAB, OH=AB, BH=AO所以H為。C的中點(diǎn).所以EH處 EH=goD.所以 BE-.4D 且 BE/.1D.在PD, R1上分別取點(diǎn)產(chǎn)，財(cái).使得尸尸=（尸。，RM=：E4,則V皿沁.所以 FAf5E, FM=BE.所以四邊形班EM為平行四邊形.所以BM/EF.又因?yàn)槠矫媸?, EFU平面尸8,所以5M平面PCD.因此，在棱E4上存在點(diǎn)M 使得反U平面尸CD,

32、且筆=1.八/方法二：假設(shè)存在M點(diǎn)使得5W面尸8,設(shè)r=），力/（0, 了，z）,由(2)知 *(0,0),尸(0,0)，=(0,5(1, 1,0), Am(0. / 一1, z),有益=zJ=M0J一九 i)，所以5V=(-1,一入,z).因?yàn)?AE面尸8, 為面尸8 的法向量，所以的=0,即- 1+2A+2A=0.所以綜上，存在“點(diǎn)，即當(dāng)啜=1時(shí)，可點(diǎn)即為所求.!課后強(qiáng)化訓(xùn)練I Kl HOU O1AAIO HUA XM LUN1.在正方體458一力51。1。1中，E是GD1的中點(diǎn)，則異面直線OE與.4C所成角的余弦值為(B )B.Sic=3 + 5-2z=0,所以z=4,又5尸，平面.43

33、C,所以的.歸=、-1 + 5)，+6=0,由得=竽y= -y.3.已知正方體ABCD-ABCD,卜列命題：（入1 +.詬i +.而）2 = 3五方，,祀 百6一期） = 0,向最國(guó)與向最幣的夾角為60。，正方體“58,4i5iGDi的體枳為|萬(wàn)而歸其中正確命題的序號(hào)是（B ）A. B. C. 解析如圖所示:以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)9以向量次，比，歷1所在直線分別為X軸, J，軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長(zhǎng)為1,則以0,0,0）, 4（1,0。, 5（1,1,0）, C（0,l,0）, .41（1,0,1）. 51（1,1,1）, Ci（0,l,l） 2）1（0,0,D.對(duì)于：氧= （0,0,

34、1）,而=（一1。0）,麗=(0,1,0),所以工3+J1方+五擊=（一1,1, 一1），（不+.詬1+五6）2 = 3,而屈】2=1,所以（小+.詬1 +三囪）2 = 3.而2所以正確；對(duì)于：布一 1）, Ju =（0,0, 一1）京= （0,1,0）,所以布（,血一命）=0.所以正確；對(duì)于：,40=(-1,0,1),-4歸=(0,1, -1), .4LDi Ji5 = -L cos =:匕 =再，=一：，所以1萬(wàn)與萬(wàn)的夾角為120。，所以不正確;對(duì)于：因?yàn)槿f(wàn)瓦1=0,所以錯(cuò)誤.故選B.4. （2018?？谝荒＃┤鐖D，4是OO的直徑,24垂直于。所在 平面，點(diǎn)。是圓周上不同于 5兩點(diǎn)的任意一

35、點(diǎn)，且,45=2, PA = BC=小,則二面角.4一3c一尸的大小為（C ）A. 30B. 45C. 60D. 90解析因?yàn)?45是。的直徑，24垂直于。所在平面，點(diǎn)。 是圓周上不同于.4, #兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)，且-15=2, R4=BC=事,以點(diǎn)a為原點(diǎn)，在平面,15。內(nèi)過(guò)點(diǎn).4作,4。的垂線為x軸，4C為y軸，,IP為z軸, 建立空間直角坐標(biāo)系，尸(0,0, 6 B阪 1,0), C(0,l,0),麗=樞 1, 一小),PC =(0,1, 一小),設(shè)平面尸5c的法向量 = (x. y. z).則，n PB=y/3xyy/3z=09 PC=y/ z=0.取 z=l,得 =(0,小,1).平面

36、.45C的法向量m=(0,0,1),設(shè)二面角.4BC一尸的平面角為8,則38=鼎H，所以夕=6。.所以二面角工一5。一尸的大小為605 .在底面是宜角梯形的四棱錐中，NJ5c=90。,.山5。, S.U平面M5CD,SA=AB=BC=1. .10=,則平面SCO與平面S.15所成銳二面角的余弦值是坐.解析如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則依題意可知。4，0,0),f1C(1,LO), S(0,0,l),可知,S=(3, 0,0)是平面 S15 的一個(gè)法向量.設(shè)平面SCD的法向理=(x, y9 z)9因?yàn)闅v=, 0, -1), DC=(1, 1,0).所以豆)=0, w 5c=0,可推出彳一z=0,

37、 g+y=O,令 x=2,則有y= 1, z=l,所以 =(2, -1,1).設(shè)平面SCD與平面SAB所成的銳二面角為仇則 cos6=心92 + 0X(一1)+0Xl 二枳 西倒 、唇，22+(-1)2+236 .已知正三棱柱.13CXi5Ci的各條枝長(zhǎng)都相等，M是側(cè)棱CCi的中點(diǎn)，則異面直線 .451和應(yīng)以所成的角的大小是找.解析延長(zhǎng)川歷至。，使.4閉=3。，連接50, CiD, DM,則.45i3O, /MBD 就是直線以和及M所成的角.所以 cos/DBM= -2 BM BD =設(shè)三棱柱的各條棱長(zhǎng)為2,則5Af=#,50=20, CD2=AiD2 +JiCi-Z4iD JiCiCOs60

38、=16+4-2X4=122) = CiD2 + CiA/2=13,所以 NQElf=90。.7 .點(diǎn)尸是二面角。一.”一棱上的一點(diǎn)，分別在平面原夕上引射線PM, PN,如果N BPM=NBPN=45。, NMPN=60。,那么二面角仁一.15一夕的大小為繆.解析不妨設(shè)PAf=，PN=b,如圖.作 A/EL步于點(diǎn) R NFL4B 于點(diǎn) F,因?yàn)镹EEM= NEFN=45。, 所以尸石=。，尸尸=6所以血血=向，一函(前一的=丙1的 一用/崩一走兩 + 走樂(lè)=abcos600 - a X 號(hào)6cos45。一噂abcos45。+號(hào)a X乙乙乙ab ab ab ab=2-2-T+T=0所以向無(wú)，所以二

39、面角a-AB-p的大小為90.8 .如圖，正方形.438 和四邊形MCEF所在平面互相垂克，CELAC. EF/AC. AB =衣，CE=EF=1.(1)求證：.IF平面也圻求證：B_L平面也M：(3)求二面角A-BE-D的大小.解析(1)設(shè)與5。交于點(diǎn)G,因?yàn)镋尸HG,且七產(chǎn)=1,XG=14C=1,所以四邊形.4GE產(chǎn)為平行四邊形.所以WFEG 乙因?yàn)镋GU平面平面所以平面5DE(2)因?yàn)檎叫?15。和四邊形.4CE尸所在的平面互相垂直.且CEL4C,所以CE,平面CD.如圖以。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系 C-xyz.9A C(0,0,0),奈(小,中, 0), D/ 0,0), E(0,

40、0J)，5(0,耳,。)，半，1),所以#=(坐，坐,1), 5E=(0, 一 1),及：=(一也,0,1).所以次配=0-1 + 1=0,。戶以=-1+0+1=0.所以。尸_155，CFLDE.所以 CF1.平面 5DE又；BECDE=E. BE. DEU 平面 BDE.(3)由(2)知，#=(乎，孚，1)是平面5。石的一個(gè)法向量，設(shè)平面，3E的法向量 = (x, y9 z)9則區(qū)4=0, n BE=0.f(x9 y9 z)(巾,0, 0)=0(x9 y9 z) (0,值 1)=0所以x=0,2=艱匕令y=l,則z=W.所以/! = (0，也)，從而 cos (w, CF) = = 2I“際

41、一因?yàn)槎娼?一班一。為銳角, 所以二面角ABED為O9.(2018 天津卷，17)如圖，.5萬(wàn)C 且.4D=Z5C,EG/且 EG=.4D, CDFG 旦 CD=2FG, OG_L平面.458, DA=DC=DG =2.(1)若A為CF的中點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)，求證：AV平面CDE(2)求二面角E-BC-F的正弦值.(3)若點(diǎn)尸在線段0G上，且直線8尸與平面ADGE所成的角為60。，求線段。尸的長(zhǎng).解析依題意，可以建立以D為原點(diǎn)，分別以應(yīng)，DC,比的方向?yàn)閤軸，y軸，z 軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可得正(0,0,0), ,4(2,0,0), 5(1,2,0), 0(0,2,0), (

42、2,0,2), 廠(0,1,2), G(0,0,2),m0, |, 1), Ml,0,2). 。=0.(1)依題意比=(0,2,0),應(yīng)：=(2,0,2).設(shè)o=(x,y,z)為平面CQE的法向量，則1與 = (2y=0,即彳,不妨令z= - l,可得0=(1,0, 1).l2x+2z=0,又加=(1,1),可得而“0=0,又因?yàn)橹本€平面CQE,所以MN平面 8E(2)依題意，可得說(shuō)=(-1,0,0),防=(1, -2,2), CF=(0, -1,2).n KC=0,.丫1 0設(shè)/f=Cn,川，Z1)為平面5CE的法向量.則8二0即 一不妨lxi-2yi4-2zi=0,令zi=l,可得 =(0

43、,1,1).|/i * 麗=0.設(shè)/W =(X2,歹2, Z2)為平面5c尸的法向量，則|萬(wàn)o.即! X I 不妨令Z2=l，可得加=(0,2,1).Lj，2 + 2Z2 = 0，因此有cos (m,加俱，于是 sin tn. n) =所以，二面角E-5C-F的正弦值為曙.(3)設(shè)線段OP的長(zhǎng)為力(力0,2),則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,0,4)，可得加=(1, 2, h).易知，虎=(0,2,0)為平面GE的一個(gè)法向最，故1斯 一CI|CS(旄慶)尸 瑞由翹意，可得訴由=$11160。=坐，解得力=乎0,2.所以線段。尸的長(zhǎng)為當(dāng).B組1. （2018濟(jì)寧一模）如圖，在四棱錐尸一.458 中，底面.4

44、58 是菱形，Z.DC=60, 側(cè)面尸DC是正三角形，平面尸DC_L平面JBCD, 8=2, M為尸5的中點(diǎn).（1）求證：E4_L平面CQAf（2）求二面角D-MC-B的余弦值.解析（1）取。中點(diǎn)O,連接尸O,因?yàn)閭?cè)面FDC是正三角形，平面尸。CJ平面.43CD, 所以尸OJ_底面.458,因?yàn)榈酌?158 為菱形，且乙山C=60。，DC=2,所以00=1, OA1DC,以。為原點(diǎn)，分別以。4, OC, O尸所在直線為戈軸，歹軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則 d（小,0,0）,尸（0,0,?。?B（小,2,0）, C（0,l,0）,。（0, -1,0）,所以 M（坐凈，所以血=聲,2,坐），邑

45、=瓜0, f）, 5b =（0,2,0）,所以為血=0, Ri DC=0,所以 R4LDM, PALDC.又 ZMnzC=O,所以 平面 CZXM（2）CAf=（軍，0,乎），C5=（V3, 1,0）,設(shè)平面 3M7 的一個(gè)法向量=（x, y, z）, d51=x+z=0,叫_”昂=/x+y=0,取z=i,得=（-i,1）,由（1）知平面cam的法向量為百=（/，o, 一/）,所以cos小 眉=上旦=廣嗎=一續(xù) 由圖象得二面角。一兒幻一3是鈍角，所以二同.兩小文木 5面角D-AfC-B的余弦值為一率2. （2017天津卷，17）如圖,在三棱錐。一,天。中,E4J_底面.4。，NBAC=90。點(diǎn)

46、D, E, N分別為棱Pl, PC, 5c的中點(diǎn)，可是線段的中點(diǎn)，R4=AC=4. AB=2.(1)求證：AW平面3DE(2)求二面角C-EAf-N的正弦值；(3)已知點(diǎn)在棱PA上,且直線NH與直線BE所成角的余弦值為g 求線段.4H的長(zhǎng).解析如圖，以.4為原點(diǎn)，分別以百，.無(wú)一亦的方向?yàn)閤軸、 y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得-4(0,0,0). 5(2,0。)，0(0,4,0),尸(0,0,4), 0(0,0,2),以02,2), M0,0,1), Ml,2,0).(1)證明：丸=(0,2,0)，歷=(2,0, -2).設(shè)=(X，y. z)為平面5DE的一個(gè)法向量,.n D

47、E=09f2y=0,則即Ka Al2x-2z=0.tn DB=0.i不妨設(shè)z=l,可得”=(1,0,1)，又血 =(1,2, 1),可得而 = 0.因?yàn)槠矫嫠訟W平面(2)易知/n=(l,0,0)為平面CEM的一個(gè)法向量.niEAf=09設(shè)2=(xi，y. zD為平面的一個(gè)法向量，則j.l2MV=0.因?yàn)閃=(0, 2, 1), AW=(1,2, 1)，所以-2yi-Zi=0,Xi+2yi-zi=0.不妨設(shè)歹1 = 1,可得“2=(一4, 2).因此有COS(m，“2=氤內(nèi)一而，于是sin制，松=野.所以二面角C一MN的正弦值為恒21(3)依題意，設(shè),田=(0W0W4),則 H(0,0, /

48、?),進(jìn)而可得而=(-1, -2,力)，BE=(- 2,2,2).由已知得, - - 一 NH-BE |2分一 2| Ji|cos(NH, BE) |=-L=-j=trNHBE V?2+ 5X2V3 21整理得10-一 21力+ 8=0,解得力=5或力=3.所以線段田的長(zhǎng)為己或；.3.正.15C的邊長(zhǎng)為2, CD是AB邊上的高,H、尸分別是TC和BC的中點(diǎn)(如圖(1).現(xiàn) 將ZU5c沿CD翻成直二面角M一萬(wàn)。一5(如圖(2).在圖(2)中：求證：.13平面QE產(chǎn)：(2)在線段5ck.是否存在一點(diǎn)尸，使證明你的結(jié)論：(3)求二面角E-DF-C的余弦值.解析(1)如圖(2)：在人4。中，由尸分別是

49、5c的中點(diǎn)，所以EF4B,又ABG平面DEF, EFU平面OE尸，步平面。石廠.(2)以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線2?b、DC、U分別為X軸、y軸、Z軸，建立空間直角 坐標(biāo)系.則乎,I), F(1,坐,H(0,0,l), 5(1,0,0), C(0,5,0), E(0,-1), BC=(-1, 8 0), DE=(0,坐,設(shè)而=/疣(01)，則=宓+=(1一九 /九 一1)，注意到.iPLDE BBl上BC, CQ，5c 得萬(wàn)iG=木，由.15=5C=2,乙4。=120。得.4。=2審，由 CGL4C,得.4。1=行，所以.151+3iC?=.4d,故 A5i_L5iCi,又 #5in5Ci = Bi,所以.43i_L平面 H15C1.(H)如圖,過(guò)點(diǎn)G作C1DL4151,交直線451于