類(lèi)比推理在等差數(shù)列與等比數(shù)列之間

1、類(lèi)比推理在等差數(shù)列與等比數(shù) 列之間作者:日期:類(lèi)比推理，在等差數(shù)列與等比數(shù)列之間戴又發(fā)由兩類(lèi)對(duì)象具有某些類(lèi)似特征和其中一類(lèi)對(duì)象的某些已知特征，推出另一類(lèi)對(duì)象也具有這些特征的推理稱(chēng)為類(lèi)比推理（簡(jiǎn)稱(chēng)類(lèi)比 ）.類(lèi)比推理具有探索、發(fā)現(xiàn) 的功能，通過(guò)類(lèi)比可以提出新的問(wèn)題和作出新的發(fā)現(xiàn)。能否廣泛而恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用好 類(lèi)比推理方法，是衡量一個(gè)人創(chuàng)造性思維能力的重要標(biāo)志之一。開(kāi)普勒說(shuō) ：“我珍 視類(lèi)比勝過(guò)任何別的東西，它是我最可信賴的老師 ，它能揭示自然界的秘密?！毕旅嫦瓤疾斓炔顢?shù)列與等比數(shù)列中的類(lèi)比對(duì)象， 然后以試題的形式給出相應(yīng) 的結(jié)論。一.等差數(shù)列與等比數(shù)列中的類(lèi)比對(duì)象1 .考察等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義等差數(shù)

2、列：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè) 常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差.等比數(shù)列：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè) 常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比.等差數(shù)列中的m差"與等比數(shù)列中的"比"為類(lèi)比對(duì)象.2 .考察數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)之間關(guān)系相與項(xiàng)之間關(guān)系等差數(shù)列等比數(shù)列相鄰兩項(xiàng)關(guān)系an 1 an dan 1an q首末兩項(xiàng)關(guān)系an a1 (n 1)dn 1ana q任忠兩項(xiàng)關(guān)系an am (n m)dn manam q3.考察數(shù)列若干項(xiàng)的和與積若a,b,c成等差數(shù)列，則a

3、 c 2b;若a,b,c成等比數(shù)列，則a c b2;設(shè) m,n, p, q均為正整數(shù)，且 m n p q,則對(duì)于等差數(shù)列an ,有am an ap aq;對(duì)于等比數(shù)列an ,有am an ap aq；對(duì)于等差數(shù)列an ,前n項(xiàng)和為 ai n a-an ;i i2nn對(duì)于等比數(shù)列an ,前n項(xiàng)積為a (ai an)2;i 1在等差數(shù)列與等比數(shù)列之間，只要明確了類(lèi)比元素和類(lèi)比運(yùn)算，就能運(yùn)用類(lèi)比 推理方法得到新的結(jié)論.由以上考察可以得到：等差數(shù)列中的公差d與等比數(shù)列中的公比q互為類(lèi)比元素.等差數(shù)列中的m (P與等比數(shù)列中的“?；轭?lèi)比元素.等差數(shù)列中的加、減、乘、除分別與等比數(shù)列中的乘、除、乘方、開(kāi)

4、方互為 類(lèi)比運(yùn)算.二.等差數(shù)列與等比數(shù)列中的類(lèi)比結(jié)論例1 .在等差數(shù)列an中，設(shè)m,n,k均為正整數(shù)，則(m n)ak (n k)am (k m)an 0,試運(yùn)用類(lèi)比推理寫(xiě)出等比數(shù)列 bn中的相應(yīng)結(jié)論，并予證明.【解析】應(yīng)用類(lèi)比推理，得等比數(shù)列bn中，設(shè)m,n,k均為正整數(shù)，則bm n bm； k b： m 1 .證明如下：設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q,則bm bk qmk,bn bk qnk,于是有 bm n b”卜 bk由 bm “ b”卜 bk由 q（m" ""由）b0 q0 1 .可以類(lèi)比這里的證明方法，證明等差數(shù)列中的結(jié)論.例2 .若an為等差數(shù)列，則通項(xiàng)為

5、0a1 a2 n生的數(shù)列bn也成等差數(shù)列.類(lèi)比這一命題得，若 an為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，則通項(xiàng)為bn的數(shù)列bn也成等比數(shù)列.1【解析】應(yīng)填寫(xiě)（a1 a2 JU an尸.事實(shí)上，設(shè)等比數(shù)列an1由 bn(a1 a2 an)n，得 bna1 a2 an于是當(dāng)n 2時(shí),有弟bn 1al a2anan 1an即華之bn ibn i因?yàn)榈缺葦?shù)列an(a1 a2 | an 1)n 1an的各項(xiàng)均為正數(shù),n 1a1 q(n 1)(n 2)11 q尸nq2.所以反 bn i1qW為常數(shù)，即數(shù)列bn也成等比數(shù)列.S12S8,S16S12 成，貝, 一,$T12例3 .設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn ,則S4

6、 , S8S4等差數(shù)列.類(lèi)比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)積為T(mén)n 成等比數(shù)列.【解析】運(yùn)用類(lèi)比推理，應(yīng)填 區(qū),T2. T4 T8事實(shí)上，設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q,因?yàn)?丁8bib2b3b4b5b6b7bsbib2b3b4bq4b2q4b3q4b4q42 _ 16T 816T4 q ,所以一T4 qT4同理 T2 T4 q16,上 T4 q16, TsT12所以T4,T8, T2,壓成等比數(shù)列. T4Ts 工2例4.在等差數(shù)列a中，若隊(duì)0,則有a a? an a a? n(n 19,n N )類(lèi)比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列bn中，若a9 1,則有【解析】(這是2 0 10年上海高考試題)應(yīng)填寫(xiě)

7、b1b2|"bn b1 b2111bl7 n(n 17, n N ).事實(shí)上，若 a9 1，得 bn 1 bn 2 11 |b17 n 1 ,所以b1 b2 |bn bi b2|bi7 n(n 17, n N ).此結(jié)論可推廣為在等差數(shù)列an中，若 a a2 HI an a a2 am(n m),則有a1(nm1) 0 或 a1 a2 HI anm 1在等比數(shù)列bn中，若2包|其 aa2111am(n m),則有.nm1) 1 或 alMlanm 1 .例5.若數(shù)列an ,bn是兩個(gè)等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,則有12口aT2n ibn是運(yùn)用類(lèi)比推理，得出兩等比數(shù)列an ,

8、 4中的類(lèi)似性質(zhì)，并予證明.【解析】運(yùn)用類(lèi)比推理，猜想：若兩個(gè)等比數(shù)列an , bn的各項(xiàng)均為正數(shù),2n i且前項(xiàng)積分別為Xn,Yn,則這里我們先看看等差數(shù)列中結(jié)論的推導(dǎo)過(guò)程，然后運(yùn)用類(lèi)比推理尋找正確等比數(shù)列中的結(jié)論.在等差數(shù)列an , bn中，4T 2n i2(ai a2n i) n2(b b2n i) nabn在等比數(shù)列an ,bn中,4Y2niai a2a2n ibi b2b2n i當(dāng)數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)時(shí)，aia2111a2nia2n i,b1b2)| b2n ib2n i所以Y2n i2n ianbn例6 .證明:若an是公差為d的等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為&,則(m n)Sn m

9、(m n)(Sm Sn).運(yùn)用類(lèi)比推理，寫(xiě)出等比數(shù)列中的相應(yīng)結(jié)論.【解析】在等差數(shù)列 an中，Sn nan(n i)m(m i)d , Sm mal2 d，所以SmSn(m n)ai(m n)(m n i)dm n i .(m n)(a 2d),又Sn m(mn)ai(n m)(n m i)d (mn m i n)(d 2d),所以SmSn卜面運(yùn)用類(lèi)比推理，在公比為q的等比數(shù)列an中，前n項(xiàng)積為天,則 Tna；n(n i)2mq 2 ,Tmaim(m i)q ，所以TmTn(m n)(m n i) m n2a q 2(n m)(n m 1)又 Tn maim n q 2(ai q(n m)(n

10、 m i)所以,Tnmamn q 2一(ain m im n,n m i-2、m nq 2 )m nTm、m nTn m () T n所以，在公比為q的等比數(shù)列an中，前n項(xiàng)積為T(mén)n,則Tn*(上)mn例7.證明:若ai,a2,a3,|,an,an i是公差為d的等差數(shù)列(2 n N ),則C0ai C%2C：a3 C3a4 ( i)n iCn ian(i)nC；ani 0.運(yùn)用類(lèi)比推理方法,寫(xiě)出等比數(shù)列中的相應(yīng)結(jié)論.【解析】由 C0ai C：a2C2a3 C3%| (dn(i)nCnnaniCnai C：(a d) C2(ai 2d) C3® 3d)W ( 1)nC；ai (n 1

11、)dCn0 C： Cn C3 III ( i)nC；ai Cn 2C2 3C3 ( i)nnC：d在恒等式(i x)n C：C：x C；x2 C；x3III Cnxn中，令 x0 i 23CnCnCnCnn n(i)Cn 0,對(duì)恒等式(i x)n C：C：x C2x2 C；x3HI Cnxn兩邊求導(dǎo)，有n(i x)ni Cn 2C；x3C3x2 IK nC：xnCi 2C： 3C3 (1)n1nC； 0,所以 C0ai C%2 C：a3 C3a4 ( i)n iCn ian( DnC；% i 0.運(yùn)用類(lèi)比推理方法，可得等比數(shù)列中的相應(yīng)結(jié)論為：若ai,a2,a3,|",an,an i是公比為q的等比數(shù)列（2 n N ）,則aC0a C C3 C3111q（1）n1Cn 1q