輔導(dǎo)講義：二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

1、課題二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)教學(xué)內(nèi)容即此一、二次函數(shù)概念：21 .二次函數(shù)的概念：一般地，形如 y ax bx c （ a, b, c是常數(shù)，a 0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)a 0,而b, c可以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù).22.二次函數(shù)y ax bx c的結(jié)構(gòu)特征： 等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2.a,b,c是常數(shù)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).二、二次函數(shù)的基本形式1. 二次函數(shù)基本形式： y ax2的性質(zhì)：a的絕對(duì)值越大，拋物線的開口越小。a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a 0向上0, 0y軸x 0

2、時(shí)，y隨x的增大而增大；x 0時(shí)，y隨x的增大而減?。粁 0時(shí)，y有最小值0.a 0問卜0, 0y軸x 0時(shí)，y隨x的增大而減小；x 0時(shí)，y隨x的增大而增大；x 0時(shí)，y有最大值0.22. y ax c的性質(zhì):上加下減。a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a 0向上0, cy軸x 0時(shí)，y隨x的增大而增大；x 0時(shí)，y隨x的增大而減??；x 0時(shí)，y有最小值c .a 0問卜0, cy軸x 0時(shí)，y隨x的增大而減?。粁 0時(shí)，y隨x的增大而增大；x 0時(shí)，y有最大值c .2 ， 一3. y a x h的性質(zhì):左加右減。a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a 0向上h, 0X=hx h時(shí)，y隨x的增大

3、而增大；x h時(shí)，y隨x的增大而減小；x h時(shí)，y有最小值0.a 0問卜h, 0X=hx h時(shí)，y隨x的增大而減??；x h時(shí)，y隨x的增大而增大；x h時(shí)，y有最大值0.2，一4. y a x hk的性質(zhì):a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a 0向上h, kX=hx h時(shí)，y隨x的增大而增大；x h時(shí)，y隨x的增大而減小；x h時(shí)，y有最小值k .a 0問卜h, kX=hx h時(shí)，y隨x的增大而減?。粁 h時(shí)，y隨x的增大而增大；x h時(shí)，y有最大值k .三、二次函數(shù)圖象的平移1 .平移步驟：2萬法一： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式 y a x h k ,確定其頂點(diǎn)坐標(biāo) h, k ;保持拋物線y

4、 ax2的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到h, k處，具體平移方法如下：y=ax2* y=ax 2+ k向上（k>0）【或向下（k<0）】平移|k|個(gè)單位向上（k>0）【或下（k<0）】平移|k|個(gè)單位向上（k>0）【或下（k<0）】平移|k|個(gè)單位向右（h>0）【或左（h<0）】平移|k|個(gè)單位向右（h>0）【或左（h<0）】平移|k|個(gè)單位向右（h>0）或左（h<0）】平移|k|個(gè)單位y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k2 .平移規(guī)律方法一： 在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上 h值正右移，負(fù)左移；k值正上移，負(fù)下移概括成八個(gè)字“左加右減

5、，上加下減”.方法二：22y ax bx c沿y軸平移：向上(下)平移 m個(gè)單位，y ax bx c變成yax有最小值4ac b 4abx c m (或y ax2 bx cm)y ax2 bx c沿軸平移：向左(右)平移 m個(gè)單位，y ax2 bx c變成ya(xm)2 b(x m)c (或y a(xm)2b(x m) c)四、二次函數(shù)y a x h 2 k與y ax2 bx c的比較2.2從解析式上看，y a x h k與yaxbx c是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過配方可以得.22, 2到前者，即y a x 2竺cb_,其中h_b_, k"c b.2a 4a2a 4a五、二次函數(shù)y

6、 ax2 bx c圖象的畫法五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)y ax2 bx c化為頂點(diǎn)式y(tǒng) a(x h)2 k ,確定其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與y軸的交點(diǎn)0, c、以及0, c關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)2h, c、與x軸的交點(diǎn)x1 , 0 ,x2, 0 (若與x軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn))畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與 x軸的交點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn).六、二次函數(shù)y ax2 bx c的性質(zhì)1.當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開口向上，對(duì)稱軸為,頂點(diǎn)坐標(biāo)為2a2a24ac b4a2時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)2ax 2

7、時(shí)，y2abx 時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng) 2a2.當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開口向下，對(duì)稱軸為x,頂點(diǎn)坐標(biāo)為2a2b 4ac b2a 4a22時(shí)，y有最大值4ac-b- 2a4ay隨x的增大而增大；當(dāng) x -b時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng) x2a七、二次函數(shù)解析式的表示方法1 . 一般式：y ax2 bx c （a, b, c為常數(shù)，a 0）; 22 .頂點(diǎn)式：y a（x h） k （a, h, k為吊數(shù)，a 0）;3 .兩根式：y a（x xj（x X2） （a 0, %, x2是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，

8、只有拋物線與 x軸有交點(diǎn)，即b2 4ac 0時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示.二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1 .二次項(xiàng)系數(shù)a2一次函數(shù)y ax bx c中，a作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然 a 0 . 當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小，反之 a的值越小，開口越大；當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開口向下，a的值越小，開口越小，反之 a的值越大，開口越大.總結(jié)起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負(fù)決定開口方向，|a的大小決定開口的大小.2. 一次項(xiàng)系數(shù)b在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線的對(duì)稱軸.在a 0的前提下，當(dāng)b0時(shí)，0,即拋物線的

9、對(duì)稱軸在 y軸左側(cè)；2a當(dāng)b0時(shí)，0,即拋物線的對(duì)稱軸就是 y軸；2a當(dāng)b0時(shí)，與0,即拋物線對(duì)稱軸在 y軸的右側(cè).2a 在a 0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)b0時(shí)，0,即拋物線的對(duì)稱軸在 y軸右側(cè)；2a當(dāng)b0時(shí)，0,即拋物線的對(duì)稱軸就是 y軸；2a當(dāng)b0時(shí)，b-0,即拋物線對(duì)稱軸在 y軸的左側(cè).總結(jié)起來，在a確定的前提下，b決定了拋物線對(duì)稱軸的位置.bab的符號(hào)的判定：對(duì)稱軸 x在y軸左邊則ab 0,在y軸的右側(cè)則ab 0 ,概括的2a說就是“左同右異”總結(jié)：3. 常數(shù)項(xiàng) c 當(dāng) c 0 時(shí)，拋物線與y 軸的交點(diǎn)在x 軸上方，即拋物線與y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； 當(dāng) c 0 時(shí)，拋物線與

10、y 軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 0 ； 當(dāng) c 0 時(shí)，拋物線與y 軸的交點(diǎn)在x 軸下方，即拋物線與y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)總結(jié)起來， c 決定了拋物線與 y 軸交點(diǎn)的位置總之，只要a, b, c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的.二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡(jiǎn)便一般來說，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲担话氵x用頂點(diǎn)式；3. 已知拋物線與x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；

11、4. 已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式九、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)1. 關(guān)于 x 軸對(duì)稱y ax2 bx c關(guān)于x軸對(duì)稱后，得到的解析式是yax2 bx c；22y a x h k 關(guān)于 x 軸對(duì)稱后，得到的解析式是y a x h k ；2. 關(guān)于 y 軸對(duì)稱y ax2 bx c關(guān)于y軸對(duì)稱后，得到的解析式是y ax2 bx c；22y a x h k 關(guān)于 y 軸對(duì)稱后，得到的解析式是y a x h k ；3. 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱22y ax bx c關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是y ax bx c ；22y a x h k 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

12、稱后，得到的解析式是y a x h k ；4. 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱（即：拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°）2y axbx c關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是y2 axbxb22a '2y a x h k關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是y5.關(guān)于點(diǎn)m, n對(duì)稱2a x h 2m 2n k2.一 一 .y a x h k關(guān)于點(diǎn) m, n對(duì)稱后，得到白解析式是 y根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對(duì)稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此a永遠(yuǎn)不變.求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線(或表達(dá)式已知的拋物線)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其

13、對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式.十、二次函數(shù)與一元二次方程：1 .二次函數(shù)與一元二次方程白關(guān)系(二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)情況)：一元二次方程ax 一b2 4ac兀一次方程ax bx c 0 a 0的兩根.這兩點(diǎn)間的距離 AB x2 ” .a 當(dāng) 0時(shí)，圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng) 0時(shí)，圖象與x軸沒有交點(diǎn).1'當(dāng)a 0時(shí)，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有 y 0；2'當(dāng)a 0時(shí)，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有 y 0 .2.拋物線y ax2 bx c的圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0 , c);3.二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二

14、次函數(shù)的圖象與 x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大(小)值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式；2 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù) y ax bx c中a, b, c的符號(hào)，或由二次函數(shù)中 a, b , c的符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合；(4)二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo) bx c 0是二次函數(shù)y ax2 bx c當(dāng)函數(shù)值y 0時(shí)的特殊情況.圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：2當(dāng) b 4ac 0時(shí)，圖象與x軸交于兩點(diǎn) A X , 0 , B x2, 0 (xi x2),其中的xi

15、, x2是與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式ax2 bx c(a 0)本身就是所含字母 x的二次0拋物線與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)二次二項(xiàng)式的值可止、可零、可負(fù)一兀二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根0拋物線與X軸只有一個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一兀二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根0拋物線與X軸無交占 八、二次三項(xiàng)式的值恒為正一元二次方程無實(shí)數(shù)根.函數(shù)；下面以a 0時(shí)為例，揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系:二次函數(shù)圖像參考:二次像和性八、1、考查二次函數(shù)關(guān)試題常出現(xiàn)在函數(shù)圖 質(zhì)?？嫉亩x、性選擇題中，如:已知以x為自變量的二次函數(shù) y （m 2）x2 m2 m 2的圖像經(jīng)過原點(diǎn)，則m的值是考點(diǎn)

16、2、綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，習(xí)題的特點(diǎn)是在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)考查兩個(gè)函數(shù)的圖像，試題類型為選擇題，如：如圖，如果函數(shù)y kx b的圖像在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)y kx2 bx 1的圖像大致是（ ）ABCD考點(diǎn)3、考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻率很高，習(xí)題類型有中檔解答題和選拔性的綜合題，如：5已知一條拋物線經(jīng)過（0,3）, （4,6）兩點(diǎn)，對(duì)稱軸為x ,求這條拋物線的解析式。3考點(diǎn)4、確定a、b、c的值.二次函數(shù)：y=ax2+bx+c （a,b,c是常數(shù)，且 aw0） a>0開口向上，a<0開口向下.拋物線的對(duì)稱軸為 x= -b,

17、由圖像確定 -b的正負(fù)，由a的符號(hào)確定出b的符號(hào).由2a2ax=0時(shí),y=c,知c的符號(hào)取決于圖像與 y軸的交點(diǎn)縱坐標(biāo)，與 y軸交點(diǎn)在y軸的正半軸時(shí)，c>0,與y軸交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸時(shí)，c< 0.確定了 a、b、c的符號(hào)，易確定abc的符號(hào).考點(diǎn)5、確定a+b+c的符號(hào).x=1時(shí)，y=a+b+c,由圖像y的值確定a+b+c的符號(hào).與之類似的還經(jīng) 常出現(xiàn)判斷4a+2b+c的符號(hào)（易知x=2時(shí)，y=4a+2b+c），由圖像y的值確定4a+2b+c的符號(hào).還有判斷a- b+c的符號(hào)（x=1時(shí)，y=ab+c）等等.b考點(diǎn)6、與拋物線的對(duì)稱軸有關(guān)的一些值的符號(hào).拋物線的對(duì)稱軸為 x= ，根據(jù)

18、對(duì)稱性知：取到對(duì)稱軸距離相等白兩個(gè)不同的x值時(shí)，y值相等，即當(dāng)x= B+m或x= m時(shí)，y值相等.中2a2a考考查時(shí)，通常知道 x= B+m時(shí)y值的符號(hào)，讓確定出 x= -bm時(shí)y值的符號(hào).2a2a考點(diǎn)7、由對(duì)稱軸x= 上 的確定值判斷 a與b的關(guān)系.如： 包=1能判斷出a =- b.2a2a考點(diǎn)8、頂點(diǎn)與最值. 若x可以取全體實(shí)數(shù)，開口向下時(shí)，y在頂點(diǎn)處取得最大值，開口向上時(shí)，y在頂點(diǎn)處取得最小值.例1、已知二次函數(shù)y ax2 bx c（a 0）的圖象如圖所示， 有下列5個(gè)結(jié)論： abc 0； b a c; 4a 2b c 0; 2c 3b; a b m（am b） , （ m 1 的實(shí)數(shù)）

19、其中 正確的結(jié)論有（）.A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 5個(gè)考點(diǎn)9、圖象與 x軸交點(diǎn). : b2-4ao 0, ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根； b2-4acv0, ax2+bx+c=0 無實(shí)根；b2-4ac=0, ax2+bx+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)根.b2-4ac>0,拋物線與 x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；b2-4ac <0,拋物線與x軸沒有交點(diǎn)；b2-4ac=0,拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn).2例2、二次函數(shù)y x 2x 1與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）.A. 0B. 1C. 2D. 3考點(diǎn)10、判斷在同一坐標(biāo)系中兩種不同的圖形的正誤.如：在同一種坐標(biāo)系中正確畫出一次函數(shù)2y ax

20、b 和一次函數(shù) y ax bx c(a0）,關(guān)鍵是兩個(gè)式子中的a、b值應(yīng)相同.y ax b和二次函數(shù)y ax2 bx的圖象可能為（).例3、在同一坐標(biāo)系中一次函數(shù)考點(diǎn)11、能分別判斷出在對(duì)稱軸的左右兩側(cè)二次函數(shù)y值隨x值的變化而變化情況.拋物線當(dāng)開口向上時(shí)，在對(duì)稱軸的左側(cè)二次函數(shù)y值隨x值的增大而減小，在對(duì)稱軸的右側(cè)二次函數(shù)y值隨x值y值隨x值的增大而增大，在對(duì)稱軸的增大而增大.拋物線開口向下時(shí)，在對(duì)稱軸的左側(cè)二次函數(shù)的右側(cè)二次函數(shù)y值隨x值的增大而減小.2例4、已知二次函數(shù)y axbx c(aw0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(-1, 2), (1, 0).下列結(jié)論正確的是()A.當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)值y

21、隨x的增大而增大B.當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小C.存在一個(gè)負(fù)數(shù)xo,使得當(dāng)x<xo時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小；當(dāng) x> xo時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大D.存在一個(gè)正數(shù)x。,x>xo時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大使得當(dāng)x<xo時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減?。划?dāng)考點(diǎn)12、二次函數(shù)解析式的幾種形式.(1)一般式：y= ax2+bx+c (a,b,c為常數(shù)，aw。).(2)頂點(diǎn)式：y = a(x-h)2+k(a,h,k為常數(shù)，aw。).拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h,k), h=0時(shí)，拋物線 y= ax2+k 的頂點(diǎn)在y軸上；當(dāng)k=0時(shí)，拋物線y = a(x-h)2的頂

22、點(diǎn)在x軸上；當(dāng)h=0且k=0時(shí)，拋物線y= ax2 的頂點(diǎn)在原點(diǎn).(3)兩根式：y= a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即一元二次 方程ax2+bx+c= o (aw 0)的兩個(gè)根.求解析式時(shí)若已知拋物線過三點(diǎn)坐標(biāo)一般設(shè)成一般式，已知拋 物線過的頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)設(shè)成頂點(diǎn)式，已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)設(shè)成兩根式.例5、在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為 A(1, 4),且過點(diǎn)B(3Q).求該二次函數(shù)的解析式為.考點(diǎn)13、x1、x2兩交點(diǎn)間的距離。 若拋物線y ax2于x1、x2是方程ax2 bx c 。的兩個(gè)根，故bx c與x軸兩交點(diǎn)為Ax1,0 ,

23、 B x2,0 ,由bcX ” 一，x1 % 一 aa,272_AB |x1 x2|x1 x2 22x1 x24x1x2b 4c ，b 4ac _a a a |a| 忖 考點(diǎn)14、韋達(dá)定理和跟的判別式在二次函數(shù)中的應(yīng)用:m I元二次方程ax2 bx c 0a 0是二次函數(shù)卜="十以十式"二的函數(shù)值等于零時(shí)的特殊情況。有些二次函數(shù)問題，可以利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(即韋達(dá)定理)來解答；一元二次方程根的分布，可以利用二次函數(shù)圖象直觀判定；二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)、圖象的位置，也可以用判別式判斷。對(duì)于一元二次方程鼻儲(chǔ)+獨(dú)+= W" u和二次函數(shù)g豐°),

24、(1)當(dāng)4>0時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根補(bǔ)心，函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)不重合的交點(diǎn)(勺'0)、 (4, °),并且xi、X2具有如下關(guān)系：xi X2b、X1X2 9.這就是一元二aa次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，簡(jiǎn)稱韋達(dá)定理。(2)當(dāng)4=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，函數(shù)圖象與 x軸有唯一交點(diǎn)，即圖象與x軸相切。(3)當(dāng)4<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)解，函數(shù)圖象與 x軸無交點(diǎn)，若a>0,則圖象在x軸上方，若a<0,則圖象在x軸下方。例1.已知拋物線卜=#E 1)工一 3上-2與耳軸交于點(diǎn)a( % 0)和B ( B, 0),且簫+/* =",求k的值。例2.已知拋物

25、線*工+那一 了與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)(1,0)兩旁，試判斷關(guān)于x2 +(喀+ 1)1 +掰° 45=口x的方程4的根的情況。例3.設(shè)4<b<c,求證：方程(工可6G+5 與1=0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，并且有一根在a與b之間，另一根在b與c之間。例4:已知二次函數(shù)y=x2(2m+4)x+m24 (x為自變量)的圖象與y軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)上方，與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，且A、B兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離AO、OB滿足 3 (OB AO) =2AO- OB求 m 的值.1 kr：例5:如圖，直線y = -x+ 1與y軸交于點(diǎn)A,與雙曲線y k在第一象限交于1B(xi,yi)、C(

26、以y2)兩點(diǎn)，則 yi+y2=.卞Kx考點(diǎn)15、考查代數(shù)與幾何的綜合能力，常見的作為專項(xiàng)壓軸題。石1例6:如圖甲，拋物線y x2 x 4與y軸交于點(diǎn)A,E0,b)為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E的直線y x b 與拋物線交于點(diǎn) B、C.(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)當(dāng)b=0時(shí)，如圖乙， ABE與 ACE的面積大小關(guān)系如何當(dāng)b4時(shí)，上述關(guān)系還成立嗎，為什么(3)是否存在這樣的b,使得 BOC是以BC為斜邊的直角三角形，若存在，求出 b;若不存在，說明理由考點(diǎn)16、二次函數(shù)的應(yīng)用題。例7：某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場(chǎng)行情得知，從 2月1日起的300天內(nèi)，西紅柿市場(chǎng)售價(jià)與上市時(shí)間的關(guān)系用圖甲的一條折線表示；西

27、紅柿的種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系用圖乙表示的拋物線段表示.(1)寫出圖甲表示的市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；(2)寫出圖乙表示的種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；(3)設(shè)定市場(chǎng)售價(jià)減去種植成本為純收益，問何時(shí)上市的西紅柿純收益最大(注：市場(chǎng)售價(jià)和種植成本的單位：元/102kg,時(shí)間單位：天)二次函數(shù)選擇填空題提高訓(xùn)練1、已知：M, N兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，且點(diǎn) M在雙曲線y=2x上，點(diǎn)N在直線y=x+3上，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(a, b),則二次函數(shù) y=-abx2+ (a+b) x ()A.有最大值，最大值為2C.有最小值，最小值為 2B、有最大值，最大值為 2D.有最小值，最小值為22、已知y=x2+(1-a

28、) x+1是關(guān)于x的二次函數(shù),當(dāng)x的取值范圍是1 w x司寸,y在x=1時(shí)取得最大值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. a<5B. a>5 C. a=3D, a>3 4、如圖，已知點(diǎn) A (4, 0) , O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是線段OA上任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn) O, A),過P、。兩點(diǎn)的二次函數(shù) yi和過P、A兩點(diǎn)的二次函數(shù)y2的圖象開口均向下，它們的頂點(diǎn)分別為B、C,射線OB與AC相交于點(diǎn)D.當(dāng)OD=AD=3時(shí)，這兩個(gè)二次函數(shù)的最大值之和等于(B、C、3D、45、已知一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 xi, x2滿足xi+x2=4和xi?x2=3,那么二次

29、函數(shù)ax2+bx+c (a> 0)的圖象有可能是()6、如圖為拋物線y=ax2+bx+c 的圖象,A、 B、 C 為拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，且OA=OC=1,則丁DA. a+b=-17、已知二次函數(shù) y010,當(dāng)自變量x分別取B. a-b=-1C. bv2aD. acv 01 ，一 口 什,，x 一，當(dāng)自變量 x取m時(shí)對(duì)應(yīng)的值大于5m-1、m+1時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為 yi、y2,則yi、y2必須滿足(A. yi>0、y2> 0B. yi<0、y2< 0C. yi<0、y2>0D. yi>0、y2< 0+ c=0;5a<b.其中正確結(jié)論是8、

30、已知拋物線y=ax2-2x+1與x軸沒有交點(diǎn)，那么該拋物線的頂點(diǎn)所在的象限是 9、若關(guān)于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有實(shí)數(shù)根xi、X2,且xi 2,有下列結(jié)論：x1=2,X2=3;m > 1-；二次函數(shù)y= （x-xi） （x-x2）-m的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（2, 0）和（3, 0）.其4中，正確結(jié)論的是.10、已知函數(shù)y= （k-3） x2+2x+1的圖象與x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是 11、圖（1）是一個(gè)橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂（拱橋洞的最高點(diǎn)） 離水面2m,水面寬4m.如圖（2）建立平面直角坐標(biāo)系，則拋物線的關(guān)系式是 。12、如圖，線段 AB的長(zhǎng)

31、為2, C為AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以 AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個(gè)等腰直角三角形4ACD和ABCE那么DE長(zhǎng)的最小值是s13、如圖是二次函數(shù)y= a/+bx+ c圖象的一部分，圖象過點(diǎn)A （ 3, 0）,對(duì)稱軸為x= - 1.給出四個(gè)結(jié)論：b2>4ac；2 a+b=0;ab14、已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖.則下列5個(gè)代數(shù)式：ac,a+b+c,4a2b+c,2a+b,2ab中，其值大于0的有第4題15、已知二次函數(shù)y ax2 bx c的圖象如圖，有以下結(jié)論：a b c 0;a b c 1; abc 0; 4a2b c 0；c a 1其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是16、已知二次

32、函數(shù)y ax2 bx c的圖象與x軸交于點(diǎn)（2,0）、（、,0）,且1 x1 2,與y 軸的正半軸的交點(diǎn)在（0,2）的下方.下列結(jié)論：4a 2b c0；a b0；2ac0；2ab1 0 .其中正確結(jié)論的 有.17、若拋物線y ax2 bx 3與yx2 3x 2的兩交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則a、b分別為.1 21.已知拋物線yx2 2,當(dāng)1 x 5時(shí)，y的最大值是（）3B.2C5D.7333.一.2a .2.二次函數(shù)y ax bx c的圖像如圖所不，反比列函數(shù)y 一與正比列函數(shù)y bx在同一坐標(biāo)系x內(nèi)的大致圖像是（）ABCD3.拋物線yx2x p （pwQ的圖象與x軸一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 P,那么該拋物

33、線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 （）A. ( 0, 2)，19、，19、B. (一, ) C.(242 4，19、D.(,-)244.已知：二次函數(shù)y=ax2+bx+c （aw。的圖象如圖所示，下列結(jié)論中: abc>0;2a+bv0; a+bv m (am+b) (mwi的實(shí)數(shù))；（a+c） 2<b2;a>1.其中正確的項(xiàng)是（-10A.B.C.D.5.在平面直角坐標(biāo)系中，如果拋物線y= 3x2不動(dòng)，而把x軸、y軸分別向上、向右平移 3個(gè)單位，那么在新坐標(biāo)系下此拋物線的解析式是A. y=3 (x 3) 2+3B. y=3 (x3) 23C.y=3 (x+3) 2+ 3D. y=3 (x+3)

34、236.在直角坐標(biāo)系中,將拋物線2x 3繞著它與y軸的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180 °,所得拋物線的解析式a. y(x1)2 2B. y (x1)2 4C. y(x1)2 2D. y (x1)2 47.作拋物線A關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線B,再將拋物線B向左平移2個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位，得到的拋物線C的函數(shù)解析式是y 2（x21）1,則拋物線A所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是（A . y 2(x 3)2 2B.y 2(x 3)2 2C.y 2(x 1)2 2D.y 2(x 1)2 28.已知二次函數(shù)y2ax bx c（aw0）的圖象開口向上，并經(jīng)過點(diǎn) （-1, 2）,（1,0）.下列結(jié)論正確的是（A.當(dāng)x>

35、0時(shí),函數(shù)值y隨x的增大而增大B.當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)值y隨x的增大而減小C.存在一個(gè)負(fù)數(shù)xo,使得當(dāng)x<xo時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減?。划?dāng)x> xo時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大D.存在一個(gè)正數(shù)xo,使得當(dāng)x<xo時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小；當(dāng)x>xo時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大9.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，并設(shè) M = |a+b+c|-| a-b+c| +|2a+b| -|2a-b| ,貝U (>0<0D.不能確定210 .拋物線y 2 x 26的頂點(diǎn)為C ,已知y kx 3的圖象經(jīng)過點(diǎn)C ,則這個(gè)一次函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為 11 .如圖，在平而直角坐標(biāo)系 xOy中，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸，點(diǎn)B在x軸正半軸，與y軸交于點(diǎn)C,且tan/ACO=l, CO=BO, AB=3,則這條拋物線的函數(shù)解析2式是 .12 .二次函數(shù)y=ax2+bx+c (aw。的圖象同時(shí)滿足下列條件： 不經(jīng)過第二象限； 與坐標(biāo)軸有且僅 有兩個(gè)交點(diǎn).這樣的二次函數(shù)解析式可以是 213 .設(shè)拋物線y x2 2ax (a 0)的頂點(diǎn)為 巳與x軸交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng) PAB為等邊三角形時(shí),2a