異面直線所成角練習(xí)

1、1 .如圖，在正方體ABCD- AB1clD1中，異面直線AD與BCi所成的角為45A. 30【答案】DBC,【解析】試題分析：如圖所示，連接901的正方形，AA = 2, /AAB= )WJ BC/ A1D, BC BC, A1D BC, ；A1D 與 BC 所成的角為 故選：D考點(diǎn)：異面直線及其所成的角.1471552 .已知平行六面體 ABCD - ABGD中，底面 ABCD1邊長為 /AAA 120 ,則異面直線AC與AD所成角的余弦值（A./ B【答案】B 【解析】試題分析：設(shè)向量AB =a, AD =b,AA =c,則 AG =a+b + c,AQ = b-c ,AC；= 2, A

2、S )-7 ,煩77ta】 ad 疝AC1cos =A1D考點(diǎn)：空間向量的集合運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算。3 .正方體ABCD - A1B1C1D1中，E,F,G,H分別是AA1, AB, BB1，B1G的中點(diǎn)，則直線EF與GH所成的角是（）A. 30B .45 C . 60 D . 90【答案】C【解析】試題分析：由三角形中位線可知 EF AB,GH BC;，所以異面直線所成角為NABG,大小為600考點(diǎn)：異面直線所成角4 .在正方體ABCD - AB1C1D1中，E是BQ的中點(diǎn)，則異面直線DC1與BE所成角的余弦值為（）A.典B .邈 C . _近D .一也5 555【答案】B【解析】試題分析：取B

3、C中點(diǎn)F ,連結(jié)FD, FCi ,則/DCF為異面直線所成角，設(shè)邊長為2,C1F - 5, DC1 = 8, DF = . 5 cos - DC1F =5考點(diǎn)：異面直線所成角5.如圖，正四棱柱ABCD-AECD中（底面是正方形，側(cè)棱垂直于底面）,AA，= 3AB,則異面直線AB與AD，所成角的余弦值為（1010【答案】A【解析】試題分析：連結(jié)BC ,異面直線所成角為/ABC ,設(shè)AB=1,在AABC中AC2, AB = BC = 10考點(diǎn)：異面直線所成角6 .點(diǎn)P在正方形ABCD所在平面外, 是PA，平面 ABCD ,PA = AB ,則PB與AC所成的角A. 60B. 90C. 45D.30

4、【答案】A【解析】試題分析：作出空間幾何體如下圖所示：設(shè)正方形的邊長為2E所以PB與AC所成的角就是/FEA,由題意可知：EF=AE = AF=T2,所以 /FEA =60 1考點(diǎn)：異面直線的位置關(guān)系.7.如圖所小，在棱長為 所成角的余弦值為（1的正方體ABCD -A1B1C1D1中，M是棱CD的中點(diǎn),）T T則A1M與DC1A 2 /A.6C.10【答案】A【解析】試題分析：以D為原點(diǎn)，分別以DA,DC,DD1為x,y,z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系1c 1/0 + 1萬=-2 =, 故選 A.2、26D-xyz,由棱長為 1,則 D(0,0,0), Ai(1,0,1),M (0, ,0),

5、 Ci(0,1,1),所以 2=(-1,1,-1),露=(0,1,1)，故cos AM , DC1 2考點(diǎn)：空間向量所成角的余弦值.8.在正方體ABCD-AB1C1D1中，E、F分別為AB、BC中點(diǎn)，則異面直線EF與AB,所成角的余弦值為A. 23B【答案】D 【解析】.3c T D 2試題分析：聯(lián)結(jié)AC、B1C則/B1AC即為所成的角。LB1AC為等邊三角形，所以一一 一,1cos B1AC =cos60 二1 2考點(diǎn)：異面直線所成的角9 .在正方體ABCD- ABCD中，點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)，則異面直線 CP與BA所的9角的 取值范圍是（）00二3彳A. ： B. 二 C.二 D.j【答案

6、】D【解析】如圖，連結(jié)CD,則異面直線CP與BA所成的角9 等于/ DCP,由圖可知，當(dāng)P點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，8=工3當(dāng)P點(diǎn)無限接近D點(diǎn)時(shí)，9趨近于0.由于是異面直線，故9 W0.選D考點(diǎn)：空間幾何體，異面直線所成角10 .如圖，正方體ABCD AB1CQ1,則下列四個(gè)命題：P在直線BCi上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐A-DiPC的體積不變;P在直線BCi上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線AP與平面ACDi所成角的大小不變；P在直線BCi上運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角P -ADi -C的大小不變；M是平面ABGDi上到點(diǎn)D和Ci距離相等白t點(diǎn)，則M點(diǎn)的軌跡是過Di點(diǎn)的直線 其中真命題的個(gè)數(shù)是A. iB .2 C .3 D .4【答案】C【解析】

7、試題分析：V BCi /平面ADi，: BCi /上任 意一點(diǎn)到平面ADiC的距離 相等,所 以體積不變，正確.P在直線BG上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線AB與平面ADiC所成角和直 線ACi與平面ADiC所成角不相等，所 以不正確. 當(dāng)P在直線BCi上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AP 的軌跡是平面PADi ,即二面角P-ADi -C的大小不受影響，所以正確.V M是 平面ABiGDi上到點(diǎn)D和G距離相等的點(diǎn)，一. M點(diǎn)的軌跡是一條與直線DCi平行的 直線,而DDi =DiG，所以正確，故答案為：C .考點(diǎn)：異面 直線及其所成的角；棱柱、棱錐、棱臺的體積；與二面角有關(guān)的立體 幾何綜合題.11 .如圖，正方體 ABCD-AiGD中

8、，AB的中點(diǎn)為 M DD的中點(diǎn)為N,則異面直線 BiM與CN 所成的角是（）A. 0 B. 45 C. 60 D. 90【答案】D【解析】試題分析：解：取AA1的中點(diǎn)E ,連接EN , BE交B1M于點(diǎn)O ,WJ EN BC ,且 EN = BC二四邊形BCNE是平行四邊形: /BOM就是異面直線BiM與CN所成的角，而 Rt BB1M 三 Rt ABE./ABE=/BB1M , NBMB =/AEB,/BOM =90 .故選 D.考點(diǎn)：異面直線所成角12 .如圖，直四棱柱ABCD-AB1C1D1的底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱長AAi = J2,則異面直線AiBi與BDi的夾角大小等于 【答案

9、】600【解析】試題分析：由直四棱柱 ABCD-ABiGDi的底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱長AA1 = 我可得AB 1BDi =2,由AB|_AB1知/ABD1就是異面直線 A1B1與BD1的夾角，且COS/ABD1 =,BD12所以ZABD1=60，即異面直線人81與8口的夾角大小等于60 .考點(diǎn)：1正四棱柱；2異面直線所成角13 .如果直線AB與平面口相交于B,且與豆內(nèi)過點(diǎn)B的三條直線BG BD, BE所成的角相 同，則直線AB與CD所成的角=.【答案】900【解析】試題分析：因?yàn)?，直線AB與平面Q相交于B ,且與a內(nèi)過點(diǎn)B的三條直線BC,BD, BE所成的角相同，所以，直線 AB在平面a

10、內(nèi)的射影應(yīng)是BC,BD夾角的平分線，同時(shí)也應(yīng)是BD,BE夾角及BC,BE的平分線，因此，直線 AB在平面儀內(nèi)的射影是點(diǎn)B,即AB_Lu ,而CDua ,所以AB1CD ,直線AB與CD所成的角為900考點(diǎn)：直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系.14 .平行六面體ABCD-ABGD中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長度都為2,且兩兩夾角為60則DB1和GA所成角大小為.【答案】 arccos6 6【解析】試題分析：由于 db： = aB+aa1ad,ac； =aB + aD ,而-2 DB1 GA =AB+AA1 AD (AB+AD) = AB +AB AD + AA1 AB + AAs AD-AD AB-

11、2AD =4,同理求DB12F,=AB1 +AA -AD=AB1 + AA1 + AD2,、，2AB1AAi -2ABi AD - 2AA1 AD二8,DBj =2J2 ,同理:GA =2/3,設(shè)DBi和C1A所成角大小為0 ,則cos6 = cos =DB1 C1ADB1花1Al2% 2 2、36，arc- 6考點(diǎn)：1.向量的加法和減法；2.向量的數(shù)量積；3.向量的模；4.異面直線所成的角；15 .已知四面體ABCD中，DA = DB =DC =3點(diǎn)，且DA, DB, DC兩兩互相垂直，點(diǎn)。是ABC的中心，將ADAO繞直線DO旋轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過程中，直線 DA與直線BC所成 角的余弦值的最

12、大值是【答案】h 3【解析】試題分析：當(dāng)OABC時(shí)，直線DA與直線BC所成角最小，對應(yīng)的余弦值最大，即 cos/OAD ;易知：AB = AC = BC =6, OA =6 型 = 23 , cos. OAD = OA = 2 3 = 3 .3DA 3、23考點(diǎn)：異面直線所成的角.16 .如圖所示，ABCD - AB1c1D1為正方體，給出以下五個(gè)結(jié)論：BD平面CB1D1 ; AC1，平面 CB1D1 ;AC1與底面ABCD所成角的正切值是72 ;二面角C B1D1 G的正切值是V2 ;過點(diǎn)A1且與異面直線AD和CB1均成70角的直線有2條.其中，所有正確結(jié)論的序號為.【答案】【解析】試題分析

13、：如下圖，正方體 ABCD A1B1GD中，由于BD/ BQ ,由直線和平面平行的判定定理可得 BD/平面CBD ,故正確.由正方體的性質(zhì)可得 BQAC, CC, BD,故BDL平面ACCA ,故BQLAC.同理可得B1CAC.冉根據(jù)直線和平面垂直的判定定理可得，AC,平面CBD ,故正確.AC與底面ABCD5T成角的正切值為1 = 故不正確.AC .22取BD的中點(diǎn)M 則/CMC即為二面角C- BD-G的平面角，RtACMOt, tan/CM1=氾=工=近，故正確.C1M22如下圖，由于異面直線 AM CB成45的二面角，過 Ai作MN/ AD PQ/ CB,設(shè)MNf PQ確定平面a , /

14、 PAM=45 ,過Ai在面a上方作射線AiH,則滿足與MN PQ成70的射線A1H有4條：滿足/ MAH=/ PAH=7(J的有一條，滿足/ PAH=/NAH=70的有一條，滿足/ NAH=/ QAH=70的有一條，滿足QAH=/ MAH=70的有一條.故滿足與 MN PQ成70的直線有4條，故過點(diǎn)Ai與異面直線Ag CB成70角的直線有4條，故不正確.故答案為.考點(diǎn)：二面角的定義及求法；直線和平面平行的判定；直線和平面垂直的判定；異面直線 的判定.17 .如圖，正方體 ABCDFABGD中，E, F分別是正方形 ADDAi和ABCD勺中心，G是CC的中點(diǎn)。設(shè)GF，GE與AB所成的分別為u,

15、P,則ot+P=2【解析】試題分析：取正方形 BGCB的中點(diǎn)為點(diǎn)O,連結(jié)OG，OE,取BC的中點(diǎn)為點(diǎn)A,連結(jié)GH,FH ,通過分析可知OC/ GH , OE/ FH得平面CiEO平面GFH ,設(shè)正方形邊長為2,在AGFH中，GH =V2, FH =i, GF =,貝 sin ：-2,cos：3i2i=，在 AGEO 中，OE =2, C!E =也，OCi =42 ,則 sinP=* =, . 36 , 3- ： = ：,所以:一工 考點(diǎn)：直線與平面所成角，面面平行問題。18 .如圖所示，在三棱柱 ABC- AiBiCi 中，AAL底面 ABC AB= BO AA, Z ABC 90，點(diǎn) E、F

16、分別是棱AB BB的中點(diǎn)，則直線EF和BC的夾角是3【解析】試題分析：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系.由于 AB=BC=AA不妨取AB=2則E (0, i, T-I0), F (0, 0, i), Ci (2, 0, 2). EF = (0, - i, i), BCi= (2, 0, 2).一EF BC 2 icos = 4_= ?=尸=.異面直線EF口 BC的夾角為一.故答案為：一.|EF | |BG |,2、8 233考點(diǎn)：用空間向量求直線間的夾角、距離；異面直線及其所成的角.19 .如圖，在直三棱柱 ABC-A1B1cl 中，/ACB =900,AA, =2,AC = BC =1 ,則異面

17、直線 A1B與AC所成角的余弦值是 :【答案】-66【解析】試題分析：由于AC / ACi,所以/BAG （或其補(bǔ)角）就是所求異面直線所成的角，在ABACi晶一 -一, 一八 6 1-5.6中，AB = J6 , AC 1 = 1 , BC1 =。5 , cos/BA1C1 尸=2 6 16考點(diǎn)：異面直線所成的角.20 .在正三棱柱ABC - AB1C1中，各棱長均相等，BC1與&C的交點(diǎn)為D ,則AD與平面BB1C1C所成角的大小是 .【答案】600【解析】試題分析：如圖所示取 BC中點(diǎn)E,連接AE, DE易得AD與平面BB1C1C所成角為/ADE ,設(shè)正三棱柱棱長為2,則等邊三角形ABC邊

18、上的中線AE=J3, DE =1,直角三角形中.ADE=60考點(diǎn)：直線與平面所成的角.21 .如圖，直三棱柱 ABC-AB1C1 中，AB= AO 1, AA=2, /BA1G = 90 , D為 BB的中點(diǎn)， 則異面直線GD與AC所成角的余弦值為 .【答案】515【解析】試題分析：求異面直線所成的角，關(guān)鍵是作出這個(gè)角，一般把異面直線的一條平移后與另一條相交，得到要求的角（當(dāng)然異面直線所成的角不大于90口）本題中我們就可以把CQ向下平移到過點(diǎn)C （實(shí)際作圖時(shí)，是延長B1B到E,使在BD1 ，則有CE/ C1D,然后在AACE中求出/AQE ,就可得出題中要求的角.考點(diǎn)：異面直線所成的角.22

19、.四棱錐P ABCD勺所有側(cè)棱長都為V5,底面ABC此邊長為2的正方形，則CD與PA 所成角的余弦值為【答案】【解析】試題分析：:正方形 ABCD中,CD/ AB,. / PAB或其補(bǔ)角就是異面直線CD與PA所成的角， PAB 中，PA=PB=/5 , AB=2,. cos / PAB=PA + AB PB = 5+4一 5 =.2PA AB 2525考點(diǎn)：1.余弦定理的應(yīng)用；2.異面直線及其所成的角23 .如圖所示，正方形ABCm，E、F分別是AR AD的中點(diǎn)，將此正方形沿EF折成直二面角后，異面直線AF與BE所成角的余弦值為【答案】-2【解析】試題分析：過F做FH/DC ,過A做AG _LEF ,連接GH ,在三角形AGH中，AH =J-0+-=芯,NAFH即為異面直線AF與BE