§2兩類曲線積分概述

1、2 兩類曲線積分 （ 數(shù)學二、三不要求 ）【考試要求】1. 理解兩類曲線積分的概念， 了解兩類曲 線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關系 .2. 掌握計算兩類曲線積分的方法 .3. 掌握格林公式并會運用平面曲線積分 與路徑無關的條件，會求二元函數(shù)全微分的原 函數(shù).4. 會用曲線積分求一些幾何量與物理量 .一、基本概念1.對弧長的曲線積分（第一類曲線積分） 定義：nl f（x,y）ds !陀 f（ i, $ S，0 r 1其中L為xOy坐標面內(nèi)的一條光滑曲線，為將L進行任意分割時各小弧段長度中的最大 值，（i，i）為各小弧段上任取的一點.類似地可定義：nr f（x,y,z）ds linm f（匚 J

2、/ s.0 r 1（2）性質(zhì)（與重積分類似）線性：Lkifi（x,y） k2 f2（x,y）dskl fi（x,y）ds kr l f2（x,y）ds（匕也為常數(shù)）.可加性:Lf(x,y)ds l f(x,y)ds l f(x,y)ds,L L1 L2其中L L, L2.中值定理：若f(x, y)在L上連續(xù)，則至 少存在一點(,)L,使得l f (x,y)d s f ( , ) s，其中s為曲線L的長度.對稱性：若L關于x軸對稱，則丨 0, f (x, y) f (x,y), Lf(x,y)ds2 l f(x,y)ds,f(x, y)其中L,為L對應于y - 0的部分.若L關于y軸對稱，則丨

3、0, f ( x,y) f (x,y),f (x, y)d sLf(x,y)d s, f ( x, y)f (x,y),f (x, y),L2其中L2為L對應于x- 0的部分.若L關于x, y具有輪換對稱性(即x , y互 換后，L不變)，即L關于直線y x對稱，則L f(x,y)ds l f (y,x)ds12 Jf(x,y) f(y,x)ds 積分與積分路徑方向的無關性：若L的兩個端點為A與B，貝UAB f(x,y)ds BAf(x,y)ds.注 三元函數(shù)在空間曲線上對弧長的曲線積分有類似的結果.2.對坐標的曲線積分(第二類曲線積分)定義：LP(x,y)d x Q(x,y)d ynUmv

4、p( i,m q(0 丄r 1其中L為xOy坐標面上的有向光滑曲線弧，為將L進行任意分割時各小弧段長度的最大值，(i, i)為各有向小弧段上任取的一點.(2)性質(zhì)(與對弧長的曲線積分類似，以下 僅列出兩條)LP(x,y)dx Q(x,y)dyP( x, y)d x Q(x,y)dy( P(x, y)dx Q(x, y)d yLiL2其中L LL2l P(x,y)d x Q(x,y)d yLLP(x,y)d x Q(x,y)d y, 其中-L為L取反方向的曲線弧.注 類似地可定義Pdx Qdy Rdz,并有類似的性質(zhì).二、重要結論1. 對弧長的曲線積分的計算方法化為定積分(1) 在參數(shù)方程下，若

5、x ® (t),nrL:V ,則y(t),Lf(x,y)ds f (t), (t)J 2(t)2(t)dt.(2) 在直角坐標系下，若L:xx,ay y(x),Lf(x, y)ds:fx,y(x)JTy 2(x)dx.xx(y)，cLf(x,y)ds：f x(y),yVlx2(y)dy.(3)在極坐標系下，若L : r(),，由于 x= r( )coS , y= r( )sin , 所以Lf(x, y)dsf(rcos ,rsin )Jr2( ) r 2( )d注1將L的參數(shù)方程代入被積表達式即 可，d s為弧微分.注2定積分的下限應小于上限，即:注3對r f(x,y,z)ds有類似

6、的結果.2. 對坐標的曲線積分的計算方法化 為定積分在參數(shù)方程下，若L:(t),(t),為起點的參數(shù)，為終點的參數(shù)，貝UPPdx Qdy P" (t)； (t) ® (t) Q ® (t)； (tf (t)(2)在直角坐標系下，若L： X X，1 y y(x),起點的橫坐標為a，終點的橫坐標為b,貝UbLPdx Qdy P x,y(x) Q x,y(x) y(x) dx特別地，若L:y= c(c為常數(shù)，a x b)，貝UbLPdx Qd y a P(x,c)d x；若L:x= 1( l為常數(shù)，c y d)，貝UdLPdx Qd y= c Q(l, y)d y.注1

7、將曲線L的方程代入被積表達式即可.注2定積分的下限是起點的參數(shù)，上限是終 點的參數(shù)，積分下限不一定小于積分上限.注3 對j Pdx+ Qdy Rdz有類似的結果.r注4兩類曲線積分的計算過程：(1) 畫出積分曲線L的圖形；(2) 選取適當?shù)淖鴺讼担懗銮€L的 參數(shù)方程；(3) 將L的方程代入被積表達式化為定 積分并計算其值3. 兩類曲線積分之間的關系亠d xd yPd x Qd y P Q dsLL ds ds(L Pcos QcoS ' d s,其中cos , cos是平面上有向曲線弧L的切向 量的方向余弦.類似地有172Pd x Qd y Rdzr (P cos QcoS Rc

8、os )d s,其中cos , cos , cos是空間有向曲線弧 的 切向量的方向余弦.4. 格林公式設閉區(qū)域D由分段光滑的封閉曲線L圍成， 函數(shù)P(x, y)與Q(x, y)在D上具有一階連續(xù)的偏 導數(shù)，則P)dxdy yP Pd x Qd y,其中L是D的邊界曲線取正向.注1使用格林公式前要注意驗證條件， 特別要注意L的方向.注2若L不是封閉曲線，則在使用格林公 式時要添加適當?shù)妮o助線，一般是添加平行于 坐標軸的直線，這樣會使計算簡單.注3若D是由曲線匚與L2所圍成的復連通區(qū)域，且在 D 上 二.jPdx Qdy L2Pdx Qdy，其中Li與L2互為反方向.注4格林公式的幾何意義llx

9、dy yd x，其中A為由L所圍成閉區(qū)域的面積5. 平面上的曲線積分與路徑無關的條件設函數(shù)P(x,y), Q(x,y)在單連通區(qū)域D上具有一階連續(xù)的偏導數(shù)，則以下四個命題等價：(2)x yPdx Qdy 0，其中L為任一簡單Pdx Qd y在D內(nèi)與路徑無關； 對任意的點(x, y) D，均有-Q口分段光滑閉曲線；(4) 在D內(nèi)存在函數(shù)u(x,y)，使得du(x,y) Pdx Qdy，且(x,y)U(X，y)(xo，yo)PdX Qdyxyx P(x,y°)dxyQ(x,y)d y,X0y0yy Q(xo,y)d yy0xx P(x, y)dxx0此時稱u(x, y)為二元變上限的函數(shù)

10、或稱為二元函數(shù)全微分的原函數(shù)，P0(x0, y0)是D內(nèi)一個適 當?shù)狞c，利用在折線上的第二類曲線積分求得， 也可以利用下面的不定積分方法求出.設 u(x,y) P(x,y)dx C(y)(將 y 看作常數(shù)),令-Q(x,y)(將x看作常數(shù))，解出C(y) y代入上式即得u(x, y).6. 曲線積分的應用sd s表示曲線弧L的弧長.L(2) M J (x, y)ds表示占有平面上曲線L，線密度為(x, y)的曲線形構件的質(zhì)量.(3) 當 f(x,yp 0時，Lf(x,y)ds表示以 L 為準線，母線平行于z軸的柱面的面積.(4) 曲線形構件的質(zhì)心坐標Lx (x,y)d_ Ly (x,y)dsx

11、 ， y (x,y)ds/ (x,y)ds(5) 曲線形構件的轉動慣量lxLy2(x，y)ds，ly Lx2 (x,y)ds，2 2I。 L(x y ) (x,y)ds.(6) 變力沿曲線所作的功W LP(x，y)d x Q(x, y)dy, 其中變力 F(x, y)= P(x, y)i Q(x,y)j , L為質(zhì) 點運動的曲線.注 以上關于平面上的曲線積分的結論都 可以推廣到空間上的曲線積分.(7) 環(huán)流量j 向量場A(x,y,z) P(x,y,z)i Q(x,y,z)j R(x,y,z)k沿有向閉曲線 的環(huán)流量為 Pdx Qdy Rdz，其中為流體流動時 經(jīng)過的曲線.、典型例題題型1計算對

12、弧長的曲線積分例1計算 f I / yds，其中L為從Lx+ yA(1,0)經(jīng)C(0,1)至 Bf 1,0)的折線xy i(y7.解畫出L的圖形,利用直角坐標計算.AC : y 1x,0 x 1, CB: y 1 x, 1 x 0.因為在L上x y 1,所以I l x y ds ac x y ds x y dsx 112 d x込 ° ： 1 2x dx 民44例2計算I = Jx3 y3)d s,其中L為內(nèi)2 2 2擺線(星形線)x3 y3= a3(a> 0).解 畫出L的圖形,利用直角坐標計算較 復雜,將L用參數(shù)方程表示為 x acoft, y asin3t,0 t 2 ,

13、3ds 3asintcostdt _a sin2t dt,于是24I 2 a3 coVt sin4t 3asin2tdt07 沢276a3 2 coVt sin4t sin2tdt 4a3.o注 可利用對稱性簡化為計算r 4I1,其中11為沿星形線位于第一象限部分的積分.2 2例3計算I = e2 y2 a，直線y x及x軸在第一象限內(nèi)所 y d s，其中L為圓周L圍成圖形的邊界曲線.解畫出L的圖形,在直線OA與OB上選x為參數(shù),在AB上選t為參數(shù),利用可加性得OAdsdsdsj02 dx0o4ea adt2X+eO2 y012dx2eai -aea.例4計算I = (x2 y2 z2)ds，

14、其中是 曲面x2 y2 z2 = 9與平面x zT的交線.2解 取x為參數(shù),將 表示為X X,yJ22x ，丁2 1 x ,2 2 2z 1 X由方程組確定的隱函數(shù)的求導法可得興11,于是2d x dx dxds Jr業(yè)2血222 14 2 x2由于被積函數(shù)關于y是偶函數(shù)/關于xOz 坐標面對稱（即用- y代替y時,被積函數(shù)與 的190方程都不變）,所以22<2 12d V218 .例5 計算l=iyds ,其中L為 22、22 22、(x y ) a (x y ) (a 0).解 曲線L的極坐標方程為r2 = a2 cos2 , 即 r aJcos2 .因為積分曲線和被積函數(shù)均關于x,

15、 y及x軸，y軸對稱,所以1922 2r2( ) r ( ) dI 4 yds兀4 : r( )sin1931944 R紜廠sincos2H4a2 4 sin do4a2 1題型2計算對坐標的曲線積分 例1計I = j L(x? + y2)d x* (x2y2)d y,其中 L為曲線 y 1 1 x|(0，x 2)，其方向從原點0(0,0)經(jīng) A(1,1)到 B(2,0)._解 畫出L的圖形,0A: y x,x:0，1;AB:y = 2 x,x:V 2.利用可加性得AB22222x 2 x x 2 x 1 dx iI 0A(xr y2)dx (x2 y2)dy AB(x2 y2)dx (x2

16、y2)dyJx2+ xdx 2 2 -22 一 202x2dx0212x 2dx -.3例2計算.xdx yd y zdzIl Jx2 + y2 + z2 x y+ 2z其中L是從點A(1,1,1)到點B(4,4,4)的直線段.解 L是空間直線段,它的參數(shù)方程為x 1 t,y= 1 t,z= 1 t, t 3,代入被積表 達式得例3計算I = -xy2dx+ yZdy zx2dz,2 2 2其中為曲線X y Z = 45,上由點x y 0A(3/ 6,0)經(jīng)點 B(0,0,3 J5)到點 C( 2,4,5)的有 向曲線弧.解的參數(shù)方程為x t,y 2t,z 45 5t2, t:32,代入被積表

17、達式得2 2I t 2t 2t 453,5t2245 5t2 t25t ，45 5t2dt1085題型3格林公式的應用 例1計算I(y 2xy)d x (x2 2x y2)d y,其中L為沿著x2 + y2 4x的上半圓周從 A(4,0) 經(jīng)0(0,0)再到A的閉曲線.解畫出L的圖形,利用格林公式得I2x 21 2x d xd y d xd yDD*31例2計算L(eX 1)cosydx(e* x)siny X d y,其中L分別為(1)連接0(0,0), A(1,1)與B(2,0) 的有向折線OAB; (2) 拋物線弧OA: y x2.解 因為積分曲線不是封閉的,所以不能 直接使用格林公式,

18、而直接化為定積分計算有 較大困難，因此先添加輔助線，與原曲線構成閉 合曲線,再使用格林公式及曲線積分的性質(zhì)即 可.(1) OA: y x,x :01;AB:y 2x,x:12, BO: y 0,x:20.由格林公式得'Lb。bOd xd y0ex 1 d x2ex(2 )作輔助線AC : x 1,y:10;203CO : y 0,x:10.由格林公式得=OALOACOACCO0 _x? e Isiny 1dy1 dx0dxd yiD1x2d x d y e 1 cosi0 0-e 1 cosi.例3計算I =為中心，半徑為R( 1)的圓周取逆時針方向.解 當(x, y) (0,0)時,P y2 4x2_Q2 2 2 .y (4x y ) x在L上的曲線積分不滿足格林公式的條件 ,取 一足夠小的橢圓(a足夠小)l:4x2 y2= a2,使 l位于L內(nèi),且取逆時針方向.由L與T構成一條封閉曲線,利