巧解排列組合的21種模型

1、巧解排列組合的21種模型排列組合問題是高考的必考題， 它聯(lián)系實際生動有趣，但題型多樣， 思路靈活，不易掌 握.實踐證明，掌握題型和識別模式，并熟練運(yùn)用，是解決排列組合的有效途徑.下面就系統(tǒng) 地介紹巧解排列組合的21種模型.1 .相鄰問題捆綁法：題目中規(guī)定相鄰的幾個元素捆綁成一個組，當(dāng)作一個大元素參與排 列.例1. A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果 A,B必須相鄰且B在A的右邊，那么不同的 排法種數(shù)有A 60 種B 、 48 種 C 、 36 種 D 、 24 種解析：把A,B視為一人，且B固定在A的右邊，則本題相當(dāng)于4人的全排列，A4 24種, 答案：D.2 .相離問題插空排：元素相離

2、（即不相鄰）問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列， 再把規(guī)定的相離的幾個元素插入上述幾個元素的空位和兩端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是A 1440 種 B 、3600 種 C 、4820 種 D 、4800 種解析：除甲乙外，其余5個排列數(shù)為A；種，再用甲乙去插6個空位有A：種，不同的排 法種數(shù)是A5 A2 3600種，選B.3 .定序問題縮倍法：在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù) 的方法.例3. A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊（A, B可以不相鄰）那 么不同的排法種數(shù)是A 24 種B 、60 種 C

3、 、90 種 D 、120 種/解析：B在A的右邊與B在A的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是5個元素全排列數(shù)的一半，即1 A； 60種，選B./24 .標(biāo)號排位問題分步法：把元素排到指定位置上，可先把某個元素按規(guī)定排入，第二步 再排另一個元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成./例4.將數(shù)字1, 2, 3, 4填入標(biāo)號為1, 2, 3, 4的四個方格里，每格填一個數(shù)，則每 個方格的標(biāo)號與所填數(shù)字均不相同的填法有A、6 種B 、9 種 C 、11 種 D 、23 種解析：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對應(yīng)數(shù)字填 入其它三個方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個數(shù)字，只有

4、一種填法，共有 3X3X 1=9種填法，選B./5 .有序分配問題逐分法：有序分配問題指把元素分成若干組，可用逐步下量分組法.例5. (1)有甲乙丙三項任務(wù)，甲需 2人承擔(dān)，乙丙各需一人承擔(dān)，從10人中選出4 人承擔(dān)這三項任務(wù)，不同的選法種數(shù)是A 1260 種B 、2025 種 C 、2520 種 D 、5040 種解析：先從10人中選出2人承擔(dān)甲項任務(wù)，再從剩下的8人中選1人承擔(dān)乙項任務(wù)， 第三步從另外的7人中選1人承擔(dān)丙項任務(wù)，不同的選法共有 G2.C8C； 2520種，選C.(2) 12名同學(xué)分別到三個不同的路口進(jìn)行流量的調(diào)查，若每個路口 4人，則不同的分 配方案有4 4 04A C1；

5、C；C4種B 、3C；C；C：種 C 、C1；C；A；種 D、C12c3 c4 種A答案：A.6.全員分配問題分組法：例6. (1) 4名優(yōu)秀學(xué)生全部保送到3所學(xué)校去，每所學(xué)校至少去一名，則不同的保送 方案有多少種？解析：把四名學(xué)生分成3組有Cj種方法，再把三組學(xué)生分配到三所學(xué)校有 A；種，故共 有C：A； 36種方法.說明：分配的元素多于對象且每一對象都有元素分配時常用先分組再分配./(2) 5本不同的書，全部分給4個學(xué)生，每個學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為A 480 種 B 、240 種 C 、120 種 D 、96 種/答案：B.7 .名額分配問題隔板法：、/例個三好學(xué)生名額分到7個班級

6、，每個班級至少一個名額，有多少種不同分配方案？解析：10個名額分到7個班級，就是把10個名額看成10個相同的小球分成7堆，每 堆至少一個，可以在10個小球的9個空位中插入6塊木板，每一種插法對應(yīng)著一種分配方 案，故共有不同的分配方案為C6 84種.8 .限制條件的分配問題分類法：例8.某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中選4人分別到西部四城市參加中國西部經(jīng)濟(jì)開 發(fā)建設(shè)，其中甲同學(xué)不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？解析：因為甲乙有限制條件，所以按照是否含有甲乙來分類，有以下四種情況：若甲乙都不參加，則有派遣方案 A4種；若甲參加而乙不參加，先安排甲有 3種方 法，然后安排其余學(xué)生有 A3

7、方法，所以共有3A83；若乙參加而甲不參加同理也有3A3種； 若甲乙都參加，.則先安排甲乙，有7種方法，然后再安排其余8人到另外兩個城市有 簿種， 共有7A2方法.所以共有不同的派遣方法總數(shù)為 A 3A3 3A 7A2 4088種.9 .多元問題分類法：元素多，取出的情況也多種，可按結(jié)果要求分成不相容的幾類情況 分別計數(shù)，最后總計.例9. (1)由數(shù)字0, 1, 2, 3, 4, 5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于 十位數(shù)字的共有A 210 種 B 、300 種 C 、464 種 D 、600 種解析：按題意，個位數(shù)字只可能是 0、1、2、3和4共5種情況，分別有 點、A4A3A3、

8、 A；A1A3、A2A1A3和A1A；個，合并總計300個,選B.(2)從1, 2, 3,100這100個數(shù)中，任取兩個數(shù)，使它們的乘積能被 7整除，這兩 個數(shù)的取法(不計順序)共有多少種？解析：被取的兩個數(shù)中至少有一個能被 7整除時，他們的乘積就能被7整除，將這100 個數(shù)組成的集合視為全集I,能被7整除的數(shù)的集合記做A 7,14,21,|“98共有14個元素， 不能被7整除的數(shù)組成的集合記做A 1,2,3,4, |,100共有86個元素；由此可知，從A中 任取2個元素的取法有C24,從A中任取一個，又從。1 A中任取一個共有C114c86,兩種情形共 符合要求的取法有C14 C；4C；6

9、1295種.(3)從1, 2, 3,，100這100個數(shù)中任取兩個數(shù)，使其和能被 4整除的取法(不計 順序)有多少種？解析：將I1,2,3|,100分成四個不相交的子集，能被 4整除的數(shù)集A 4,8,12,|(100 ;能被4除余1的數(shù)集B、1,5,9“97 ,能被4除余2的數(shù)集C 2,6,|,98 ,能被4除余3的數(shù)集D 3,7,11,|(99 ,易見這四個集合中每一個有25個元素；從A中任取兩個數(shù)符合要；從B,D中各取一個數(shù)也符合要求；從C中任取兩個數(shù)也符 合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有C；5 C；5C；5 C；5種.10 .交叉問題集合法：某些排列組合問題幾部分

10、之間有交集，可用集合中求元素個數(shù)公式 n(AUB) n(A) n(B) n(ApjB).例10.從6名運(yùn)動員中選出4人參加4X 100米接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第 四棒，共有多少種不同的參賽方案？解析：設(shè)全集=6人中任取4人參賽的排列, A= 甲跑第一棒的排列 , B= 乙跑第四棒的排列,根據(jù)求集合元素個數(shù)的公式得參賽方法共有：4.3.3.2n(I) n(A) n(B) n(A B) A6 A5 A5 A4252 種.11 .定位問題優(yōu)先法：某個或幾個元素要排在指定位置，可先排這個或幾個元素；再排 其它的元素。例名老師和4名獲獎同學(xué)排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少

11、種？解析：老師在中間三個位置上選一個有 A3種，4名同學(xué)在其余4個位置上有A：種方法； 所以共有A1A；4 72種.12 .多排問題單排法：把元素排成幾排的問題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理 . 例12. (1) 6個不同的元素排成前后兩排，每排 3個元素，那么不同的排法種數(shù)是A、36 種 B 、120 種 C 、720 種 D 、1440 種解析：前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個不同的元素排成一排，共A(6720/種，選C.(2) 8個不同的元素排成前后兩排，每排 4個元素，其中某2個元素要排在前排，某1 個元素排在后排，有多少種不同排法？解析：看成一排，某2個元素在前半段四個位置

12、中選排2個，有6種，某1個元素排 在后半段的四個位置中選一個有 A4種，其余5個元素任排5個位置上有A；種，故共有 A4A2慰5760種排法./13 .“至少”“至多”問題用間接排除法或分類法：抽取兩類混合元素不能分步抽.例13.從4臺甲型和5臺乙型電視機(jī)中任取3臺，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺， 則不同的取法共有A、140 種 B 、80 種 C 、70 種 D 、35 種解析1:逆向思考，至少各一臺的反面就是分別只取一種型號，不取另一種型號的電視機(jī)，故不同的取法共有C； C43 C53 70種,選.C解析2:至少要甲型和乙 型電視機(jī)各一臺可分兩種情況：甲型 1臺乙型2臺；甲型2 臺乙型

13、1臺；故不同的取法有C；C； C；C2 70臺，選C.14 .選排問題先取后排：從幾類元素中取出符合題意的幾個元素，再安排到一定的位置 上，可用先取后排法.例14. (1)四個不同球放入編號為1, 2, 3, 4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法有 多少種？/解析：“先取”四個球中二個為一組，另二組各一個球的方法有C：種，“冉排”在四個盒中每次排3個有A；種，故共有CjA； 144種.(2) 9名乒乓球運(yùn)動員，其中男5名，女4名，現(xiàn)在要進(jìn)行混合雙打訓(xùn)練，有多少種 不同的分組方法？解析：先取男女運(yùn)動員各2名，有C；C2種，這四名運(yùn)動員混和雙打練習(xí)有 A；中排法， 故共有C；C：A； 120種.15

14、 .部分合條件問題排除法：在選取的總數(shù)中，只有一部分合條件，可以從總數(shù)中減去不 符合條件數(shù)，即為所求.例15. (1)以正方體的頂點為頂點的四面體共有A 70 種B 、64 種 C 、58 種 D 、52 種解析：正方體8個頂點從中每次取四點，理論上可構(gòu)成 C；四面體，但6個表面和6個 對角面的四個頂點共面都不能構(gòu)成四面體，所以四面體實際共有C84 12 58個. /(2)四面體的頂點和各棱中點共10點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有A 150 種 B 、147 種C 、144 種 D 、141 種解析：10個點中任取4個點共有C：種，其中四點共面的有三種情況：在四面體的四個面上，每面

15、內(nèi)四點共面的情況為C；,四個面共有4c4個；過空間四邊形各邊中點的平行四邊形共3個；過棱上三點與對棱中點的三角形共 6個.所以四點不共面的情況的種數(shù)是 44C10 4c6 3 6 141 種./16 .圓排問題線排法：把n個不同元素放在圓周n個無編號位置上的排列，順序(例如按順時鐘）不同的排法才算不同的排列，而順序相同（即旋轉(zhuǎn)一下就可以重合）的排法認(rèn)為是相同的，它與普通排列的區(qū)別在于只計順序而首位、末位之分，下列 n個普通排列：ai, 82,83加an, a3, aj, an;an,aij冏i在圓排列中只算一種，因為旋轉(zhuǎn)后可以重合，故認(rèn)為相同，n個元素的圓排列數(shù)有 靈種.因此可將某個元素固定展

16、成線排，其它的n 1 n元素全排列.例對姐妹站成一圈，要求每對姐妹相鄰，有多少種不同站法？解析：首先可讓5位姐姐站成一圈，屬圓排列有 4種，然后在讓插入其間，每位均可 插入其姐姐的左邊和右邊，有2種方式，故不同的安排方式24 25 768種不同站法.說明：從n個不同元素中取出m個元素作圓形排列共有 工種不同排法. m17 .可重復(fù)的排列求幕法：允許重復(fù)排列問題的特點是以元素為研究對象， 元素不受位置 的約束，可逐一安排元素的位置，一般地 n個不同元素排在m個不同位置的排列數(shù)有、mn種 方法.例17.把6名實習(xí)生分配到7個車間實習(xí)共有多少種不同方法？解析：完成此事共分6步，第一步；將第一名實習(xí)生

17、分配到車間有 7種不同方案，第二 步：將第二名實習(xí)生分配到車間也有 7種不同方案，依次類推，由分步計數(shù)原理知共有76種 不同方案.18 .復(fù)雜排列組合問題構(gòu)造模型法：例18.馬路上有編號為1, 2, 3，9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相 鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種？解析：把此問題當(dāng)作一個排對模型，在 6盞亮燈的5個空隙中插入3盞不亮的燈C；種方法,所以滿足條件白關(guān)燈方案有10種./說明：一些不易理解的排列組合題，如果能轉(zhuǎn)化為熟悉的模型如填空模型，排隊模型， 裝盒模型可使問題容易解決.19 .元素個數(shù)較少的排列組合問題可以考慮枚舉法 ：/例19

18、.設(shè)有編號為1, 2, 3, 4, 5的五個球和編號為川，2, 3, 4, 5的盒子現(xiàn)將這5個 球投入5個盒子要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的號碼與盒子號碼相同， 問有多 少種不同的方法？解析：從5個球中取出2個與盒子對號有C；種，還剩下3個球與3個盒子序號不能對應(yīng)，利用枚舉法分析，如果剩下 3, 4, 5號球與3, 4, 5號盒子時，3號球不能裝入3號盒子,當(dāng)3號球裝入4號盒子時，4, 5號球只有1種裝法，3號球裝入5號盒子時，4, 5號球也只有1種裝法，所以剩下三球只有2種裝法，因此總共裝法數(shù)為2C； 20種.20 .復(fù)雜的排列組合問題也可用分解與合成法：例20. (1) 30030能被多少個不同偶數(shù)整除?解析：先把300