偏導與積分復習

1、2021-12-2910000( , )(,)lim( , )(,)x yxyf x yf xyxyxfyxxfx),(),(lim00000),(00yxfx1. 極限極限 證明極限證明極限不存在不存在的方法：路徑法的方法：路徑法 求極限的方法（坐標變換法）求極限的方法（坐標變換法）2. 連續(xù)連續(xù) 上頁 下頁 返回 APfPP)(lim0,0 ,0 時，當00 PP有有)( APf3. 偏導數(shù)偏導數(shù)0),(dd0 xxyxfx第八章第八章 多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法2021-12-292連續(xù)性連續(xù)性 偏導數(shù)存在偏導數(shù)存在 方向?qū)?shù)存在方向?qū)?shù)存在(以后講以后講)可微性可微性 偏導數(shù)連續(xù)偏導

2、數(shù)連續(xù)5. 微分微分4. 偏導數(shù)計算：復合函數(shù)求偏導，隱函數(shù)求偏導，偏導數(shù)計算：復合函數(shù)求偏導，隱函數(shù)求偏導，及其高階導數(shù)及其高階導數(shù)zyyxfxyxfyx),(),(dz yyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx)( o2021-12-293例例1. 討論二重極限討論二重極限yxyxyx00lim解法解法101lim1100 xyyx原式解法解法2 令令, xky 01lim0kkxx原式解法解法3 令令,sin,cosryrx0sincossincoslim0rr原式時時, 下列算法下列算法是否正確是否正確? 上頁 下頁 返回 2021-12-294分析分析:yxyxyx00l

3、im解法解法101lim1100 xyyx解法解法2 令令, xky 01lim0kkxx原式此法第一步排除了此法第一步排除了沿坐標軸沿坐標軸趨于原點的情況趨于原點的情況, 此法排除了此法排除了沿曲線沿曲線趨于原點的情況趨于原點的情況. 時例如xxy21lim2230 xxxx原式此時極限為此時極限為 1 .第二步第二步 未考慮分母變化的所有情況未考慮分母變化的所有情況, , 1,111xyxxy時例如 上頁 下頁 返回 2021-12-295解法解法3 令令,sin,cosryrx0sincossincoslim0rr原式此法忽略了此法忽略了 的的任意性任意性,時當4, 0r)sin(2si

4、ncossincossincos4rr極限極限不存在不存在 !由以上分析可見由以上分析可見, 三種解法都不對三種解法都不對, 因為都不能保證因為都不能保證自變量在定義域內(nèi)自變量在定義域內(nèi)以任意方式趨于原點以任意方式趨于原點 .特別要特別要注意注意, 在某些情況下可以利用極坐標求極限在某些情況下可以利用極坐標求極限, 但要注意在定義域內(nèi)但要注意在定義域內(nèi) r , 的變化的變化應該是任意的應該是任意的. 同時還可看同時還可看 到到,本題極限實際上不存在本題極限實際上不存在 . 上頁 下頁 返回 2021-12-2960,00,)(),(2222232222yxyxyxyxyxf證證: 利用利用 ,

5、222yxyx2122)(41),(yxyxf)0,0(0),(lim00fyxfyx故故f 在在 (0,0) 連續(xù)連續(xù);, 0), 0()0 ,(yfxf又因0)0 , 0()0 , 0(yxff所以知知在點在點(0,0) 處處連續(xù)連續(xù)且且偏導數(shù)存在偏導數(shù)存在 , 但但不可微不可微 . 例例2. 證明證明: 上頁 下頁 返回 2021-12-297而而)0 , 0(f,00時，當yx22)0 , 0()()(yxf22222)()( )()(yxyx0所以所以 f 在點在點(0,0)不可微不可微 !232222)()( )()(yxyx0,yx 22222() ()()() 1 10 04

6、4xyxy 而當而當 上頁 下頁 返回 2021-12-298222,.zzzyyx y ( 有二階連續(xù)偏導數(shù)有二階連續(xù)偏導數(shù)), 求求例例3 設(shè)設(shè)f3(,),yzx f xyx解解3121()zxfxfyx 4212,xfxf24211122122211()()zxfxfxfxfyxx 531112222,xfxfx f 上頁 下頁 返回 2021-12-29922zzx yy x 221222()yxfyfx 4212()xfxfx3412112242.xfx fx y fy f3411112224()2yxfxfyfx fx 上頁 下頁 返回 2021-12-2910: )() 1 (2

7、xyfxz : )()2(2xyxfzxyxyfxyz2)(2xyfyz2 fxyxyfxy )1(22222fxy 232fy 22zy x 2zy x fy2)(22xyfxy 2)1(22xyfxy22 上頁 下頁 返回 例例42021-12-291102dsin,x zxyxtexyett ),(zyxfu 有連續(xù)的一階偏導數(shù)有連續(xù)的一階偏導數(shù) , )(xyy 及及)(xzz 分別由下兩式確定分別由下兩式確定求求.ddxu又函數(shù)又函數(shù)答案答案:321)sin()(1ddfzxzxefxyfxux( 2001考研考研 ）例例5. 設(shè)設(shè) 上頁 下頁 返回 2021-12-2912設(shè)設(shè)zzy

8、xzyxF4),(222則則,2xFxzxFFxz兩邊對兩邊對 x 求偏導求偏導)2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx242 zFz 上頁 下頁 返回 例例6. 設(shè)設(shè),04222zzyx.22xz求2021-12-2913例例7. 設(shè)設(shè)其中其中 f 與與F分別具分別具,0),(, )(zyxFyxfxz解；方程兩邊對解；方程兩邊對 x 求導求導, 得得xzdd)0(23FFfxxzdd1F 23FFfx 1 32FFfx12FFfxffx221FffFxfFx有一階導數(shù)或偏導數(shù)有一階導數(shù)或偏導數(shù), 求求fxfxzxyfxdddd132ddddFxzFxy

9、Ff fx)dd1 (xy.ddxzxyFdd20dd3xzF(99 考研考研) 上頁 下頁 返回 (用隱函數(shù)求導公式用隱函數(shù)求導公式)2021-12-2914例例8.設(shè)設(shè)),(zyxfu 有二階連續(xù)偏導數(shù)有二階連續(xù)偏導數(shù), 且且,sin2txz , )ln(yxt求求.,2yxuxu解解:uzyxtxyxxu1f(3 ftxsin2tx cos2)yxu2 12f(13 ftx cos2) 32f 33f)1cos(2yxtx)cossin2(2yxtxtx 3fyxtx1cos222)( yxxyxt1sin)(yx 1cos tyx 1yx 1 上頁 下頁 返回 2021-12-2915

10、6.6.幾何幾何應用應用（1）空間曲線切線及法平面）空間曲線切線及法平面 上頁 下頁 返回 )()()(:tztytx0),(0),(:zyxGzyxF( )( )( )( )xxyxyxzxzx切向量切向量)(, )(, )(000tttT)(, )(, 100 xxT（2）曲面的切平面與法線）曲面的切平面與法線0),(:zyxF),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx2021-12-29167.7.方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度（1）定義）定義 上頁 下頁 返回 （2）公式）公式fl,)()()(222zyx,cosx,cosycosz),(),(lim0

11、zyxfzzyyxxfcoscoscoszfyfxflf（3）梯度）梯度),(, ),(gradyxfyxffyx2021-12-29178.極值極值（1） 無條件極值無條件極值第一步第一步 利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點.即解方程組即解方程組第二步第二步 利用充分條件利用充分條件 判別駐點是否為極值點判別駐點是否為極值點 .（2） 條件極值條件極值(1) 簡單問題用代入法簡單問題用代入法, ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如對二元函數(shù)如對二元函數(shù)(2) 一般問題用拉格朗日乘數(shù)法一般問題用拉格朗日乘數(shù)法 上頁 下頁 返回 2021-12-2918設(shè)拉格

12、朗日函數(shù)設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值下的極值,解方程組解方程組第二步第二步 判別判別 比較駐點及邊界點上函數(shù)值的大小比較駐點及邊界點上函數(shù)值的大小 根據(jù)問題的實際意義確定最值根據(jù)問題的實際意義確定最值第一步第一步 找目標函數(shù)找目標函數(shù), 確定定義域確定定義域 ( 及約束條件及約束條件)9. 最值最值在條件在條件求駐點求駐點 . ),(yxfz 0),(yx),(),(yxyxfF0 xxxfF0yyyfF0F 上頁 下頁 返回 2021-12-2919例例9. 函數(shù)函數(shù))ln(222zyxu在點在點)2,2, 1 (M處的梯度處的梯度Mugrad)2, 2, 1 (,grad

13、zuyuxuuM解解:,222zyxr令則則xu21rx2注意注意 x , y , z 具有輪換對稱性具有輪換對稱性)2, 2, 1 (2222,2,2rzryrx)2,2, 1 (92)2,2, 1 (92(92考研考研) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-12-2920指向指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向?qū)?shù)是方向的方向?qū)?shù)是 .在點在點A( 1 , 0 , 1) 處沿點處沿點Axd d例例10. 函數(shù)函數(shù))ln(22zyxu提示提示:31,32,32則則cos,cos,cosAxu) 1ln( x1x,21yd dAyu) 11ln(2y0y,0(96考研考研), ) 1

14、 ,2,2(AB0ABl 2121Azucoscoscoszuyuxulu21 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-12-2921()zxf yz( , , )()F x y zzxf yz1,1xyzFFfFf 1,1.nff 例例11 曲面曲面在任一點處的切平面在任一點處的切平面( ).,則則故切平面的法向量為故切平面的法向量為 A.垂直于一定直線垂直于一定直線; B.平行于一定平面平行于一定平面;C.與一坐標平面成定角與一坐標平面成定角; D.平行于一定直線平行于一定直線.所以所以,應選應選D.解：設(shè)解：設(shè) 1,11,1,10,ff 1,1,1l 又又故切平面平行于以故切平面平行于以

15、為方向向量的直線為方向向量的直線.2021-12-2922例例12.求曲線求曲線 3cos,2sincos ,10 0d dtutxeu u ytt ze 0t 對應點處的切線方程和法平面方程對應點處的切線方程和法平面方程.0t 切線方程切線方程01x法平面方程法平面方程2(1)3(2)0 xyz即即解解: 由于由于cos ,uxet 12y23z 2cossin ,ytt 33,tze 對應的切向量為對應的切向量為在在(1, 2,3)T , 故故 上頁 下頁 返回 2380 xyz時時, x(0) = 0, y(0) = 1, z(0) = 2. 又又(0)1;x(0)2;y(0)3.z20

16、21-12-2923例例13.13.求函數(shù)求函數(shù)解解: 第一步第一步 求駐點求駐點. .得駐點得駐點: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判別判別.在點在點(1,0) 處處為極小值為極小值; ;解方程組解方程組ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的極值的極值. .求二階偏導數(shù)求二階偏導數(shù),66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-12-2924在點在點(

17、 3,0) 處處不是極值不是極值; ;在點在點( 3,2) 處處為極大值為極大值. .,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在點在點(1,2) 處處不是極值不是極值; ;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-12-2925例例14.22zxy求旋轉(zhuǎn)拋物面求旋轉(zhuǎn)拋物面與平面與平面之間的最短距離之間的最短距離.解：解：1226dxyz設(shè)設(shè)為拋物面為拋物面上任一點，上任一點， 則則 P

18、 ( , , )P x y z的距離為的距離為問題歸結(jié)為問題歸結(jié)為2(22)(min)xyz約束條件約束條件:220 xyz目標函數(shù)目標函數(shù):22xyz作拉氏函數(shù)作拉氏函數(shù)222( , , )(22)()F x y zxyzzxy到平面到平面22zxy22zxy22xyz 上頁 下頁 返回 2021-12-2926222( , , )(22)()F x y zxyzzxy111,.448xyz令令22zxy解此方程組得唯一駐點：解此方程組得唯一駐點：2(22)20yFxyzy 2(22)( 2)0zFxyz2(22)20 xFxyzx 由實際意義最小值存在由實際意義最小值存在 ,min1111

19、24446d74 6故故 上頁 下頁 返回 2021-12-2927第九章重積分第九章重積分1. 二重積分二重積分直角坐標系情形直角坐標系情形 : 若積分區(qū)域為若積分區(qū)域為 X 型型)()(,),(21xyyxybxayxD則則)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若積分區(qū)域為若積分區(qū)域為 Y 型型)()(,),(21yxxyxdycyxD則則xy)(1yxx Ddc)(2yxx )()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaD目錄 上頁 下頁 返回 2021-12-2928)()(,),(21rrDDDrrfyxf)s

20、in,cos(d),(則則)()(21d)sin,cos(drrrrf極坐標系情形極坐標系情形: 若積分區(qū)域為若積分區(qū)域為ddrrDo)(1r)(2r目錄 上頁 下頁 返回 對稱性對稱性 ) , ( yxf是關(guān)是關(guān)則則 . d ) , ( 2 d ) , ( 1 DD y xf y xf對稱性：對稱性：若區(qū)域若區(qū)域 D 關(guān)于關(guān)于 y 軸對稱軸對稱 ,奇函數(shù)奇函數(shù), 那么那么. 0 d ) , ( D y xf ) , ( yxf是關(guān)于是關(guān)于 x 的的于于 x 的偶函數(shù)，的偶函數(shù)，若若, 2 1 DDD 關(guān)于關(guān)于 y 軸對稱，軸對稱，與與1 D2 D2021-12-2929例例1. 求求 , d

21、 sin 2 DyI其中其中 D 是由直線是由直線 2 y和和 y 軸所圍成的閉區(qū)域。軸所圍成的閉區(qū)域。xyO解：解： d sin d 0 2 2 0 xyyIy 1 . 2 , xy 2 d sin 2 0 2 yyy, d sin d )( ) ( 2 xyyIyqypdc ? d sin d )( ) ( 2 yyxIorxxba 目錄 上頁 下頁 返回 2021-12-2930其中其中 1: 0, 0tansec4Dr23: , 0csc44Dr33: , 0tansec4Dr所以所以 tan sec400( , )d dd( cos , sin ) dDf x yx yf rrr r

22、3csc404d( cos , sin ) df rrr rtan sec304d( cos , sin ) df rrr r例例2 把積分把積分 ( , )d dDf x yx y表為極坐標形式的二次積分表為極坐標形式的二次積分 解解 在極坐標下積分區(qū)域可表示為在極坐標下積分區(qū)域可表示為D D1 D2 D3 其中積分區(qū)域其中積分區(qū)域 D (x y)| x2 y 1 1 x 1 D111D3D2D 目錄 上頁 下頁 返回 2021-12-2931例例3. 計算二重積分計算二重積分,dd)(222yxeyxxIyxD其中其中:D為圓域為圓域; 122 yx解解: 利用對稱性利用對稱性.yox1D

23、yxxIDdd20dd)(2122yxyxD10320dd21rr4yxeyxDyxdd22 目錄 上頁 下頁 返回 2021-12-2932Ddxdyyxxy22110, 1: ),(22xyxyxD22221111DDxydxdydxdyxyxyDx221yxxyyDdxdyyxxyI01222其中其中解：解：由于積分區(qū)域由于積分區(qū)域關(guān)于關(guān)于軸對稱，被積函數(shù)軸對稱，被積函數(shù)關(guān)于關(guān)于是奇函數(shù)，所以是奇函數(shù)，所以，12221DxydxdyIIxy例例4. 2021-12-29331.Icos ,xsin ,yD10 ,22:),(D112212200211(1)121Iddd122211Dxy

24、dxdyIIxy下面計算下面計算令令則區(qū)域則區(qū)域的極坐標表示為的極坐標表示為故故210ln(1)ln222ln20ln2.222021-12-2934例例5. 計算二重積分計算二重積分,dd)35(Dyxyx其中其中D 是由曲是由曲044222yxyx所圍成的平面域所圍成的平面域 .解解:2223)2() 1(yx其形心坐標為其形心坐標為:面積為面積為:9ADyxxIdd5923) 1(5ADyxydd3積分區(qū)域積分區(qū)域線線形心坐標形心坐標2,1yxDyxxAxdd1DyxyAydd1AyAx35 目錄 上頁 下頁 返回 2021-12-2935例例6. 設(shè)設(shè)f ( x ) 為為 a, b 上

25、的正值連續(xù)函數(shù)，證明：上的正值連續(xù)函數(shù)，證明：21( )dd() . ( )bbaaf x xxbaf x證：證：其中其中1( ) dd ( )bbaaIf xxxf x1 ( )dd ( )bbaaf x xyf y( ) d ( )Df xf y , , .Dabab( ) d , ( )Df yf x1( )( ) d 2( )( )Df xf yIf yf x1 2 d 2D2() b a 目錄 上頁 下頁 返回 2021-12-29362.2.三重積分的計算及應用三重積分的計算及應用 目錄 上頁 下頁 返回 3. 重積分應用重積分應用1. 幾何方面幾何方面面積面積 ( 平面域或曲面域

26、平面域或曲面域 ) , 體積體積 , 形心形心質(zhì)量質(zhì)量, 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量, 質(zhì)心質(zhì)心, 引力引力 2. 物理方面物理方面2021-12-2937例例7. 把積分把積分zyxzyxfddd),(化為三次積分化為三次積分,其中其中 由曲面由曲面222,xyyxz0,1zy提示提示: 積分域為積分域為:原式原式022( , , )dxyf x y zz及平面及平面220yxz12 yx11x12dxy11dx所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域 .xyz 目錄 上頁 下頁 返回 2021-12-293822(),xydvzyx2222z8z82 ,2: ),(22zzyxzyx82,20 ,20:),(z

27、zz22()xydv8228242)024(2dzzdzz336)28(3233 例例8 8，計算，計算其中積分域其中積分域面面及平面及平面與與所圍成的體域。所圍成的體域。則的柱面坐標表示為：則的柱面坐標表示為：于是，于是，解：由題意可知解：由題意可知是由曲是由曲8222200zdzdd 2021-12-2939例例9.,)0(, 0)0(,)(存在設(shè)ffCuf，求)(1lim40tFtt)(tF解解: 在球坐標系下在球坐標系下trrrftF02020d)(dsind)(trrrf02d)(440)(limttFt利用洛必達法則與導數(shù)定義利用洛必達法則與導數(shù)定義, ,得得3204)(4limt

28、ttftttft)(lim0)0(f0)0(Fzyxzyxftzyxddd)(2222222其中其中 0)0(f 目錄 上頁 下頁 返回 2021-12-2940例例10:計算計算由兩個半球面,)(22dxdydzyxI222,zbxy解解: 的表達式中含的表達式中含 x2+y2+z2,令令 x = r sin cos , y=r sin sin , z=r cos . 2d d dsin d d d .x y zrr 且兩球面方程分別為且兩球面方程分別為r = b和和r = a, (a b).0ar=azyxbr=b222(0)zaxyab及平面及平面z = 0圍成圍成.可用球面坐標求積分可

29、用球面坐標求積分.則則2021-12-29410ar=azyxbr=bdvyxI)(222020222sinsinbadrrrddbadrrd4203sin2552 12()3 5ba)(15455ab 由由 的形狀知的形狀知,a r b, 0 , 0 2 .22021-12-2942()d ,xyzv222yxz22yxz321)(IIIzdvydvxdvdvzyxyoz01Ixoz02I22222yxzyxz1122zyx例例11.11.利用柱面坐標計算三重積分利用柱面坐標計算三重積分其中其中是由曲面是由曲面及及的體域。的體域。而而關(guān)于關(guān)于平面對稱，平面對稱，x 是奇函數(shù)，故是奇函數(shù)，故關(guān)

30、于關(guān)于平面對稱，平面對稱，y是奇函數(shù)，故是奇函數(shù)，故由由可得可得解：解：所圍成所圍成 目錄 上頁 下頁 返回 2021-12-2943xoy1: ),(22yxyxDz2,20 , 10: ),(22zz20210322zdzddI1042)2(212d01)64(642127127321IIII因此因此在在面上的投影為面上的投影為故故的柱面坐標表示為：的柱面坐標表示為：于是于是故故 目錄 上頁 下頁 返回 2021-12-2944222,zRxy2241()() d dDzzIx yxy22 , ):,0,0,Dx yxyRx xy , ):0/2, 0cos DR cos222004ddR

31、IRR2204(1 sin )dR)2(22R根據(jù)對稱性，則根據(jù)對稱性，則其中其中極坐標形式為極坐標形式為故故例例12. 12. 求球面求球面解：球面方程為解：球面方程為2224d dDRx yRxy2220cos4()d0RRR 目錄 上頁 下頁 返回 被圓柱面被圓柱面2222xyzR22,xyRx所截得的那一部分的面積（指含在圓柱面內(nèi)部）。所截得的那一部分的面積（指含在圓柱面內(nèi)部）。2021-12-2945第十章第十章. 線積分線積分1.曲線積分曲線積分第一類第一類 ( 對弧長對弧長 )第二類第二類 ( 對坐標對坐標 )(1) 統(tǒng)一積分變量統(tǒng)一積分變量轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化定積分定積分用參數(shù)方程用參數(shù)方

32、程用直角坐標方程用直角坐標方程用極坐標方程用極坐標方程(2) 確定積分上下限確定積分上下限第一類第一類: 下小上大下小上大第二類第二類: 下始上終下始上終 目錄 上頁 下頁 返回 2. 格林公式，曲線積分與路徑無關(guān)的格林公式，曲線積分與路徑無關(guān)的4個等價條件個等價條件2021-12-2946例例1 計算計算,d22syxL其中其中L為圓周為圓周.22xayx提示提示: 利用極坐標利用極坐標 ,)22(cos: arLdd22rrs原式原式 =sxaLd22dcos22aa22a說明說明: 若用參數(shù)方程計算若用參數(shù)方程計算,:L)20( txaoyrda)cos1 (2txatyasin2t則則

33、tyxsdd22 tad2 目錄 上頁 下頁 返回 2021-12-2947ttad)cos1 ( 例例2. 計算計算,dd)2(Lyxxya其中其中L為擺線為擺線, )sin(ttax)cos1 (tay上對應上對應 t 從從 0 到到 2 的一段弧的一段弧.提示提示:202dsinttta原式202sincosttta22 a)cos1 (tattattadsin)sin(yxxyadd)2(tttadsin2 目錄 上頁 下頁 返回 2021-12-2948 F原點原點 O 的距離成正比的距離成正比,例例3 設(shè)一個質(zhì)點在設(shè)一個質(zhì)點在),(yxM處受處受恒指向原點恒指向原點,)0,(aA沿

34、橢圓沿橢圓此質(zhì)點由點此質(zhì)點由點12222byax沿逆時針移動到沿逆時針移動到, ),0(bB),(yxMxyo)0 ,(aA), 0(bB提示提示:yykxxkWdd AB:ABtaxcostbysin20:t(解見解見 P139 例例5), ),(yxOM F 的大小與的大小與M 到原到原F 的方向的方向力力F 的作用的作用,求力求力F 所作的功所作的功. ),(yxkFF),(xyk思考思考: 若題中若題中F 的方向的方向 改為與改為與OM 垂直且與垂直且與 y 軸夾銳角軸夾銳角,則則 目錄 上頁 下頁 返回 2021-12-2949例例4 計算計算2d ,xs其中其中 為球面為球面 2222azyx