拋物線中兩線段的和最小問(wèn)題(及差最大問(wèn)題)

1、精品文檔拋物線中兩線段和最小問(wèn)題（及差最大問(wèn)題）（已整理A4）1. （ 2012 湖北恩施8 分）如圖，已知拋物線y= x2+bx+c 與一直線相交于A（1 ， 0） ， C（ 2 ， 3 ）兩點(diǎn)，與y 軸交于點(diǎn)N 其頂點(diǎn)為D （ 1 ）拋物線及直線AC 的函數(shù)關(guān)系式；（ 2）設(shè)點(diǎn)M （ 3， m） ，求使 MN+MD 的值最小時(shí)m 的值；（ 3 ） 若拋物線的對(duì)稱軸與直線AC 相交于點(diǎn)B ， E 為直線 AC 上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) E 作 EF BD交拋物線于點(diǎn)F，以B， D， E， F 為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點(diǎn)E 的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；（ 4）若 P 是拋物線上位于直

2、線AC 上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求APC 的面積的最大值12. （ 2012 湖北黃岡14分）如圖，已知拋物線的方程C 1: y x 2 （x m） m 0 與 x 軸m相交于點(diǎn)B、 C，與y 軸相交于點(diǎn)E，且點(diǎn)B 在點(diǎn) C 的左側(cè) .（1）若拋物線C1過(guò)點(diǎn) M（2， 2），求實(shí)數(shù)m 的值（2）在 （1）的條件下，求BCE的面積（3）在 （1）的條件下，在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)H，使 BH+EH 最小，并求出點(diǎn)H的坐標(biāo)（4）在第四象限內(nèi)，拋物線 C 1上是否存在點(diǎn)F， 使得以點(diǎn)B、 C、 F為頂點(diǎn)的三角形與BCE相似?若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由3 （ 2012 湖南郴州10 分）如圖，已知

3、拋物線y ax2 bx c經(jīng)過(guò)A（ 4， 0） ， B（ 2， 3） ，C（ 0， 3）三點(diǎn)（ 1 ）求拋物線的解析式及對(duì)稱軸（ 2 ）在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M ，使得MA+MB 的值最小，并求出點(diǎn)M 的坐標(biāo)（ 3 ）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P ，使得以點(diǎn)A、 B 、 C 、 P 四點(diǎn)為頂點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形為梯形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由4. （ 2012 四川自貢14 分）如圖，拋物線l 交 x 軸于點(diǎn)A（3， 0） 、 B（ 1 ， 0） ，交 y 軸于點(diǎn) C（ 0，3） 將拋物線l 沿 y軸翻折得拋物線l1（ 1 ）求 l 1 的解析式；（ 2） 在 l1 的對(duì)稱軸

4、上找出點(diǎn)P， 使點(diǎn) P 到點(diǎn) A 的對(duì)稱點(diǎn)A1 及 C 兩點(diǎn)的距離差最大，并說(shuō)出理由；（ 3 ）平行于x 軸的一條直線交拋物線l1 于 E 、 F 兩點(diǎn)，若以EF 為直徑的圓恰與x 軸相切，求此圓的半徑1 ， （ 2012 湖北恩施8 分）【分析】 （ 1 ）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式。（ 2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系作 N 點(diǎn)關(guān)于直線x=3 的對(duì)稱點(diǎn)N ，當(dāng)M（ 3， m）在直線DN 上時(shí)，MN+MD 的值最小。（ 3）分 BD 為平行四邊形對(duì)角線和BD 為平行四邊形邊兩種情況討論。（ 4）如圖，過(guò)點(diǎn)P 作 PQ x 軸交 AC 于點(diǎn) Q；過(guò)點(diǎn)C 作 CG x 軸

5、于點(diǎn)G，設(shè)Q（ x， x+1 ） ，則P（ x，x2+2x+3 ） ，求得線段PQ= x2+x+2 。由圖示以及三角形的面積公式知S APC S APQ +SCPQ ，由二次函數(shù)的最值的求法可知 APC 的面積的最大值解： （ 1 ）由拋物線y= x2+bx+c 過(guò)點(diǎn)A（1， 0）及C（2 ， 3）得，1b+c=04+2b+c=3解得 b=2 。 拋物線的函數(shù)關(guān)系式為c=3x2 2x3 。設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為 y=kx+n ，由直線AC 過(guò)點(diǎn) A（1 ， 0）及C （ 2 ， 3）得k+n=02k+n=3直線 AC2 ）作 N的函數(shù)關(guān)系式為點(diǎn)關(guān)于直線x=3y=x+1 。的對(duì)稱點(diǎn)N ，令 x

6、=0，得 y=3，即N（ 0， 3） 。k=1n=1N（ 6，3）由y2x 3=2x 1 +4得 D( 1，4 ） 。設(shè)直線DN 的函數(shù)關(guān)系式為y=sx+t ，則6s+t=3s+t=4s=t=1 。 故直線DN 的函數(shù)關(guān)系式為5y215215邊關(guān)系，知當(dāng)M （ 3，m）在直線DN 上時(shí)，MN+MD 的值最小，321 = 18 。 使 MN+MD55的值最小時(shí)m 的值為18 。 （ 3）由（1） 、 （ 2）得 D（ 1 ， 4） ， B（2） ， 當(dāng) BD 為平行四邊形對(duì)角線時(shí)，B 、 C 、 D、 N 的坐標(biāo)知，四邊形BCDN 是平行四邊形，此時(shí)，點(diǎn)E 與點(diǎn) C 重合，即E（2，3） 。 當(dāng)

7、 BD 為平行四邊形邊時(shí)，點(diǎn) E 在直線 AC 上， 設(shè) E （x， x+1 ） ，則F（ x，2x3）。又 BD=2若四邊形BDEF或 BDFE是平行四邊形時(shí)，BD=EF 。2x=2 ，即解得，x=2 =2 。若 x117 ， E3 ） 、 （ 0， 1 ） 、1+17x 2=2 ，解得，x=0 或 x=1，E0， 1 ） 。若2= 2，1+173+3+17、4 ）如圖，過(guò)點(diǎn)P 作 PQ x 軸交 AC 于點(diǎn)設(shè) Q（ x， x+1 ） ，則 P（ x，PQ (2x3）（APCAPQ +SCPQ17117x2+2x+3 ) 。x 1)1 PQ2AGQ；過(guò)點(diǎn)或 E 117317 。綜上，滿足條件

8、的點(diǎn)E 為（ 2，317。x 2。C 作 CG x 軸于點(diǎn)G，122(xx 2)312(x )2227 。 832<0，278當(dāng) x= 1 時(shí)， APC 的面積取得最大值，最大值為 22， （ 2012 湖北黃岡14 分） 【分析】 （ 1）將點(diǎn)（2， 2）的坐標(biāo)代入拋物線解析式，即可求得m 的值。（ 2 ）求出B 、 C 、 E 點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得 BCE 的面積。 （ 3）根據(jù)軸對(duì)稱以及兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，可知點(diǎn) B 、 C 關(guān)于對(duì)稱軸x=1 對(duì)稱，連接EC 與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的H 點(diǎn)。 （ 4）分兩種情況進(jìn)行討論： 當(dāng) BEC BCF 時(shí)，如圖所示，此時(shí)可求得2 2 +2。

9、 當(dāng) BEC FCB 時(shí)，如圖所示，此時(shí)得到矛盾的等式，故此種情形不存在。解： （ 1） 拋物線 C1 過(guò)點(diǎn) M（2， 2）， 21 2 2 (2 m) ，解得 m=4。 m（ 2）由（1 ）得 y 1 x 2 （x 4） 。 令 x=0 ，得 y 2。 E（ 0， 2） ， OE=2 。 令4y=0 ， 得 01 x 2 （x 4） ， 解得x1=2， x=4。 B（2，0），C（4，0）， BC=6 。1 BCE 的面積 = 16 2 6 。 （ 3）由（2）可得 y x 2 （x 4） 的對(duì)稱軸為24x=1 。連接 CE ，交對(duì)稱軸于點(diǎn)H ，由軸對(duì)稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，知此時(shí)

10、BH+EH 最小。設(shè)直線CE 的解析式為y kx+b ，則4k+b=0 ，解得 k= 1 。 直線 CE 的解析式為y 1 x+2b=222b=2當(dāng) x=1 時(shí)， yH（ 1，3 ） 。 （ 4）存在。分兩種情形討論： 當(dāng) BECBCF 時(shí)，如圖所示。2則BEBC ， BC2=BE?BF。由 （ 2） 知 B（2， 0） ，E（ 0，2）， 即 OB=OE， EBC=45° ，BC BF CBF=45 °。作FTx 軸于點(diǎn)F，則BT=TF 。 令F（x，x2）（x>0） ，又點(diǎn) F 在拋物線上， x2=x 2 （x m） ， x+2 >0（x>0）， x=

11、2m ，F(xiàn)（2m ，m 2m 2） 。此時(shí) BF （2m2） 2 （ 2m 2）2 2 2（ m 1）， BE 2 2， BC m 2 ，又 BC 2=BE?BF， ( m+2 ) 2= 2 2 ?2 2( m1) ，解得m=2± 2 2 。 m> 0， m= 2 2 +2。 當(dāng) BEC FCB 時(shí) ，如 圖 所 示 。 則 BCBFEC ， BC 2=EC?BF 。 同 ， EBC= CFB ，BC BTF COE TFBTOE 2 。 令 F( x，OC m2 （ x+2 ） ） （ x> 0） ， 又點(diǎn) F 在拋物線上， 2 （ x+2）3， （ 2012 湖南郴州

12、10 分） ,【分析】 （ 1 ）已知拋物線上三點(diǎn)A、 B、 C 的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式，再由對(duì)稱軸公式b 求出對(duì)稱軸。（ 2）如圖1 所示，連接AC ，則AC 與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求之M 點(diǎn)；已知點(diǎn)xA、 C 的坐標(biāo)， 利用待定系數(shù)法求出直線AC 的解析式，從而求出點(diǎn)M 的坐標(biāo)。 （ 3） 根據(jù)梯形定義確定點(diǎn)P，如圖 2 所示： 若 BC AP1，確定梯形ABCP 1此時(shí)P1 為拋物線與x 軸的另一個(gè)交點(diǎn)，解一元二次方程即可求得點(diǎn)P1 的坐標(biāo)； 若 AB CP2，確定梯形ABCP2此時(shí) P2位于第四象限，先確定CP2 與 x 軸交點(diǎn)解： （ 1） 拋物線 y ax2N

13、的坐標(biāo)，然后求出直線CN 的解析式，再聯(lián)立拋物線與直線解析式求出點(diǎn)P2的坐標(biāo)。bx c 經(jīng)過(guò)A（4，0） ，B（2，3），C（0， 3）三點(diǎn)，16a 4b c 0 ，解得4a 2b c 3c 338。拋物線的解析式為：3，其對(duì)稱軸為：x b 1 。2a（ 2）由B（ 2， 3） ， C（ 0， 3） ，且對(duì)稱軸為x=1 ，可知點(diǎn)B、 C 是關(guān)于對(duì)稱軸x=1 的對(duì)稱點(diǎn)。如圖 1 所示，連接AC ，交對(duì)稱軸x=1 于點(diǎn)M，連接MB，則 MA MB=MA MC=AC ，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知此時(shí)MA MB 的值最小。設(shè)直線AC 的解析式為y=kx b， A（ 4， 0） ， C（ 0， 3） ，4

14、kb3 。 直線 AC 的解析式為：y= 3 x 3。443令 x=1 ，得9y=4（ 3 ）結(jié)論：存在。如圖形為ABCP 1。由9。 M 點(diǎn)坐標(biāo)為（1，） 。42 所示，在拋物線上有兩個(gè)點(diǎn)P 滿足題意： 若 BC AP1，此時(shí)梯B（ 2， 3） ， C（ 0， 3） ，可知 BC x軸，則 x軸與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)P1即為所求。在 y3 23 中令 y=0， 解得x1=-2， x2=4。 P1（2， 0） 。 P1A=6，xx 384BC=2 ， P1A BC。 四邊形 ABCP 1 為梯形。 若 AB CP2，此時(shí)梯形為ABCP 2。設(shè) CP2與 x軸交于點(diǎn)N， BC x軸， AB CP2

15、， 四邊形 ABCN 為平行四邊形。 AN=BC=2 。N （ 2， 0 ） 。設(shè)直線CN 的解析式為y=k 1x+b 1，則有：2k 1 b1b130 ，解得直線 CN的解析式為：y=3x+3 。232點(diǎn)P2 既 在 直 線 CN3 x23 x 3 上 ，84y= x+3 上 ， 又 在 拋 物 線 ： y 23323x+3= x x 3，化簡(jiǎn)得：x2 6x=0 ，解得x1=0（舍去）， x2=6。284點(diǎn) P2橫坐標(biāo)為6，代入直線CN 解析式求得縱坐標(biāo)為6。 P2（ 6，6） 。 ABCN ， AB=CN ，而CP2 CN， CP2 AB。 四邊形ABCP 2為梯形。綜上所述，在拋物線上存

16、在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A、 B、 C、 P 四點(diǎn)為頂點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形為梯形，點(diǎn)P 的坐標(biāo)為（2， 0）或（6，6）4，（2012四川自貢14分）【分析】（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)，求得A1和 B 1的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求得拋物線l1的解析式，（2）根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊的性質(zhì)即可知，B 1C 的延長(zhǎng)線與對(duì)稱軸x=1的交點(diǎn)P，即為所求。求出B1C 的解析式即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)。（ 3）設(shè)圓心為D，半徑為r，根據(jù)直線與圓相切的性質(zhì)知D（1，r），F(xiàn)（ 1+r，r）。由于點(diǎn)F 在拋物線l1 上，代入即可求得r。分圓位于x軸上方和下方兩種情況討論即可。解： （ 1）如圖 1 ，設(shè)經(jīng)翻折后，點(diǎn)A B 的

17、對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A1、 B1，依題意，由翻折變換的性質(zhì)可知A1（ 3， 0） ， B1（1 ，設(shè)拋物線l1 的解析式為0 ） ， C 點(diǎn)坐標(biāo)不變，y=ax 2+bx+c ，則拋物線 l1 經(jīng)過(guò)A1（ 3， 0） ， B1（1 ， 0） ， C（ 0，3）三點(diǎn)，9a+3b+c=0c=b+c=03a=1 b=c=。 拋物線23l1 的解析式為：y=x 2 2x 3。2 ）拋物線l1 的對(duì)稱軸為：bx=2a軸 x=1 交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P 即為所求。此時(shí)，2=1 ，如圖 2，連接B1C 并延長(zhǎng)，與對(duì)稱2|PA1 PC|=|PB 1 PC|=B 1C。設(shè)P 為對(duì)稱軸x=1 上不同于點(diǎn)P 的任意一點(diǎn)，則有：|PA P C|=|P B 1 P C<| B1C（三角形兩邊之差小于第三邊）， |PA P C<| |PA1 PC| ，即|PA1 PC| 最大。設(shè)直線B 1C 的解析式為y=kx+b ，則k+b=0，解得 k=b= 3。 直線 B1C 的解析式為：y= 3x 3。b= 3令 x=1 ，得 y=