柯西中值定理和不定式極限

1、2 柯西中值定理和 不定式極限一、柯西中值定理 柯西中值定理是比拉格朗日定理更一定式極限的問題.般的中值定理，本節(jié)用它來解決求不二、不定式極限 定理定理6.5(柯西中值定理柯西中值定理) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) , 在區(qū)間在區(qū)間 )(xf)(xg,ba上滿足上滿足:(i) f(x) , g(x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)上連續(xù);(iii);0)()(22 xgxf(iv). )()(bgag 則在開區(qū)間則在開區(qū)間 內(nèi)必定內(nèi)必定 (至少至少) 存在一點(diǎn)存在一點(diǎn) , 使得使得),(ba 一、柯西中值定理(ii) f(x) , g(x) 在開區(qū)間在開區(qū)間 (a, b) 上可導(dǎo)上可導(dǎo);( )( )(

2、).( )( )( )ff bf agg bg a 幾何意義首先將首先將 f , g 這兩個(gè)函數(shù)視為以這兩個(gè)函數(shù)視為以 x 為參數(shù)的方程為參數(shù)的方程, )(xgu . )(xfv 它在它在 O- uv 平面上表示一段曲線平面上表示一段曲線. 由由拉格朗日定理拉格朗日定理恰好等于曲線端點(diǎn)弦恰好等于曲線端點(diǎn)弦 AB 的斜率的斜率(見下圖見下圖):ddxvu 的幾何意義的幾何意義, 存在一點(diǎn)存在一點(diǎn) ( 對(duì)應(yīng)于參數(shù)對(duì)應(yīng)于參數(shù) ) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) .)()()()(agbgafbfkAB )(, )( fgP)(, )(bfbgB( ( ) ,( )A g af aOuv 證證 作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)).

3、()()()()()()()()(agxgagbgafbfafxfxF 顯然顯然, 滿足羅爾定理的條件滿足羅爾定理的條件, 所以存在點(diǎn)所以存在點(diǎn))(xF),(ba 使得使得 , 即即0)( F. 0)()()()()()( gagbgafbff( )0( )(iii),gf因因?yàn)闉榉穹駝t則也也為為零零, ,與與條條件件矛矛盾盾.)()()()()()(agbgafbfgf 從而從而例例1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f 在區(qū)間在區(qū)間 a, b(a 0) 上連續(xù)上連續(xù), 在在(a, b).ln)()()(abfafbf 證證 設(shè)設(shè) , 顯然顯然 f (x), g(x) 在在 a, b 上上滿足滿足xxgln)

4、( 柯西中值定理的條件柯西中值定理的條件,于是存在于是存在, 使得使得),(ba ,1)(lnln)()( fabafbf 變形后即得所需的等式變形后即得所需的等式.),(ba 上可導(dǎo)上可導(dǎo), 則存在則存在, 使得使得11lncos1lnln1lnsinlnsinee), 1(,)()() 1 ()() 1 ()(eFfFeFfefEx1. 試證至少存在一點(diǎn)), 1(e使.lncos1sinlncos1sin 證證: 法法1 用柯西中值定理 .xxFxxfln)(,lnsin)(則 f (x) , F(x) 在 1 , e 上滿足柯西中值定理?xiàng)l件, 令因此 11lncoslncos1sin即分

5、析分析:Ex1. 試證至少存在一點(diǎn)), 1(e使.lncos1sin法法2 令xxflnsin)(則 f (x) 在 1 , e 上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件, ), 1 ( e使0)(fxlncos)(xf1sinx1lncos1sin 因此存在x1xln1sin 在極限的四則運(yùn)算中在極限的四則運(yùn)算中, 往往遇到分子往往遇到分子, 分母均為無分母均為無二、不定式極限究這類極限究這類極限, 這種方法統(tǒng)稱為洛必達(dá)法則這種方法統(tǒng)稱為洛必達(dá)法則.稱為不定式極限稱為不定式極限. 現(xiàn)在我們將用柯西中值定理來研現(xiàn)在我們將用柯西中值定理來研比較復(fù)雜，各種結(jié)果均會(huì)發(fā)生比較復(fù)雜，各種結(jié)果均會(huì)發(fā)生. 我們將這類極限統(tǒng)我

6、們將這類極限統(tǒng)窮小量窮小量 ( (無窮大量無窮大量) ) 的表達(dá)式的表達(dá)式. 這種表達(dá)式的極限這種表達(dá)式的極限定理定理6.6滿足：滿足：和和若函數(shù)若函數(shù)gf000(i) lim( )lim( );xxxxf xg x00(ii)()xUx在在點(diǎn)點(diǎn)的的某某空空心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)兩兩者者均均可可導(dǎo)導(dǎo)，0( );g x 且且 0( )(iii) lim,.( )xxfxAAg x 可以為實(shí)數(shù)，可以為實(shí)數(shù)，則則00( )( )limlim.( )( )xxxxf xfxAg xg x 01.0型型不不定定式式極極限限,),(.000 xxxUxx則在區(qū)間則在區(qū)間任取任取連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn) 有有上應(yīng)用柯西中

7、值定理，上應(yīng)用柯西中值定理，),(0 xx000( )()( )( )(.( )( )()( )f xf xf xfxxg xg xg xg 介于與之間)介于與之間)000( )( )( )limlimlim.( )( )( )xxxxxxf xffxAg xgg x 注注，改為改為中的中的將定理將定理 0001xxxxxx00,令令故故xxx 根據(jù)歸結(jié)原理根據(jù)歸結(jié)原理證證000()(),f xg xf g我們補(bǔ)充定義所以我們補(bǔ)充定義所以只只要要修修正正相相應(yīng)應(yīng)的的鄰鄰域域，的的情情形形, xx結(jié)論同樣結(jié)論同樣成立成立. .例例41tanlim.sin4求求xxx 解解00.容易驗(yàn)證：這是一個(gè)

8、型不定式容易驗(yàn)證：這是一個(gè)型不定式2441tansec21limlim.sin44cos442xxxxxx 000( )lim,( )xxfxg x如如果果仍仍是是型型不不定定式式極極限限 只只要要滿滿足足洛洛 例例2.)1ln()21(elim2210 xxxx 求求解解2201ln() ,xxx因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以11222200e(12 )e(12 )limlimln(1)xxxxxxxx132200e(12 )e(12 )limlim1.22xxxxxxx0( )lim( )xxfxgx考考察察必必達(dá)達(dá)法法則則的的條條件件, ,可可再再用用該該法法則則. .存在性存在性. .這

9、里在用洛必達(dá)法則前，使用了等價(jià)無窮小量的這里在用洛必達(dá)法則前，使用了等價(jià)無窮小量的代換，其目的就是使得計(jì)算更簡潔些代換，其目的就是使得計(jì)算更簡潔些.例例301lim.e求求 xxx解解可直接利用洛必達(dá)可直接利用洛必達(dá)型不定式極限型不定式極限這顯然是這顯然是,00法則法則. 但若作適當(dāng)變換但若作適當(dāng)變換, 在計(jì)算上會(huì)顯得更簡潔些在計(jì)算上會(huì)顯得更簡潔些. 于是于是時(shí)有時(shí)有當(dāng)當(dāng)令令,00, txxt0001111limlimlim.eeettxxttxt Ex210(1)elim.xxxx求求解解 1100(1)(1)elimlim1xxxxxxx120ln(1)1lim(1)xxxxxxx20(1

10、)ln(1)elimxxxxx01ln(1)1eelim.22xxx P133 7(7)求20sinlimln(1tan)xxxxx20sinlimtanxxxxx30sinlimxxxx2002012lim3xxx使用洛必達(dá)法則前，使用洛必達(dá)法則前，用好等價(jià)無窮小替換用好等價(jià)無窮小替換解解:00201 coslim3xxx原極限21( 1 cos)2xxEx322(tan)xx22(ln(1tan)tan)xx16求30sinlimsinxxarcxx30sinlimxxarcxx222011lim31xxxx用好等價(jià)無窮小替換用好等價(jià)無窮小替換解解:02020111lim3xxx原極限12

11、2211 ()1()2xx Ex422200111limlim31xxxxx( sin)xx2201()2lim13xxx16 2.型型不不定定式式極極限限定理定理6.7滿足：滿足：和和若函數(shù)若函數(shù)gf00(i) lim( )lim( )xxxxf xg x ；00(ii)()xUx 在在點(diǎn)點(diǎn)的的某某右右鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)二二者者均均可可導(dǎo)導(dǎo)，0( );gx 且且 0( )(iii) lim,.( )xxfxAAg x 可可以以為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)則則00( )( )limlim.( )( )xxxxf xfxAg xg x 證證100.(),AxUx 設(shè)設(shè)為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù) 對(duì)對(duì)于于任任意意的的，01,xxxx

12、滿滿足足不不等等式式的的每每一一個(gè)個(gè)2( ),( )fxAg x 使使由柯西中值定理，存在由柯西中值定理，存在,1xx 11()( )( ).()( )( )f xf xfg xg xg 從而有從而有11()( )( ),(1)()( )( )2f xf xfAAg xg xg 另一方面，另一方面， 111111111()( )()( )()( )( ).()( )()( )()( )( )g xf xf xf xf xf xg xf xg xg xg xg xg xf x 上式的右邊的第一個(gè)上式的右邊的第一個(gè)10 xxx 的的 是是當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)的的01xxx由由(1)式知，當(dāng)式知，當(dāng) 時(shí)，時(shí)，因

13、子有界因子有界; ,無無窮窮小小量量第二個(gè)因子對(duì)固定第二個(gè)因子對(duì)固定100100,xxx所所以以當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)有有1122( )()( ),( )( )()( )f xf xf xg xg xg x 00112( )( ),xxx 綜合和對(duì)一切滿足不等式綜合和對(duì)一切滿足不等式( ),( )f xAg x 這就證明了這就證明了0( )lim.( )xxf xAg x , 或或，若若請(qǐng)大家想一想請(qǐng)大家想一想A應(yīng)應(yīng)該該如如何何證證明明？的的 x 有有注注000 xxxxxx這里的可以用，這里的可以用，件要作相應(yīng)的改變件要作相應(yīng)的改變.xx ，來替換 當(dāng)然定理的條，來替換 當(dāng)然定理的條,x 例例5.lnli

14、mxxx求求解解.型型不不定定式式這這是是一一個(gè)個(gè) 1lnlimlim0.1xxxxx例例6.elim3xxx求求解解.6elim6elim3elimelim23 xxxxxxxxxxx例例.sin2sin2limxxxxx求極限求極限解解,.如如果果用用洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則型型不不定定式式這這是是一一個(gè)個(gè) 22322sincoslimlim.( )sincosxxxxxxxx 22coslim,cosxxx 而極限不存在 但是原極限而極限不存在 但是原極限. 1sin2sin2limsin2sin2limxxxxxxxxxx(3) 式不成立式不成立. 這就說明這就說明: limlim.xxf

15、xf xgxg x不不存存在在時(shí)時(shí), ,不不能能推推出出不不存存在在我們?cè)倥e一例我們?cè)倥e一例:例例.2arctanarctanlimxxAx 求極限求極限解解lim arctan, lim arctan2,22xxxx因?yàn)橐驗(yàn)樗运?A = 1. 若錯(cuò)誤使用洛必達(dá)法則：若錯(cuò)誤使用洛必達(dá)法則：22arctan114limlim2,arctan212xxxxxx這就產(chǎn)生了錯(cuò)誤的結(jié)果這就產(chǎn)生了錯(cuò)誤的結(jié)果. 這說明這說明: 在使用洛必達(dá)法在使用洛必達(dá)法則前，必須首先要判別它究竟是否是則前，必須首先要判別它究竟是否是0.0或或型型例如,xxx21lim21limxxxxxx21lim而xxx21lim

16、11lim2xx1用洛必達(dá)法則在滿足定理?xiàng)l件的某些情況下洛必達(dá)法則不能解決計(jì)算問題 . limxxxxxeeeelimlimxxxxxxxxxxeeeeeeee221lim1xxxee解解:循環(huán)，不能用洛必達(dá)法則再如再如1原極限=3. 其他類型的不定式極限其他類型的不定式極限00010,不不定定式式極極限限還還有有， ， ，等等類類型型 它它0.0們們一一般般均均可可化化為為型型或或者者型型.下面我們舉例加以說明下面我們舉例加以說明解解1lnln,xxxx 注意到則注意到則00002111lnlimlnlimlimlim()0.xxxxxxxxxxx但若采用不同的轉(zhuǎn)化方式但若采用不同的轉(zhuǎn)化方式

17、:2000021limlnlimlimlimln11lnlnxxxxxxxxxxxx 很明顯很明顯, 這樣下去將越來越復(fù)雜這樣下去將越來越復(fù)雜, 難以求出結(jié)果難以求出結(jié)果.例例70limln .xxx 求求0() 型型,解解221lncos20lncos0(cos )e,lim.0 xxxxxxx而而是是型型由于由于,21cos2sinlimcoslnlim020 xxxxxxx因此因此 21120lim(cos )e.xxx例例8210lim(cos ).xxx求求(1)型型解解lnarctan2limkxxx 121limarctan12xkxkxx 111limarctan2xkkxx

18、例例9102limarctan() .kxxxk 求求00()型型 xxkkxarctan2lim11 , 0lim111lim122 kxkxxkkxxkk所以，原式所以，原式 = = e0 = = 1. .解解 xxx20cot2cos11lim xxxxxx23220sincos1cos2cos2sinlim 43220cos2cos2sinlim2xxxxx 3204cossin6cossin6lim2xxxxxx xxxx220sincos2cos11lim例例11201lim2cot.1cosxxx 求求() 型型例例12( ),0( ).0 ,0g xxxf xx設(shè)設(shè)(0)(0)0,(0)3,(0).gggf已已知知求求解解000( )( )(0)lim( )limlim0 xxxg xg xgf xxx因因?yàn)闉?0)0,g( )0.f xx 所所以以在在處處連連續(xù)續(xù).23cos1lim320 xxx220coscoslim3xxxx 00( )1(