newCh2-1導(dǎo)數(shù)的概念1ppt課件

1、 21 導(dǎo)數(shù)的概念 22 函數(shù)的求導(dǎo)法則 2 23 3 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù) 2 24 4 隱函數(shù)及由參數(shù)方程隱函數(shù)及由參數(shù)方程 所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2 25 5 導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用2 26 6 函數(shù)的微分函數(shù)的微分2.1 2.1 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念一、導(dǎo)數(shù)概念的引入一、導(dǎo)數(shù)概念的引入二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義三、單側(cè)導(dǎo)數(shù)三、單側(cè)導(dǎo)數(shù)四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系一、導(dǎo)數(shù)概念的引入一、導(dǎo)數(shù)概念的引入求函數(shù)變化率的兩個實例求函數(shù)變化率的兩個實例實例實例1 質(zhì)點作變速直線運動的瞬時速度質(zhì)點作變速直線運動的瞬時速度. 設(shè)質(zhì)點的運動方程為：設(shè)質(zhì)點

2、的運動方程為：s =s(t).s =s(t).那么那么從時刻從時刻t0t0到到t0 +t0 +t t時間段內(nèi)，質(zhì)點走過的路程為：時間段內(nèi)，質(zhì)點走過的路程為： s=s(t0 +s=s(t0 +t)-s(t0)t)-s(t0)在時間間隔在時間間隔tt內(nèi)，質(zhì)點運動的平均速度為內(nèi)，質(zhì)點運動的平均速度為: :00()( )S ttS tSvtt 000()( )limts tts tvt 當當 t t0 0時，取極限得質(zhì)點在時刻時，取極限得質(zhì)點在時刻t0t0的瞬時速度的瞬時速度: :實例實例2 2 切線問切線問題題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置播放播放實例實例2 2 切線問切線問題題割線的

3、極限位置割線的極限位置切線位置切線位置實例實例2 2 切線問切線問題題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置實例實例2 2 切線問切線問題題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置實例實例2 2 切線問切線問題題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置實例實例2 2 切線問切線問題題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置實例實例2 2 切線問切線問題題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置實例實例2 2 切線問切線問題題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置實例實例2 2 切線問切線問題題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置實例實例2 2 切線問切線問題

4、題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置實例實例2 2 切線問切線問題題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置 T0 xxoxy)(xfy CNM如圖如圖, 如果割線如果割線MN繞點繞點M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT,直線直線MT就稱為曲線就稱為曲線C在點在點M處的切線處的切線.極限位置即極限位置即. 0, 0 NMTMN).,(),(00yxNyxM設(shè)設(shè)的的斜斜率率為為割割線線MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿沿曲曲線線的斜率為的斜率為切線切線MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義000

5、0000000000()( ( )(),() , ( )()( ),(),m. li,xxxxxx xfyf xxU xxxU xyf xyf xxxf xxdydf xxyfxdxdxx 設(shè)設(shè)在在點點 的的某某個個鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義且且若若則則稱稱在在并并稱稱這這個個極極限限點點處處可可導(dǎo)導(dǎo)導(dǎo)導(dǎo)為為在在點點數(shù)數(shù)處處的的記記為為或或定義定義1 1即即00000()()limlimx xxxf xxf xyyxx 0000()()lim( ).xf xxf xf xxx 如如果果不不點點 的的則則稱稱在在不不可可導(dǎo)導(dǎo)，.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()

6、(lim)(0000 xxxfxfxfxx 00000()()limlimx xxxf xxf xyyxx 實例實例1 質(zhì)點作變速直線運動的瞬時速度質(zhì)點作變速直線運動的瞬時速度:00( )( )v ts t 實例實例2 曲線曲線y=f(x)上一點上一點M(x0 , f(x0)處的切線處的切線斜率斜率tana = f (x0)xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或 )()(00 xfxf( ),( ).yf xIf xI 如果在開區(qū)間內(nèi)的每點處都可導(dǎo)如果在開區(qū)間內(nèi)的每點處都可導(dǎo)就稱函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)就稱函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)定義定義2 2( )( )(

7、)( ),( ),.xIfxyfxdydf xf xyfxdxdx 導(dǎo)函導(dǎo)函由確定的新函數(shù)叫做由確定的新函數(shù)叫做的簡稱的簡稱數(shù)數(shù)作或作或?qū)?shù)導(dǎo)數(shù)，記，記注意注意: :00()( ).x xfxfx .,0慢慢程程度度而而變變化化的的快快因因變變量量隨隨自自變變量量的的變變化化反反映映了了它它處處的的變變化化率率點點導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是因因變變量量在在點點 x注意注意（2右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù): 單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)（1左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù):0000000( )()()()()limlim;xxxf xf xf xxf xfxxxx 0000000( )()()()()limlimxxxf xf xf xxf xfxxxx

8、，定義定義左、右導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù)左、右導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù)定理定理1如如果果)(xf在在開開區(qū)區(qū)間間 ba,內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，且且)(af 及及)(bf 都都存存在在，就就說說)(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間 ba,上上可可導(dǎo)導(dǎo).注意注意: :由定義求導(dǎo)數(shù)步驟由定義求導(dǎo)數(shù)步驟:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算算比比值值.lim)3(0 xyyx 求求極極限限例例1 1.)()(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為常數(shù)為常數(shù)求函數(shù)求函數(shù)CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即例例2 2.)(sin)(sin,sin)(4 xx

9、xxxf及及求求設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 例例3 3.)1, 0()(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee 例例4 4.)1, 0(log的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 11log

10、.lnaexxa1(log).lnaxxa 即 例例5 5.)(的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為正正整整數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)nxyn 解解更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x例如例如,12121 x.21x )(3 x23x )(1 x11)1( x.12x hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即例例6 6.0)(處處的的可可導(dǎo)導(dǎo)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0

11、( ff即即.0)(點點不不可可導(dǎo)導(dǎo)在在函函數(shù)數(shù) xxfy注意導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義注意導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義oxy)(xfy T0 xM（1幾何意義幾何意義)(,tan)(,)(,()()(0000為傾角為傾角即即切線的斜率切線的斜率處的處的在點在點表示曲線表示曲線 xfxfxMxfyxf切線方程為切線方程為法線方程為法線方程為).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 例例7 7.,)2 ,21(1方方程程和和法法線線方方程程并并寫寫出出在在該該點點處處的的切切線線斜斜率率處處的的切切線線的的在在點點求求等等邊邊雙雙曲曲線線xy 解解由導(dǎo)數(shù)的幾何意義由導(dǎo)數(shù)的幾何意義

12、, 得切線斜率為得切線斜率為21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切線方程為所求切線方程為法線方程為法線方程為),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即（2物理意義物理意義非均勻變化量的瞬時變化率非均勻變化量的瞬時變化率.變速直線運動變速直線運動: :路程對時間的導(dǎo)數(shù)為物體的路程對時間的導(dǎo)數(shù)為物體的瞬時速度瞬時速度. .lim)(0dtdststvt 交流電路交流電路: :電量對時間的導(dǎo)數(shù)為電流強度電量對時間的導(dǎo)數(shù)為電流強度. .0( )lim.tQdQi ttdt 非均勻的物體非均勻的物體: :質(zhì)量對長度質(zhì)量對長度( (面積面積,

13、,體積體積) )的導(dǎo)的導(dǎo)數(shù)為物體的線數(shù)為物體的線( (面面, ,體體) )密度密度. .定理定理 假設(shè)假設(shè) f (x) f (x) 在在 x0 x0 處可導(dǎo)，那么處可導(dǎo)，那么 f (x) f (x) 在在 x0 x0 處連續(xù)處連續(xù). .證證三、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系三、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系,)(0可可導(dǎo)導(dǎo)在在點點設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0連連續(xù)續(xù)在在點點函函數(shù)數(shù)xxf)0(0 x 注意注意: 該定理的逆定理不成立該定理的逆定理不成立 (連續(xù)函數(shù)未必可導(dǎo)連續(xù)函數(shù)未必可導(dǎo))例如例如y

14、=|x|在在x=0處連續(xù)但不可導(dǎo)處連續(xù)但不可導(dǎo).例例7 7.0,0, 00,1sin)(處的連續(xù)性與可導(dǎo)性處的連續(xù)性與可導(dǎo)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解,1sin是有界函數(shù)是有界函數(shù)x01sinlim0 xxx.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在 xxf處處有有但但在在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之之間間振振蕩蕩而而極極限限不不存存在在和和在在時時當當 xyx.0)(處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在 xxf0)(lim)0(0 xffx例例8 8?,1)(,1,1,)(2應(yīng)應(yīng)取取什什么么值值處處連連續(xù)續(xù)且且可可導(dǎo)導(dǎo)，在在為為了了使使函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)baxxfxbaxxxx

15、f 解解1lim)01(21 xfxbabaxfx )(lim)01(11)1( f1,1)( baxxf則則連連續(xù)續(xù)在在若若211lim)1(21_ xxfxaxaaxxbaxfxx 1lim11lim)1(11)1()1(,2_ ffa時時當當處處連連續(xù)續(xù)且且可可導(dǎo)導(dǎo)在在時時當當1)(,1b2, xxfa小結(jié)小結(jié)1. 導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)導(dǎo)數(shù)的實質(zhì): 增量比的極限增量比的極限;2. axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義: 切線的斜率切線的斜率;4. 函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo);5. 求導(dǎo)數(shù)最基本的方法求導(dǎo)數(shù)最基本的方

16、法: 由定義求導(dǎo)數(shù)由定義求導(dǎo)數(shù).6. 判斷可導(dǎo)性判斷可導(dǎo)性不連續(xù)不連續(xù),一定不可導(dǎo)一定不可導(dǎo).連續(xù)連續(xù)直接用定義直接用定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.思考與練習思考與練習1. 函數(shù)函數(shù) 在某點在某點 處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù))(xf0 x)(0 xf )(xf 有什么區(qū)別與聯(lián)系 ?與導(dǎo)函數(shù)2. 設(shè)設(shè))(0 xf 存在 , 那么._)()(lim000hxfhxfh3. 知知,)0(,0)0(0kff那么._)(lim0 xxfx)(0 xf 0k4. 設(shè)設(shè)0,0,sin)(xxaxxxf, 問 a 取何值時,)(xf 在),(都存在 , 并求出. )(xf 解解2.2 函數(shù)的求

17、導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 一、四則運算法則一、四則運算法則二、反函數(shù)求導(dǎo)法則二、反函數(shù)求導(dǎo)法則 三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 一、四則運算法則一、四則運算法則定理定理并并且且也也可可導(dǎo)導(dǎo)處處在在點點分分母母不不為為零零它它們們的的和和、差差、積積、商商那那么么處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在點點如如果果函函數(shù)數(shù),)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu證證(3)(3)證證(1)(1)、(2)(2)略略. .),0)( ,)()

18、()( xvxvxuxf設(shè)設(shè)hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在xxf推論推論; )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfCxCf ;)3(wuvwvuvwuuvw .)1()4(2vvv 例例1 1.sin223的

19、導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xxxy 解解例例2 2.ln2sin的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求xxy 解解23xy x4 .cos x xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .2sin1ln2cos2xxxx 例例3 3.tan的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求xy 解解同理可得同理可得2(cot )sc.cxx 2(tan )sec.xx 即即)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 例例4 4.sec的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求xy 解解同理可得同理可得(sec )sta.ecnxxx 即即(csc )cc.scotxxx xx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin )cos1()(sec x