完整word版,北京大學(xué)數(shù)學(xué)分析考研試題及解答

1、判斷無窮積分sin(sin xx)dx 的收斂性。1解根據(jù)不等式 |sin uu |1|u |3 ,| u |，62sin xsin x1sin x 31 1， x 1,) ；得到| sin()|x|3xx66 x從而1再根據(jù)1(sin( sin x)sin x )dx 絕對收斂，因而收斂，xxsin xdx 是條件收斂的，由 sin(sin xsin xsin xsin x) (sin()，xxxxsin x可知積分sin()dx 收斂，且易知是是條件收斂的。1 x例 5.3.39設(shè) Pn ( x)1xx2xn， xm 是 P2 m 1( x)0 的實根，.n!2!求證： xm0 ，且 li

2、m xm。m證明 （ 1）任意 mN * ，當(dāng) x0 時，有 P2 m 1 ( x)0 ；當(dāng) x0 且 x 充分大時，有 P2 m 1 ( x)0 ，所以 P2 m 1( x)0 的根 xm 存在，又 P(x)P(x)0 ， P2 m 1 ( x) 嚴格遞增，所以根唯一，xm 0 。2m 12 m（ 2）任意 x(,0) ， lim Pn ( x)ex0 ，所以 P2 m1 ( x) 的根 xm，（ m）。n因為若 m時， P2m1 (x) 0 的根， xm 不趨向于。則存在 M0，使得 (M ,0) 中含有 xm 的一個無窮子列，從而存在收斂子列xx，（x0mk0為某有限數(shù) x0M ）；0e

3、MlimP2m1( M)lim P2 m 1(xm )0 ，矛盾。kkkkk例、 設(shè) anln(1( 1)pn ) ，討論級數(shù)an 的收斂性。nn2解 顯然當(dāng) p0 時，級數(shù)an 發(fā)散；n21xln(1 x)1111由lim1 xlimlimx22x，x 0x 0x 02 1x2得 1 x2xln(1 x)x2 ，（ x 充分小），41/1011( 1)n1于是2 ppan2 p ，（ n 充分大）4 nnn（ 1）當(dāng) p11(1)n時，2 p ，np收斂，n 2 nn2(1)n收斂， anan(1)n1n2npann pn p，an收斂，an 絕對收斂；n2n2（ 2）當(dāng) 1p1 時，1收斂

4、，(1)n收斂，2n 2 n2 pn2n p于是( 1)nan收斂，從而(1)nan ) 收斂，an 收斂，n pn pn2n 2n 2而1發(fā)散，由 1(1)nanan，得( (1)nan| an |)發(fā)散，所以an發(fā)散，n 2 npn pn pn 2n pn 2故此時an 條件收斂。n2（ 3）當(dāng) 0p1 時，( (1)nan ) 發(fā)散，而(1)n收斂，此時an 發(fā)散。2n 2npn 2 n pn 2北京大學(xué)2007 年數(shù)學(xué)分析考研試題及解答1、 用有限覆蓋定理證明連續(xù)函數(shù)的介值定理。證明這里只證明連續(xù)函數(shù)的零點定理，由此即可推證介值定理。命題：若f ( x) 在 a, b 上連續(xù)，且f (

5、a) f (b)0 ，那么必然存在一點(a,b) ，滿足 f ( )0 。采用反正法，若對于任意點x( a,b) ，有 f (x)0 ，那么顯然對于任意xa,b ，仍然有 f ( x)0 。由于 f 的連續(xù)性，我們對于任意一點xa, b ，可以找到一個鄰域O ( x) ，使得 f ( x) 在xO x (x)a,b 中保號，那么a,b 區(qū)間被以上形式的O x (x) ， x a,b 開區(qū)間族所覆蓋，2/10由有限覆蓋定理，可得存在有限個開區(qū)間O( x1), O( x2 ),., O( xn ) 就能覆蓋閉區(qū)間x1x2xna,b ，再由覆蓋定理的加強形式可得，存在0 ，滿足當(dāng) y1, y2 a,

6、 b ， y1 y2時，存在 O x(x1), O x( x2 ),., O x( xn ) 中的某個開集同時覆蓋y1 , y2 。那么我們就證明了當(dāng)12ny1y2時，有 f ( y1), f ( y2 ) 同號；baa(ba)i現(xiàn) 取 正 整 數(shù) m ， 滿 足， 令 zi， i 0,1,., m ， 那 么 我 們 有mmzi1zi， f ( zi ) 與 f ( zi 1) 同號，從而證明了f ( z0 ) 與 f (zm ) 同號，即 f (a) 與 f (b) 同號，這與題目中的f (a) f (b)0 矛盾，證明完畢。2、 設(shè) f ( x), g ( x) 在有限區(qū)間 (a,b)

7、內(nèi)一致連續(xù)，證明：f ( x) g(x) 也在 (a, b) 內(nèi)一致連續(xù)。證明 首先證明 f (x), g (x) 都在 (a,b) 上有界，因為f (x) 在有限區(qū)間 (a,b) 內(nèi)一致連續(xù)，從而存在1 0 ，滿足當(dāng)此 x1 , x2 (a,b) ， x1x21 時，有f ( x1 )f ( x2 ) 1，現(xiàn)取正整數(shù) m ，滿足 ba1 ，令 zia(ba)i， i 1,2,., m1 ；mm對任意 x( a, b) ，存在 z j ，使得x z jba1 ，mf ( x)f ( x)f ( zj )f ( zj )1f (zj)1maxf ( zi ) ，1 i m 1即得 f ( x)

8、在 (a, b) 上是有界的；同理 g(x) 在 (a, b) 上也是有界的；下面證明，若f (x), g( x) 在區(qū)間 I 上有界，且都一致連續(xù)，則f (x) g( x) 在區(qū)間 I 上一致連續(xù)。設(shè) M0 ，滿足f ( x)M , g( x)M ， xI ;那么由f ( x), g ( x) 得一致連續(xù)性得到，對于任意0，存在0 ，使得當(dāng) x, yI ， xy時，有3/10f (x)f ( y)， g (x)g( y)從而f ( x) g (x)f ( y)g ( y)f ( x) g(x)f ( x) g ( y)f ( x) g( y)f ( y) g( y)f ( x) g ( x)

9、g ( y)f (x) f ( y) g ( y)2M ，即得 f ( x) g(x) 在 I 上一致連續(xù)。3、 已知 f ( x) 在 a,b 上有四階導(dǎo)數(shù)，且有f (4)()0, f (3) () 0,(a,b) ，證明：存在 x1, x2( a, b) ，使得 f (x1 )f (x2 )f()( x1x2 ) 。證明 不妨設(shè) f ( )f()0（這是因為否則可以考慮g (x)f ( x) f ( )f()( x) ，而 g( x) 的三、四階導(dǎo)數(shù)與f ( x) 的相同）。從而我們要證明存在x1, x2(a, b) ，使得 f (x1)f (x2 )0 。下面分兩種情形來證明之，（ 1）

10、 f() 0 ，當(dāng) f ()0 ，由帶 Peano 余項的 Taylor 展開式，我們得到f (x)f ()f () ( x)2o( x)2) ，2那么在足夠小的鄰域內(nèi)有f ( x)0 ，取 y1y2 ，滿足 f ( y1 ) 0, f ( y2 )0 ，不妨設(shè)f ( y1)f ( y2 ) ，由于 f ()0，那么存在 x2(, y2 ) ，使得 f (x2 )f ( y1 ) ，從而取 x1y1 , x2 x2 ， f ( x1 )f ( x2 ) 0 ；當(dāng) f ()0時，同理可得；（ 2） f() 0 ，那么有 f (3) ()0 ， f (4) ()0 ，可以同樣Taylor 展開，f

11、 ( x)f ( )f (4) ()4o(x44!( x) ) ，做法與（ 1）相同，證畢。4 、構(gòu)造一個函數(shù)在 R 上無窮次可微， 且 f (2 n 1)(0)n ， f (2 n ) (0) 0 ， n 0,1,2,., 并說明滿足條件的函數(shù)有任意多個。解 構(gòu)造函數(shù)項級數(shù)4/10f ( n) (0) xnnx2n1 ，n 1n!n1 (2 n 1)!顯然此冪級數(shù)的收斂半徑為，從而可以定義函數(shù)：f ( x)nx2n 1 ，n1 (2 n1)!容易驗證此函數(shù)滿足：f (2 n 1) (0) n, f (2 n) (0)0 ， n 0,1,2,. ，1考慮到函數(shù) g(x)e x2, x0 ，0,

12、 x0由我們熟知的結(jié)論知，g ( x) 在 R 上無窮次可微，且g (n) (0)0， (n 0,1,2,.) ，對任意 h( x) 在 R 上無窮次可微的函數(shù)，從而f ( x)h(x)g( x) 也滿足題目要求條件，結(jié)論得證。5、設(shè)D0,10,1 ， f ( x, y) 是 D 上的連續(xù)函數(shù)，證明滿足f ( x, y)dxdy f ( , ) 的D( , ) 點有無窮多個。證明設(shè) mminf ( x, y) : (x, y)Df ( x1, y1 ) ，Mmax f (x, y) : ( x, y)Df ( x2 , y2 )。那么我們有mfx ydxdyM，( ,)Dm f (x, y)

13、M ， (x, y)D ，下面分兩種情況討論：（ 1）若 mf (x, y)dxdy 或DDf (x, y)dxdyM 有一個成立時，當(dāng)mf(,)dxdy，我們有(f(,y)0， f (x, y)m 0，xyxm dxdyDD從而有 f ( x, y)m0， (x, y)D ，從而 f ( x, y)m 為常數(shù)，此時結(jié)論顯然成立；當(dāng)f(, )dxdyM時，我們有(Mf( ,y)dxdy0， Mf ( x, y)0 ，x yxDD從而 f ( x, y)M 為常數(shù)，此時結(jié)論顯然成立；（ 2） mf ( x, y)dxdy MD我們可以選取無窮多條連接(x1, y1 ) 和 (x2 , y2 )

14、的不相交的連續(xù)曲線5/10xx(t ), yy(t ), t1tt2 ， ( x(t), y(t )D ；顯然 F (t)f(x(t ), y(t ) 連續(xù)，F(xiàn) (t1)f (x1, y1), F (t2 )f ( x2, y2 ) ，由連續(xù)函數(shù)的介值定理，存在(t1 , t2 ) ， ( x(), y()( ,) ，使得F ()f ( x, y)dxdy ，D即 f (,)f ( x, y)dxdy ，結(jié)論得證。D6 、求sin4xdydze y dzdxz2 dxdy ，其中是 x2y2z21, z 0 ，方向向上。解法 1設(shè) D xz( x, z) : x2z21,z0 ，1 : y1

15、(x2z2 ) ，(x, z)D xz ；2 : y1( x2z2 ),( x, z)Dxz ；sin4 xdydze y dzdx z2dxdy()(sin 4 xdydzey dzdxz2 dxdy)12(sin4xxz2 )e1( x2z2 )z2z)dxdzD xz1 (x21 ( x2z2 )(sin4 xxz2 )e1( x2z2 ) (1)z2z)dxdzDxz1 ( x21 ( x2z2 )2z3dxdzDxz1( x2z2 )x r cos33y r sin1rsin2drrd0201r1r4sin32drd0r 20122 sin4 tdt0(1cos2)(d cos)02

16、2cos 2t12dt4(2)3022112cos 2t1(cos 4t1)dt404236/10342。8232解法 2記 D ( x, y, z) : x2y 21,z 0 ，( x, y, z) : x2y2z21, z 0 ，利用高斯公式，得sin4 xdydz e y dzdxz2dxdy()D下側(cè)D上側(cè)4sin 3yx cosx e ( sgn y) 2zdxdydz 0212 r cos r 2 sin d2 zdxdydz 2 ddr0002 212 (1sin2 ) d4022 211。4227、 設(shè) f ( x, y) 是 R2 上的連續(xù)函數(shù)，試作一無界區(qū)域D ,使 f (

17、 x, y) 在 D 上的廣義積分收斂。解 首先取 y10 ，使得 D10,1 0, y1 ，滿足f (x, y) dxdy1 ；D12再選取 y20 ，使得 D21,20, y2 ，滿足f (x, y) dxdy1；D222依次選取 yn0，使得 D n n1, n 0, yn ，滿足f (x, y) dxdy1，D2nn取 DDi ， D 是一個無界區(qū)域，可以驗證f ( x, y) 在 D 上的廣義積分收斂。i 18、 設(shè) f ( x)ln(1sinpx ) ，討論不同的 p 對 f (x) 在 (1,) 上積分的斂散性。x解 顯然在 p0 時，ln(1sinpx ) dx 發(fā)散，下面只對

18、p 0時討論。1x7/10由 ln(1sin x)sin x1 sin 2 xsin 2 x) ，pxp22 po(2 pxxx當(dāng) p0 時，sin xdx 收斂，1xp0p1sin 2 xdx 發(fā)散，時，12 p2x當(dāng) 0p1時，sin xdx 發(fā)散；1xp1p 時，sin2xdx 收斂；21x2 p當(dāng) p1時，sin xdx 收斂；1xp所以（ 1）當(dāng) p1時，由 f (x)sin x1 sin 2 x1 sin2xp22 p2 p，xx4 x得f ( x) dx 絕對收斂；1（ 2）當(dāng) 1p1 時， f ( x)sin x1 sin 2 x1 sin 2 x ，（ x充分大），2x p2

19、 x2 p4 x2 pf (x)sin xdx 收斂，sin xf ( x) sin xf (x) ，由于sin xdx 發(fā)散，1p1xpxpxpx此時，(f (x)sin x發(fā)散，于是f (x) dx 發(fā)散，xp| f ( x) |)dx11而( f ( x)sin xsin xdxf (x)dx 收斂；xp)dx，xp收斂，111故當(dāng) 1p1時，1f ( x)dx 條件收斂；2（3） 0p1時，f ( x)sin x( 1o(1) sin 2 x1 sin 2 x，（ x 充分大）；2xp2x2 p4 x2 p由于sin 2 x dx 發(fā)散，于是0(f(x)sin x)dx 發(fā)散，而sin

20、 x dx 收斂，1x2 pxp1xp故此時0f ( x)dx 發(fā)散。8/109、 記 F ( x, y)nye n ( x y)，是否存在 a0 以及函數(shù) h( x) 在 (1 a,1a) 上可導(dǎo)，n 1且 h(1) 0 ， F (x, h( x)0 。解 設(shè) un ( x, y) nye n ( xy )| nye n( x y ) | | ny | 33!y)36 | y |312 ，n( x( x y)n知級數(shù)nye n( x y) 在 x y0 內(nèi)是收斂的，n 1從而 F ( x, y)nye n ( x y) 在 xy 0 內(nèi)有定義；n 1顯然 F (1,0)0 ；由于un ( x

21、, y) ，n 1un (x, y)( n2 ye n( x y ) ) ，un (x, y)( ne n( x y)n2 ye n ( x y) )n 1xn1n 1yn 1都在 x y， y（, 為任意大于0 的常數(shù)）內(nèi)都是一致收斂的。所以F (x, y)un ( x, y)( n2 ye n ( x y) ) ，xn 1xn 1F (x, y)un (x, y)( ne n(x y )n2 ye n (xy) )yn 1yn 1從而 F( x, y) 在 (1,0)的某個鄰域 D 上偏導(dǎo)數(shù)F ,F 都存在，且是連續(xù)的，xy又有F(1,0)( ne n( x y )n2 ye n ( xy) ) (1,0)ne n0 ，yn 1n 1到這里我們已經(jīng)驗證了隱函數(shù)定理的三條件：（ 1） F (x, y)C 1( D ) ， D 為剛