難題攻克之奇偶性與單調性專題復習進程

1、難題攻克之奇偶性與單調性專題難題攻克之奇偶性與單調性專題函數的單調性、奇偶性是高考的重點內容之一，考查內容靈活多樣.本節(jié)主要幫助考生深刻理解奇偶性、單調性的定義，掌握判定方法，正確認識單調函 數與奇偶函數的圖象.難點磁場(1)求a的值；(2)證明:x()設aO,f(x)=e 字是R上的偶函數, a ef(x)在(0, + g)上是增函數.案例探究1例1 已知函數f(x)在(一1, 1)上有定義，f(-)=- 1,當且僅當0x1時2X y f(x)0,且對任意 x、y ( 1,1)都有 f(x)+f(y)=f()，試證明：1 xy (1)f(x)為奇函數；(2)f(x)在(1，1)上單調遞減.命

2、題意圖：本題主要考查函數的奇偶性、單調性的判定以及運算能力和邏輯推理能力.屬題目.知識依托：奇偶性及單調性定義及判定、賦值法及轉化思想.錯解分析：本題對思維能力要求較高，如果“賦值”不夠準確，運算技能 不過關，結果很難獲得.技巧與方法：對于(1)，獲得f(0)的值進而取x= y是解題關鍵；對于(2)，判定竺的范圍是焦點.1 x1 x2證明：由 f(x)+f(y)=f( 一)，令 x=y=O,得 f(0)=0,令 y= x,得 f(x)+f( 1 xyx xx)=f()=f(0)=0. f(x)= f(x).A f(x)為奇函數.1 x(2)先證f(x)在(0, 1)上單調遞減.令 0VX1VX

3、2V1則 f(X2) f(X1)=f(X2) f( X1) = f( )1 X1X2T 0VX1VX20,1 X1X20,._0,1 x2x1又(X2 X1) (1 X2X1) = (X2 1)(X1 + 1)0X2 X11 X2X1,02 土1,由題意知 f(-X2 勺)0,1 x2x11 x1 x2即 f(X2)f(x1). f(x)在(0, 1)上為減函數，又f(x)為奇函數且f(0)=0. f(x)在(一1, 1)上為減函數.例2設函數f(x)是定義在R上的偶函數，并在區(qū)間(一 ,0)內單調遞 增，f(2a2+a+1)vf(3a2 2a+1).求a的取值范圍，并在該范圍內求函數 y=(

4、!)a2 3a1的單調遞減區(qū)間.命題意圖：本題主要考查函數奇偶性、單調性的基本應用以及對復合函數 單調性的判定方法.本題屬于級題目.知識依托：逆向認識奇偶性、單調性、指數函數的單調性及函數的值域問 題.錯解分析：逆向思維受阻、條件認識不清晰、復合函數判定程序紊亂.技巧與方法：本題屬于知識組合題類，關鍵在于讀題過程中對條件的思考 與認識，通過本題會解組合題類，掌握審題的一般技巧與方法.解：設0X1X2,則一X2 X10，T f(x)在區(qū)間(一X ,0)內單調遞增， f( X2)f( X1), T f(x)為偶函數， f( X2)=f(X2),f( X1) = f(X1), f(X2)f(X1).

5、 f(x)在(0，+x)內單調遞減.又2a2 a 12(a1)280，3a2 2a 13(a1)2 I 0.由 f(2a2+a+1)3a2 2a+1.解之，得 0a3.又 a2-3a+仁(a_ -)2-5.241 23函數y=( -)a 3a 1的單調減區(qū)間是一，2 2結合0a3，得函數y=( -)a2 3a 1的單調遞減區(qū)間為-,3).2 2錦囊妙計本難點所涉及的問題及解決方法主要有：(1) 判斷函數的奇偶性與單調性若為具體函數，嚴格按照定義判斷，注意變換中的等價性若為抽象函數，在依托定義的基礎上，用好賦值法，注意賦值的科學性、 合理性.同時，注意判斷與證明、討論三者的區(qū)別，針對所列的“磁場

6、”及“訓 練”認真體會，用好數與形的統一 復合函數的奇偶性、單調性.問題的解決關鍵在于：既把握復合過程，又掌 握基本函數.(2) 加強逆向思維、數形統一.正反結合解決基本應用題目，下一節(jié)我們將展 開研究奇偶性、單調性的應用殲滅難點訓練一、選擇題()下列函數中的奇函數是()A.f(x)=(x-1) X 1 1 xB.f(x)=lg(1|x2x2)2| 2_ 1 si n x cosx1 cosx sinxC.f(x)=X2 x(x 0)2x2 x(x 0)?.()函數 f(x)= )若函數 f(x)=ax3+bx2+cx+d 滿足 f(0)=f(x“=f(X2)=0 (0X11).x 1 證明：

7、函數f(x)在(一1, +x)上為增函數. X x 1 的圖象()Ji x用反證法證明方程f(x)=0沒有負數根.36. ( )求證函數f(x)=2x2在區(qū)間(1, +x)上是減函數.(x 1) X 1A.關于x軸對稱B.關于y軸對稱C.關于原點對稱D.關于直線x=1對稱二、填空題(i)f(x1 x2) =f(X1)f(X2)1f(X2) f(X1)3. ( )函數f(x)在R上為增函數，則y=f(|x+1|)的一個單調遞減區(qū)間是(ii)存在正常數a使f(a)=1.求證：(1) f(x)是奇函數.(2) f(x)是周期函數，且有一個周期是4a.8.( )已知函數f(x)的定義域為 R ,且對

8、m、n R,恒有 f(m+n)=f(m)+f( n) 1,且1 1f( - )=0,當 x-時，f(x)0.(1) 求證：f(x)是單調遞增函數；(2) 試舉出具有這種性質的一個函數，并加以驗證參考答案難點磁場(1)解：依題意，對一切ex x R,有 f(x)=f( x),即 a1x ae+aex.整理，得(aAA)=0.因此，有 a - =0,即卩 a =1,又 a0,：a=1ea證法- 設0 vx1vx2,貝 Uf(x1)f(x2)=eX1eX21x2(eX2eeX1)( 1 1)eX1e )( X1 X21)e 1eX1(eX2 X11)1X1 X2 ei丿X1 X2 e由 X1O,X2

9、O,X2X1,二 ex2 x1 1 0,1 ex1 x2 v 0,I f(X1) f(X2)V 0,即 f(X1)V f(X2) f(x)在(0,+g)上是增函數證法二：由 f(x)=eX+e x，得 f (x)=eX e x=e x (e2x 1).當 x (0,+g)時,e x0,e2x 10.此時f (x)0所以f(x)在0，+g)上是增函數.殲滅難點訓練1.解析:2f( x)= X XX2 X(X 0)(X 0)(x2 x)(x2 x)(X 0)(x 0)=f(x)，故f(x)為奇函數.答案：C2.解析：f( x)= f(x),f(x)是奇函數，圖象關于原點對稱.答案：C二、3.解析：

10、令t=|x+1|,則t在( ， 1上遞減，又y=f(x)在R上單調遞 增， y=f(|x+1|)在(，1上遞減.答案：(一， 14. 解析:T f(0)=f(xi)=f(x2)=0,二 f(O)=d=O.f(x)=ax(x xi)(x x2)=ax3 a(xi+X2) +axix2x, b= a(xi+x2),又 f(x)在X2,+s )單調遞增，故a0.又知 Ov xi v x,得X1+X2O, b= a(xi+x2)v 0.答案：(s ,0)三、5.證明：(1)設一1 vxiv x2V +s，則 x2xi0, ax2 xi 1 且 axi 0,- ax2 ax1 ax1(ax2 x1 1)

11、 0,又 X1+10,X2+10.X22X12(X22)(X11)(花2)(X21)3(X2X1)0x2 1 x1 1(x1 1)( x2 1)(x1 1)(x2 1)于是 f(X2) f(x1)= aX2 aX1 + X22 0x2 1x1 1 f(x)在(1，+ s)上為遞增函數.(2)證法一：設存在 X0V0(X0 1)滿足f(x0)=0,則aX0匯二 且由0v aX0X01v 1得0v仏二v 1,即-vX0v2與x0v0矛盾，故f(x)=0沒有負數根.X012證法二：設存在 X0V 0(X0M 1)使 f(x0)=0,若1v X0V 0,則v 2,aX0X01v 1,.f(x0)v 1

12、 與 f(x0)=0 矛盾，若 X0V 1,則 紅二 0, aX00，. f(x0)0 與 X0 1f(xo)=O矛盾，故方程f(x)=O沒有負數根.6證明1 XM 0,二 f(x)= ( 22(X 1)1XcX1 2 1p4X11 2x(1 )X1 V X1 X2f(X2),故函數f(x)在(1 , + g)上是減函數.(本題也可用求導方法解決)7.證明(1 )不妨令 X=X1X2,貝 U f(X)=f(x2f(X2)f(X1)1f(Xj fg)f(X1)f(X2)1f(X2) f(Xj=f(X1 X2)= f(x). f(x)是奇函數.(2)要證 f(x+4a)=f(x),可先計算 f(x+a),f(x+2a).T f(x+a)=f x ( a)f( a)f(x) 1f( a) f( x)f(a)f(x) 1f(a) f(x)f(x)f(x)11(f(a)1).f (x 2a) f (x a) af (x a) 1f(x a) 1f(x) 1 1f(x) 1f(x) 1 1f(x) 11f (x). f(x+4a)=f (x+2a)+2a1f(x扃=倫)故f(x)是