第4章濾波器設(shè)計(jì)方法

1、4.1 引言引言數(shù)字濾波器的總體設(shè)計(jì)步驟包括：（1）按照設(shè)計(jì)要求，確定濾波器的性能指標(biāo)； （2）采用一個(gè)因果、穩(wěn)定的離散LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)逼近該性能指標(biāo);（3）利用有限精度算法來實(shí)現(xiàn)該系統(tǒng)函數(shù);（4）采用通用計(jì)算機(jī)軟件、專用或通用的數(shù)字信號處理器（DSP）來實(shí)現(xiàn)。 本章主要討論其中的第（2）項(xiàng)和第（3）項(xiàng)中的運(yùn)算結(jié)構(gòu)等內(nèi)容 4.2 模擬濾波器的設(shè)計(jì)模擬濾波器的設(shè)計(jì) 按照頻率特性，模擬濾波器可分為低通、高通、帶通、帶阻和全通等類型。 模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)經(jīng)頻率變換可以轉(zhuǎn)換成模擬高通、帶通和帶阻濾波器。 設(shè)計(jì)模擬低通濾波器是根據(jù)一組設(shè)計(jì)規(guī)范求得模擬系統(tǒng)函數(shù)，使其逼近理想低通濾波器的特性。通常

2、可根據(jù)濾波器的幅度平方函數(shù)進(jìn)行逼近，也可根據(jù)相位特性或群延遲特性進(jìn)行逼近。 模擬低通濾波器的幅度平方逼近函數(shù)有巴特沃斯型、切比雪夫型和橢圓型函數(shù)等。4.2.1 低通模擬濾波器特性及幅度 平方逼近 1理想濾波器的幅頻特性 上圖給出了各種理想濾波器的幅頻特性，這些 特性包括： (1)通帶內(nèi)傳輸函數(shù)的幅度是常數(shù)，相移特性 是線性的； (2)阻帶內(nèi)傳輸函數(shù)的幅度為零，對相移特性 沒有要求； (3)從通帶到阻帶有一個(gè)過渡帶，對于理想濾 波器為零。 2. 低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)及其幅頻特性對于模擬低通濾波器，技術(shù)指標(biāo)包括： (1)通帶截止頻率 及通帶內(nèi)的最大衰減（或通帶邊緣增益 ）或通帶波紋 ；(2)阻帶截

3、止頻率 及阻帶內(nèi)最小衰減（或阻帶邊緣增益 ）或阻帶波紋 。 ppapa-pssasa-s 對于單調(diào)下降的幅度特性，如果 且 ， ，則 稱為3dB截止頻率或半功率截止頻率。 通帶波紋 用來描述通帶內(nèi)最大和最小增益之差， 即 。衰減為 ?？傻?與 的關(guān)系為：2)1(1log10ppacdB3pacp)j (1appH)1log(20ppap/2H1j2ca 阻帶波紋 用來描述阻帶內(nèi)的最大增益， 即 。衰減為 dB，可得 與 的關(guān)系為：21log10ssa)j (assH sslog20sas 給定技術(shù)指標(biāo)后，模擬濾波器的設(shè)計(jì)任務(wù)就是求得一個(gè)系統(tǒng)函數(shù) ，使其滿足該技術(shù)指標(biāo)。)(sHa3由幅度平方函數(shù)

4、確定系統(tǒng)函數(shù)模擬濾波器的幅度響應(yīng)常用幅度平方函數(shù)來表示，即)j ()j ()j (aa2aHHH 由于濾波器沖激響應(yīng)是 實(shí)信號， 有 ，所以)j()j (aaHH) t (ahjsaaaa2a) s() s ()j()j ()j (HHHHH 若已知 ，如何求得 呢？2a)j (H) s (aH 由于 為實(shí)信號，其系統(tǒng)函數(shù)中的極點(diǎn)（或零點(diǎn)）必以共軛對形式出現(xiàn)。又由于實(shí)際可實(shí)現(xiàn)的濾波器都是穩(wěn)定的，其系統(tǒng)函數(shù) 的極點(diǎn)一定位于s左半平面，而 的極點(diǎn)一定位于s右半平面，即左半平面的極點(diǎn)屬于 ，而右半平面的極點(diǎn)屬于 。 ) t (ah) s (aH) s(aH) s (aH) s(aH4.2.2 巴特沃

5、斯濾波器設(shè)計(jì) 1巴特沃斯濾波器的特性巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)定義為： N22a11)j (Hc式中，N為正整數(shù)，表示濾波器的階數(shù)， 為3dB截止頻率。c 應(yīng)用巴特沃斯幅度平方函數(shù)描述的低通濾波器具有如下特點(diǎn)。 （1）當(dāng) 時(shí)， 。01)0 j (2aH（2）當(dāng) 時(shí)， ， ，或 。c21)j (2acH707. 021)j (caHdB3)j (lg20caH（4）當(dāng) 時(shí)，即過渡帶和阻帶內(nèi)， 也隨著 的增大單調(diào)減小，但比通帶內(nèi)衰減的速度快得多，且N越大，衰減速度越快，過渡帶也就越陡峭，如圖所示。c2a)j (Hc（3）當(dāng) 時(shí)，即通帶內(nèi)， 隨著 的增加單調(diào)減小，且N越大，實(shí)際越慢，通帶也就越

6、平坦。 c02)( jHac巴特沃斯濾波器幅度特性及其與N的關(guān)系2巴特沃斯濾波器的系統(tǒng)函數(shù) N2caa2jsajs11) s() s ()j (HHH將 代入式中，可得：js 1N2 , 2 , 1 , 0k,ej1sN21k221jccN21k 可見，巴特沃斯濾波器是一個(gè)全極點(diǎn)型濾波器。共有2N個(gè)極點(diǎn)，每個(gè)極點(diǎn)表示如下： 由上可看出， 的極點(diǎn)分布特點(diǎn)為：) s(H) s (Haa （1）極點(diǎn)在s平面是象限對稱的，分布在半徑為 的 圓（巴特沃斯圓）上，共有2N個(gè)極點(diǎn)。極點(diǎn)間的角度間 隔為 。cradN （2）極點(diǎn)絕不能落在虛軸上，這樣濾波器才有可能穩(wěn) 定。 （3）N為奇數(shù)時(shí)，實(shí)軸上有極點(diǎn)；N為

7、偶數(shù)時(shí)，實(shí)軸上 無極點(diǎn)。 選取在左半平面上的極點(diǎn)作為 的極點(diǎn)，因此有：1N0kkNca)ss()s(H sHa例例4-1 導(dǎo)出三階巴特沃斯型低通濾波器 的系統(tǒng)函數(shù)，已知s/rad2c解解 該巴特沃斯型低通濾波器的幅度平方函數(shù)為：62a211)j(H66aa2s11) s() s (HH即即 5 ,2, 1 ,0k,e2s61k221jk各極點(diǎn)為： 3j1e2s32j02e2s j13j1e2s32j23j1e2s31j32e2s2j43j1e2s31j5即 極點(diǎn)的分布如圖所示。 取s平面左半平面的極點(diǎn) 、 和 組成 ： 0s1s2s) s (aH8s8s4s8)ss)(ss)(ss () s

8、(232103caH3巴特沃斯模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法 確定技術(shù)指標(biāo)，包括：通帶截止頻率 及通帶內(nèi)的最大衰減 ，阻帶截止頻率 及阻帶內(nèi)最小衰減 。ppassa根據(jù)式得到： N2cp2pa11)j (HN2cs2sa11)j (H從而得到： 1101101010Nspspaa則 sp1010lg110110lgNspaa 當(dāng) 時(shí)，簡化得：cpps2slg211lgN例例4-24-2 已知一個(gè)模擬低通濾波器通帶截止頻率 通帶最大衰減 阻帶起始頻率 ，阻帶最小衰減 ，試根據(jù)上述要求設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。kHz5pfdB3pakHz10sfdB30sa解解 （1）確定濾波器的階數(shù) 因?yàn)?，由 及 可求得

9、 cp2sas)j (1lg10Ha )j (sasH 0316. 01010203020ssas則 9829.46021.00002.32lg210316.01lglg211lgN2ps2s取階數(shù)N5。 因?yàn)?所以dB3pas/rad10523pc （2）計(jì)算s左半平面上的N個(gè)極點(diǎn)53jc0es 54jc1es jc2es 56jc3es 57jc4es （3）寫出濾波器的系統(tǒng)函數(shù)2218214394552240kk5ca1006. 3s10152. 3s10624. 1s10168. 5s10017. 1s1006. 3)ss () s (H4.2.3 切比雪夫切比雪夫I型濾波器設(shè)計(jì)型濾波

10、器設(shè)計(jì) 1切比雪夫?yàn)V波器的特性 若切比雪夫?yàn)V波器的幅度特性在通帶內(nèi)是等波紋的，而在阻帶內(nèi)是單調(diào)的，則稱之為切比雪夫I型濾波器，如圖所示 若幅度特性在通帶內(nèi)是單調(diào)的，而在阻帶內(nèi)是等波紋的，則稱之為切比雪夫II型濾波器。 這里主要介紹切比雪夫I型濾波器的設(shè)計(jì)。N階切比雪夫I型濾波器形狀N階模擬切比雪夫I型濾波器，其幅度平方函數(shù)定義為：p2N22aC11)j(H 式中，參數(shù) 為小于1的正數(shù)， 為低通濾波器的截止頻率（不一定是3dB頻率）。 是N階切比雪夫多項(xiàng)式，定義為：p)x(NC1x)x(harccosNcosh1x)xarccos(Ncos)x(NC可知，幅度平方函數(shù)由階數(shù)N和參數(shù) 確定。 2切

11、比雪夫模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法 模擬切比雪夫I型濾波器的階數(shù)N可由下式確定： psharccosharccosN式中， 由阻帶邊緣增益 （如圖所示）計(jì)算得到：112s參數(shù) 由通帶邊緣增益計(jì)算得到：1)1(12p則系統(tǒng)函數(shù)為： 線性增益頻譜圖 iisssH11a2 例例4-3 一個(gè)模擬低通濾波器，要求通帶截止頻率為 3kHz，通帶最大衰減為0.1dB，阻帶截止頻率為12kHz， 阻帶最小衰減為60dB。應(yīng)用切比雪夫I型濾波器的設(shè)計(jì) 方法求該濾波器的幅度函數(shù)。解解由 ，求得 ，則60lg20s001. 0102060s10001001.011122s1523. 019886. 011)1 (122p1

12、 . 01lg20p 由 ，求得 。則9886. 0101201 . 0p所需濾波器的階數(shù)為：5957. 40634. 24828. 9312harccos1523. 01000harccosharccosharccosNps取N=5，則該模擬低通濾波器的幅度表示為： 21523. 01111j252p22aCCHN4.3 無限沖激響應(yīng)（IIR）數(shù)字濾波器設(shè)計(jì) 無限沖激響應(yīng)濾波器也稱為遞歸濾波器，其所對應(yīng)的差分方程如下： 00kMkkkknxbknya一般IIR濾波器的傳輸函數(shù)為：NN2211MM22110zzz1zzz) z (Haaabbbb具有M個(gè)零點(diǎn)和N個(gè)極點(diǎn)，可見遞歸濾波器不能保證其

13、穩(wěn)定性。所以，穩(wěn)定性檢驗(yàn)是許多IIR濾波器設(shè)計(jì)的重要組成部分。 遞歸濾波器很難實(shí)現(xiàn)非遞歸濾波器所具有的線性相位； 遞歸濾波器的優(yōu)勢在于，在實(shí)現(xiàn)類似的性能要求時(shí)，遞歸濾波器比非遞歸濾波器所需要的系數(shù)（或階數(shù)）要小得多。 設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器一般有以下兩種方法。 遞歸濾波器與非遞歸濾波器之間的區(qū)別還包括： （1） 先按照技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)一個(gè)模擬濾波器 ，然后再按照一定的映射關(guān)系將 轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的 。（2） 計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法。這是一種最優(yōu)化的設(shè)計(jì)方法。這種設(shè)計(jì)需要進(jìn)行大量的迭代運(yùn)算，故需要計(jì)算機(jī)的支持。 ) s (aH) s (aH)(zH 我們主要介紹第一種方法，即利用模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器。那

14、么，如何將模擬濾波器的傳輸函數(shù) 轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù) 呢？ ) s (aH)(zH 模擬濾波器到數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)換可以在時(shí)域?qū)崿F(xiàn)，也可以在頻域?qū)崿F(xiàn)。 時(shí)域轉(zhuǎn)換法是使數(shù)字濾波器的時(shí)域響應(yīng)與模擬濾波器的時(shí)域采樣值相等，具體方法有：沖激響應(yīng)不變法、階躍響應(yīng)不變法和匹配z變換法。 頻域變換法是使數(shù)字濾波器在范圍內(nèi)的幅度特性與模擬濾波器在范圍內(nèi)的幅度特性一致，具體方法有：雙線性變換法、微分映射法。 上述方法中得到廣泛使用的有沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法。 無論采用哪種方法，為了保證由 轉(zhuǎn)換得到的 仍然滿足技術(shù)指標(biāo)并具有穩(wěn)定性，復(fù)變量s到復(fù)變量z之間的映射關(guān)系必須滿足以下兩個(gè)基本要求：) s (aH)

15、(zH（1） 的頻率響應(yīng)要能夠模仿 的頻率響應(yīng)。)(zH) s (aH) s (aH)(zH（2）因果穩(wěn)定的 能夠映射成因果穩(wěn)定的 。4.3.1 沖激響應(yīng)不變法 1 變換原理 沖激響應(yīng)不變法是依據(jù)數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng) 與模擬濾波器的沖激響應(yīng) 在采樣點(diǎn)上值 相等，即 )(nh) t (ahnTta) t (h)nT() t ()n(anTtahhh 如果令 是 的拉普拉斯變換， 是 的z變換，則由模擬系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) 求拉普拉斯逆變換得到模擬的沖激響應(yīng) ，然后采樣得到 ，再取z變換得 。s平面和z平面之間的對應(yīng)關(guān)系： ) s (aH) t (ah)(zH)n(h) s (aH) t (ah)nT(

16、)n(ahh)(zHTesz 下圖顯示了沖激響應(yīng)不變法的s域到z域的映射關(guān)系。若將 和 代入 ，可得 jrezjsTer T 分析結(jié)果表明：（1） 當(dāng) ，即 時(shí)， ，即s平面的虛軸映射到z平面的單位圓上；（2） 當(dāng) 時(shí)， ，即s平面的左半平面映射到z平面的單位圓內(nèi)；（3） 當(dāng) 時(shí)， ，即s平面的右半平面映射到z平面的單位圓外。js 01z01z01zTesz 分析圖不難發(fā)現(xiàn)，從s平面到z平面是一種多值映射關(guān)系，因此，要求 必須在 內(nèi)嚴(yán)格帶限，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時(shí)，即 2 混疊失真混疊失真)j (HTT時(shí)才能使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)而不產(chǎn)生混疊失真，即, )

17、Tj (T1)e (ajHH 但是，任何嚴(yán)格設(shè)計(jì)的模擬濾波器的頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格帶限的，變換后會產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊。0jaH,2s 由于 是實(shí)數(shù)，因而 的極點(diǎn)必成共軛對存在，則 變成 的映射關(guān)系為：， ) t (ah) s (aH) s (aH)(zH3 模擬濾波器數(shù)字化kskkkzAssAe11ks1e1zAssAkkk例例4-4 已知模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為試用沖激響應(yīng)不變法求出相應(yīng)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。 解22a)s (s) s (baaHbabaHjs21js21) s (a根據(jù)沖激響應(yīng)不變法中z平面和s平面的映射關(guān)系可知，相應(yīng)的數(shù)字濾波器在 處有一對極點(diǎn)，其系統(tǒng)函數(shù)為：這是一

18、個(gè)二階遞歸濾波器，在 處有一對共軛極點(diǎn)，在 和 處有兩個(gè)零點(diǎn)。T)j(ebaz1TjT1TjT1T1TjT1TjTzee1zee1z)Tcos(e1zee121zee121)z(babaabababH()ajb Tze0z)Tcos(ezaTb將進(jìn)行部分分式展開得4 沖激響應(yīng)不變法的優(yōu)缺點(diǎn) 沖激響應(yīng)不變法的最大優(yōu)點(diǎn)是保持了模擬濾波器的時(shí)域瞬態(tài)特性，具有良好的時(shí)域逼近，而且模擬頻率和數(shù)字頻率之間呈線性映射關(guān)系。 沖激響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是有頻域混疊，所以它只適用于帶限的模擬濾波器。4.3.2 雙線性變換法 沖激響應(yīng)不變法是使數(shù)字濾波器在時(shí)域上模仿模擬濾波器，但是由于從s平面到z平面是多值映射關(guān)系

19、，所以產(chǎn)生了頻率響應(yīng)的混疊失真。 為了克服這一缺點(diǎn)，可以采用雙線性變換法。1變換原理 )e (jH)j (HT2TTTs1ez 雙線性變換法是使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng) 與模擬濾波器的頻率響應(yīng) 相近似的一種變換方法。它通過將整個(gè)s平面壓縮變換到某一中介的s1平面的一條橫帶里（寬度為 ，即 ），然后再通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系 將此橫帶變換到整個(gè)z平面上去，如圖所示，4.3.2 雙線性變換法雙線性變換法的映射關(guān)系將s平面整個(gè) 軸壓縮到s1平面軸 上的 一段上，可以通過以下的正切映射來實(shí)現(xiàn)： j1jTT11jTjT1e1e1c)2Ttan(jcj從而得到s平面和z平面的單值映射關(guān)系為：1z1zcz1z1cs11

20、scscz則這兩式就是s平面與z平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換方法稱為雙線性變換法。(1)(2) 將 和 代入式得到模擬角頻率 和數(shù)字角頻率 之間的變換關(guān)系： js jez 2tanc 上式的逆雙線性變換式為：ctan21下面討論雙線性變換法對變換條件的可滿足性：（1） 將 代入式(1)，可得即s平面的虛軸映射成z平面的單位圓。（2） 將 代入式(2)，可得 因此有 j2tanjce1e1csjjj)c(j)c(scscz2222)c ()c (zjezjs 可見，當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ； 當(dāng) 時(shí)， 。 因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)過雙線性變換后，所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。01z01z01

21、z2. 頻率預(yù)畸變 2tan c 雙線性變換的最大優(yōu)點(diǎn)是避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象。 但是，由于 變換關(guān)系是非線性的，所以 和 之間存在著嚴(yán)重的非線性關(guān)系，這種非線性關(guān)系要求模擬濾波器的幅度響應(yīng)必須是分段恒定的。 對應(yīng)分段恒定的濾波器，經(jīng)過雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段恒定的濾波器，但是各個(gè)分段邊緣的臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生了畸變。 這種現(xiàn)象可以通過頻率的預(yù)畸變來加以校正，也就是將臨界頻率事先加以畸變（利用公式 ），然后再經(jīng)過雙線性變換后映射到所需要的頻率上。2tan c 3. 模擬濾波器數(shù)字化模擬濾波器數(shù)字化 )(asH)(zH 模擬濾波器的數(shù)字化可以由模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 通過式（1），得到數(shù)字濾

22、波器的系統(tǒng)函數(shù) ，即 11a11a1111zzcHsHzHzzcs 也可以先將模擬系統(tǒng)函數(shù)分解成并聯(lián)的子系統(tǒng)或級聯(lián)的子系統(tǒng)，使每個(gè)子系統(tǒng)函數(shù)都變成低階的（如一、二階），然后再對每個(gè)子系統(tǒng)函數(shù)分別采用雙線性變換法。 例例4-5 已知模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 ，試?yán)秒p線性變換法將其轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器 。ssHa11)()(zH解解1111111112121111211112)()(11zfzzzzfzzfHsHzHsssazzfsas1131)(zzzH當(dāng)T=1或 時(shí)，則1sf1 沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器 步驟如下：4.3.3 4.3.3 低通數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)低通數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)（）確定待求通帶

23、邊緣頻率 、待求阻帶邊緣頻率 和待求阻帶邊緣增益 ，通帶邊緣頻率一般對應(yīng)3dB增益。（）用 把以Hz為單位表示的待求邊緣頻率轉(zhuǎn)換成以rad為單位的數(shù)字頻率，得到 和 。（）模擬頻率 和數(shù)字頻率 之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為線性關(guān)系，即： ，或 ，求得 和 ，單位是rad/s。（）由已知的阻帶邊緣增益 dB，確定阻帶邊緣增益 。1pfs1fslg20s2ff psT sfTpsslg20s（）用下式計(jì)算所需濾波器的階數(shù)。 （）將代入N階巴特沃斯濾波器的傳輸函數(shù)中，求出的N個(gè)極點(diǎn)。 為整數(shù)NNpss,lg211lg2 2aa2jaj11jssHsHHs（7）用下面公式求得所需數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)。 NkTsk

24、zeAzHk111)( 1akkkssAsH2 雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器 步驟如下：（） 確定待求通帶邊緣頻率 、待求阻帶邊緣頻率 、待求的通帶邊緣增益 dB和待求阻帶邊緣增益 dB。（注意：這時(shí)，通帶邊緣頻率不必一定對應(yīng)-3dB增益。）p1fs1fp1lg20slg20（）用公式 把以Hz為單位的待求邊緣頻率轉(zhuǎn)換成以rad為單位的數(shù)字頻率，得到 和 。s2ff ps（）計(jì)算預(yù)扭曲模擬頻率，以避免雙線性變換帶來的失真。由 求得 和 ，單位是rad/s。2tan2fsps（4）由指定的通帶邊緣增益 dB ，確定通帶邊緣增益 ，并由下式計(jì)算參數(shù) ： （5）由指定的阻帶邊緣增益 dB，確定阻帶

25、邊緣增益 ，并用下式確定 。 p1lg20p11)1(12pslg20s112s（6）用下式確定所需濾波器的階數(shù)N。 （7）把 和 代入N階切比雪夫I型濾波器的傳輸函數(shù) 中（由于系統(tǒng)函數(shù)通常非常復(fù)雜所以一般借助于濾波器設(shè)計(jì)軟件來完成），并對 進(jìn)行雙線性變換得到N階數(shù)字系統(tǒng)函數(shù) 。psN11coshcoshp)(sHa)(sHa)(zH（8）把 代入下式即可得到數(shù)字濾波器幅頻特性 。 2tan2fs 112azzfsssHzHjeH22a11jCH4.3.4 高通、帶通和帶阻高通、帶通和帶阻IIR數(shù)字濾波數(shù)字濾波 器設(shè)計(jì)器設(shè)計(jì) 實(shí)際應(yīng)用中的高通、帶通和帶阻數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)主要有如圖所示的三種方法

26、。 數(shù) 字 化 模 擬 域 頻 率 變 換 模 擬 歸 一 化 原 型 c 1 模 擬 高 通 、 帶 通 、帶 阻 數(shù) 字 低 通 、 高 通 、帶 通 、 帶 阻 （a）方法一：先進(jìn)行模擬域頻率變換，再數(shù)字化 數(shù)字域頻率變換 數(shù)字化 模擬歸一化原型 c1 數(shù)字低通 數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻 （b）方法二：先數(shù)字化，再進(jìn)行數(shù)字域頻率變換 數(shù)字化 模擬歸一化原型 c1 數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻 （c）方法三：直接對模擬原型進(jìn)行數(shù)字化1. 方法一：先進(jìn)行模擬域頻率變換，再數(shù)字化 設(shè)計(jì)步驟如下：（1） 將設(shè)計(jì)中所給出的數(shù)字技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬技術(shù)指標(biāo)。沖激響應(yīng)不變法采用的轉(zhuǎn)換公式為： sf 雙線

27、性變換法采用的轉(zhuǎn)換公式為： 2tan2fs（2） 將模擬指標(biāo)對截止頻率進(jìn)行歸一化。 （3） 將其它類型模擬濾波器（高通、帶通和帶阻）的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。模擬高通濾波器到模擬低通濾波器（ ）的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換方法如圖所示。LH LpLsHsHp增益 增益 頻率 頻率 模擬高通到模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換, 模擬帶通濾波器到模擬低通濾波器（ ）的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換方法如圖所示。LP 1Pp2Pp1Ps2PslsLp0P增益 增益 頻率 頻率 模擬帶阻濾波器到模擬低通濾波器（ ）的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換方法如圖所示。LS 1Sp2Sp1Ss2SslsLp0S增益 增益 頻率 頻率 模擬低通濾波器

28、的系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換為模擬高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：sHsHHpLpLH)( 模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換為模擬帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：)()(12212PpPpPpPpLpLBPssHsH（4） 將模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換為其它類型模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)（包括去歸一化）。21212)()(SpSpSpSpLpLBSssHsH 若以上各式中的為歸一化后的模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，則 。1Lp（5） 模擬濾波器的數(shù)字化采用沖激響應(yīng)不變法或雙線性變換法。 模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換為模擬帶阻濾波器的系統(tǒng)函數(shù)： 2. 方法二：先數(shù)字化，再進(jìn)行數(shù)字域頻率 變換 具體轉(zhuǎn)換公式如表所示。 變 換類 型 變 換 公

29、 式 變 換 參 數(shù) 低 通 1111aZaZz 2sin2sinLppLLppLa pL為 原 型 低 通 數(shù) 字 濾 波 器 的 通 帶 截 止 頻 率 Lp為 待 轉(zhuǎn) 換 的 低 通 數(shù) 字 濾 波 器 的 通 帶 截 止 頻 率 高 通 1111aZaZz 2cos2cosHppLHppLa Hp為 高 通 數(shù) 字 濾 波 器 的 通 帶 截 止 頻 率 帶 通 11211111212121ZkakZkkkkZkakZz 2cos2cos1212PpPpPpPpa 2tan212pLPpPpctgk 2Pp和1Pp為 帶 通 濾 波 器 通 帶 的 上 、 下 截 止 頻 率 帶 阻

30、11211111212121ZkaZkkkkZkaZz 2cos2cos1212SpSpSpSpa 2tan2tan12pLSpSpk 2Sp和1Sp為 帶 阻 濾 波 器 通 帶 的 上 、 下 截 止 頻 率 3. 方法三：直接對模擬原型進(jìn)行數(shù)字方法三：直接對模擬原型進(jìn)行數(shù)字化化具體轉(zhuǎn)換公式如表所示。變 換類 型 變 換 公 式 變 換 參 數(shù) 高 通 11111zzCs 21ctgC 2tan1ccC c為 數(shù) 字 高 通 濾 波 器 的 通 帶 截 止 頻 率 c為 相 應(yīng) 的 模 擬 低 通 原 型 濾 波 器 的 通 帶 截 止 頻 率 帶 通 22111zzEzDs Dsinco

31、scos0 212PpPpcctgD 01212cos22cos2cos2EPpPpPpPp 2Pp和1Pp為 數(shù) 字 帶 通 濾 波 器 通 帶 的 上 、 下 截 止 頻 率 0為 數(shù) 字 帶 通 濾 波 器 的 中 心 頻 率 帶 阻 2112111zzEzDs 2tan121SpSpcD 012121cos22cos2cos2ESpSpSpSp 2Sp和1Sp為 數(shù) 字 帶 阻 濾 波 器 通 帶 的 上 、 下 截 止 頻 率 0為 數(shù) 字 帶 阻 濾 波 器 的 中 心 頻 率 4.4 4.4 有限沖激響應(yīng)（有限沖激響應(yīng)（FIRFIR）數(shù)字濾）數(shù)字濾 波器設(shè)計(jì)波器設(shè)計(jì) 4.4.1

32、FIRFIR數(shù)字濾波器的線性相位特性數(shù)字濾波器的線性相位特性 由于不同輸入頻率分量通過濾波器所產(chǎn)生的輸出相位延遲不同，從而產(chǎn)生了相位失真。 確保不產(chǎn)生相位失真的唯一辦法是，使不同輸入頻率的信號通過濾波器時(shí)有相同的輸出相位延遲。1相位失真 當(dāng)信號通過線性濾波器后，輸出信號的幅度和相位會發(fā)生改變。保證所有輸出相位延遲相等的方法有兩種：一種是使濾波器所有頻率分量的相位特性為零，但這是不實(shí)際的；另一種方法是隨著頻率的變化而改變?yōu)V波器的相位特性，則可使所有頻率的相位延遲保持恒定，這種方法可通過使濾波器相位特性為頻率的線性函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。 下面討論如何設(shè)計(jì)具有線性相位特性的濾波器，及為了獲得線性相位，F(xiàn)IR濾

33、波器應(yīng)該滿足的條件。2. 線性相位條件FIR濾波器的頻率響應(yīng)為：用歐拉恒等式展開為 10njjeennhH 1010jsinjcosennnnhnnhH因?yàn)?為實(shí)序列，則 的相位特性為1010)cos()()sin()(arctan)(NnNnnnhnnh)(nh有兩類線性相位，其定義分別為：jeHl 第一類線性相位 式中， 為用采樣點(diǎn)數(shù)來表示的與 無關(guān)的常數(shù)。l 第二類線性相位 式中， 為起始相位。嚴(yán)格地說，這樣的 不具有線性相位，但它的群延遲仍是一個(gè)常數(shù)，即)(2)(2)(dd)(所以仍可將其視為具有線性相位，有時(shí)也稱其為準(zhǔn)線性相位。對于第一類線性相位，當(dāng) 時(shí)，則有)(整理后有1010)c

34、os()()sin()()(tan)cos()sin()tan(NnNnnnhnnh0)sin()(10Nnnnh0)cos()sin()()sin()cos()(1010NnNnnnhnnh 當(dāng) 時(shí)，對稱中心為 。這樣，使上式成立的條件是 關(guān)于 偶對稱，即要求)(nh2) 1( N2) 1( Nn2) 1(N)1()(nNhnh對于第二類線性相位，當(dāng) 時(shí)，可用類似的方法得到2)(0)(cos)(10Nnnnhn)(cos式中余弦函數(shù) 為偶對稱函數(shù)，當(dāng) 時(shí)，對稱中心也為 。這樣，使上式成立的條件是 關(guān)于 奇對稱，即要求)1()(nNhnh2) 1( N2) 1( Nn)(nh2) 1(N FI

35、R數(shù)字濾波器的線性相位特性僅取決于 的對稱性，而與 的取值無關(guān)。但其幅頻特性取決于 的取值。 所以設(shè)計(jì)線性相位FIR濾波器時(shí)，在保證 的對稱性條件下，只需考慮幅度的逼近。)(nh)(nh)(nh)(nh3. 線性相位FIR濾波器的頻率特性 )(j)(jjj)()()(eHeeHeH)(jeH)(H)(將頻率特性 表示成：其中 為幅頻特性，是一個(gè)純實(shí)數(shù)， 為相位特性。 已知FIR濾波器的沖激響應(yīng)滿足式或式，因而系統(tǒng)函數(shù)可表示為進(jìn)一步改寫為)()()()1()()(1)1(10)1(10)1(1010zHzzmhzzmhznNhznhzHNNmmNNmmNNnnNnn2)()(21)()(21)(

36、21211021)1(101)1(nNnNNnNnNnNnNzznhzzzznhzHzzHzH下面分兩種情況討論FIRFIR 濾波器的頻率特性。 （1） 當(dāng) 偶對稱，即 時(shí)，頻率特性函數(shù)為1021j -j21cos)()()(jNnN-eznNnhezHeH)(nh)1()(nNhnh1021cos)()(NnnNnhHN-21)(則幅頻特性函數(shù)為相位特性函數(shù)為1) 當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)因?yàn)?對于 偶對稱，所以 對于 也為偶對稱，即由于在 、 和 時(shí)， ，所以可用來設(shè)計(jì)低通、高通、帶通或帶阻濾波器。2)1(1)cos(21221)(NnnnNhNhH)cos( n HH200)(H2)(H2) 當(dāng)N為

37、偶數(shù)時(shí)因?yàn)?對于 奇對稱，所以 對于 也為奇對稱，即由于在 和 時(shí)， ，而 時(shí)， 所以可用來設(shè)計(jì)低通或帶通濾波器。2121cos22)(NnnnNhH21cosn)(H HH2020)(H 0)(H（2） 當(dāng) 奇對稱，即 時(shí)，頻率特性為)1()(nNhnh)(nh102j21j-1021 j-j21sin)(21sin)(j)()(jNnN-NnN-eznNnhenNnhezHeH則幅頻特性函數(shù)為1021sin)()(NnnNnhH221)(N-相位特性函數(shù)為1) 當(dāng)N為奇數(shù)時(shí) 因?yàn)?對于 奇對稱，所以 對于 也為奇對稱，即 由于在 、 和 時(shí)， ，所以只能用它設(shè)計(jì)帶通濾波器。 2)1(1)s

38、in(212)(NnnnNhH)sin( n)(H HH2020)(H2) 當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)因?yàn)?對于 偶對稱，所以 對于 也為偶對稱，即 由于在 和 時(shí)， ，而在 時(shí)， ，所以可用來設(shè)計(jì)高通或帶通濾波器。2121sin22)(NnnnNhH21sinn)(H HH200)(H 20)(H4.4.2 窗函數(shù)設(shè)計(jì)法窗函數(shù)設(shè)計(jì)法1 窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的基本思想 FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)一般是先給出所要求的理想的濾波器頻率響應(yīng) ，然后尋找一組 ，使由其所確定的頻率響應(yīng)逼近 。)(nhjdeHjdeH 10njjeennhH2. 截?cái)嘈?yīng)（吉布斯效應(yīng)）截?cái)嘈?yīng)（吉布斯效應(yīng)） 用窗函數(shù) 對進(jìn)行直接截?cái)?，得到有限長序

39、列 ，并以 替代 ，肯定會引起誤差，表現(xiàn)在頻域就是通常所說的截?cái)嘈?yīng)或吉布斯效應(yīng)。)(nhd)(nh)(nh)(nhd下面以矩形窗為例分析截?cái)嘈?yīng)對信號幅頻特性的影響。 )()()()()(nhnRnhnwnhdNd由于所以，應(yīng)用復(fù)卷積定理可以得到（1）式dee21eeejjdjdjjRHRRH 其中 式中 )2sin()2sin()(NRN21Na aNNNnNnNNRNnRRj21j10nj10njje2sin2sineeee 是矩形窗的幅度函數(shù)，在 范圍內(nèi)形成主瓣，兩側(cè)形成許多逐漸衰減的旁瓣，如圖所示。)(RNNN22將 和 代入式（1）中得其中)()()()(21)(RHdRHHNdN

40、d21NajeNRjdeH aNaaNaHRHRHHjdjjjdjed21edee21e 上面兩式表明， 的相位特性函數(shù) 是線性的，幅度特性 是理想低通濾波器的幅度特性 與矩形窗的幅度特性 的卷積，其卷積過程如圖（a）（f）所示。a)()(H)(RNjeH dH 從圖中可以看出，對 加矩形窗處理后，其幅頻特性 與原理想低通濾波器的幅頻特性 有著明顯的區(qū)別：)(nhd)(H dH（2）在截止頻率 的兩邊 （即過渡帶兩側(cè)） 形成了逐漸衰減的波紋，在 處達(dá)到最大正肩峰，在 處形成最大負(fù)肩峰。Nc2c)(HNc2N2c（1） 在理想特性不連續(xù)點(diǎn) 附近形成了過渡帶，過渡帶的寬度近似為窗函數(shù)頻率響應(yīng) 的主

41、瓣寬度，即 。N4c)(RN 以上兩點(diǎn)就是窗函數(shù)直接截?cái)?引起的截?cái)嘈?yīng)在頻域的反應(yīng)。 截?cái)嘈?yīng)直接影響濾波器的性能，因此，減少截?cái)嘈?yīng)也是FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的關(guān)鍵之一。 nhd3. 常用的窗函數(shù)一個(gè)理想的窗函數(shù)應(yīng)滿足以下兩項(xiàng)要求：（1） 窗函數(shù)的幅頻特性的主瓣要盡可能地窄，以獲得較陡的過渡帶； （2） 窗函數(shù)的幅頻特性的最大旁瓣的幅度要盡 可能地小，從而使主瓣包含盡可能多的能量。3. 常用的窗函數(shù)一個(gè)理想的窗函數(shù)應(yīng)滿足以下兩項(xiàng)要求：常用的窗函數(shù)有以下幾種：常用的窗函數(shù)有以下幾種：（1 1） 矩形窗矩形窗 ， ， 矩形窗所對應(yīng)的沖激響應(yīng) 如圖所示。)()(nRnwNNjNjNeReR21)(

42、)()2sin()2sin()(NRN1717N 矩形窗的沖激響應(yīng) 矩形窗的幅頻特性及加窗后得到的濾波器的幅頻特性如圖所示。（a）矩形窗幅頻特性 （b）濾波器幅頻特性（2 2） 漢寧窗漢寧窗 當(dāng)N1時(shí)，有 )(12cos5 .05 .0)(nRNnnwN21)()(NjjeWeW)2()2(25. 0)(5 . 0)(NRNRRWNNN 漢寧窗的沖激響應(yīng) 漢寧窗所對應(yīng)的沖激響應(yīng)如圖所示。漢寧窗的幅頻特性及加窗后得到的濾波器的幅頻特性如圖所示。 （a）漢寧窗幅頻特性 （b）濾波器幅頻特性 （3 3） 海明窗海明窗 當(dāng)N1時(shí)，有 )2()2(23. 0)(54. 0)(NWNWWWRRR)(12c

43、os46.054.0)(nRNnnwN21)()(NjjeWeW 海明窗的沖激響應(yīng) 海明窗所對應(yīng)的沖激響應(yīng)如圖所示。海明窗的幅頻特性及加窗后得到的濾波器的幅頻特性如圖所示。（a）海明窗幅頻特性 （b）濾波器幅頻特性 （4 4） 布萊克曼窗布萊克曼窗當(dāng)N1時(shí)，有)(14cos08. 012cos5 . 042. 0)(nRNnNnnwN21)()(NjjeWeW)4()4(04. 0)2()2(25. 0)(42. 0)(NWNWNWNWWWRRRRR布萊克曼窗沖激響應(yīng) 布萊克曼窗所對應(yīng)的沖激響應(yīng)如圖所示。布萊克曼窗的幅頻特性及加窗后得到的濾波器的幅頻特性如圖4.25所示。（a）布萊克曼窗幅頻特

44、性 （b）濾波器幅頻特性 （5） 凱塞窗其中 為第一類零階修正貝塞爾函數(shù)。定義為： 10,)(1121)(020NnINnInw120!)2(1)(jjjxxI)(0 xI 是一個(gè)可以自由選擇的參數(shù)，它可以同時(shí)調(diào)整主瓣寬度與旁瓣電平。 越大，則窗越窄，而幅頻特性的旁瓣越小，但主瓣寬度也相應(yīng)增加。因而改變 值就可以對主瓣寬度和旁瓣衰減進(jìn)行選擇。)(nw4.4.3 線性相位線性相位FIR濾波器的設(shè)計(jì)濾波器的設(shè)計(jì)1. 窗函數(shù)法的設(shè)計(jì)步驟（1） 給定所要求的頻率響應(yīng)函數(shù) 。（2） 求 ，為了保證線性相位，將 右移 個(gè)采樣點(diǎn)，使此濾波器為因果的。jdeH)(dnh2) 1( Na jddeIDTFT H

45、nh（3） 由過渡帶寬度和阻帶最小衰減的要求，選擇窗函數(shù) 的形狀及N的大小。 窗函數(shù)形式的選擇原則是：在保證阻帶衰減滿足要求的條件下，盡量選擇主瓣窄的窗函數(shù)。)(nw（4） 求得所設(shè)計(jì)的FIR濾波器的單位沖激響應(yīng)。1, 1 , 0, )()()(Nnnwnhnhd（5） 求 ，并檢驗(yàn)是否滿足設(shè)計(jì)要求，若不滿足，則需要重新設(shè)計(jì)，選擇其他的窗函數(shù) 或改變窗口長度N，重復(fù)（3）、（4）、（5）步。)(nw nhHDTFTej2. 低通低通FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)舉例數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)舉例 舉例來說明線性相位FIR低通數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過程。 例例4-6 根據(jù)下列指標(biāo)設(shè)計(jì)FIR低通數(shù)字濾波器：（1）通帶邊緣

46、頻率 2kHz（2）阻帶邊緣頻率 3kHz（3）阻帶衰減 40db（4）采樣頻率 10kHzpf1sfssf解解（1） 求出各對應(yīng)的數(shù)字頻率。通帶截止頻率為 阻帶截止頻率為 阻帶衰減為 dB4.010000200022ffspp6 .0100003000221ffsss40s（2） 確定頻率響應(yīng)函數(shù) 。 其中：5 . 02)6 . 04 . 0(2spcc10jde其他HjdeH（3） 確定 ，并進(jìn)行因果化。 其中)(nhdanananananannhccd,5.0,)()(5.0sin()()(sin()(2) 1( Na（4） 由阻帶衰減 確定窗函數(shù)，由過渡帶寬度確定窗口長度N。 因?yàn)樽鑾?/p>

47、衰減為40db，所以可以選擇漢寧窗、海明窗和布萊克曼窗?？紤]布萊克曼窗 的過大，而在 比較接近的情況下，漢寧窗的阻帶衰減不及海明窗，所以選擇了海明窗：sDD 海明窗的過渡帶寬度歸一化因子 ，從而可確定窗口長度N為： N取為最接近的奇數(shù)，即N35。4 .344 . 06 . 088. 644. 322psDN44. 3D)(12cos46.054.0)(nRNnnwN（5） 求得所設(shè)計(jì)的FIR濾波器的單位沖激響應(yīng)。因?yàn)?則 172) 1( Na340,17cos46. 054. 0)(nnnw340,)17()17(5 .0sin()21()21(5 .0sin()(nnnNnNnnhd所以有3

48、40,)17cos(46. 054. 0)17()17(5 . 0sin)()()(nnnnnwnhnhd（6） 由 求 ，并檢驗(yàn)各項(xiàng)指標(biāo)是否滿足設(shè)計(jì)要求，如不滿足要求，則需要 選擇其他的窗函數(shù) 或改變窗口長度N，來重新進(jìn)行設(shè)計(jì)。 的圖形在圖中給出，它已經(jīng)滿足設(shè)計(jì)要求。)(nh)(nwjeH nhHDTFTej 0500100015002000250030003500400045005000-120-100-80-60-40-20020Frequency(rad)Magnitrde(db)Frequencyresponse設(shè)計(jì)出的線性相位FIR低通濾波器的幅頻特性（海明窗，N35） 4.4.4

49、 高通、帶通和帶阻FIR數(shù)字濾波 器的頻率移位設(shè)計(jì)法1. 高通和帶通FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 如果將頻域中的單個(gè)脈沖函數(shù)置于待求濾波器的中心頻率處，則脈沖函數(shù)與低通濾波器形狀的卷積就可把雙邊低通濾波器形狀的副本移位到新的位置，結(jié)果就可得到與低通原型有相同形狀的高通或帶通濾波器。 下圖正說明了這種關(guān)系。 以下是高通和帶通FIR數(shù)字濾波器的頻率移位設(shè)計(jì)步驟。（1） 將高通或帶通濾波器的設(shè)計(jì)要求轉(zhuǎn)換為低通濾波器的設(shè)計(jì)要求。 1) 高通到低通的技術(shù)指標(biāo)的轉(zhuǎn)換如圖所示 阻 帶 邊 緣 頻 率 對 應(yīng) 阻 帶 邊 緣 頻 率 通 帶 邊 緣 頻 率 對 應(yīng) 通 帶 邊 緣 頻 率 中 心 頻 率 對 應(yīng) 原

50、 點(diǎn) 高通到低通的技術(shù)指標(biāo)的轉(zhuǎn)換具體轉(zhuǎn)換內(nèi)容包括：l 高通濾波器的通帶邊緣頻率對應(yīng)低通濾波器的通帶邊緣頻率l 高通濾波器的阻帶邊緣頻率對應(yīng)低通濾波器的阻帶邊緣頻率l 高通濾波器關(guān)于該點(diǎn)對稱的中心頻率為，對應(yīng)低通濾波器的原點(diǎn)處；l 高通濾波器的過渡帶寬度等于低通濾波器的過渡帶寬度。2) 帶通到低通的技術(shù)指標(biāo)的轉(zhuǎn)換如圖所示具體轉(zhuǎn)換內(nèi)容包括：l 帶通濾波器的通帶邊緣頻率（通帶上截止頻率）對應(yīng)低通濾波器的通帶邊緣頻率；l 帶通濾波器的阻帶邊緣頻率（阻帶上截止頻率）對應(yīng)低通濾波器的阻帶邊緣頻率；l 帶通濾波器的中心頻率介于之間，對應(yīng)低通濾波器的原點(diǎn)處；l 帶通濾波器的過渡帶寬度等于低通濾波器的過渡帶寬度

51、。 中 心 頻 率 對 應(yīng) 原 點(diǎn) 阻 帶 上 截 止 頻 率 對 應(yīng) 阻 帶 邊 緣 頻 率 通 帶 上 截 止 頻 率 對 應(yīng) 通 帶 邊 緣 頻 率 帶通到低通的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換 （2） 按照低通FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟，確定窗函數(shù) ，并計(jì)算該低通數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng) 。)(nw nhL（3） 將低通數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng) 與 相乘，即可得到相應(yīng)的高通或帶通濾波器的沖激響應(yīng) 和 。)cos(0n nhL nhH nhp1) 對于高通濾波器，此中心頻率 ， 即 。則有00sff0022sf2sf2) 對于帶通濾波器 為其中心頻率，介于 之間，即 。則有 nhnhnnhnLLH1cos nhfn

52、fnhnnhsL0L0B2coscos2. 帶阻FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 對于帶阻濾波器，只要選擇了準(zhǔn)確的通帶邊緣頻率，通過把低通和高通濾波器結(jié)合起來，就可以構(gòu)造出帶阻濾波器。 低通濾波器為帶阻濾波器的低端規(guī)定了通帶邊緣頻率，同時(shí)，高通濾波器為帶阻濾波器的高端設(shè)定了通帶邊緣頻率，如圖所示。 高通濾波器設(shè)定了帶阻濾波器的高端邊緣頻率 低通濾波器設(shè)定了帶阻濾波器的低端邊緣頻率 帶阻濾波器的等效低通和高通濾波器 高通濾波器和低通濾波器的沖激響應(yīng) 和 可以用前面的方法得出。 帶阻濾波器的沖激響應(yīng)就是低通和高通濾波器的沖激響應(yīng)之和。 nhnhzhHLs nhH nhL例例4-7 根據(jù)下列指標(biāo)設(shè)計(jì)帶阻濾波器

53、：（1）通帶邊緣上截止頻率 3.5kHz（2）通帶邊緣下截止頻率 0.5kHz（3）阻帶中心頻率 2kHz（4）過渡帶寬度 500Hz（5）阻帶衰減 50db（6）采樣頻率 10kHz解解 為了實(shí)現(xiàn)該帶阻濾波器，需要構(gòu)造一個(gè)低通濾波器和一個(gè)高通濾波器。（1）構(gòu)造低通濾波器 根據(jù)前面的例子可知，該低通濾波器的設(shè)計(jì)采用海明 窗，窗口長度N69，所以該低通濾波器的沖激響應(yīng) 為：680,)34cos(46. 054. 0)34( )34( 15. 0sin)()()(nnnnnwnhnhdL 應(yīng)用例4-13的方法，則該等效低通濾波器的設(shè)計(jì)也采用海明窗，窗口長度也為N69，其沖激響應(yīng)為 ：)(nhL68

54、0,)34cos(46. 054. 0)34( )34( 35. 0sin)()()(nnnnnwnhnhdL（2）構(gòu)造高通濾波器 因?yàn)樵摳咄V波器的中心頻率 ，所以其沖激響應(yīng) 為：0680,)34cos(46. 054. 0)34()34(35. 0sin) 1()() 1()()cos()(nnnnnhnhnnhnLnLH nhH680)34cos(46. 054. 0)34()34(35. 0sin) 1()34()34(15. 0sin)34cos(46. 054. 0)34()34(35. 0sin) 1()34cos(46. 054. 0)34()34(15. 0sin)()()(

55、nnnnnnnnnnnnnhnhnhnnHLBS如圖所示 （3）求得帶阻濾波器的沖激響應(yīng) 010203040506070-0.2-0.6nhn0500100015002000250030003500400045005000-120-100-80-60-40-20020f(Hz)|H(f)|(dB)帶阻濾波器的沖激響應(yīng)和幅頻特性 4.4.5 頻率采樣法 1. 頻率采樣法的設(shè)計(jì)思想 頻率采樣法的基本設(shè)計(jì)思想是使所設(shè)計(jì)的濾波器的頻率特性在某些離散的頻率點(diǎn)上的值，準(zhǔn)確地等于所需濾波器在這些頻率點(diǎn)上的值，在其他頻率處的特性則有較好的逼近。頻率采樣法的基本設(shè)計(jì)流程如圖

56、： )(zH 確 定 頻 率 特 性 指 標(biāo) )(jdeH )()()(2kHkHeHdkNjd IDFT Z 變 換 頻 率 采 樣 )(nh 其中 1, 1 , 0, )()()()(22NkeHeHkHkHNkjdNkjdd1, 1 ,0,)(1)(102NnekHNnhNnNkj 上面討論的是頻率采樣法的基本設(shè)計(jì)思想，但在應(yīng)用頻域采樣法設(shè)計(jì)濾波器時(shí)，還需要考慮以下兩個(gè)問題：)(zH)(kH （）為了保證 具有線性相位，對采樣頻率 應(yīng)加以怎樣的約束條件。（）如何確定并減少迫近誤差。2 線性相位的約束 正如在4.4.1節(jié)中所論述的，具有線性相位的FIR濾波器，其單位沖激響應(yīng) 是實(shí)序列，且滿

57、足線性相位的條件： 那么滿足第一類和第二類線性相位的幅度特性和相位特性，就是對采樣 的約束條件。)1()(nNhnh)(nh)(kH首先，將 寫成幅度和相位的形式：式中 10,)()()(ANkekHkHk jkNHkH2A)()(kNk2)()(這里主要討論一下當(dāng) 時(shí) 的取值，具體分為N為奇數(shù)和 數(shù)兩種情況。)1()(nNhnh)(kH)(kH當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，對于偶對稱，即 則有 這就是幅度特性 必須滿足的約束條件。 HH2)()(kNHkHAA)(kHA對于相位，因?yàn)?，所以若以 代替上式中的 ，則有)1(21)(NkNNkNNk12) 1(21)(kN kkNNNkNNNkN1) 1()(

58、1)(當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)， 為偶數(shù)，因此有所以，當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，頻域采樣值的幅度和相位的約束為： 1NkNNkN1)(2/)1( , 1 ,0)()1()()()(NkkNNkNkkNHkHAA同理，當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，頻域采樣值的幅度和相位約束為：12/)( , 1 ,0)()1()(0)2/()()(NkkNNkNkNHkNHkHAAA3 設(shè)計(jì)誤差及內(nèi)插公式（1） 時(shí)域分析 如果帶設(shè)計(jì)的濾波器的頻率響應(yīng) 對應(yīng)的單位沖激響應(yīng) 為：)(nhdjdeH deenjjddHnh 根據(jù)頻域采樣定理，對 在頻域02等間隔的N個(gè)采樣值進(jìn)行IDFT所得到的 應(yīng)是 以N為周期進(jìn)行 延拓后的主值區(qū)間，即rNdnRrNnhn

59、h)()()()(jdeH)(nh)(nhd（2） 頻域分析 頻域等間隔采樣值 經(jīng)IDFT變換后得到 ，其z變換 和 的關(guān)系為： 將 代入上式，得10121)(1)(NkkNjNzekHNzzH)(kH)(nh)(zH)(kH 的內(nèi)插公式)(zHjez 10j2eNkkNkHH-其中 則 的內(nèi)插公式21je2sin2sin1NNN 10Nj21Njj21sin2sinee1eNkkkNNkHNHjeH4.4.6 FIR濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì)濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì) 最優(yōu)化的設(shè)計(jì)應(yīng)是將所有采樣值作為變量，在某一優(yōu)化準(zhǔn)則下，通過計(jì)算機(jī)進(jìn)行迭代運(yùn)算得到的最優(yōu)結(jié)果。 設(shè)計(jì)FIR濾波器的最優(yōu)化準(zhǔn)則有兩種，即均方誤

60、差最小準(zhǔn)則和最大誤差最小化準(zhǔn)則。 應(yīng)用兩類線性相位的條件，將四種形式的線性 相位FIR濾波器的幅頻響應(yīng)用統(tǒng)一的公式表達(dá)為：1. 線性相位FIR濾波器頻率響應(yīng)的統(tǒng)一表示 HnhHNNnnL2j21j10jjeeee 利用三角函數(shù)恒等變換，可將 寫成兩項(xiàng)相乘的形式，其中一項(xiàng)是 的固定函數(shù) ，另一項(xiàng)為余弦求和式 ，即 )(H)(P)(Q)()()(PQH2. 最大誤差最小化準(zhǔn)則及其數(shù)學(xué)模型 最大誤差最小化準(zhǔn)則的加權(quán)切比雪夫等波紋逼近方法是根據(jù)設(shè)計(jì)要求，導(dǎo)出一組條件，使整個(gè)逼近區(qū)域（通帶和阻帶）上的逼近誤差最小。為了統(tǒng)一使用最大誤差最小化準(zhǔn)則，采用誤差函數(shù)加權(quán)的方法，設(shè)定一個(gè)誤差加權(quán)函數(shù) ,在不同的頻