巧求最值問(wèn)題八種方法

1、巧求最值問(wèn)題八種方法如何求“最值”問(wèn)題求最大值與最小值是中學(xué)數(shù)學(xué)常見(jiàn)的一種題型， 在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中作為一個(gè)靚點(diǎn)大量存在，解這類題有一定的難度和技巧，所以不少同學(xué)為之感嘆，這里向大家介紹一些求最值問(wèn)題的方法與技巧。1、 利用配方求最值例 1 ： 若 x,y 是實(shí)數(shù)，則 x2 xy y2 3x 3y 1999的最小值是。分析 : 由于是二次多項(xiàng)式，難以直接用完全平方公式，所以用配方法來(lái)解更為簡(jiǎn)捷。原式 = 1 (x2 2xy y2 ) 1 (x2 6x 9) 1 (y2 6 y 9) 1990= 12 (x y)2 12(x 3)2 12(y 3)2 1990顯然有 (x-y) 2 0, (x-3)

2、2 0, (y-3) 2 0,所以 當(dāng) x-y=0,x-3=0,y-3=0 時(shí) , 得 x=y=3 時(shí) ,代數(shù)式的值最小，最小是1990；例 2，設(shè) x為實(shí)數(shù)，求y=x2 x 1 3的最小值。x分析： 由于此函數(shù)只有一個(gè)未知數(shù)，容易想到配方法， 但要注意只有一個(gè)完全平方式完不成，因此要考慮用兩個(gè)平方完全平方式，并使兩個(gè)完個(gè)平( x 1x)2 1 , 要求 y 的最小方 式 中 的 x取 值 相 同 。 由 于212y= x 2x 1 x 2 1 = (x 1) x值，必須有x-1=0, 且 x 1 0，解得 x=1,x于是當(dāng) x=1 時(shí)，y=x2 x 1 3的最小值是-1 。x2、 利用重要不

3、等式求最值例 3：若 xy=1, 那么代數(shù)式14 14 的最小值x 4y分析： 已知兩數(shù)積為定值，求兩數(shù)平方和的最小值，可考慮用不等式的性質(zhì)來(lái)解此題，14 x14y41(2y2)22· 12· 12 x2 2y21(xy)2=1所以：14 14的最小值是1x 4y3、 構(gòu)造方程求最值例 4： 已知實(shí)數(shù)a、 b、 c 滿足： a+b+c=2, abc=4.求 a、 b、 c中的最大者的最小值.分析： 此例字母較多，由已知可聯(lián)想到用根與系數(shù)的關(guān)系，構(gòu)造方程來(lái)解。解：設(shè) c 為最大者，由已知可知，c>0, 得：a+b=2-c, ab=4 , 則a、 b 可以看作x2 (2

4、c)x 4 0的兩cc根，因?yàn)閍 、 b 是實(shí)數(shù)，所以(2 c)2 4·40，即cc3 4c24c 16 0 , (c 2)(c 2)(c 4) 0 , 得 c 2 或 c 4, 因?yàn)?c 是最大者 , 所以 c 的最小值是4.4、 構(gòu)造圖形求最值例 5: 使x2 4 (8 x)2 16取最小值的實(shí)數(shù)x 的值為 .分析 : 用一般方法很難求出代數(shù)式的最值, 由于 x2 4(8 x) 2 16= (x 0)2(0 2)2 (x 8)2 (0 4)2 , 于是可構(gòu)造圖形, 轉(zhuǎn)化為 : 在 x 軸上求一點(diǎn)c(x,0), 使它到兩點(diǎn)A( 0， 2)和B( 8， 4)的距離和CA+CB最小，利

5、用對(duì)稱可求出C點(diǎn)坐標(biāo)，這樣，通過(guò)構(gòu)造圖形使問(wèn)題迎刃而解。解：x2 4 (8 x)2 16= (x 0)2 (0 2)2 (x 8)2 (0 4)2 .于是構(gòu)造如圖所示。作A( 0， 2)關(guān)于 x軸的對(duì)稱點(diǎn)A (0,-2), 令直線A B 的解析式為y=kx+b,3則80kk bb 82解得k 48k b 8b 2所以 y 3x 2, 令 y=0,得 x 8.43即C 點(diǎn)的坐標(biāo)是(8,0),所以當(dāng)x8時(shí)，x24(8x)216有最小值，33五、利用判別式求最值2例 6: 求 y=3x 2 6x 5的最小值5x x 1解：去分母可以整理出關(guān)于x 的一元二次方程,( y 6)x2 (2y 12)x (

6、2y 10) 0 , 因?yàn)?x 為實(shí)數(shù), 所以0得 :4 x 6, 解得 , 故 y的最小值是4六、消元思想求最值例7：已知a、 b、 c 為整數(shù)，且a+b=2006，c-a=2005， a<b， 則 a+b+c的最大值為 ( 2006 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)分析由題：由于是求三個(gè)未知數(shù)的最大值，設(shè)法將其轉(zhuǎn)化成一個(gè)未知數(shù)的形式，由題設(shè)可得b=2006-a， c=2005+a，將其代入原式得：a+b+c=a+2006-a+2005+a=4011+a又 a+b=2006,a、 b 均為整數(shù)，a<b，所以a1002,所 以 當(dāng) a=1002 時(shí) ， a+b+c 的 最 大 值 是401

7、1+1002=5013.七、利用數(shù)的整除性求最值例8： 已知 a、 b為正整數(shù)，關(guān)于 x的方程 x2 2ax b 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2，關(guān)于y 的方程y2 2ay b 0兩個(gè)實(shí)數(shù)根為y1、y2，且滿足x1 y1、x2 y22008,求 b的最小值。( 數(shù)學(xué)周報(bào)杯第 12 頁(yè) 共 7 頁(yè)2008 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)試題)分析與解：因?yàn)榉匠蘹2 2ax b 0與 y2 2ay b 0有實(shí)根，所以有：(2a)2 4b 0 , 即a2b ，由根與系數(shù)的關(guān)系，得:x1 x2y1y22a, x1 x2b ； y1 y2 2a,2a(x1 x2) ( x1 ) ( x2)1y2 b解得：把y1,y2的值分

8、別代入，x1( x1) x2( x2) 2008，或x1(x22 x12 2008，(x2 x1)(x2 x1 )x1 x2 2a 0, x1 x2 b 01y2x2 y22008( x1 ) 20082008所以x1 0,y1 y2( x1 )( x2 )y1x1y1x2或y2x2y2x1于是有2a 4a2 4b 2008 即 a a2 b 1 502 2 251因?yàn)?a,b 都是正整數(shù)，所以a1a 505 a2a25122或 2或 22或 2a2b 5022 a2 b1 a2 b 2512a2b4分別解得：a1a502 a2a251或或或b15022 b50221 b22512 b25124a 502 ， a 251 符合題意.22b 5022 1 b 2512 4所以 b 的最小值為：b最小值2512 4 62997例 9： 設(shè)x1、x 2是方程2x24mx 2m2 3m 2 0根，當(dāng)m為何值時(shí)，x12 x22有最小值，并求這個(gè)最小值。解：因?yàn)榉匠?x2 4mx 2m3m2 0有實(shí)根，所以八、利用函數(shù)的增減性求最值=(4m)2 82m2 3m 2) 0 , 解得 mx1x22m,22m 3m 21x22于是x12 x22 (x1 x2)2 2x1x2 4m2(2m2 3m