高等數(shù)學(xué)課件：10-3(2) 曲線積分與路徑無關(guān)的條件

1、 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下） 河海大學(xué)理學(xué)院河海大學(xué)理學(xué)院第三節(jié) Green公式及其應(yīng)用（2） 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) （下）（下）Gyxo 1LQdyPdx一、曲線積分與路徑無關(guān)的定義 2LQdyPdx1L2LBA設(shè)設(shè)G是開區(qū)域是開區(qū)域, ,L L 是是G內(nèi)任一曲線內(nèi)任一曲線, ,若若 ),(QPF 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) （下）（下） 設(shè)設(shè)開開區(qū)區(qū)域域G是是一一個(gè)個(gè)單單連連通通域域, , 函函數(shù)數(shù)),(),(yxQyxP在在G內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,則則曲曲線線積積分分 LQdyPdx在在G內(nèi)內(nèi)與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)的的充充要要條條件件是是沿沿G內(nèi)內(nèi)任任意意閉閉曲曲線線的的曲曲線

2、線積積分分為為零零. . 性質(zhì)性質(zhì) 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) （下）（下）二、曲線積分與路徑無關(guān)的條件定理定理1 1注意注意:兩條件缺一不可兩條件缺一不可. 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) （下）（下）(1) 開開區(qū)區(qū)域域G是是一一個(gè)個(gè)單單連連通通域域.(2) 函函數(shù)數(shù)),(),(yxQyxP在在G內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù).即即:必須必須022LyxydxxdyyQxP,22Lyxydxxdy 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) （下）（下）4添加的添加的輔助線輔助線或或積分路徑積分路徑常取由平行于坐常取由平行于坐標(biāo)軸的直線組成的折線標(biāo)軸的直線組成的折線 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) （下）（下）例例1 1 計(jì)計(jì)算算 Ldyyx

3、dxxyx)()2(422. 其其中中L為為由由點(diǎn)點(diǎn))0, 0(O到到點(diǎn)點(diǎn)) 1, 1(B的的曲曲線線弧弧2sinxy .xxyxyyP2)2(2 xyxxxQ2)(42 解解 故故原原式式 101042)1(dyydxx.1523 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) （下）（下）例例 2 2 設(shè)設(shè)曲曲線線積積分分 Ldyxydxxy)(2與與路路徑徑無無關(guān)關(guān), 其其中中 具具有有連連續(xù)續(xù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), 且且0)0( ,計(jì)計(jì)算算 )1 , 1()0,0(2)(dyxydxxy.積積分分與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)xQyP ，解解,2)(2xyxyyyP ),()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP ),(),(xyy

4、xQ 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) （下）（下）由由0)0( ，知知0 c 2)(xx .故故 )1 ,1()0,0(2)(dyxydxxy由由xyxy2)( cxx 2)( 10100ydydx.21 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) （下）（下）三、二元函數(shù)的全微分的條件三、二元函數(shù)的全微分的條件 設(shè)設(shè)開開區(qū)區(qū)域域G是是一一個(gè)個(gè)單單連連通通域域, , 函函數(shù)數(shù)),(),(yxQyxP在在G內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), , 則則dyyxQdxyxP),(),( 在在G內(nèi)內(nèi) 為為 某某 一一 函函 數(shù)數(shù)),(yxu的的全全微微分分的的充充要要條條件件是是等等式式 xQyP 在在G內(nèi)內(nèi)恒恒成成立立. . 定理

5、定理2 2問題問題：當(dāng)當(dāng)P、Q滿足什么條件時(shí)，滿足什么條件時(shí)，Pdx+Qdy為為 某一某一 函數(shù)的全微分？函數(shù)的全微分？),(QPF F 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) （下）（下） ),(),(00),(yxyxQdyPdxyxu yyxxdyyxQdxyxP00),(),(0 yyxxdyyxQdxyxP00),(),(0先先橫橫后后豎豎先先豎豎后后橫橫 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) （下）（下）:),(),(),(則則為為為為設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)若若存存在在原原函函數(shù)數(shù)BBAAyxByxAyxu)()(AuBuQdyPdxBA 積分線線 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) （下）（下）22yxydxxdy22222)(yxxyxQyPBCAByxyxu),()0, 1(),(xyarctan 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) （下）（下）與路徑無關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題與路徑無關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題條條件件在在單單連連通通開開區(qū)區(qū)域域D上上),(),(yxQyxP具具有有連連續(xù)續(xù)的的一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,則則以以下下四四個(gè)個(gè)命命題題成成立立. . LQdyPdxD與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)內(nèi)內(nèi)在在) 1 ( CDCQdyPdx閉閉曲曲線線, 0)4(QdyPdxduyxuD 使使內(nèi)內(nèi)存存在在在在),()2(xQyPD ,內(nèi)內(nèi)在在等等價(jià)價(jià)命命題題證證)2()1()4()3()2( 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) （下）（下）證明：4(1) (2)4(2