基本不等式全題型

1、題型1 基本不等式正用 a+b2Jab例1： (1)函數(shù)f(x) = x+(x0)值域?yàn)?x1函數(shù)f(x) = x + -(x C R)值域?yàn)?x1(2)函數(shù)f(x)=x x2 + 11 = 1,當(dāng)且僅當(dāng) x=0時(shí)等號(hào)成立.+-的值域?yàn)閤2+ 1解析：(1) . x 0 , x + -或 xx=2, , f(x)(x 0)值域?yàn)? , 十0)； x11(2)x2+x7 =(x2+1)+xT7 -12(2)1 , +8)當(dāng) xCR 時(shí)，f(x)值域?yàn)?8, 2U2, +8)；解析：x+ - = x 1+ - + 12+1 = 5.當(dāng)且僅當(dāng) x- 1 =4二;，即x= 3 4時(shí)等號(hào)成立.答案：5例

2、1 (1)已知x0, .,.f(x)= 2 +-+x= 2x4一十 -xx.- -+ ( x)2“=4,當(dāng)且僅當(dāng)一x=-,即x=-一x2時(shí)等號(hào)成立.f(x) = 2 一 +-xx0時(shí),則f(x)=7的最大值為2x 22解析：(1),x0- -f (x) = 2 / x2+ 1-q=1,當(dāng)且僅當(dāng)1-I,即x=1時(shí)取等3 .函數(shù)y=(x1)的最小值是x-12+2 x-1+3x- 1解析：x1 ,，x10.，y=x- 1x-1x- 1x-143+2.當(dāng)且僅當(dāng)x-1 =x- 1，即x= 1時(shí)，取等號(hào).答案：2410 .已知x0, a為大于2x的常數(shù)，求y =- x的最小值.a-2x解:y=一 + a

3、2x1_ a_2a-2x222 21 a口x=故y =-x的最小值為22題型2基本不等式反用例：函數(shù)f(x)=x(1 x)(0 x1)的值域?yàn)?(2)函數(shù) f(x) = x(1 2x)10 x-的值域?yàn)?x+ 1 -x解析：(1) ,0 x0, x(1 -x)2 = _, .,.f(x)值域?yàn)?0,41(2) Pv x0.1 2x+1 -2xx(1 2x) = X2x(1 -2x)2 = -, .,.f(x)值域?yàn)?答案：(1) 0(2) 03.(教材習(xí)題改編)已知0v x1 ,則x(3 3x)取得最大值時(shí)x的值為解析：由 x(3-3x) = X3x(3 -3x)-x- =當(dāng)且僅當(dāng)3x = 3

4、-3x,即x =一時(shí)等號(hào)成立.答案:423 .函數(shù)y= x1 -x2的最大值為解析：xAy1 -x2 = Ajx21 x2x2 +1 x24 ,已知 0 x1,則x(33x)取得最大值時(shí)x的值為1A 31B23C42 D._3解析,0 x0.，x(3 3x)= 3x(1 -x)0a為大于2x的常數(shù)，求函數(shù) y = x(a2x)的最大值;解：.x0, a2x,，y = x(a2x) = X2x(a 2x)12x+a 2xa22 =一,當(dāng)且僅當(dāng)8ax=一時(shí)取等號(hào)，故函數(shù) 4的最大值為a28題型三：利用基本不等式求最值t2 4t + 12 .已知t0 ,則函數(shù)y =的最小值為t解析,.t0 , .y

5、=t一土工=t+-42-4 = -2,且在t = 1時(shí)取等號(hào).答案 2tt2x例：當(dāng)x0時(shí)，則f(x)=-一的最大值為 x2+ 1解析：x0 , .f(x) = 3x- = -23)的最小值；(2)求函數(shù)f(x) =(x3)的最小值;x-3x-3a思維突破：“添項(xiàng).，可通過(guò)減3再加3,利用基本不等式后可出現(xiàn)定值.(2) “拆項(xiàng)”把函數(shù)式變?yōu)閥 = M+M的形式.1(1) ,.x3, .-.x-30. .f(x) =+ (x-3)+ 3 2x-311- x-3 +3=5.當(dāng)且僅當(dāng) = x3,即x=4時(shí)取等號(hào)，f(x)的最小值是5.(2)令 x-3 = t,則 x=t + 3,且 t0.，f(x)

6、 =1cx2 + dx + fy=(aw。， cw0)的函數(shù),ax + b當(dāng)且僅當(dāng)t=；,即t = 1時(shí)取等號(hào)，此時(shí)x=4, .當(dāng)x=4時(shí)，f(x)有最小值為5.技巧總結(jié)：當(dāng)式子不具備“定值”條件時(shí)，常通過(guò)“添項(xiàng)”達(dá)到目的；形如p般可通過(guò)配湊或變量替換等價(jià)變形化為y = t + ,(p為常數(shù))型函數(shù)，要注意t的取值范圍;例：設(shè)x 1,求函數(shù)y = x+ 6的最小值;4x+ 15=9,當(dāng)且僅當(dāng)x+1=-4一, x+ 1x+ 1解：.x - 1 ,，x+10.，y=x+6=x+1 +x+ 1即x=1時(shí)，取等號(hào).，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)y的最小值是9.1 .若x0 , y0 ,且x+y = 18 ,貝U

7、xy的最大值是 解析 由于x0 , y0 ,則x + y 2Jxy,所以xy0 , y0且1=一+2、/上，xyW3.當(dāng)且僅當(dāng)一=時(shí)取等號(hào).答案 33 4. 123 432， 時(shí)xy取得最大值3.答案：3y=26. （2013 大連期電已知x, y為正實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足 4x+3y=12,則xy的最大值為 j 4x= 3y ,解析：12 = 4x+3yW/4xX3y,，xyw3.當(dāng)且僅當(dāng)4x+3y=12,2 .已知 m0 , n0 ,且mn = 81 ,則 m + n的最小值為 解析：,m。，n0 ,，m + n 2ymn= 18.當(dāng)且僅當(dāng) m = n = 9時(shí)，等號(hào)成立.答案：185 .已知 x0

8、, y0, lg x+lg y = 1,則 z = 一十一 的最小值為.解析：由已知條件2y =5x時(shí)取等x ylg x+lg y = 1 ,可得 *丫 = 10.則一十一行2x y號(hào).又xy=10,即x = 2, y = 5時(shí)等號(hào)成立.答案：2 （2012 天津高考）已知log 2a+log 2b1 ,則3a+ 9b的最小值為 解析：由 log2a+log2b 1得 log 2（ab） 1,即 ab 2,，3a+9b= 3a+32b2 X32（當(dāng)且僅當(dāng)3a=32b,即 a = 2b時(shí)取等號(hào)）. .-a+2b2，2ab2（當(dāng)且僅當(dāng)a = 2b時(shí)取等號(hào)），3a +9bA2X32= 18.即當(dāng)a

9、= 2b時(shí)，3a+9b有最小值18.3 .設(shè) x, y R, a1b1，若 ax=by=3, a+b=,則 1+1 的最大值為（）1DI2x yA. 2 B.3 C. 1 2解析 由 ax= by = 3,得：x= log a3, y= log b3,由 a1 , b1 知 x0 , y0 , 一 十 一= log 3a+ log 3b = log 3ab w x ylog 3 2=1,當(dāng)且僅當(dāng)a=b = J3時(shí)“=”成立，則1+1的最大值為1.答案 C21x y6. （2011 湖南設(shè)x, yCR,且xy#0,則x2 + ,4y2的最小值為 111. 11解析 x2+q 1+ 4y2 =5+

10、行+4x2y25+2/行 4x2y2=9,當(dāng)且僅當(dāng)x2y2=;時(shí)=”成立.答案 9例：若正數(shù)x, y滿(mǎn)足x+3y=5xy,求xy的最小值.解：. x0, y0,則5xy = x + 3y2-Jx 3y,，xy3一,當(dāng)且僅當(dāng)x= 3y時(shí)取等號(hào).，xy的最小值為 . 25254 .若正實(shí)數(shù)x, y滿(mǎn)足2x+y+6 = xy,則xy的最小值是 答案 18解析 由 x0 , y0,2 x+y+6 = xy,得xyR2、/2y+6(當(dāng)且僅當(dāng) 2x = y 時(shí)，取“=”)， 8P(Jxy)2-22/xy-60,.(635)血 0.又qxy0 , . .yA3y2,即 xy 18. xy的最小值為18.例：

11、已知x0 , y0 , x + 2y+2xy=8,則x+2y的最小值是A. 3B,4C.9D.22解析依題意，得(x+1)(2 y+1)=9,即x+ 2y2.2y + 1=6,x+ 1 = 2y+ 1 ,當(dāng)且僅當(dāng)x+ 2y+ 2xy= 8 ,x = 2,即時(shí)等號(hào)成立.y=1.x+2y的最小值是4.3.若 x, yC(0, 十0), x+2y+xy=30.(1)求xy的取值范圍；(2)求x+y的取值范圍.解：由 x+2y + xy = 30, (2 + x)y = 30x,則 2 + xM, y = 0,0 x 30.2 + xx2 30 x.FT-x2-2x+ 32x+ 64 -64x+ 2

12、x + 32 x + 264=- x+2 +二3+34W18,當(dāng)且僅當(dāng)x = 6時(shí)取等號(hào),因此xy的取值范圍是(0,18.30 -x 32(2)x+y= x+2+x-x+x+21=x+ 2+2- 3 /2-3,當(dāng)且僅當(dāng)VI 時(shí)，等號(hào)成立，又 x+y = x+2 + 2一一3b0,貝U a2 + -的最小值是 解析：aAb。，b(ab)w 2 = 土，24當(dāng)且僅當(dāng)a = 2b時(shí)等號(hào)成立.a2 +16a b1ka2a2a2二當(dāng) a = 22, b = d2時(shí),16k取得最小值16.8.設(shè)x,v, z為正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足x-2y + 3z = 0,則匕的最小值是 xz解析：由已知條件可得 y = x-z,

13、2y2 x2+9z2+6xz所以一:xz4xz1 x 9z=- + +62 A /xC9 +6 =3, 4. z xy當(dāng)且僅當(dāng)x=y=3z時(shí)，- 取得最小值3. xz答案：3例：已知x0, y0, xy = x+2y,若xym2恒成立，則實(shí)數(shù) m的最大值是解析：由 x0, y0, xy=x + 2y22xy ,得 xy 8 ,于是由 m2Wxy 恒成立，得 m - 28,即 m 7在xC(a, +8)上恒成立，則實(shí)數(shù) a的最小值為x- a22解析：因?yàn)?xa,所以 2x+=2(x a)+ 2a2+ 2a=2a+4,即 2a+ 4汽，所以a1,即a的最小值為3答案：一25.圓 x2+y2+2x4

14、y+1 =0 關(guān)于直線 2axby+2=0 (a, b C R)對(duì)稱(chēng),ab的取值范圍是A. 8,1B. 0, 一 4C. 04D.答案解析由題可知直線2ax-by +2 = 0 過(guò)圓心(一1,2),故可得 a+b= 1a + b又因ab &21一(a=b時(shí)取等號(hào)). 4故ab的取值范圍是1OO -4典例：(121分)已知a、b均為正實(shí)數(shù)，且 a+b = 1,求y= a 十 一 a1b + b的最小值.易錯(cuò)分析 在求最值時(shí)兩次使用基本不等式，其中的等號(hào)不能同時(shí)成立，導(dǎo)致最小值不能取到.審題視角 (1)求函數(shù)最值問(wèn)題，可以考慮利用基本不等式，但是利用基本不等式，必須保證“正、定、等”而且還要符合已

15、知條件.(2)可以考慮利用函數(shù)的單調(diào)性，但要注意變量的取值范圍.規(guī)范解答解 方法一y=1a十 一 a=ab + + 一+- ab + 一 +2 ab a b ab4- 2 =空10 分24當(dāng)且僅當(dāng) a=b = 2U, y= a + ；25了.12 分2又 f(t) = - + t 在 0,1一上是單調(diào)遞減的, 410 分1b+-取最小值，最小值為 b方法y= a+- b + ：=ab+L + a + b a b ab b a1a2+b21 a+b 2 2ab= ab + ab+ k= ab + ab2=+ ab 2.8 分ab令 t = abw a 2 = -,即 t e 0,-.24433一

16、,此時(shí), 4a=b = 1. 21，當(dāng)1=一時(shí),f(t)min = 4當(dāng)a = b=時(shí)，y有最小值 .12分溫馨提醒 (1)這類(lèi)題目考生總感到比較容易下手.但是解這類(lèi)題目卻又常常出錯(cuò).(2)利用基本不等式求最值，一定要注意應(yīng)用條件：即一正、二定、三相等.否則求解時(shí)會(huì)出現(xiàn)等號(hào)成立、條件不具備而出錯(cuò).(3)本題出錯(cuò)的原因前面已分析，關(guān)鍵是忽略了等號(hào)成立的條件方法與技巧1 .基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，常常用于比較數(shù)(式)的大小或證明不等式，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是分析不等式兩邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇好利用基本不等式的切入點(diǎn).2 .恒等變形：為了利用基本不等式，有時(shí)

17、對(duì)給定的代數(shù)式要進(jìn)行適當(dāng)變形.比如：(1)當(dāng) x2 時(shí)，x + -(x-2)+-+2 2+ 2= 4. x2x- 2(2)0 x2jab3 3 ,即 ab -2/ab-3 0. iPf/ab -3)C/ab+ 1)0. Tab 0,，0b + 1 1.r/ab- 30,，ab9.當(dāng)且僅當(dāng)a=b = 3時(shí)取等號(hào).又*y0或；b , .-.ab = a+ b + 30. a + b + 2 0 有 a+b 6 0 )即 a+b 6.a + b的取值范圍是6, +oo).a + 3方法二：由 ab = a + b + 3,則 b =a- 1ab = a+= a+4 +=a-1+5a-1a-1a-1當(dāng)

18、且僅當(dāng)a=b = 3時(shí)取等號(hào). ab的取值范圍是9, +8).a + 3由 ab=a+b + 3,得 b =a- 1a + b = a += a + 1 += (a 1) + 2a-1a-1a-1當(dāng)且僅當(dāng)a=b = 3時(shí)取等號(hào).a + b的取值范圍是6, +8).技巧總結(jié)：整體思想是分析這類(lèi)題目的突破口，即a + b與ab分別是統(tǒng)一的整體， 把a(bǔ) + b轉(zhuǎn)換成ab或把a(bǔ)b轉(zhuǎn)換成a + b.例3：已知正數(shù)a, b滿(mǎn)足a +2b = 1,則1+1的最小值是 a b11 a+2b a+2b試解：a+丁丁十丁= 3 + 2b+a3+2A=3 + 2a ba b易錯(cuò)點(diǎn)評(píng)：多次利用基本不等式解題，沒(méi)有考慮

19、等號(hào)能否同時(shí)成立。在解題過(guò)程中先后兩次用到了重要不等式，第一次等號(hào)成立的條件是“當(dāng)且僅當(dāng)a = 2b時(shí)”；而第二次等號(hào)成立的1 1條件是“當(dāng)且僅當(dāng)一=一時(shí)；這顯然不可能同時(shí)成立，因此等號(hào)取不到.a b3 .已知x0 , y0 ,且2x + y = 1 ,則2的最小值是 x y答案 8解析因?yàn)椋? 2=(2x+y) 1+2 x yx y= 4 + y+竺4+2、Q4x =8,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) y=, x = 1時(shí)成立. x yx y24例：已知x0, y0 ,且2x+y=1,則的最小值為 x y解析.0 , y0 ,且 2x+y=1 ,2x+ y 2x+ yx + y3 + y+絲 3+2x yy

20、2x當(dāng)且僅當(dāng)=一時(shí)，取等號(hào)x y9 1思維突破:“整體代換”例：已知x0, y0,且一 + -=1,求x+y的最小值.x+y=(x + y) 一 + 一 ,再化簡(jiǎn)，用基本不等式求解. x y解析：1-1 _ + -= 1, x y.x+y=(x+y) 9+- =10 +9y+x10 +2A /9yx= 16.x y x y, x y9y x 9 1當(dāng)且僅當(dāng)一=一且一+-=1,即x=12, y= 4時(shí)取等號(hào). x y x y當(dāng)x=12, y=4時(shí)，x + y有最小值為16.總結(jié)：已知條件與“ 1”有關(guān)，常利用“1”進(jìn)行整體代換，轉(zhuǎn)化為能使積為定值的形式.例：已知x, y為正實(shí)數(shù)，且一十=1,求x

21、+y的最小值. x y- x+y=(x+y)- + - =17+y x yy x；16xy- 17 + 2A/h =25.當(dāng)且僅當(dāng) -=y且1+笆=1時(shí)，等號(hào)成立. y x x y- x= 5 , y = 20 時(shí)，x+y 有最小值 25.4. (2012 浙汀若正數(shù)x, y滿(mǎn)足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值是(A.24B.28C. 5D. 655答案 C解析 .0 , y0 ,由 x+ 3y= 5xy 得一十 一 = 1.5 y x. 3x+4y= (3x +4y) - + - 5y x1 3x12y-% + 4 + 9 + 工13 1 3x 12y 13 13x12y55y x55

22、 M y x=5(當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取等號(hào))，3x+4y的最小值為5.1911 . (2013 泉州模擬正數(shù)x, y滿(mǎn)足一 + - = 1.x y求xy的最小值;(2)求x+2y的最小值.解:(1)由 1 =一十一2x y一丁得xy36,當(dāng)且僅當(dāng)一=一，即x yx yy=9x=18時(shí)取等號(hào)，故xy的最小值為36.(2)由題意可得x + 2y=(x+2y) -+- =19+匕19+2 x y x y2y9x2yl= 19 + 6、/2 ,當(dāng)且僅當(dāng)一x yx9x一,即 9x2 y= 2y2時(shí)取等號(hào)，故x+2y的最小值為19+6/2.3 .函數(shù)y= log a(x+3) 1 (a0 ,且aw1)的圖

23、像恒過(guò)定點(diǎn)12大于0,則m+ ；的最小值為A,若點(diǎn)A在直線mx + ny+ 1 =0上，其中m , n均()A. 2B. 4C. 8D. 16答案 C解析點(diǎn) A( 2, 1),所以 2m + n = 1.n = 2m,即m =4, n=2時(shí)等號(hào)所以 L+4=(2m + n) -+ - =4 + + -m8 ,當(dāng)且僅當(dāng) m nm n m n成立.典例(2011 重慶高考)已知a0 , b0 , a+b = 2,則y = 一+的最小值是.a ba + b嘗試解題-a + b = 2,2 =1.1414a+babab 252a _b_2+ b + 2a92ab=一當(dāng)且僅當(dāng)一=一，即b=2a時(shí)，等號(hào)成

24、立2b 2a故丫 = 十一的最小值為 一.a a b29答案2易錯(cuò)提醒解答本題易兩次利用基本不等式，如：2,(a+ b),.a0 , b0 , a+b = 2, .ab8 ; a b ab1思維突破：本題在考查均值定理等號(hào)何時(shí)成立的同時(shí)，也考查到形如“f(x) = x + 一”函數(shù)的單調(diào)性.x自主解答:12 .ab =,.a2+ b2.1 111 j/ 1方法一：一十=(a+b) -+- 2/ab 2A /一=4.a ba b ab1 11 1 b a b a方法二：一十=(a+b)=1 +- + -+ 1 2 + 2A _= 4.a bab a b/ a b11111(4) 1 +- 1 +

25、 - = + + 一+ 1 9.abab a b方法一 .a0 , b0 , a+ b= 1 ,1a+bb -1 + -= 1 += 2 + 一，a aa1a同理，1+=2+， bb11ba1 +_ 1 + - = 2 + - 2 + ababb a= 5 + 2 一+一 5 + 4 = 9.a b111 + J9(當(dāng)且僅當(dāng)a = b=時(shí)等號(hào)成立).111 1 11 + - 1+一=1 十 一十一十一. ab1 11由(5)知，一+J+二沌， a b ab111 1故 1 + - 1 + 廠=1 + + 一+ 9.aba b ab11 十一a方法a b ab11111 a+b(5) -十 一+

26、 = 一十 一+a b ab a b ab. a + b = 1 , a0 , b0 ,11a + ba+ bab.-+ =+= 2 + + -2+2=4,aba bba一+1+:8（當(dāng)且僅當(dāng)a = b = 一時(shí)等號(hào)成立）.a b ab2【例1】 已知x0 , y0 , z0.y z x z x y求證： 一+- -+- -+- 8.x x y y z z思維啟迪：由題意，先局部運(yùn)用基本不等式，再利用不等式的性質(zhì)即可得證.證明. x0 , y0 , z0 ,JyzJxzJxy8=8.xyz當(dāng)且僅當(dāng)x=y = z時(shí)等號(hào)成立.探究提高利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，證明思路是

27、從已證不等式和問(wèn)題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理最后轉(zhuǎn)化為需證問(wèn)題.變式訓(xùn)壕1已知a0 , b0 , c0 ,且 a+ b+ c= 1.證明:a。, b0 , c0 ,且 a + b + c=1, 1 11 a + b+c a+b + c a+b + c b c a cab b a c a c ba+ b+ c a + b + c3 + a + a+b+b + c+c 3+ a + b + a + c+ b+c 3 + 2 +12 + 2 = 9,當(dāng)且僅當(dāng)a=b = c= 一時(shí)，取等號(hào). 3題型六：基本不等式的實(shí)際應(yīng)用3】某單位建造一間地面面積為12 m 2的背

28、面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側(cè)面的長(zhǎng)度x不得超過(guò)5 m .房屋正面的造價(jià)為 400元/m 2,房屋側(cè)面的造價(jià)為150元/m 2,屋頂和地面的造價(jià)費(fèi)用合計(jì)為5 800元，如果墻高為3 m ,且不計(jì)房屋背面的費(fèi)用.當(dāng)側(cè)面的長(zhǎng)度為多少時(shí)，總造價(jià)最低？ 思維啟迪：用長(zhǎng)度 x表示出造價(jià)，利用基本不等式求最值即可.還應(yīng)注意定義域0xW5；函數(shù)取最小值時(shí)的 x是否在定義域內(nèi)，若不在定義域內(nèi)，不能用基本不等式求最值，可以考慮單調(diào)性.解 由題意可得，造價(jià) y = 3（2xX150 +烏X400） +5 800x= 900 x + +5 800（0900 X2Ayxx16- + 5 800 = 13

29、 000（元），當(dāng)且僅當(dāng)x=-,即x=4時(shí)取等號(hào). x故當(dāng)側(cè)面的長(zhǎng)度為4米時(shí)，總造價(jià)最低.變式或練3（2011 北京某車(chē)間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元.若每批生產(chǎn)x件，則平均x倉(cāng)儲(chǔ)時(shí)間為”且每件產(chǎn)品每天的倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為1元.為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品A. 60 件B. 80 件答案 B解析設(shè)每件產(chǎn)品的平均費(fèi)用為()C. 100 件D.120y元，由題意得800當(dāng)且僅當(dāng)x800 x-20.x 8800 xy x +82x（x0）,即x=80時(shí)“=”成立，故選8B.（12分）為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個(gè)底寬為蓋長(zhǎng)方體沉淀箱（如圖所示），

30、污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從流出，設(shè)箱的底長(zhǎng)為 a m,高度為bm .已知流出的水中該雜質(zhì) 的質(zhì)量分別與a, b的乘積成反比，現(xiàn)有制箱材料 60 m 2.問(wèn)：當(dāng)?shù)臒o(wú)B孔a,B孔的面積忽略不計(jì)）?b各為多少米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小解 方法一 設(shè)y為流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，(Ak則y =,其中k0為比例系數(shù)，依題意，求使 y值最小的a, b的值. ab根據(jù)題設(shè)，有 4b + 2ab + 2a=60 (a0 , b0), 解得 b = 30-a(0 a0 , b0）, 即 a+2b + ab = 30 （a0 , b0）.因?yàn)?a +2b 21/23b,所以 2 /ab + a

31、b W30 ,當(dāng)且僅當(dāng)a = 2b時(shí)，上式取等號(hào).由 a0 , b0 ,解得 0 abp).已知船每小時(shí)的燃料費(fèi)用(單位：元)與船在靜水中的速度 v(單位：千米/小時(shí))的平方成正比，比例系數(shù)為k.(1)把全程燃料費(fèi)用y(單位：元)表示為船在靜水中的速度v的函數(shù)，并求出這個(gè)函數(shù)的定義域；(2)為了使全程燃料費(fèi)用最小，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為多少？s解(1)由題意，知船每小時(shí)的燃料費(fèi)用是kv2,全程航行時(shí)間為 ，v p s于是全程燃料費(fèi)用 y=kv2(p vp v pvpv- pks2、v-p 一+2p = 4ksp(當(dāng)且僅當(dāng)v p =,即v=2p時(shí)等號(hào)成立).Vv-pv-p當(dāng)2pC(p, q,即2pwq時(shí)，ymin=4ksp,此時(shí)船的前進(jìn)速度為2p p = p；sq2當(dāng)2p?(p, q,即2pq時(shí)，函數(shù)y = kv2在(p , q內(nèi)單調(diào)遞減，所以 ymin = ks ,此時(shí)船的前進(jìn)v-pq-p速度為q - p.故為了使全程燃料費(fèi)用最小，當(dāng)2pwq時(shí)，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為p千米/小時(shí)；當(dāng)2pq時(shí)，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為(q p)千米/小