多項(xiàng)式的最大公因式

1、多項(xiàng)式的最大公因式問題：(1) .多項(xiàng)式的最大公因式的定義是什么設(shè)f與是|中兩個多項(xiàng)式，P僅|中多項(xiàng)式稱為f(K)|與的最大公因式，如果滿足下面兩個條件：(1) . |玳熊)是與虱K)的公因式；(2) . |代應(yīng)的公因式全是d(X)的因式。我們約定用(R(M)表示首項(xiàng)系數(shù)為1的那個最大公因式。定理1：對于P|x中任意兩個多項(xiàng)式在Px中存在一個最大公因式d(x),且d(K)可 以表示成f(x), g&j的一個組合,即有 用中多項(xiàng)式|麗,扃使必)=u(x)f(x) + v(x)g(x)引理：設(shè)權(quán)(吸h(x)工F(k).-x)豐0,且f(x) = g(x)q(x) +- h(x)則f。)與g

2、W與q(x)與h(x)有相同的公因式，因而有相同的最大公因式，且(W, &3)=( g(x), h(x)定理2: F(m)的任意兩個多項(xiàng)式f(*)與獻(xiàn)x)|一定存在最大公因式。(2) .用來求最大公因式的方法(1) .輾轉(zhuǎn)相除法：如果干0).式x) £ PlhgG)豐0,且。1口)，000匚叫司，使f00 =+ n(*)fiW = qj(x)ri(x) * r?(x)00 = d3(*)r2(x) < r 3(JC)IIJ -= qG)Q - 1(G 1 rs(x)rs - iC") = q. + 1(k)fs(k) + 0|其中a(i(Q)己o,則式工)是f

3、(x)與goo的一個最大公因式。(2).串位加減法(3).矩陣求法:dW =(鼠x)例1.設(shè)f(x) - / + 3x3 - x2 - 4k - 3式外二 3戶 + 10k2 2k - 3解：法1輾轉(zhuǎn)相除法。27-k 95蚣)f(x)|1v - Q3A 3. d A 2 h A3d + 3- - x2 - 4x - 33x lOx + 2x" qi(M)3廣 + 15x2 + 18*J )馬 33-5k?16*31 .5 ?-xJ - -xi - 3k - 3335 J - 25k - 301 ,10 ,21一孑-7X 一鏟 5r；(x) = 9x + 275 ?251q51081”

4、815 25i1 93=q 式 *)1010-7X -31010-7X - -3rOO = 0求得2(其)二九.箝是最大公因式，即(fW,認(rèn)乂) = X I 3法2串位加減法 設(shè)G于0,則對于任意多項(xiàng)式f(x), Mx)13-1-4-33102-3f(x)g(x)159952530riOO = 3f (x)+期(x)r?Q) = 3rl- e(x)15 65163= M (x)0927W) = g(x) + 3、r ； (k)364片)+ 5r *1,$00 =式第)=r2W1 3T*)=；0)-；G)|1 KQ =天。)0(fWi a(*) = ( f(x), cg(x)于是r/G);2K

5、I 6是最大公因式，即(fW, K<0 = x I 3例2.令F是有理數(shù)域，求出F|x的多項(xiàng)式f(x) = 4x4 - 2«3 - 16# + 59, g(x) = 2x - x2 - 5x 4|使得 Mx)f(x)1 v(x)£(x) = d(x)成立的 dO), u(x), v(x),其中 d(M)= ( f(x), g(x)。解 我們把I拼在的右邊一起做行初等變換：f(x) 1。_(4/- 2>? - 16x2 + 5x +91 0二虱乂) 0U-12x3 - >2 - 5x + 40 )(-6x -3k+9II - 2.1U * 門勺國-6k

6、9;-:卜- - X5 - 5x + 4 01 )16/ - 3r -/0*yf j -£t - 3x + 3 x - 12x2 + 3/x - 1- ；1x - 1)0* J122所以 dx) = x - L U(K)二一 Jx - 1), V(x)= p* - p( 注：如果d(x)是f(x),或x)在F|x|中的公因式，則麻一是fr2 X ( - 2 A3k + 91- 2x15* + 12 03¥ o1。-od與式。的最大公因條件是存在 u(K). v(x) G F(x)|,使得 d(x) = u(x)f(x)卜 v(x)g(x)例 3.求u(x), v(*)使u(

7、K)f(y)卜 v(x)鼠0 = t f(x)(fCx) J + 2x3 - X2 - 4x - 2t g(x) = X4 + X3 - X2 - 2x - 2(P45,6.(1)解：fM = aWqiW +G),其中，f qi(x) = 1 ln(x) = x3 - 2xgG) = ") q"x) I r"x),其中，f q&) - x + 1卜?- 200 二2(k】，q3(x) /mW,其中，qj(x) = x k(H)= o所以，r2M=/2是fw和g(K)的最大公因式。因?yàn)?a(乂)=-0)+ r2(x), f(x) =' qi(K)+

8、所以(f(*), fiC*) = 一 口2(其)f(') + h 1 qi(K)- qsWJ * £(*)由此可得：( U(x) =- q?(K) =- X - 1(v(x) = 1 + qT(x)qa(x) = x + 2注：利用輾轉(zhuǎn)相除法求出最大公約數(shù)，然后逆向推導(dǎo)。例4.證明：如果d“)| WdO) | g(x),且d(切為f(x)與我x)的一個組合，那么H(k)|是心與式動的一個最大公因式。(P45,8 )證：設(shè)d(<l是f(*)|與式外的任一公因式，即有dr(x) I千8和|鼠X)不妨設(shè)f(M)= d 口)“中t=d 3 Q2W由已知條件可得 «幻=U(K)f(K)4- v(x)g(x)所以d(K)二 ”乂