三角函數(shù)和向量

1、精品資料 歡迎下載 數(shù)學中，既有大小又有方向的量叫做向量 （與矢量不同，沒有起點終點）（英文：vector） 注：在線性代數(shù)中的向量是指 n個實數(shù)組成的有序數(shù)組， 稱為n維向量。a（a1,a2, an） 稱為n維向量。其中ai稱為向量a的第i個分量。 （a1的1為a的下標，ai的i為a的下標，其他類推） 在C+中，也有向量。 向量（或矢量），最初被應用于物理學很多物理量如力、速度、位移以及電場強 向量 度、磁感應強度等都是向量.大約公元前350年前，古希臘著名學者亞里士多德就知道了力 可以表示成向量，兩個力的組合作用可用著名的平行四邊形法則來得到. 向量”一詞來自力 學、解析幾何中的有向線段最

2、先使用有向線段表示向量的是英國大科學家牛頓. 從數(shù)學發(fā)展史來看， 歷史上很長一段時間， 空間的向量結構并未被數(shù)學家們所認識， 直 到19世紀末20世紀初，人們才把空間的性質與向量運算聯(lián)系起來， 使向量成為具有一套優(yōu) 良運算通性的數(shù)學體系. 向量能夠進入數(shù)學并得到發(fā)展，首先應從復數(shù)的幾何表示談起. 18世紀末期，挪威測 量學家威塞爾首次利用坐標平面上的點來表示復數(shù) a+bi，并利用具有幾何意義的復數(shù)運算來 定義向量的運算.把坐標平面上的點用向量表示出來， 并把向量的幾何表示用于研究幾何問 題與三角問題.人們逐步接受了復數(shù)， 也學會了利用復數(shù)來表示和研究平面中的向量， 向量 就這樣平靜地進入了數(shù)學

3、. 但復數(shù)的利用是受限制的， 因為它僅能用于表示平面， 若有不在同一平面上的力作用于 同一物體，則需要尋找所謂三維 復數(shù)”以及相應的運算體系.19世紀中期，英國數(shù)學家哈 密爾頓發(fā)明了四元數(shù)（包括數(shù)量部分和向量部分） ，以代表空間的向量他的工作為向量代 數(shù)和向量分析的建立奠定了基礎. 隨后，電磁理論的發(fā)現(xiàn)者， 英國的數(shù)學物理學家麥克思韋 爾把四元數(shù)的數(shù)量部分和向量部分分開處理，從而創(chuàng)造了大量的向量分析. 三維向量分析的開創(chuàng)，以及同四元數(shù)的正式分裂，是英國的居伯斯和海維塞德于 19世 紀80年代各自獨立完成的.他們提出，一個向量不過是四元數(shù)的向量部分，但不獨立于任 何四元數(shù).他們引進了兩種類型的乘

4、法， 即數(shù)量積和向量積. 并把向量代數(shù)推廣到變向量的 向量微積分從此，向量的方法被引進到分析和解析幾何中來，并逐步完善，成為了一套優(yōu) 良的數(shù)學工具。 編輯本段表示 1、代數(shù)表示：一般印刷用黑體小寫字母 a Y或a、b、c等來表示 精品資料 歡迎下載 向量表示 ，手寫用在a、b、c等字母上加一箭頭表示。 2幾何表示：向量可以用有向線段來表示。有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所 指的方向表示向量的方向。 （若規(guī)定線段 AB的端點A為起點，B為終點，則線段就具有了 從起點A到終點B的方向和長度。 te 1向量的幾何麥示 向量的幾何表示 這種具有方向和長度的線段叫做有向線段。） 3.坐標表示： 1）

5、 在平面直角坐標系中，分別取與 x軸、y軸方向相同的兩個單位向量 i, j作為一組 基底。a為平面直角坐標系內的任意向量，以坐標原點 0為起點作向量 OP=a。由平面向量 基本定理知，有且只有一對實數(shù)（ x, y）,使得a=向量OP=xi+yj，因此把實數(shù)對（x, y） 叫做向量a的坐標，記作a= （x, y）。這就是向量a的坐標表示。其中（x, y）就是點P的 坐標。向量0P稱為點P的位置向量。 2） 在立體三維坐標系中，分別取與x軸、y軸，z軸方向相同的3個單位向量i, j, k作 為一組基底。若a為該坐標系內的任意向量，以坐標原點 0為起點作向量 OP=a。由空間基 本定理知，有且只有一

6、組實數(shù)（x, y, z）精品資料 歡迎下載 re2尙量的坐梅責示 向量的坐標表示 ,使得a=向量OP=xi+yj+zk ,因此把實數(shù)對 （x, y, z）叫做向量a的坐標，記作a= （x, y, z）。 這就是向量a的坐標表示。其中（x，y, z），也就是點P的坐標。向量 OP稱為點P的位置 向量。 3）當然,對于空間多維向量，可以通過類推得到 ，此略。 編輯本段向量簡介 在數(shù)學中，通常用點表示位置，用射線表示方向。在平面內，從任一點出發(fā)的所有射線， 可以分別用來表示平面內的各個方向。 向量的表示常用一條有向線段來表示， 有向線段的長 度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向。向量也可用

7、字母 a、b、c等表示，或 用表示 6 聞量葬 向量機器模型 向量的有向線段的起點和終點字母表示。向量的大小，也就是向量的長度（或稱模） ，記作 |a長度為0的向量叫做零向量，記作 0長度等于1個單位長度的向量，叫做單位向量。 平行向量與相等向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。向量 a、b、c平行，記作a/ b / c。0向量 長度為零，是起點與終點重合的向量，其方向不確定，數(shù)學上規(guī)定 0與任一向量平行。 長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。向量 a與b相等，記作a=b。零向量與零向 量相等。任意兩個相等的非零向量， 都可用同一條有向線段來表示， 并且與有向線段的起點 無關。 向量空

8、間的同構 精品資料 歡迎下載 在域F上的兩個向量空間V與V,如果存在一個雙射0： VT V并且 $ ( a U+bv)= a0 (u)+b ,(fb(v)Fa u, v V .這樣 V 與 V便是同構。 向量線性映射 給兩個向量空間 V和W在同一個F場，設定由V到W的線性變換或 線性映射”.這 些由V到W的映射都有共同點就是它們保持總和及標量商數(shù)。 這個集合包含所有由 V到W 的線性映像，以 L (V, W)來描述，也是一個 F場里的向量空間。當 V及W被確定后， 線性映射可以用矩陣來表達。 同構是一對一的一張線性映射。 如果在V和W之間存在同構， 我們稱這兩個空間為同構；他們根本上是然后相同

9、的。一個在 F場的向量空間加上線性映 像就可以構成一個范疇，即阿貝爾范疇。 概念化及額外結構 研究向量空間一般會涉及一些額外結構。額外結構如下： 一個實數(shù)或復數(shù)向量空間加上長度概念。就是范數(shù)稱為賦范向量空間。 一個實數(shù)或復數(shù)向量空間加上長度和角度的概念，稱為內積空間。 一個向量空間加上拓撲學符合運算的 (加法及標量乘法是連續(xù)映射) 稱為拓撲向量空間。 一個向量空間加上雙線性算子(定義為向量乘法)是個域代數(shù)。 子空間及基 一個向量空間V的一個非空子集合 W在加法及標量乘法中表現(xiàn)密閉性， 被稱為V的線 性子空間。給出一個向量集合 B,那么包含它的最小子空間就稱為它的擴張， 記作span(B)。 給

10、出一個向量集合 B,若它的擴張就是向量空間 V,則稱B為V的生成集。一個向量空間 V最大的線性獨立子集， 稱為這個空間的基。若V=O，唯一的基是空集。對非零向量空間 V , 基是V最小的生成集。如果一個向量空間 V擁有一個元素個數(shù)有限的生成集，那么就稱 V是一個有限維空間。向量空間的所有基擁有相同基數(shù)，稱為該空間的維度。例如，實數(shù)向 量空間：R0, R1 , R2, R3。，R3,。中，Rn的維度就是 n?？臻g內的每個向量都有唯 一的方法表達成基中元素的線性組合。把基中元素排列，向量便可以座標系統(tǒng)來呈現(xiàn)。 編輯本段模和數(shù)量 向量的大小，也就是向量的長度 (或稱模)。向量a的模記作|a|。 注：

11、 1. 向量的模是非負實數(shù)，是可以比較大小的。 2. 因為方向不能比較大小， 所以向量也就不能比較大小。 對于向量來說 大于”和 小于” 的概念是沒有意義的。例如， 向量AB向量CD”是沒有意義的。 編輯本段各種向量 單位向量 長度為單位1的向量，叫做單位向量.與向量 a同向或反向，且長度為單位 1的向量， () 9 9 單位向量 做a方向上的單位向量，記作 aO, aO=a/|a。 零向量 長度為0的向量叫做零向量，記作 0零向量的始點和終點重合，所以零向量沒有確定 的方向，或說零向精品資料 歡迎下載 量的方向是任意的。 相等向量 長度相等且方向相同的向量叫做相等向量向量 a與b相等，記作a

12、=b. 規(guī)定：所有的零向量都相等. 當用有向線段表示向量時， 起點可以任意選取。 任意兩個相等的非零向量， 都可用同一 條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關.同向且等長的有向線段都表示同一向量。 自由向量 始點不固定的向量，它可以任意的平行移動，而且移動后的向量仍然代 向量 表原來的向量。 在自由向量的意義下，相等的向量都看作是同一個向量。 數(shù)學中只研究自由向量。 滑動向量 沿著直線作用的向量稱為滑動向量。 固定向量 作用于一點的向量稱為固定向量（亦稱膠著向量） 。 位置向量 對于坐標平面內的任意一點 P,我們把向量 0P叫做點P的位置向量，記作：向量 P。 方向向量 直線I上的向量a以

13、及與向量a共線的向量叫做直線I上的方向向量 相反向量 與a長度相等、方向相反的向量叫做 a的相反向量，記作-a。有-(-a) =a 零向量的相反向量仍是零向量。 平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行(或共線)向量.向量 a、b平行(共線)，記作a 精品資料 歡迎下載 / b. 零向量長度為零，是起點與終點重合的向量， 其方向不確定，我們規(guī)定：零向量與任一 向量平行. 平行于同一直線的一組向量是共線向量。若 a=(x,y)b=(m , n)。 a/b=a b=xn-ym=O 共面向量 平行于同一平面的三個(或多于三個)向量叫做共面向量。 空間中的向量有且只有以下兩種位置關系：共面；不共面。

14、 只有三個或三個以上向量才談共面不共面。 法向量 直線I丄a取直線I的方向向量a,則向量a叫做 法向量 平面a的法向量。 編輯本段運算 設 a= (x, y), b=(x , y)。 1向量的加法 向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。精品資料 歡迎下載 CE 3向累的數(shù)建 向量的數(shù)乘 當入=0寸，入a=0方向任意。 向量的加法 OB+OA=OC 。 a+b=(x+x, y+y)。 a+O=O+a=a。 向量加法的運算律： 交換律：a+b=b+a; 結合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的減法 如果a、b是互為相反的向量，那么 a=-b， b=-a， AB-AC=CB.即共同起

15、點，指向被 a+b=0. 0的反向量為0 向量的減法 減” a=(x,y)b=(x,y)則 a-b=(x-x,y-y). 3、數(shù)乘向量 實數(shù)入和向量a的乘積是一個向量，記作 入a且 當入0寸，入a與a同方向 當入0寸，入a與a反方向； I 入 al = I 入 I lai。 精品資料 歡迎下載 當a=0時，對于任意實數(shù) 入，都有 入a=0 注：按定義知，如果 入a=0那么 入=0或a=O。 實數(shù)入叫做向量a的系數(shù)，乘數(shù)向量 入a的幾何意義就是將表示向量 a的有向線段伸長 或壓縮。 當入1時，表示向量a的有向線段在原方向（入0或反方向（入0上伸長為原來的 I入I倍 當入0或反方向（入并規(guī)定Ow

16、a,b ;若 a、b 共線，則 a b=+- I a II b I。 向量的數(shù)量積的坐標表示： a b=x x+y y。 向量的數(shù)量積的運算律 a b=b a （交換律） （入a） b （a關于數(shù)乘法的結合律） （a+b） c=a c+b c （分配律） 向量的數(shù)量積的性質 a a=|a|的平方。 a丄b = a b=0。 |a b| w |a。（該b公式證明如下:|a b|=|a| |b| 因為sOW|cos a , W所以 |a b| w |ai |b| 向量的數(shù)量積與實數(shù)運算的主要不同點 1. 向量的數(shù)量積不滿足結合律，即： （a b） CM a ; （例如c） （a b）A2豐aA2。

17、人2 2. 向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由 a b=a c （a，推不出b=c。 3. |a b| 工|a| |b| 4. 由 |a|=|b|，推不出 a=b 或 a=-b。 5、 向量的向量積 定義：兩個向量a和b的向量積（外積、叉積）是一個向量，記作 ab （這里并不是乘 號，只是一種表示方法， 與“不同，也可記做 災”。若a、b不共線，則a的模是：I aF I =|a| |b| sin a, b; ab的方向是：垂直于 a和b,且a、b和ab按這個次序構成右手系。 若a、b共線，則ab=0。 向量的向量積性質： I a旳I是以a和b為邊的平行四邊形面積。 a a=o。 a垂直 b =

18、ab=|a|b|。 向量的向量積運算律 精品資料 歡迎下載 ab=-b xa (入)x b=?b) =ax (入 b ax (b+c) =axb+axc. 注：向量沒有除法， 向量AB/向量CD是沒有意義的。 6、三向量的混合積 定義：給定空間三向量 a、b、c，向量a、b的向量積aX)，再和向量c作數(shù)量積(a X) , 向量的混合積 所得的數(shù)叫做三向量 a、b、c的混合積，記作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a b)xc 混合積具有下列性質： 1 三個不共面向量 a、b、c的混合積的絕對值等于以 a、b、c為棱的平行六面體的體 積V，并且當a、b、c構成右手系時混

19、合積是正數(shù)；當 a、b、c構成左手系時，混合積是負 數(shù)，即(abc)= &V當a、b、c構成右手系時e =1當a、b、c構成左手系時 & =) 2. 上性質的推論：三向量 a、b、c共面的充要條件是(abc)=O 3. (abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb) 4. (a X) c=a (b c) 7、三向量的二重向量積 由于二重向量叉乘的計算較為復雜，于是直接給出了下列化簡公式以及證明過程： 二重向量叉乘化簡公式及證明 編輯本段三角形不等式 1、 II a 1 - I II wI a+b I I a I + I b I 當且僅當 a、 b反

20、向時，左邊取等號 當且僅當 a、 b同向時，右邊取等號。 2. I I a I - I b II w I a-b I w I a I + I b I。 當且僅當 a、 b同向時，左邊取等號 當且僅當 a、 b反向時，右邊取等號。 編輯本段定比分點 定比分點公式(向量 P1P=X向量PP2) 設P1、P2是直線上的兩點，P是I上不同于P1、P2的任意一點。 則存在一個任意實數(shù) 入且入不等于-1，使 向量P1P=X向量PP2,入叫做點P分有向線段P1P2所成的比。 若 P1 (x1,y1) , P2(x2,y2), P(x,y)，則有 精品資料 歡迎下載 0P=(0P10P2(1+入)；(定比分點

21、向量公式) x=(x1+ 入 x2)/(1+ 入), y=(y1+入y2)/(1+。)(定比分點坐標公式) 我們把上面的式子叫做有向線段 P1P2的定比分點公式 三點共線定理 若0C= OA +卩OB ,且 入+卩=1則A、B、C三點共線 三角形重心判斷式 在厶ABC中，若GA +GB +GC=O,貝U G ABC的重心 編輯本段其他 向量共線的條件 若b0則a/b的重要條件是存在唯一實數(shù) 入，使a=b 若設 a= (x1 , yl), b= (x2, y2),則有 x1y2=x2y1。 零向量0平行于任何向量。 向量垂直的充要條件 a丄b的充要條件是 a b=0，即卩x1x2+y1y2=0。

22、 零向量0垂直于任何向量。 平面向量的分解定理 平面向量分解定理：如果 el、e2是同一平面內的兩個不平行向量，那么對于這一平面 內的任一向量，有且只有一對實數(shù) 入1入2使a 1e1 +入2e我們把不平行向量 el、e2叫做這 一平面內所有向量的一基底. 矩陣在三維圖形學中的應用 矩陣在3D圖形中，常用于描述圖形變換，平易，旋轉，放縮等。 編輯本段向量法解題 難點3運用向量法解題 平面向量是新教材改革增加的內容之一， 近幾年的全國使用新教材的高考試題逐漸加大 了對這部分內容的考查力度，本節(jié)內容主要是幫助考生運用向量法來分析， 解決一些相關問 題 難點磁場 ()三角形 ABC 中，A(5 , -

23、 1)、B( 1 , 7)、C(1, 2),求：(1)BC 邊上的中線 AM的長；(2) / CAB的平分線 AD的長；(3)cosABC的值。 案例探究 例1如圖，已知平行六面體 ABCD A1B1C1D1的底面?ABCD是菱形，且/ C1CB= / C1CD= / BCD. (1) 求證：C1C 丄 BD. (2) 當 的值為多少時，能使 A1C丄平面C1BD ?請給出證明。 命題意圖：本題主要考查考生應用向量法解決向量垂直， 夾角等問題以及對立體幾何圖 形的解讀能力 知識依托：解答本題的閃光點是以向量來論證立體幾何中的垂直問題， 這就使幾何問題 代數(shù)化，使繁瑣的論證變得簡單。 錯解分析：

24、本題難點是考生理不清題目中的線面位置關系和數(shù)量關系的相互轉化， 再就 是要清楚已知條件中提供的角與向量夾角的區(qū)別與聯(lián)系 技巧與方法：利用a丄b a b=0來證明兩直線垂直， 只要證明兩直線對應的向量的數(shù)量積 為零即可。 (1) 證明： 設=a, =b, =c,依題意，|a|=|b|, 、？中兩兩所成夾角為 0, 于 是=a b, =c(a b)=c c - b=|c| - |a|eo$c| B |b|cos -B =0,C 丄 BD. 精品資料 歡迎下載 (2) 解：若使 A1C丄平面 C1BD，只須證 A1C丄BD , A1C丄DC1 , 由 =(a+b+c) (a c)=|a|+a b b

25、 |c|=|a |c|+|b| - |a|cob|0 - |c| - co得0 =0, 當|a|=|c時，A1C丄DC1，同理可證當|a|=|c|時，A1C丄BD , =1 時，A1C 丄平面 C1BD. 例 2如圖，直三棱柱 ABC A1B1C1，底面 ABC 中，CA=CB=1 , / BCA=90 , AA仁2 , M、N分別是A1B1、A1A的中點。 (1) 求的長 (2) 求cos的值 (3) 求證：A1B 丄 C1M. 命題意圖：本題主要考查考生運用向量法中的坐標運算的方法來解決立體幾何問題。 屬 級題目 知識依托：解答本題的閃光點是建立恰當?shù)目臻g直角坐標系 O xy z,進而找到

26、點的坐標 和求出向量的坐標。 錯解分析：本題的難點是建系后，考生不能正確找到點的坐標 技巧與方法：可以先找到底面坐標面 xOy內的A、B、C點坐標，然后利用向量的模及 方向來找出其他的點的坐標。 (1)解：如圖，以C為原點建立空間直角坐標系 O xyz. 依題意得：B(0 , 1, 0), N(1 , 0, 1) IF . 解：依題意得：A1(1 , 0, 2), C(0 , 0, 0), B1(0 , 1, 2). -=(0 , 1, 2) =1X0+( 1) XI+2X2=3 | |= 證明：依題意得：C1(0 , 0, 2), M() A1B 丄C1M. 帛囊妙計 1. 解決關于向量問題

27、時，一要善于運用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地 進行向量的各種運算， 加深對向量的本質的認識。 二是向量的坐標運算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉 化和密切結合的思想. 2. 向量的數(shù)量積常用于有關向量相等，兩向量垂直、射影、夾角等問題中。常用向量的 直角坐標運算來證明向量的垂直和平行問題； 利用向量的夾角公式和距離公式求解空間兩條 直線的夾角和兩點間距離的問題 3. 用空間向量解決立體幾何問題一般可按以下過程進行思考： (1) 要解決的問題可用什么向量知識來解決？需要用到哪些向量？ (2) 所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉化成的向量直接表示？ (3) 所需要的向量若不能直接用已

28、知條件轉化成的向量表示，則它們分別最易用哪個未 知向量表示？這些未知向量與由已知條件轉化的向量有何關系？ (4) 怎樣對已經表示出來的所需向量進行運算，才能得到需要的結論?精品資料 歡迎下載 “三角學”，英文 Trigonometry，法文 Trigonometrie ，德文 Trigonometrie , 都來自拉丁文 Trig ono metria 。現(xiàn)代三角學一詞最初見于希臘文。最先使用 Trigonometry 這個詞的是皮蒂斯楚斯 （Bartholomeo Pitiscus,1516-1613） ， 他在 1595 年出版一本著作三角學：解三角學的簡明處理，創(chuàng)造了這個 新詞。它是由

29、T p I Y 3 U 0 U （三角學）及（1 T P I U （測量）兩字構 成的，原意為三角形的測量，或者說解三角形。古希臘文里沒有這個字，原 因是當時三角學還沒有形成一門獨立的科學，而是依附于天文學。因此解三 角形構成了古代三角學的實用基礎。 早期的解三角形是因天文觀測的需要而引起的。還在很早的時候，由于 墾殖和畜牧的需要，人們就開始作長途遷移；后來，貿易的發(fā)展和求知的欲 望，又推動他們去長途旅行。在當時，這種遷移和旅行是一種冒險的行動。 人們穿越無邊無際、荒無人煙的草地和原始森林，或者經水路沿著海岸線作 長途航行，無論是那種方式，都首先要明確方向。那時，人們白天拿太陽作 路標，夜里則

30、以星星為指路燈。太陽和星星給長期跋山涉水的商隊指出了正 確的道路，也給那些沿著遙遠的異域海岸航行的人指出了正確方向。 就這樣，最初的以太陽和星星為目標的天文觀測，以及為這種觀測服務 的原始的三角測量就應運而生了。因此可以說，三角學是緊密地同天文學相 聯(lián)系而邁出自己發(fā)展史的第一步的。 三角學問題的提出 - M nd r d 7 . MII 丄 * Y * * rl 斗 d 訕.ti 三角函數(shù) 三角學理論的基礎，是對三角形各 元素之間相依關系的認識。一般認為，這 一認識最早是由希臘天文學家獲得的。當時，希臘天文學家為了正確地測量 天體的位置。研究天體的運行軌道，力求把天文學發(fā)展成為一門以精確的觀

31、測和正確的計算為基礎之具有定量分析的科學。他們給自己提出的第一個任 務是解直角三角形，因為進行天文觀測時，人與星球以及大地的位置關系， 通常是以直角三角形邊角之間的關系反映出來的。在很早以前，希臘天文學 家從天文觀測的經驗中獲得了這樣一個認識：星球距地面的高度是可以通過 人觀測星球時所采用的角度來反映的 （如圖一）；角度（/ ABC越大，星球距 地面（AC）就越高。然而，星球的高度與人觀測的角度之間在數(shù)量上究竟怎么 樣呢？能不能把各種不同的角度所反映的星球的高度都一一算出來呢 ？這就 是天文學向數(shù)學提出的第一個課題-制造弦表。所謂弦表，就是在保持 AB 不變的情況下可以供查閱的表 （如圖二），

32、AC 的長度與/ ABC 的大小之間的 對應關系。精品資料 歡迎下載 獨立三角學的產生 雖然后期的阿拉伯 數(shù)學家已經開始對三角學進行專門的整理和研究，他 們的工作也可以算作是使三角學從天文學中獨立出來的表現(xiàn)，但是嚴格地 說，他們并沒有創(chuàng)立起一門獨立的三角學。真正把三角學作為數(shù)學的一個獨 立學科加以系統(tǒng)敘述的，是德國數(shù)學家雷基奧蒙坦納斯。 雷基奧蒙坦納斯是十五世紀最有聲望的德國數(shù)學家約翰謬勒的筆名。 他生于哥尼斯堡，年輕時就積極從事歐洲文藝復興時期作品的收集和翻譯工 作，并熱心出版古希臘和阿拉伯著作。因此對阿拉伯數(shù)學家們在三角方面的 工作比較了解。 三角函數(shù) 1464 年，他以雷基奧蒙坦納斯的名

33、字發(fā)表了論各種三角形。在書中，他 把以往散見在各種書上的三角學知識，系統(tǒng)地綜合了起來，成了三角學在數(shù) 學上的一個分支。 現(xiàn)代三角學的確認 直到十八世紀，所有的三角量：正弦、余弦、正切、余切、正割和余割， 都始終被認為是已知圓內與同一條弧有關的某些線段，即三角學是以幾何的 面貌表現(xiàn)出來的，這也可以說是三角學的古典面貌。三角學的現(xiàn)代特征，是 把三角量看作為函數(shù)，即看作為是一種與角相對應的函數(shù)值。這方面的工作 是由歐拉作出的。1748 年，尤拉發(fā)表著名的無窮小分析引論一書，指出：” 三角函數(shù)是一種函數(shù)線與圓半徑的比值”。具體地說，任意一個角的三角函 數(shù)，都可以認為是以這個角的頂點為圓心，以某定長為半

34、徑作圓，由角的一 邊與圓周的交點 P 向另一邊作垂線 PM 后，所得的線段 OR OM MP（即函數(shù)線） 相互之間所取的比值 （如圖八），sin a =MP/OR cos a =OM/OR tan a = MP/OM 等。若令半徑為單位長，那么所有的六個三角函數(shù)又可大為簡化。 尤拉的這個定義是極其科學的，它使三角學從靜態(tài)地只是研究三角形解 法的狹隘天地中解脫了出來，使它有可能去反映運動和變化的過程，從而使 三角學成為一門具有現(xiàn)代特征的分析性學科。正如歐拉所說，引進三角函數(shù) 以后，原來意義下的正弦等三角量， 都可以脫離 幾何圖形 去進行自由的運算。 一切三角關系式也將很容易地從三角函數(shù)的定義出發(fā)

35、直接得出。這樣，就使 得從希帕克起許多數(shù)學家為之奮斗而得出的三角關系式，有了堅實的理論依 據，而且大大地豐富了。嚴格地說，這時才是三角學的真正確立。 “正弦”的由來精品資料 歡迎下載 公元五世紀到十二世紀，印度數(shù)學家對三角學作出了較大的貢獻。盡管 當時三角學仍然還是天文學的一個計算工具，是一個附屬品，但是三角學的 內容卻由于印度數(shù)學家的努力而大大的豐富了。 三角學中”正弦”和”余弦”的概念就是由印度數(shù)學家首先引進的，他 們還造出了比托勒密更精確的正弦表。 三角函數(shù) 我們已知道，托勒密和希帕克造出的弦表是圓的全弦表，它是把圓弧同弧所 夾的弦對應起來的。印度數(shù)學家不同，他們把半弦 （AC）與全弦所

36、對弧的一半 （AD）相對應，即將 AC 與/AOC 對應（如圖五），這樣，他們造出的就不再是” 全弦表”，而是”正弦表”了。 印度人稱連結?。ˋB）的兩端的弦（AB）為”吉瓦”，是弓弦的意思；稱 AB 的一半（AC）為”阿爾哈吉瓦”。后來”吉瓦”這個詞譯成阿拉伯文時被誤 解為”彎曲”、”凹處”，阿拉伯語是 ” dschaib ”。十二世紀，阿拉伯文 被轉譯成拉丁文，這個字被意譯成了” sin us ”。 三角學輸入我國，開始于明崇禎 4 年（1631 年），這一年，鄧玉函、湯若 望和徐光啟合編大測，作為歷書的一部份呈獻給朝廷，這是我國第一部 編譯的三角學。在大測中，首先將 sin us 譯為”

37、正半弦”，簡稱”正弦”， 這就成了正弦一詞的由來。 “弦表”問世 根據現(xiàn)在的認識，弦表的制作似應該是由一系列不同的角出發(fā)，去作一 系列直角三角形，然后一一量出 AC，A C，A C 之間的距離。然 而，第一張弦表制作者希臘文學家希帕克 （Hipparchus ，約前 180前 125） 不是這樣作，他采用的是在同一個固定的圓內，去計算給定度數(shù)的圓弧 AB 所對應的弦 AB 的長（如圖三）。這就是說，希帕克是靠計算，而不是靠工具 量出弦長來制表的，這正是他的卓越之處。希帕克的原著早已失傳，現(xiàn)在我 們所知關于希帕克在三角學上的成就，是從公元二世紀希臘著名天文學家托 勒密的遺著天文集中得到的。雖然托

38、勒密說他的這些成就出自希帕克， 但事實上不少是他自己的創(chuàng)造。 據托勒密書中記載，為了度量圓弧與弦長，他們采用了巴比倫人的 60 進位法。把圓周 360 等分，把它的半徑 60 等分，在圓周和半徑的每一等分 中再等分精品資料 歡迎下載 60 份，每一小份又等分為 60 份，這樣就得出了托勒密所謂的第一精品資料 歡迎下載 小份和第二小份。很久以后，羅馬人把它們分別取名為” partes min utae primae”和” partes minutae secundae ”； 后來，這兩個名字演變 為” mi nute ”和” seco nd”，成為現(xiàn)在角和時間的度 量上”分”和”秒” 這兩個單位

39、得起源。 建立了半徑與圓周的度量單位以后，希帕克和托勒密先著手計算一些特 殊圓弧所對應的弦長。比如 60o 弧(1/6 圓周長)所對的弦長，正好是內接正 六邊形的邊長，它與半徑相等，因此得出 60o 弧對應的弦值是 60 個半徑單 位(半徑長的 1/60 為一個單位)；用同樣的方法，可以算出 120o 弧、90o 弧 以及 72o 弧所對應的弦值(如圖四)。有了這些弧所對應的弦值，接著就利用 現(xiàn)在所稱的”托勒密定理”，來推算兩條已知所對弦長的弧的”和”與” 差”所對的弦長，以及由一條弧所對的弦長來計算這條弧的一半所對的弦 長。正是基于這樣一種幾何上的推算。他們終于造出了世界上第一張弦表。 補充

40、：60 進制 60 進制以度為單位，將圓周分成 360 等份，每一份所對的 圓心角叫做 1 度，1 度有 60 分，1 分 60 秒。在時間上,1 小時有 60 分，1 分 60 秒。這種 60 進制起源于巴比倫是 1854 年由欣克斯(Edward Hincks，1792-1866) 研究 泥板上的楔形文字所發(fā)現(xiàn)的,這些泥板是公元前 2300-1600 年的遺物。Edward Hincks 是愛爾蘭人，以解讀埃及的象形文字及巴比倫的楔形文字著稱于世。 巴比倫人為什么用 60 作為進位的 基數(shù)呢？這是很有趣的問題，引起后 人的種種猜測。以下我就列舉幾個有趣的例子。 (1) 數(shù)學史家 M.康托爾

41、(Moritz Benedikt Cantor,1829-1920) 曾認為他 們最初以 360 天為一年。將圓周分為 360 度，太陽就每天行一度。又圓內恰 好可以連續(xù)作 6 條等于半徑長的弦，每一條弦所對的長是 60 度，基數(shù) 60 或 者由此而來。但根據考證,巴比倫人很早就知道太陽年是 365 日，太陰年(12 個月)是 354 或 355 日，因此這種假說很難成立。康托爾后來也放棄了這種說 法。 (2) 60 這個數(shù)字的選擇是因為它是許多簡單數(shù)字 2，3，4，5，6，10， 12，的倍數(shù)，從而它的 1/2，1/3，1/4，1/5，都是整數(shù)，用起來比 較方便。這種想法早在希臘時代的賽翁就

42、已指出，近年來又有 勒夫勒等人 提倡。然而有人認為這是違反歷史事實的 ，因為記數(shù)制度不可能由某些學者 為了”科學目的”自由創(chuàng)造出來，而是悠久歷史發(fā)展的結果。 (3) 克維奇(G.Kewitsch)在 1904 年提出，當時兩河流域有兩個民族，1 個 用 10 進制，一個用 6 進制。兩種制度混合調和就形成 60 進制。10 進制是容 易理解的，因為人們用 10 個指頭來計算，而 6 進制是用一只手來計算， 5 個 指頭表示 1 至 5,握拳表示 6, 6 以上，就要進位了。其實有幾種意見認為是 和指算有關。用手指計算的確在某些地區(qū)和年代流行過 ，甚至在近代也是如 此。像我國也有”掐指一算”的說

43、法。 總之，對于基數(shù) 60 的起源，至今還沒有一致公認的看法。中國在殷商時 代(公元前 16-11 世紀),就開始用干支紀日、紀年，從甲子起， 60 一個循環(huán), 周而復始，叫做六十花甲子?？梢哉f和巴比倫異曲同工 ，不過沒有發(fā)展為進 位值。 精品資料 歡迎下載 *希伯諸斯據說曾編著了第一個三角函數(shù)表，這個成就使他贏得了“三精品資料 歡迎下載 角學之父”的稱謂。 定名法則 90 的奇數(shù)倍+a 的三角函數(shù)，其絕對值與 a 三角函數(shù)的絕對值互為 余函數(shù)。90的偶數(shù)倍+a 的三角函數(shù)與 a 的三角函數(shù)絕對值相同。 也就是 “奇余偶同， 奇變偶不變” 定號法則 將 a 看做銳角(注意是“看做”)，按所得的

44、角的象限，取三角函數(shù) 的符號。也就是“象限定號，符號看象限”。(或為“ 奇變偶不變，符號看 象限” 2 在 Kn/中如果 K 為奇數(shù)時函數(shù)名不變，若為偶數(shù)時函數(shù)名變?yōu)橄喾吹?函數(shù)名。正負號看原函數(shù)中 a 所在象限的正負號。關于 正負號有可口訣； 一全正二正弦，三正切四余弦，即第一象限全部為正， 第二象限角正弦為正， 第三為正切、余切為正，第四象限余弦為正。)還可簡記為： sin 上 cos 右 tan 對角，即 sin 的正值都在 x 軸上方，cos 的正值都在 y 軸右方，tan 的正 值斜著。 比如：90 + a。定名：90是 90的奇數(shù)倍，所以應取余函數(shù)；定號： 將 a 看做銳角，那么

45、90 + a 是第二象限角，第二象限角的正弦為正，余 弦為負。所以 sin(90 + a )=cos a , cos(90 + a )=-sin a 這個非常神奇， 屢試不爽 還有一個口訣“縱變橫不變，符號看象限”，例如：sin(90 + a ) ,90 的終邊在縱軸上，所以函數(shù)名變?yōu)橄喾吹暮瘮?shù)名，即 cos，將 a 看做銳角， 那么 90+ a 是第二象限角，第二象限角的正弦為正，所以 sin(90 + a )=cos a 三角函數(shù)對稱軸與對稱中心 y=sinx 對稱軸：x=k n + n /2 (k z)對稱中心：(k n， 0)( k z) y=cosx 對稱軸：x=k n (k z)對

46、稱中心：(k n +n /2， 0) (k z) y=tanx 對稱軸：無 對稱中心：(kn， 0) (k z) 兩角和與差的三角函數(shù) cos( a + B )=cos a cos B-sin a sin B cos( a - B )=cos a cos B+sin a sin B sin( a B )=sin a cos B cos a sin B tan( a + B )=(tan a +tan B)/(1-tan a tan B ) tan( a -B )=(tan a -tan B )/(1+tan a tan B) 和差化積公式 sin a +sin B =2sin( a +B )/

47、2cos( sin a -sin B =2cos( a +B )/2sin( cos a +cos B =2cos( a +B )/2cos( cos a -cos B =-2sin( a + B )/2sin(a - B )/2 a - B )/2 a - B )/2 a - B )/2 精品資料 歡迎下載 積化和差公式 sin a cos B =(1/2)sin( a + B )+sin( a - B ) COS sin B ： =(1/2)sin( a + B )-sin( a - B ) COS cos B =(1/2)cos( a + B)+COS( a - B ) sin a si

48、n B =-(1/2)cos a + B )-COS( a -B ) 倍角公式 sin(2 a )=2sin a COS a =2/(tan a +cot a ) cos( a)=COSA2a -SinA2； ,=2cosA2 a -1=1-2sinA2; a tan (2 a )=2ta n a /(1-ta 門八a ) cot(2 a )=(cotA2； a 1)/(2cot a ) sec(2 a)=secA2; a /(1-ta門a ) csc(2 a )=1/2*sec a CSC a 三倍角公式 sin (3 a ) = 3sin a -4si門八3; a = 4si n a si

49、n(60 + a )sin(60 -a ) cos(3 a )= 4COSA3； a -3cos a = 4COS a cos(60 + a )COS(60 -a ) tan a ) = (3ta n a -tanA3; a )/(1-3tanA2; a )= tan a tan( n /3+ a )tan( n /3- a ) cot(3 a )=(COtA3； a -3cot a )/(3cot a -1) n 倍角公式 sin(n a )=ncosA(n-1) a sin a -C(n,3)cosA(n-3) a sinA3 a +C(n,5)cosA (n-5) a sin八5 a -

50、 cos(n a )=cosAn a -C(n,2)cosA(n-2) a sin八2 a +C(n,4)cosA(n-4) a sin A4 a - 半角公式 Sin( a /2)= V(1 -cos a )/2) cos( a /2)= V (1+cos a )/2) tan( a /2)= V(1 -cos a )/(1+cos a )=sin a /(1+cos a )=(1-cos a )/sin a cot( a /2)= V(1+cos a )/(1-COS a )=(1+COS a )/sin a =Sin a /(1-COS a ) sec( a /2)= V (2sec a

51、 /(sec a +1) csc( a /2)= V (2sec a /(sec a -1)精品資料 歡迎下載 輔助角公式 As in a +Bcos a =V (AA2;+BA2;)s in( Asin a +Bcos a =V(AA2;+BA2;)cos( 萬能公式 sin (a)= (2ta n( a/2)/(1+ta 門八2;/2) cos(a)= (1-ta nA2;(a/2)/(1+ta 門八2;/2) tan( a)= (2ta n( a/2)/(1-ta 門八2;/2) 三角形與三角函數(shù) 1、正弦定理：在三角形中，各邊和它所對的角的正弦的比相等，即 a/sinA=b/sinB=

52、c/sinC=2R .(其中 R 為外接圓 的半徑) 2第一余弦定理：三角形中任意一邊等于其他兩邊以及對應角余弦的 交叉乘積的和，即 a=c cosB + b cosC 3. 第二余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其它兩邊的平方之和 減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的 2 倍，即 aA2=bA2+cA2- 2bc - cosA 4. 正切定理(napier 比擬)：三角形中任意兩邊差和的比值等于對應角 半角差和的正切比值，即(a-b ) /(a+b)=ta n (A-B)/2/ta n (A+B)/2=ta n (A-B)/2/cot(C/2) 5. 三角形中的恒等式： 對于任意非直角三角形中

53、,如三角形 ABC,總有 tan A+ta nB+ta nC=ta nAta nBta nC 證明： 已知(A+B)=( n -C) 所以 tan(A+B)=tan( n -C) 則(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan n -tanC)/(1+tan n tanC) 整理可得 ta nA+ta nB+ta nC=ta nAta nBta nC 類似地，我們同樣也可以求證 ：當 a +B +丫 =nn (n Z)時，總有 tan a +tan B +tan 丫 =tan a tan B tan 丫 三角函數(shù)圖像： 定義域和值域 sin(x),cos(x) 的定義域為 R,值

54、域為-1,1 tan(x)的定義域為 x 不等于 n /2+k n，值域為 R cot(x)的定義域為 x 不等于 k n ,值域為 R y=a sin(x)+b cos(x)+c 的值域為 c- V(a²+b²), c+V(a²+b²) a +arcta n(B/A) a -arctan(A/B) 精品資料 歡迎下載 初等三角函數(shù)導數(shù)精品資料 歡迎下載 y=sinx-y=cosx y=cosx-y=-s inx y=tanx-y=1/cosA2x =secA2x y=cotx-y= -1/s in A2x= - cscA

55、2x y=secx-y=secxta nx y=cscx-y=-cscxcotx y=arcsinx- y=1/ V(1 -x²) y=arccosx-y= - 1/V (1 -x²) y=arcta nx-y=1/(1+x²) y=arccotx-y= -1/(1+x²) 倍半角規(guī)律 如果角 a 的余弦值為 1/2，那么 a/2 的余弦值為 V 3/2 反三角函數(shù) 三角函數(shù)的反函數(shù)，是多值函數(shù)。它們是反正弦 Arcsin x，反余弦 Arccos x，反正切 Arctan x，反余切 Arccot x 等，各自表示其正弦

56、、余弦、正切、 余切、正割、余割為 x 的角。為限制反三角函數(shù)為單值函數(shù)，將 反正弦函數(shù) 的值 y 限在 y=- n /2 y n /2，將 y 為反正弦函數(shù)的主值， 記為 y=arcsin x; 相應地，反余弦函數(shù) y=arccos x 的主值限在 Ow y n ;反正切函數(shù) y=arctan x 的主值限在-n /2y n /2 ;反余切函數(shù) y=arccot x 的主值限在 0yb0 , c0 , cA2=aA2-bA2. 2中心在原點， 焦點在 y軸上的橢圓標準方程： 儀人2巾人2)+人2倫人2)=1 其中ab0 , c0 , cA2=aA2-bA2. 1) e=0，軌跡退化為一點(就

57、是點 2) 0e1，軌跡為橢圓。 3) e=1 (即到P與到L距離相同) 4) 1e0,b0,cA2=aA2+bA2. 2中心在原點，焦點在y軸上的雙曲線標準方程： 其中 a0,b0,cA2=aA2+bA2. 參數(shù)方程： x=asec 0 y=btan 0 （為參數(shù) ） 直角坐標（中心為原點）：xA2/aA2 - yA2/bA2 = 1 （ 開口方向為 x軸）屮2砂2 - 乂人2力人2 =1 （開口方向為 y軸） 3) 拋物線(parabola) 參數(shù)方程 x=2ptA2 y=2pt （t 為參數(shù)）t=1/tan 0 （tan為曲線上點與坐標原點確定直線的斜率） 特 別地，t t 可等于 0

58、0 直角坐標 y=axA2+bx+c （開口方向為 y 軸，a0 ） x=ayA2+by+c 圓錐曲線（二次非圓曲線）的統(tǒng)一 極坐標方程為 p =ep/（1-ex cos 0） 其中e表示離心率，p為焦點到準線的距離。 焦點到最近的準線的距離等于 exa 圓錐曲線的 焦半徑（焦點在x軸上，F(xiàn)1 F2為左右焦點, 焦半徑 圓錐曲線上任意一點到焦點的距離稱為焦半徑。 圓錐曲線左右焦點為 F1、F2,其上任意一點為 P（x,y），則焦半徑為： 橢圓 |PF1|=a+ex |PF2|=a-ex 雙曲線 P 在左支，|PF1|= a-ex |PF2|=a-ex P 在右支，|PF1|=a+ex |PF2

59、|= a+ex P 在下支，|PF1|= a-ey |PF2|=a-ey 直線的距離之比是一個大于 1 ,常數(shù)e是雙曲線的離心率。 (xA2/aA2)-(yA2/bA2)=1 （開口方向為 x軸,a0 ） P （x, y）,長半軸長為 a） 精品資料 歡迎下載 P 在上支，|PF1|= a+ey |PF2|= a+ey 拋物線 |PF|=x+p/2 圓錐曲線的切線方程 圓錐曲線上一點 P （ x0,y0 ）的切線方程以 x0 x代替xA2,以yOy代替 W；以（x0+x）/2精品資料 歡迎下載 代替X,以(y0+y)/2代替y 即橢圓：x0 x/aA2+y0y/bA2=1; 雙曲線：x0 x/

60、aA2-y0y/bA2=1 ;拋物線：yOy=p(xO+x) 焦準距 圓錐曲線的焦點到準線的距離 p叫圓錐曲線的 焦準距，或焦參數(shù)。 橢圓的焦準距:p=(bA2)/c 雙曲線的焦準距:p=(bA2)/c 拋物線的準焦距:p 焦點三角形 橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構成的三角形 通徑 圓錐曲線中，過焦點并垂直于軸的弦稱為 通徑。 橢圓的通徑：(2bA2)/a 雙曲線的通徑:(2bA2)/a 拋物線的通徑:2p 圓錐曲線的性質對比 圓錐曲線 橢圓 雙曲線 拋物線 標準方程 (xA2/aA2)+(yA2/bA2)=1 (xA2/aA2)-(yA2/bA2)=1 yA2=2px ab0 a0,b0 p0 范圍 x e -a,a x (- x, u a,+ s) x 0,