求解Bagley-Torvik分?jǐn)?shù)方程的數(shù)值解的Haar小波算子矩陣法(中文版)

1、外文翻譯On Haar wavelet operational matrix of general order and its application for the numerical of fractional Bagley Torvik equation.求解Bagley-Torvik分?jǐn)?shù)方程的數(shù)值解的Haar小波算子矩陣法本文譯自：S.Saha Ray. On Haar wavelet operational matrix of general order and its application for the numerical of solution fractional Bagl

2、ey Torvik equation. Applied Mathematics and Computation 218 (2012) 52395248 【摘 要】在本文中，我們深入研究了分?jǐn)?shù)階Torvik-Bagley微分方程1。我們采用Haar 小波矩陣運(yùn)算方法求解了Bagley Torvik方程。利用此方法得到的結(jié)果與Podlubny 2中給出的解析解進(jìn)行比較，我們發(fā)現(xiàn)Haar 小波方法更加實(shí)用，因?yàn)榇擞?jì)算方法將所考慮的問題轉(zhuǎn)變成為解簡單地代數(shù)矩陣方程來求解。【關(guān)鍵詞】：分?jǐn)?shù)階微分方程，Bagley Torvik方程，Haar 小波，矩陣運(yùn)算一、引言分?jǐn)?shù)階微積分是應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個領(lǐng)域之一，能

3、處理任意階的微分和積分（包括復(fù)雜的階）。因廣義積分和任意階的微積分而出名的有kilbas等人3和Sabatier等人4。分?jǐn)?shù)階微積分被Gorenflo 和 Mainardi5定位到處理學(xué)術(shù)研究與任意階積分與微分應(yīng)用的數(shù)學(xué)分析領(lǐng)域中。分?jǐn)?shù)階微積分在300年前就使用了，并且很多偉大的數(shù)學(xué)家（包括純數(shù)學(xué)家和應(yīng)用數(shù)學(xué)家）Sabatier等人，例如Abel、Caputo、Euler、Fourier、GrUnwald、Hadanard、Hardy、Heaviside、Holmgren、Laplace、Leibniz,、Letnikov、Lioville、Riemann、Riesz以及Weyl為分?jǐn)?shù)階微積分

4、理論做出了偉大的貢獻(xiàn)。分?jǐn)?shù)階微積分的歷史開始于17世紀(jì)末，分?jǐn)?shù)階微積分的誕生是由于一封信的交流。在那個時代科學(xué)期刊還不存在，科學(xué)家們是通過信交換他們的信息的。第一個有關(guān)分?jǐn)?shù)階微積分及其應(yīng)用的會議是在1974年由Ross組織的，地點(diǎn)在new Haven大學(xué)。最近幾年，分?jǐn)?shù)階微積分成為很多在不同科學(xué)與工程應(yīng)用學(xué)科的研究者們關(guān)注的焦點(diǎn)，因?yàn)橐粋€物理現(xiàn)象的理想模型能通過分?jǐn)?shù)階微積分成功實(shí)現(xiàn)。分?jǐn)?shù)階微分發(fā)生在很多物理問題中，例如頻率取決于阻尼材料的行為，大型薄板在牛頓流體中的運(yùn)動，粘彈性材料的蠕變和松弛函數(shù)，控制器控制的動力系統(tǒng)等。在電磁學(xué)、 聲學(xué)、 粘彈性和電化學(xué)以及材料學(xué)中的現(xiàn)象科學(xué)家們也通過分?jǐn)?shù)階

5、微分方程描述出來了。在求解微分方程的過程中牽涉到了很多分?jǐn)?shù)階的求導(dǎo)。在物理和工程過程中建立的最佳模型可以在分?jǐn)?shù)微積分中通過分?jǐn)?shù)階微分方程描述出來。出于這一原因，我們需要一個可靠并且高效率的方法來求解分?jǐn)?shù)階微分方程。在目前的分析中，Haar 小波的運(yùn)算方法已經(jīng)應(yīng)用于求解Bagley-Torvik方程的數(shù)值解中，然后與Podlubny2得到的解析解進(jìn)行比較。二、Haar 小波s運(yùn)算矩陣Haar函數(shù)自從1910年就被使用了，當(dāng)時是匈牙利數(shù)學(xué)家Alfred Haar介紹的。Haar 小波函數(shù)是各種類型的小波函數(shù)中最簡單的一個，它們是分段函數(shù)（分段常數(shù)函數(shù)），在實(shí)值線上只能取三個值0、1、-1.我們使用

6、Haar 小波方法是由于它的一下特征：簡單、快捷、靈活、方便、花費(fèi)的計(jì)算量小并且計(jì)算方法具有吸引力。Haar函數(shù)是矩形波形類中的一種，它所有函數(shù)的振幅都各不相同，Haar函數(shù)的正交集是定義在區(qū)間0,1)上，由 (2.1)這里i=1,2,，m-1；m=，并且M是一個正整數(shù)；j和k是符號i的整數(shù)分解，即，并且。 理論上，這組函數(shù)完成了。第一段曲線圖2.1是表示在整個0,1)區(qū)間上的曲線，它是叫做標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)。第二段曲線是基本的小波函數(shù)，這個原始波形也的跨度也是整個0,1)區(qū)間。所有其它接下來的曲線都是由經(jīng)過兩步運(yùn)算得到的：平移和伸縮。是由擴(kuò)張得到的，即從整個0,1) 區(qū)間壓縮一半到0,1/2區(qū)間，就得

7、到了，相同的也是向右移動1/2。類似地，將壓縮一半到1/4區(qū)間就產(chǎn)生了，函數(shù)向右平移1/4，2/4，3/4就分別得到了，。從總體上看，被稱為標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)，而是最基本的小波函數(shù)。通常Haar 小波s函數(shù)的區(qū)間是被定為，在一般情況下,我們將區(qū)間劃分成m個相等的子區(qū)間，每個子區(qū)間的寬度。在這種情況下，Haar 小波s函數(shù)定義為： (2.2)這里 i=1,2,m-1,且M是一個正整數(shù)，也是最大的標(biāo)準(zhǔn)值。j和k是符號i的整數(shù)分解，即，并且。任何像這樣的函數(shù)都能通過以下變換成為Haar 小波s函數(shù) (2.3)這里。圖2.1 Haar 小波函數(shù)（m-8）如果 y (t) 在每一個子區(qū)間內(nèi)被近似為分段常數(shù)，則(2

8、.3)式將會在有限項(xiàng)終止，即或以矩陣形式, (2.4)其中，Y 是不相關(guān)的連續(xù)函數(shù)。是Y向量的系數(shù)，可以由得到。Y和都是行向量，H是m=階的Haar 小波矩陣，M是一個正整數(shù)并且由決定，即 ， (2.5)其中是不相關(guān)的一組向量，是Haar 小波向量H的基礎(chǔ)向量；這些不相關(guān)的向量值分別取自連續(xù)曲線。一個被給定的函數(shù) f (t) 擴(kuò)展到 Haar 小波系列是， , (2.6)其中是小波系數(shù)。在本文中，我們運(yùn)用小波得到的方法來確定系數(shù)，這些得到的論點(diǎn)是由下式得到的， 。 (2.7)式(2.6)的離散描述是 (2.8) 則式(2.8)寫成矩陣的形式就是 , (2.9)這里與都是m維的行向量，并且H是m

9、階的小波矩陣。三、一般階的積分算子矩陣/廣義矩陣的積分運(yùn)算式的積分可以用Chen與Hsiao6的方法來逼近： ， (3.1)其中Q被稱為Haar 小波s運(yùn)算積分矩陣，也是一個維的方陣。現(xiàn)在，我們應(yīng)該就能得出Haar 小波s運(yùn)算矩陣一般階情況下的積分。按照這個目的，我們首先介紹Podlubny2定義的階分?jǐn)?shù)積分。， ， (3.2)這里表示正實(shí)數(shù)集。 Haar 小波運(yùn)算矩陣的階一般情況下的積分如下式所示: 其中 (3.3)這里，i=1,2,m-1,且M是一個正整數(shù)。j和k是符號i的整數(shù)分解，即，并且。例如，如果m=4，我們有但是， Chen與Hsiao6，Kilicman與Zhour7，Li與Zh

10、ao8以及Bouafoura與Braiek9都提到過的廣義運(yùn)算積分的矩陣是一個近似矩陣，它不是精確的廣義運(yùn)算矩陣。此外，要從廣義運(yùn)算矩陣中獲得這個正確的整數(shù)階運(yùn)算矩陣的有一定難度的。 在目前的分析中，得到的一般階Haar小波運(yùn)算積分矩陣是正確的運(yùn)算矩陣，以上的例子證明了它的正確性。四、Bagley-Torvik方程的分?jǐn)?shù)階動態(tài)模型 Torvik和Bagley 1導(dǎo)出的是一個維度的分?jǐn)?shù)階微分方程，描述的是一個薄金屬平板在牛頓流體中的運(yùn)動10。這是描述一塊被彈性系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧連接著的質(zhì)量為m、面積為A且不會彎曲的薄金屬平板浸入在牛頓流體中的運(yùn)動，這個運(yùn)動模型是來自于Bagley和Torvik。

11、一塊質(zhì)量為m且不會彎曲的薄金屬平板在無邊界的牛頓流體中就想圖4.1展示的那樣。圖4.1這個金屬板被一根彈性系數(shù)為k的彈簧控制在一個固定的點(diǎn)，假設(shè)彈簧的運(yùn)動不會影響流體的運(yùn)動并且這個金屬板的面積A非常大，這樣在金屬板兩邊的壓力和速度的關(guān)系就是有效的。用表示粘度系數(shù)，表示流體的密度，金屬板的位移y可以用下式描述 ， (4.1)其中，且。 按照目前的分析，我們應(yīng)該運(yùn)用Haar小波方法去解Bagley Torvik分?jǐn)?shù)階方程的數(shù)值解。接著，我們應(yīng)該將數(shù)值解與精確解進(jìn)行比較。五、運(yùn)用Haar 小波方法求Bagley-Torvik方程的數(shù)值解按照目前的分析，我們用Haar 小波運(yùn)算矩陣去求Bagley-T

12、orvik方程的數(shù)值解，這個方程描述的就是剛性板在牛頓流體中的運(yùn)動模型。讓我們來認(rèn)識Bagley-Torvik方程2， ， (5.1)這里前提是.Haar 小波解就是下面這種形式 ， (5.2)用矩陣形式表示就是 ， (5.3)這里就是由方程(2.7)得到的，是m維的行向量并且是m階的Haar 小波方陣。 整合方程(5.1)我們得到 .又前提是，我們可以得到 . (5.4)現(xiàn)在，我們將方程(5.3)寫成分開的矩陣形式，于是我們得到 (5.5)其中，這里并且E是離散形式的函數(shù)，這里階躍函數(shù)，對于方程(5.1).從方程(5.1)我們有 (5.6)表6.1 比較數(shù)值解與精確解析解的誤差：解方程(5.

13、6)的系數(shù)行列式,我們得到 (5.7)利用方程(5.3)，就可以得到Haar 小波數(shù)值解 (5.8)現(xiàn)在，方程(5.1)的解析解是2, (5.9)這里，叫做Mittag-Leffler函數(shù)，2,并且，.于是，方程(5.9)簡化為 ，如果 (5.10)這里.這個解(5.10)就是方程(5.1)的解析解。圖6.1 Bagley-Torvik方程的數(shù)值解與解析解，（實(shí)線是，虛線是）。六、得到的數(shù)值結(jié)果及其討論在本數(shù)值計(jì)算中我們假設(shè)A=1，B=0.5，C=0.5，有意思的是通過Haar 小波方法得到的數(shù)值解與按照文獻(xiàn)2的方法得到的解析解幾乎相同，如圖6.1。用方程(5.8)與(5.10)繪制的圖形如圖

14、6.1。其中的和分別對應(yīng)的是Haar 小波數(shù)值解和Bagley-Torvik方程的精確解析解，這些圖是由Mathematica 7軟件繪制的。表6.2 比較數(shù)值解與精確解析解的誤差，（對于t=0,1,2,10）：比較目前正在分析的Haar 小波運(yùn)算方法與其他的也可以用的方法，表6.1已經(jīng)按方程(2.7)的順序一一給出了相應(yīng)的兩種解的絕對誤差值。數(shù)值解與精確解之間的均方根誤差是0.204029.在這一節(jié)中得到的數(shù)值解是用Mathematica 7軟件計(jì)算出來的。七、Haar 小波方法的收斂性分析7.1誤差分析在這一節(jié)，要進(jìn)行的是Haar 小波方法的誤差分析。引理7.1.讓是定義在區(qū)間(0,1)上

15、的連續(xù)函數(shù)。于是第J個等級的誤差范數(shù)滿足以下不等式：,這里,且K>0，M是一個正整數(shù)且與第J個等級有關(guān)，由小波給的決定。證明.第J個等級的誤差是由以下決定的： ，這里， .現(xiàn)在， 這里，,且因此， 運(yùn)用均值原理，有并且.所以，運(yùn)用均值原理，有. 這就意味著,由于因此， (7.1.1)從上面的(7.1.1)方程中顯然可以看出誤差范數(shù)與J的值是成反比關(guān)系的。因此，要提高小波方法的精確性我們就要增大決定因子J.7.2誤差估計(jì) 表6.2舉例比較了用小波方法得到的數(shù)值解與解析解。八、結(jié)論按目前的分析，一個基于Haar 小波運(yùn)算原理的數(shù)值解法被運(yùn)到了解Bagl-ey-Torvik方程。提到Bagle

16、y-Torvik方程被Adomian Decomposition12方法解決了沒有什么不恰當(dāng)。在本文中，做了一個嘗試，就是將Haar 小波運(yùn)算方法運(yùn)用到了求解Bagley-Torvik方程中。我們展示了用整數(shù)階的Haar 小波運(yùn)算矩陣的方法去求解分?jǐn)?shù)階Bagley-Torvik方程的數(shù)值解。在這方面，求解任意整數(shù)階的Haar 小波矩陣的一般步驟在第三節(jié)中已經(jīng)給出了。這個運(yùn)算矩陣，作者在驗(yàn)證之后確定是正確的一般階運(yùn)算矩陣。 這個數(shù)值解已經(jīng)與精確解做了比較，并且均方根誤差是0.204029.這個誤差還可以減少，如果我們?nèi)=128或者更多。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是將問題改變成了求解代數(shù)矩陣方程，因此計(jì)算就

17、變得簡單了，并且可以借助計(jì)算機(jī)。這種方法展現(xiàn)給我們的是簡單、高效率，它是基于Haar小波函數(shù)的運(yùn)算矩陣，另外，在求解分?jǐn)?shù)階微分方程時用小波運(yùn)算方法比用傳統(tǒng)的數(shù)值方法更簡單，并且得到的結(jié)果很令人滿意。這個用目前的方法得到的比較結(jié)果在誤差允許的范圍內(nèi)是可以采用的，這證明了被建議的這種方法的適用性、精確性以及高效性。致謝作者在這個篇幅中想通過這個機(jī)會表達(dá)他的真誠謝意，感謝學(xué)會審稿人在本論文改進(jìn)和完善的過程中提出的寶貴意見和建議。參考文獻(xiàn)1 P.J. Torvik, R.L. Bagley, On the appearance of the fractional derivative in the b

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