任意角的三角函數(shù)

1、1.2.1 1.2.1 任意角的正弦函數(shù)、任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義余弦函數(shù)的定義 復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧 1.1.角的概念是由幾個要素構(gòu)成的，具體怎樣理解？角的概念是由幾個要素構(gòu)成的，具體怎樣理解？ （1 1）角是由平面內(nèi)一條射線繞其端點從一個位置）角是由平面內(nèi)一條射線繞其端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所組成的圖形旋轉(zhuǎn)到另一個位置所組成的圖形. . （2 2）按）按逆時針逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角為方向旋轉(zhuǎn)形成的角為正角正角，按，按順時順時針針方向旋轉(zhuǎn)形成的角為方向旋轉(zhuǎn)形成的角為負(fù)角負(fù)角，沒有作任何旋轉(zhuǎn)形成，沒有作任何旋轉(zhuǎn)形成的角為的角為零角零角. . （3 3）角的大小是）角的大小是任意的任意

2、的. . 2.2.為了研究問題的方便，我們把角放入直角坐標(biāo)系內(nèi)為了研究問題的方便，我們把角放入直角坐標(biāo)系內(nèi)討論。怎樣操作的？象限角怎么定義的？討論。怎樣操作的？象限角怎么定義的？ （1 1）a.a.角頂點與原點重合；角頂點與原點重合；b.b.角的始邊與角的始邊與x x軸的非軸的非負(fù)半軸重合。負(fù)半軸重合。 （2 2）象限角：角的終邊在第幾象限，就是第幾象）象限角：角的終邊在第幾象限，就是第幾象限角。限角。 （3 3）終邊相同的角的表示法：）終邊相同的角的表示法： = =k360k360(kZ)(kZ) 3.3.弧度制弧度制 （1 1）借助于）借助于單位圓單位圓定義的，單位長度的弧所對的圓定義的，

3、單位長度的弧所對的圓心角為心角為1 1弧度的角，單位符號弧度的角，單位符號radrad，讀作弧度。，讀作弧度。 ?（2 2）180180 rad. rad. （3 3）與角）與角 終邊相同的角的一般表達(dá)式：終邊相同的角的一般表達(dá)式： = =k360k360（kZkZ）或）或 b = a + 2 kp(k ? Z)（4 4）特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表）特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表 弧度有效的把角度單位與長弧度有效的把角度單位與長度單位統(tǒng)一起來，確立了度單位統(tǒng)一起來，確立了 角角與與實數(shù)實數(shù)間的間的一一對應(yīng)一一對應(yīng)關(guān)系。關(guān)系。 誘思探究誘思探究 、在初中我們是如何定義銳角三角函數(shù)的？、在初中我們

4、是如何定義銳角三角函數(shù)的？ 1如果改變點在終邊上的位置，這如果改變點在終邊上的位置，這 兩兩個比值會改變個比值會改變嗎？嗎？ P?P M M? P?sin?OPOP?MPOM?cos?OPOP?OM?OMP ?OM? P?O M?能否通過能否通過|op|取特殊值將表達(dá)式簡化呢？取特殊值將表達(dá)式簡化呢？ 若OP?r?1，則MPOPOMsin?P ? MP?O M cos? OMOP2.2.角推廣到任意角后，當(dāng)角角推廣到任意角后，當(dāng)角 不是銳角時，不是銳角時，sinsin ，coscos 怎怎樣計算呢？樣計算呢？ P O y ? ?a M y y P P 的終邊的終邊 b O O x x x 知識

5、探究（一）：任意角的三角函數(shù)知識探究（一）：任意角的三角函數(shù) 1.在直角坐標(biāo)系中，借助于單位圓，研究銳角三在直角坐標(biāo)系中，借助于單位圓，研究銳角三角函數(shù)。角函數(shù)。 為了研究方便，我們把銳角為了研究方便，我們把銳角 放到直角坐標(biāo)放到直角坐標(biāo)系中，并使角系中，并使角 的頂點與原點的頂點與原點O O重合重合, ,始邊與始邊與x x軸軸的非負(fù)半軸重合的非負(fù)半軸重合. .在角在角 的終邊與單位圓交點的終邊與單位圓交點P P（a，b b）, , 點點P P與原點的距離為與原點的距離為r=1r=1，那么，那么，sinsin 、coscos 的值分別如何表示？的值分別如何表示？ OP?r?1，在三角形OPM中

6、， 因為 根據(jù)銳角三角函數(shù)，知： YP(a,b)?OMbsin?bOP1OMacos?aOP1MPX類比定義類比定義 2.任意角的三角函數(shù)定義任意角的三角函數(shù)定義 設(shè) ?是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點 P(u,v)sin?，即 v那么:（1） 叫做 的正弦正弦，記作 sin?v； ?cos?，即 ucos? u； （2） 叫做? 的余弦余弦，記作 的終邊 yP?u,v? OA?1 ,0?注：（注：（1）符合函數(shù)的定義。正弦，）符合函數(shù)的定義。正弦，余弦都是以余弦都是以角為自變量角為自變量，以，以單位圓單位圓上點的上點的縱、橫坐標(biāo)縱、橫坐標(biāo)為函數(shù)值的函數(shù)，為函數(shù)值的函數(shù)，x我們將他們稱為我

7、們將他們稱為三角函數(shù)三角函數(shù). （2）定義域：）定義域：R （3）值域：）值域：-1,1 實例剖析實例剖析 13例例1：如圖已知角：如圖已知角的終邊與單位圓的交點是的終邊與單位圓的交點是 ， P(?,)22求角求角的正弦、余弦值。的正弦、余弦值。 解：根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義： y 13P(?,)2 23sin?2tan? ?31cos? ?2O x 點評：若已知角點評：若已知角的終邊與單位圓的交點坐標(biāo)，則可直接利用的終邊與單位圓的交點坐標(biāo)，則可直接利用定義求三角函數(shù)值。定義求三角函數(shù)值。 ? ? ?，（，（1）畫出角）畫出角a；例例2 在直角坐標(biāo)系的單位圓中，在直角坐標(biāo)系的單位圓中，4（2）

8、求出角）求出角a的終邊與單位圓的交點坐標(biāo)；的終邊與單位圓的交點坐標(biāo)； （3）求）求 出角出角a 的正弦、余弦值的正弦、余弦值.。 解解: （1）如圖，以原點為角的頂點，以）如圖，以原點為角的頂點，以x軸非負(fù)半軸為始邊，軸非負(fù)半軸為始邊， ? ?MOP? ?順時針旋轉(zhuǎn)順時針旋轉(zhuǎn) ，與單位圓交于點，與單位圓交于點P， 44， ?即為所求作的角即為所求作的角 22（2）由于）由于? ? ?，點，點P在第四象限，所以點在第四象限，所以點P坐標(biāo)為坐標(biāo)為 (2,?2)?， y?42?2（3）所以）所以 sin(?)? ?,cos(?)?4242?o4 M Px點評：已知角點評：已知角求正弦、余弦的步驟：求

9、正弦、余弦的步驟：（1）在直角坐標(biāo)系中畫出該角；）在直角坐標(biāo)系中畫出該角； （2）求出角）求出角終邊與單位圓的交點；終邊與單位圓的交點；（構(gòu)造直角三角形，求出直角邊長度，（構(gòu)造直角三角形，求出直角邊長度，根據(jù)點的象限確定交點坐標(biāo)）根據(jù)點的象限確定交點坐標(biāo)） （3）利用定義求三角函數(shù)值；）利用定義求三角函數(shù)值； P0(?3 ,?4 )，求角，求角 的正弦、余的正弦、余例例3 已知角已知角 的終邊經(jīng)過點的終邊經(jīng)過點 弦值弦值 . y解解:由已知可得由已知可得 OP0?(?3 )2?(?4 )2?5?P(x,y)， ?的終邊與單位圓交于的終邊與單位圓交于 設(shè)角設(shè)角 M PxMP分別過點分別過點 作作

10、 軸的垂線軸的垂線 、 P、P0 00 OM? ?xMP? ?yOM0?3?OMP ?OM0P0M0P0?4M0MP?x,y?OxP0?3 ,?4?M0P0y?|MP|4于是，于是， ?y?sin? ? ?;1OPOP50OM0 x?OM3cos?x? ? ?;1OPOP50思考：若點思考：若點P P（x x，y y）為角）為角 終邊上任意終邊上任意一點，那么一點，那么sinsin ，coscos 對應(yīng)的函數(shù)值對應(yīng)的函數(shù)值分別等于什么？分別等于什么？ y y sin?yx?y22O O 2cos?xx?y2x x P(xP(x，y) y) 任意角的三角函數(shù)只與這個角的終邊位置有關(guān)，任意角的三角

11、函數(shù)只與這個角的終邊位置有關(guān)，與點與點P P（x x，y y）在終邊上的位置無關(guān)）在終邊上的位置無關(guān). . 知識探究（二）：三角函數(shù)符號與公式知識探究（二）：三角函數(shù)符號與公式 思考思考1 1：在直角坐標(biāo)系各個象限中，點坐標(biāo)的符號：在直角坐標(biāo)系各個象限中，點坐標(biāo)的符號是怎樣的？是怎樣的？ 思考思考2 2：設(shè)：設(shè) 是一個任意的象限角，那么當(dāng)是一個任意的象限角，那么當(dāng) 在第在第一、二、三、四象限時，一、二、三、四象限時，sinsin 的取值符號分別如的取值符號分別如何？何？coscos 取值符號分別如何？取值符號分別如何？ y y sin?ycos? x 的終邊的終邊 P(xP(x，y) y) O

12、 O x x 探究：探究： 三角函數(shù)值在各象限的符號三角函數(shù)值在各象限的符號 yy（ ） ?（ ）（ ） ?osin?x（ ） （ ） ox（ ） （ ） ?cos?三角函數(shù)三角函數(shù) 第一象限第一象限 第二象限第二象限 第三象限第三象限 第四象限第四象限 sin?cos?cos?+ + + + + + + + 1 1 求證：當(dāng)且僅當(dāng)不等式組求證：當(dāng)且僅當(dāng)不等式組 ?sin?0? 成立時，角成立時，角 為第四象限角為第四象限角. . ?cos?02 2 確定下列三角函數(shù)值的符號確定下列三角函數(shù)值的符號. . ?9?)（3 3） cos（1 1）cos250 ; ;（2 2）sin( ; ; 44

13、思考思考3 3：如果角：如果角 與與 的終邊相同，那么的終邊相同，那么sinsin 與與sinsin 有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？coscos 與與coscos 有有什么關(guān)系？什么關(guān)系？ 表明，終邊相同的角的同名三角函數(shù)值表明，終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等，如何將這個性質(zhì)用一組數(shù)學(xué)公式表達(dá)？相等，如何將這個性質(zhì)用一組數(shù)學(xué)公式表達(dá)？sin(?2 k?)?sin?公式一：公式一： cos(?2 k?)?cos?k?Z公式一揭示了三角函數(shù)值呈周期性變化，即角的公式一揭示了三角函數(shù)值呈周期性變化，即角的終邊繞原點每旋轉(zhuǎn)一周，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)終邊繞原點每旋轉(zhuǎn)一周，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn). . 2p可將求任意角的三

14、角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求可將求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求0 0 （或（或0 0360360) )范圍內(nèi)的三角函數(shù)值范圍內(nèi)的三角函數(shù)值. . 2 p3 3 確定下列角的三角函數(shù)值確定下列角的三角函數(shù)值. . 5?9?7?（1 1） ; ;（2 2） ; ; （3 3） 4242 p思考思考4 4：若：若sinsin =sin=sin ，則角，則角 與與 的的終邊一定相同嗎？終邊一定相同嗎？ 思考思考5 5：函數(shù)的對應(yīng)形式有一對一和多對一兩：函數(shù)的對應(yīng)形式有一對一和多對一兩種，三角函數(shù)是哪一種對應(yīng)形式？種，三角函數(shù)是哪一種對應(yīng)形式？ 歸納歸納 總結(jié)總結(jié) 1. 內(nèi)容總結(jié)：內(nèi)容總結(jié)： (1)正弦、余弦函數(shù)

15、的概念正弦、余弦函數(shù)的概念. (2)正弦、余弦函數(shù)的定義域、值域正弦、余弦函數(shù)的定義域、值域. (3)已知角求正余弦函數(shù)值；已知角終邊一點求正余已知角求正余弦函數(shù)值；已知角終邊一點求正余弦函數(shù)值弦函數(shù)值. (4)正弦、余弦函數(shù)在各象限的符號正弦、余弦函數(shù)在各象限的符號. 2. 數(shù)學(xué)思想方法總結(jié)：數(shù)學(xué)思想方法總結(jié)： 數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想 填填 空空 1.根據(jù)三角函數(shù)的定義，確定它們的定義域、值域根據(jù)三角函數(shù)的定義，確定它們的定義域、值域 三角函數(shù)三角函數(shù) 定義域定義域 R R 值域值域 -1,1 -1,1 sin?cos?2.確定三角函數(shù)值在各象限的符號確定三角函數(shù)值在各象限的符號 y （+ ） + o x （ - ）（- ） sin?y （ ） - ） （+ o x （- ） （+ ） cos?3.重要公式重要公式 sin