八上11.2.1三角形的內(nèi)角

1、新人教版-八年級(jí)（上）-數(shù)學(xué)-第十一章11.2.1 三角形的內(nèi)角三角形的內(nèi)角 學(xué)學(xué) 習(xí)習(xí) 目目 標(biāo)標(biāo)11.掌握三角形內(nèi)角和定理及其推論掌握三角形內(nèi)角和定理及其推論2.會(huì)用添加輔助線的方法進(jìn)行證明會(huì)用添加輔助線的方法進(jìn)行證明3.靈活運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理靈活運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理重點(diǎn) ： 1、能用多種方法證明三角形內(nèi)角和定理 2、會(huì)在證明中添加合適的輔助線。三角形兩邊的夾角叫做三角形的內(nèi)角三角形的內(nèi)角在一個(gè)直角三角形里住著三個(gè)內(nèi)角，平時(shí)，它們?nèi)值芊浅F(tuán)結(jié)?？墒怯幸惶?，老二突然不高興，發(fā)起脾氣來，它指著老大說：“你憑什么度數(shù)最大，我也要和你一樣大！”“不行?。　崩洗笳f：“這是不可能的，否則，我們這個(gè)

2、家就再也圍不起來了”“為什么？”老二很納悶。同學(xué)們，你們知道其中的道理嗎？內(nèi)角三兄弟之爭(zhēng)如下圖所示是我們常用的三角板,它們的三個(gè)角之和為多少度?想一想:任意三角形的三個(gè)內(nèi)角之和也為180度嗎?30+60+90=18045+45+90=180思考與探索把三個(gè)角拼在一起試試看把三個(gè)角拼在一起試試看三角形的內(nèi)角和是180度。方法一：方法一：ABC演示下一頁123方法二方法二: 將各角沿著一邊所在的直線折疊將各角沿著一邊所在的直線折疊 如果如果ABCABC是畫在一塊不能分是畫在一塊不能分割的平面上，如在黑板上，這時(shí)割的平面上，如在黑板上，這時(shí)就不可能做到把就不可能做到把A A、B B撕下來撕下來再分別

3、放在再分別放在1 1、2 2的位置上，的位置上，那么又如何論證那么又如何論證A+B+C= A+B+C= 180180呢？呢？ A B C 1 2 D E 三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于1800.證明：證明：過點(diǎn)過點(diǎn)A作作l l BC所以所以2=4（兩直線平行（兩直線平行, ,內(nèi)錯(cuò)角相等）內(nèi)錯(cuò)角相等）同理同理3=5所以所以1+4+5=1800（平角定義）平角定義） 所以所以1+2+3=1800（等量代換）等量代換）已知：已知：ABC.ABCEF求證：求證：A +B +C =180 l l123因?yàn)橐驗(yàn)閘 l BC因?yàn)橐驗(yàn)?， 4， 5組成平角組成平角54

4、21EDCBA三角形的內(nèi)角和等于1800.延長BC到D， 過C作CEBA， A=1 (兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)B=2(兩直線平行，同位角相等)1+2+ACB=180A+B+ACB=180證法二(等量代換等量代換)F21ECBA三角形的內(nèi)角和等于1800.過A作EFBC，B=2(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等) C=1(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等) 2+1+BAC=180B+C+BAC=180證法三(等量代換等量代換)CBEA三角形的內(nèi)角和等于1800.過A作AEBC，B=BAE(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)EAB+BAC+C=180(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ))B+C+BAC=180證法四(等量代換等量代換)

5、在這里，為了證明的需要，在原來在這里，為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫做的圖形上添畫的線叫做輔助線輔助線。在平面。在平面幾何里，輔助線通常畫成幾何里，輔助線通常畫成虛線虛線。 為了證明三個(gè)角的和為為了證明三個(gè)角的和為1800,轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角或同旁內(nèi)角互補(bǔ)化為一個(gè)平角或同旁內(nèi)角互補(bǔ),這這種種轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中的常用方法是數(shù)學(xué)中的常用方法.思路總結(jié)思路總結(jié)三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理: :三角形的內(nèi)角和等于三角形的內(nèi)角和等于1801800 0. .即在即在ABC中，中， A +B +C=180 wA+B+C=A+B+C=1800的幾種變形的幾種變形:wA=A=1800 (B+C

6、).(B+C).wB=B=1800 (A+C).(A+C).wC=C=1800 (A+B).(A+B).wA+B=A+B=1800-C.C.wB+C=B+C=1800-A.A.wA+C=A+C=1800-B.B.w這里的結(jié)論這里的結(jié)論, ,以后可以直接運(yùn)用以后可以直接運(yùn)用. . 三種語言三種語言ABCCBA2.推論：推論： 直角三角形中，兩銳角互余。直角三角形中，兩銳角互余。 即在直角即在直角 A B C 中，若中，若C =90， 則則A +B =90 。定理應(yīng)用定理應(yīng)用 三角形的三內(nèi)角和是三角形的三內(nèi)角和是180 ，所以三內(nèi)角可，所以三內(nèi)角可能出現(xiàn)的情況：能出現(xiàn)的情況：一個(gè)鈍角一個(gè)鈍角 兩個(gè)

7、銳角兩個(gè)銳角鈍角三角形鈍角三角形銳角三角形銳角三角形一個(gè)直角一個(gè)直角 兩個(gè)銳角兩個(gè)銳角直角三角形直角三角形三個(gè)都為銳角三個(gè)都為銳角鈍角三角形鈍角三角形直角三角形直角三角形銳角三角形銳角三角形(口答)下列各組角是同一個(gè)三角形的內(nèi)角嗎?為什么?（2）60， 40， 90（3）30， 60， 50（1）3， 150， 27 （是是 ）（ 不是不是）（ 不是不是）鞏固練習(xí)如圖：如圖：在在ABCABC中中,A A= =， B= B=，ADAD是是ABCABC的角平分線。求的角平分線。求ADBADB的度數(shù)？的度數(shù)？例例1 1、在在ABCABC中中, , ADB=ADB=0 0BBBADBAD， = = 1

8、80 -75 -75 -20 -20 =85 =85 CABD已知三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為已知三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為1:3:5，求這三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。，求這三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。解：設(shè)三個(gè)內(nèi)角度數(shù)分別為：解：設(shè)三個(gè)內(nèi)角度數(shù)分別為：x、3x、5x,由三角形內(nèi)角和為由三角形內(nèi)角和為180 得得x+3x+5x=180 解得解得x=20 所以三個(gè)內(nèi)角度數(shù)分別為所以三個(gè)內(nèi)角度數(shù)分別為20 ,60 ,100 。（1）在）在ABC中，中，A=35， B=43 C= . （2）在）在ABC中，中， A :B:C=2:3:4則則A = _ B= C= . （3） A ： B ：C=3：2：1，問，問 ABC是是_

9、三三角形角形.（4） A C =35 B C =10 ，則，則B =？（5）一個(gè)三角形中最多有一個(gè)三角形中最多有 個(gè)直角，最多有個(gè)直角，最多有_ 個(gè)鈍角個(gè)鈍角，最多有，最多有_個(gè)銳角，個(gè)銳角，至少有至少有 個(gè)銳角。個(gè)銳角。（6）任意一個(gè)三角形中）任意一個(gè)三角形中,最大的一個(gè)角的度數(shù)至少最大的一個(gè)角的度數(shù)至少為為 .應(yīng)用新知應(yīng)用新知ABC已知ABC中,ABCC=2A ,BD是AC邊上的高，求DBC的度數(shù)。D解：設(shè)Ax0，則ABCC2x0 x2x2x180 （三角形內(nèi)角和定理）解得x36C2360720DBC1800900720（三角形內(nèi)角和定理）在BDC中，BDC900(三角形高的定義）DBC1

10、80?例題講解例題講解1 1如圖,C島在A島的北偏東50方向，B島在A島的北偏東80方向，C島在B島的北偏西40方向。求下面各題.（1）DAC_ DAB_ EBC_ CAB _ A(2)從C島看A 、B兩島的視角C是多少?508040DBCE北北解： ADBE DABABE180 ABE 180DAB 180 80 100 在在ABC中中,C 180 CAB ABC 18030 60 90 ABCABECBE30 1004060例題講解例題講解2 2方法一DCE北A50B40 北MN在AMC中 AMC=90, MAC=50解：過點(diǎn)C畫MNAD分別交AD、BE于點(diǎn)M、N12方法二方法二1=180

11、 -90-50 =40 ADBE AMC+ BNC =180 BNC =90同理得2 =50 ACB =180 -1 -2=180 -40-50 =90BDCE北A 你能想出一個(gè)更簡捷的方法來求C的度數(shù)嗎？125040解：解： 過點(diǎn)過點(diǎn)C畫畫CFAD 1DAC50 , F CFAD, 又又AD BE CF BE2CBE 40 ACB12 50 40 90 方法三方法三解解：在在ACD中中 CAD 30 D 90 DABC ACD =180 -30 -90 =6 0 在在BCD中中 CBD = 45 D 90 BCD = 180 - 90-45 =45 ACB = ACD - BCD = 6 0

12、 - 45 =15鞏固練習(xí)1.如圖,從A處觀測(cè)C處時(shí)仰角CAD30,從B處觀測(cè)C處時(shí)仰角CBD45.從C處觀測(cè)A、B兩處時(shí)視角ACB是多少?3.ABC中,若ABC,則ABC是( )A、銳角三角形B、直角三角形 C、鈍角三角形D、等腰三角形4. 一個(gè)三角形至少有（ ） A、一個(gè)銳角 B、兩個(gè)銳角 C、一個(gè)鈍角 D、一個(gè)直角BB鞏固練習(xí)5. 如圖ABC中,CD平分ACB,DEBC,A70,ADE50, 求BDC的度數(shù).ABCDE解:A70 ACB=180 -A-B=180-70-50=60DE/BCB=ADE50 CD平分ACB30602121ACBDCBDCBBBDC1801003050180鞏

13、固練習(xí)證明：證明： DE BC （已知）已知） AED= C（兩（兩直線平行，同位角相等）直線平行，同位角相等） C=700（已知）已知） AED= 700 （等量代換）等量代換） A+ AED+ ADE=1800（三角形的內(nèi)角和定理）三角形的內(nèi)角和定理） A=600（已知）已知） ADE=1800600700=500（等量代換）等量代換） 即即 ADE= 500DCBAE（第第1題）題）6、已知、已知:如圖在如圖在ABC中，中，DEBC,A=600, C=700. 求證：求證： ADE=5007 7、如圖，直線、如圖，直線ABABCD,CD,在在ABAB、CDCD外有一點(diǎn)外有一點(diǎn)P P，連結(jié)

14、連結(jié) PBPB、PDPD，交，交CDCD于于E E點(diǎn)。點(diǎn)。 則則 B B、 D D、 P P 之間是否存在一定的大小關(guān)系？之間是否存在一定的大小關(guān)系？A AB BC CP PD DE E他們是怎樣的，并加以證明他們是怎樣的，并加以證明？甲樓高16米,乙樓座落在甲樓的正北面,已知當(dāng)?shù)囟林形?2點(diǎn),太陽光線與水平面夾角為450,如果甲樓的影子剛好不落在乙樓上,那么兩樓的距離應(yīng)是多少？甲甲乙乙16米米450？45016米米解:由題意知ABC45,90ACBABCACBABCBAC1804590180 45BC=AB=16答:兩樓的距離是16米.拓展與思考12、在中，如果= B= C，那么是什么三角形？2131解:設(shè)A=x,那么B=2