運動學基礎wy

1、理論力學理論力學2 運動學對運動規(guī)律的研究以及靜力學對力規(guī)律的研究是動力學研運動學對運動規(guī)律的研究以及靜力學對力規(guī)律的研究是動力學研究究“力與運動力與運動”關系的基礎。關系的基礎。 運動學純粹從幾何的角度來研究物體的運動規(guī)律運動學純粹從幾何的角度來研究物體的運動規(guī)律 ，而，而不涉及物體的受力和慣性。聯系力與研究物體的機械運動不涉及物體的受力和慣性。聯系力與研究物體的機械運動是動力學的任務。是動力學的任務。 運動學研究所得到的結果，有它獨立的重要意義。因為任何機器運動學研究所得到的結果，有它獨立的重要意義。因為任何機器各部分之間的運動，都要求協調的配合。要達到人們預期的要求，設各部分之間的運動，

2、都要求協調的配合。要達到人們預期的要求，設計時必須進行運動分析，因此，運動學作為一個獨立部分來研究，是計時必須進行運動分析，因此，運動學作為一個獨立部分來研究，是工程實際的需要。工程實際的需要。運動學的研究內容和意義運動學的研究內容和意義理論力學3物體的運動都是相對的，物體的運動都是相對的，因此研究物體的運動必須指因此研究物體的運動必須指明明參考體和參考系參考體和參考系。物體運動的位移、速度和加速度都是。物體運動的位移、速度和加速度都是矢量，因此研究運動學采用矢量方法。矢量，因此研究運動學采用矢量方法。一般情形下，這些矢量的大小和方向會隨著時間的變化而變化，一般情形下，這些矢量的大小和方向會隨

3、著時間的變化而變化，因而稱為因而稱為變矢量變矢量。 所謂運動規(guī)律是指物體（點或剛體）在空間的位置隨所謂運動規(guī)律是指物體（點或剛體）在空間的位置隨時間變化的規(guī)律。時間變化的規(guī)律。 對于不同的參考系，同一物體運動的表現形式是不一樣對于不同的參考系，同一物體運動的表現形式是不一樣的。運動和靜止都具有相對性。的。運動和靜止都具有相對性。理論力學4運動學的研究對象及其運動形式運動學的研究對象及其運動形式(1) (1) 平動，包括直線平動和曲線平動平動，包括直線平動和曲線平動(2) (2) 定軸轉動定軸轉動(3) (3) 平面運動平面運動(4) (4) 定點轉動定點轉動理論力學5直線平動直線平動曲線平動曲

4、線平動運動學的研究對象及其運動形式運動學的研究對象及其運動形式理論力學6定軸轉動定軸轉動運動學的研究對象及其運動形式運動學的研究對象及其運動形式平面運動平面運動理論力學7運動學的研究對象及其運動形式運動學的研究對象及其運動形式定點轉動定點轉動理論力學8運動的描述方法運動的描述方法運動的描述方法可分為運動的描述方法可分為幾何法幾何法和和分析法分析法兩種形式。兩種形式。 幾何法幾何法建立各瞬時描述運動的矢徑、速度、加速度建立各瞬時描述運動的矢徑、速度、加速度等各矢量之間的幾何關系，適合于研究某一特定瞬時的運等各矢量之間的幾何關系，適合于研究某一特定瞬時的運動性質，形象直觀，也便于作定性分析動性質，

5、形象直觀，也便于作定性分析 分析法分析法 則從建立運動方程出發(fā)，通過數學推導獲得則從建立運動方程出發(fā)，通過數學推導獲得速度、加速度及運動特性，適合于研究運動的時間歷程，速度、加速度及運動特性，適合于研究運動的時間歷程，也便于計算機求解。也便于計算機求解。理論力學9理論力學10能完成一定機械運動的裝置。能完成一定機械運動的裝置。 1. 多個實體的組合多個實體的組合 2. 各實體間具有確定的相對運動各實體間具有確定的相對運動 3. 能進行能量轉換或完成有效的機械功能進行能量轉換或完成有效的機械功機機器器理論力學11內燃機是機器，而其中的曲軸內燃機是機器，而其中的曲軸- -活塞系統則是機構?；钊到y

6、則是機構。理論力學12凸輪機構凸輪機構 由于高副是點、線接觸，故可傳遞較復雜的運動，由于高副是點、線接觸，故可傳遞較復雜的運動，但承載能力較差。但承載能力較差。兩齒輪間的嚙合兩齒輪間的嚙合理論力學13理論力學14 有時僅為表明機構組成情況和機構類型，可不嚴格有時僅為表明機構組成情況和機構類型，可不嚴格按比例繪制機構運動簡圖，這樣的簡圖稱為按比例繪制機構運動簡圖，這樣的簡圖稱為。 用簡單符號和線條代表運動構件，并按一定比例尺用簡單符號和線條代表運動構件，并按一定比例尺(scale)(scale)表示各構件與運動有關的尺寸及相對位置的簡表示各構件與運動有關的尺寸及相對位置的簡明圖形稱為明圖形稱為機

7、構運動簡圖。機構運動簡圖。理論力學15運動簡圖運動簡圖曲柄滑塊機構曲柄滑塊機構理論力學16運動簡圖運動簡圖四桿機構四桿機構理論力學17 可以理解為某個物體上的特定點； 大小可以略去不計的物體； 例如：曲柄滑塊機構中例如：曲柄滑塊機構中的的 A、B、M 。理論力學18例如：在所研究的情況中，大小可忽略的剛體。例如：在所研究的情況中，大小可忽略的剛體。理論力學19研究點運動時常用的三種方法：研究點運動時常用的三種方法：理論力學20OrrrP r = r (t) - -運動方程運動方程PP 點點P在運動過程中，其位置在運動過程中，其位置矢量的端點描繪出一條連續(xù)矢量的端點描繪出一條連續(xù)曲線曲線理論力學

8、21vrdtdrtrlimv0tPP r理論力學22vddvvlimattt0t 瞬時瞬時: 速度速度 v(t) v(t) v (t t ) v(t)點在點在 t 瞬時的加速度：瞬時的加速度： t 時間間隔內速度的改變量時間間隔內速度的改變量rdrda2 2tt t 瞬時瞬時:速度速度 v (t t ) 理論力學23不受約束的點在空間有不受約束的點在空間有 3個自由度個自由度，在直角坐標系中，在直角坐標系中，點在空間的位置由點在空間的位置由3個方程確定：個方程確定：x = f1(t)y = f2(t)z = f3(t)軌跡：軌跡：運動方程中消去時間參數運動方程中消去時間參數 t t 所得到的方

9、程。所得到的方程。kjirzyx理論力學24)ddkddjddi(k)ddjddidd(ddrvtztytxtztytxt在在Oxyz定參考系中有定參考系中有:ztzvytyvxtxvzyxdddddd, 點的速度矢量在直角坐標軸上的投影等于點的相應坐標點的速度矢量在直角坐標軸上的投影等于點的相應坐標對時間的一階導數。對時間的一階導數。0dkddjddidtttkddjddiddvtztytxkjizyxvvv理論力學25kjikjirvzyxvvvzyxzayaxazyx , 點的加速度矢量在直角坐標軸上的投影等于點的相應點的加速度矢量在直角坐標軸上的投影等于點的相應坐標對時間的二階導數。坐

10、標對時間的二階導數。kjikjivazyxaaazyx 理論力學26原點：原點：O弧坐標：弧坐標： s=s(t)Ps+-O 條件：點的軌跡已知條件：點的軌跡已知理論力學27M密切面密切面MM密切面密切面bn 自然軸系（自然軸系（游動坐標系游動坐標系）-主法線單位矢量主法線單位矢量n- -切向單位矢量切向單位矢量-副法線單位矢量副法線單位矢量bnb理論力學28MM密切面密切面 由于由于M點附近的微小弧段可以近似的看成為一條在密點附近的微小弧段可以近似的看成為一條在密切面內的平面曲線，因此切面內的平面曲線，因此對平面曲線而言，密切面就是該對平面曲線而言，密切面就是該曲線所在的平面曲線所在的平面。理

11、論力學29其中其中: :運動軌跡在運動軌跡在P P點處的點處的切向單位矢量切向單位矢量ddvstsvvdrds1lim0sstrddr速度表示：速度表示：v 和和 分別表示速度的分別表示速度的大小大小與與方向方向。ddddrddrvstsst理論力學30根據加速度的定義以及弧坐標中速度的表達式根據加速度的定義以及弧坐標中速度的表達式tvtvvttdddddddvda)(tdd理論力學31122sinlim0limdd02sinlim20ndds理論力學321ddddddvststd1ds曲 率其中：其中：nddnddddddvtt理論力學33M密切面密切面ndda2vtv切向加速度切向加速度表

12、示速度表示速度矢量大小的變化率；矢量大小的變化率；法向加速度法向加速度表示速度表示速度矢量方向的變化率；矢量方向的變化率；tvtvvttdddddddvda)(bnvana理論力學34 思考：思考：點沿著一螺旋線自外向內運動。點所走過的點沿著一螺旋線自外向內運動。點所走過的弧長與時間的一次方成正比。請判斷點的運動性質：弧長與時間的一次方成正比。請判斷點的運動性質：(A) 越跑越快；越跑越快；(C) 加速度越來越大；加速度越來越大；(D) 加速度越來越小。加速度越來越小。(B) 越跑越慢；越跑越慢；是常數kktts)(kstdsv20vadtdvan理論力學35 思考：思考：點作曲線運動。請判斷

13、：在圖示瞬時，圖點作曲線運動。請判斷：在圖示瞬時，圖中所示的幾種速度與加速度的可能性。中所示的幾種速度與加速度的可能性。ana理論力學36ACByOxMxy 例例1：橢圓規(guī)的曲柄橢圓規(guī)的曲柄OA可繞定軸可繞定軸O轉動，端轉動，端點點A以鉸鏈連接于規(guī)尺以鉸鏈連接于規(guī)尺BC；規(guī)尺上的點；規(guī)尺上的點B和和C可分別沿互相垂直的滑可分別沿互相垂直的滑槽運動，求規(guī)尺上任一槽運動，求規(guī)尺上任一點點M 的運動方程和軌跡的運動方程和軌跡方程。其中方程。其中已知已知: :.2bCMaABACOA理論力學37 sin cos)(bybax1)(2222bybax解解:考慮任意位置，考慮任意位置， M點的坐點的坐標標

14、 x，y可以表示成可以表示成ACByOxMxy消去上式中的角消去上式中的角 ，即得即得M點點的軌跡方程的軌跡方程: :理論力學38 例例5：已知如圖所示，在半徑為R 的鐵圈上套一小環(huán) ；另一直桿穿入小環(huán) 并繞鐵圈上A 軸作逆鐘向轉動，=t， =常量。 鐵圈固定不動.求：(1) 以鐵圈為參考系， 分別用直角坐標法和自 然法寫出小環(huán) 的運 動方程，并求其速度和 加速度； (2) 以桿AB 為參考系，求小環(huán) 的運動方程、速度和加速度。理論力學39 問題()解法一：直角坐標法 取直角坐標系oxy 如圖，則 運動方程運動方程: cos(2 )cos(2)sin(2 )sin(2)xRRtyRRt222x

15、yR軌跡軌跡速度速度222sin(2)2cos(2)2cos( , )sin(2)cos(902)xyxyxvxRtvyRtvvvRvvtt v iv即 v 與 OM 垂直理論力學40v加速度：加速度：222224cos(2)4sin(2)4cos( , )cos(2)cos(1802)xxyyxyxavxRtavyRtaaaRaatt a i即即 沿沿OM， 由由M 指向指向O 點。點。a理論力學41切向加速度切向加速度： 法向加速度法向加速度： 問題()解法二： 自然法如圖所示，以O1點為參考點，逆鐘向為正。弧坐標弧坐標 : 速度速度： ( )(2 )2SS tRR22vSRR0avS22

16、4nvaRR理論力學42全加速度：全加速度：2224naaaR可見：可見：直角坐標法與自然法計算結果完全相同。直角坐標法與自然法計算結果完全相同。方向由方向由M 指向指向O 點點.a理論力學43問題(2)解：以桿AB 為參考系，研究小環(huán)M 的運動。可見：小環(huán)可見：小環(huán)M 相對鐵圈（固定參考系）做勻速圓周運動，相對鐵圈（固定參考系）做勻速圓周運動， 相對桿相對桿AB（運動參考系）（運動參考系） 則作變速直線運則作變速直線運動。動。加速度速度運動方程：（直線運動）2 cos2 cos()AMRRt2sin()rdAMvRtdt 22cos()rrdvaRtdt 思考: 速度、加速度方向？理論力學4

17、4 剛體的基本運動，包括剛體的基本運動，包括平移和定軸轉動平移和定軸轉動。這是工程中。這是工程中最常見的運動，也是研究剛體復雜運動的基礎。最常見的運動，也是研究剛體復雜運動的基礎。 如果在剛體內任取一直線，如果在剛體內任取一直線，在運動過程中這條直線始終在運動過程中這條直線始終與它的初始位置平行，這種與它的初始位置平行，這種運動稱為運動稱為。理論力學45理論力學46 剛體在運動時，其中有兩剛體在運動時，其中有兩點保持不動，則稱這種運動點保持不動，則稱這種運動為為剛體繞定軸的轉動剛體繞定軸的轉動。簡稱簡稱剛體的轉動。剛體的轉動。 通過這兩個固定點的一條不動的直線，稱為剛體通過這兩個固定點的一條不

18、動的直線，稱為剛體的的轉軸或軸線轉軸或軸線。理論力學47由定義可知：由定義可知：rBA為常矢量。為常矢量。特點：同一瞬時，剛體上各點的速度相同，各點的加速度特點：同一瞬時，剛體上各點的速度相同，各點的加速度也相同。也相同。結論：結論：研究平移剛體的運動可歸結為研究點的運動。研究平移剛體的運動可歸結為研究點的運動。zOxyAB1A1B2A2BAaAvBaArBr剛體運動時，其上任意直線永遠平行于剛體運動時，其上任意直線永遠平行于其初始位置。其初始位置。BvBABArrr0tBAddrBArrBAvvBAaa理論力學48xy rad轉動規(guī)律轉角：t22rad/skddddddttt2角加速度：方向

19、符合右手螺旋法則kddt剛體運動時，若其上（或其擴展部分）有剛體運動時，若其上（或其擴展部分）有一條直線始終保持不動一條直線始終保持不動rad/sddt角速度：r/min602轉速nn 軸線上各點的速度和加速度均恒為零，軸線上各點的速度和加速度均恒為零，其它各點均圍繞軸線作圓周運動。其它各點均圍繞軸線作圓周運動。理論力學49 xyzORM0MssoRM0MRs RRsv22nRRvaRRva2n422n2tanaaRaaavaana理論力學50Rs RRsvsoRM0Mv 每一瞬時，每一瞬時，定軸轉動剛體內各點的速度大小與該定軸轉動剛體內各點的速度大小與該點到轉軸的距離點到轉軸的距離R呈正比；

20、方向與呈正比；方向與R相垂直且與相垂直且與 轉轉向一致。向一致。速度和加速度的分布速度和加速度的分布理論力學5122nRRvaRRva2n422n2tanaaRaaasoRM0Maana 每一瞬時，每一瞬時，定軸轉動剛體內各點的定軸轉動剛體內各點的加速度大小與該點到轉軸的距離加速度大小與該點到轉軸的距離R呈呈正比；方向一致且與正比；方向一致且與R夾角相等。夾角相等。速度和加速度的分布速度和加速度的分布理論力學52速度和加速度的矢量表示速度和加速度的矢量表示繞定軸轉動的剛體的角速度、角加速度可以用矢量表示。繞定軸轉動的剛體的角速度、角加速度可以用矢量表示。角速度矢角速度矢 k角加速度矢角加速度矢

21、 kkkdtddtd)(理論力學53速度和加速度的矢量表示速度和加速度的矢量表示 則剛體內任一點的速度、加速度都可以用上述角速度、則剛體內任一點的速度、加速度都可以用上述角速度、角加速度的矢積表示。角加速度的矢積表示。rsinrRvrv定軸轉動剛體上任一點的速度矢等于剛體的角速度矢叉乘該點矢徑。定軸轉動剛體上任一點的速度矢等于剛體的角速度矢叉乘該點矢徑。理論力學54速度和加速度的矢量表示速度和加速度的矢量表示naavra這種表示簡潔，常用于理論推導。理論力學55 例例4: 已知：已知：O1A O2B l；O1A桿的角速度桿的角速度 和角加速和角加速度度 。指出。指出C點的運動軌跡，并求出速度和

22、加速度。點的運動軌跡，并求出速度和加速度。解：解：板運動過程中，其上任板運動過程中，其上任意直線始終平行于它的初始意直線始終平行于它的初始位置。因此，板作平移。位置。因此，板作平移。C點的運動軌跡與點的運動軌跡與A、B兩兩點的運動軌跡形狀相同，即點的運動軌跡形狀相同，即以以O點為圓心點為圓心l為半徑的圓弧為半徑的圓弧線線。lvvAC42 lACaa2n2)()(AAaa222)()(ll理論力學56AOM 例例6：滑輪的半徑滑輪的半徑 r =0.2m，可，可繞水平軸繞水平軸O轉動，輪緣上纏有不轉動，輪緣上纏有不可伸長的細繩，繩的一端掛有物可伸長的細繩，繩的一端掛有物體體A，已知滑輪繞軸，已知滑

23、輪繞軸O的轉動規(guī)的轉動規(guī)律律 =0.15t3 ，其中，其中t以以s計，角度計，角度以以rad計，試求計，試求 t =2s時輪緣上時輪緣上M點和物體點和物體A的速度和加速度。的速度和加速度。 理論力學57解：解：首先根據滑輪的轉動規(guī)律，求首先根據滑輪的轉動規(guī)律，求得它的角速度和角加速度得它的角速度和角加速度245. 0tt 9 . 0 代入代入 t =2 s， 得得, srad 8 . 112srad 8 . 1輪緣上輪緣上 M 點上在點上在 t =2 s 時的速度為時的速度為 sm 136. 0rvMvMAOM理論力學58AOM加速度的兩個分量加速度的兩個分量2sm 36. 0ra22nsm 648. 0ra全加速度全加速度 aM 的大小和方向的大小和方向 sm n222741. 0aaaM,556. 0 tan229aanaM理論力學59 因為物體因為物體A與輪緣上與輪緣上M點的運點的運動不同，前者作直線運動，而后動不同，前者作直線運動，而后者作圓周運動，