第八章采樣系統(tǒng)

1、 第八章第八章 采樣控制系統(tǒng)采樣控制系統(tǒng) 8 81 1 采樣控制系統(tǒng)的基本概念采樣控制系統(tǒng)的基本概念 在此以前所討論的控制系統(tǒng)，系統(tǒng)中的物理量都是時(shí)間的連在此以前所討論的控制系統(tǒng)，系統(tǒng)中的物理量都是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)續(xù)函數(shù)( (即在任意時(shí)間的瞬時(shí)，都有對(duì)應(yīng)的物理量值，這種物即在任意時(shí)間的瞬時(shí)，都有對(duì)應(yīng)的物理量值，這種物理量稱為連續(xù)量或摸擬量理量稱為連續(xù)量或摸擬量) )，這樣的系統(tǒng)也稱為連續(xù)控制系統(tǒng)，這樣的系統(tǒng)也稱為連續(xù)控制系統(tǒng)或模擬控制系統(tǒng)。但在人類活動(dòng)威生產(chǎn)過(guò)程中，也有這樣的物或模擬控制系統(tǒng)。但在人類活動(dòng)威生產(chǎn)過(guò)程中，也有這樣的物理量，它雖是時(shí)間函數(shù)，但只有在特定時(shí)刻才有對(duì)應(yīng)的物理量理量，它雖是

2、時(shí)間函數(shù)，但只有在特定時(shí)刻才有對(duì)應(yīng)的物理量值，這樣的物理量稱為時(shí)間的離散量。離散量可以是自然產(chǎn)生值，這樣的物理量稱為時(shí)間的離散量。離散量可以是自然產(chǎn)生的，如煉鋼爐的鋼產(chǎn)量，只有在出爐時(shí)間才有量值，而在煉制的，如煉鋼爐的鋼產(chǎn)量，只有在出爐時(shí)間才有量值，而在煉制時(shí)就沒(méi)有量值，也可以人為產(chǎn)生的，如電表測(cè)量的是摸擬量，時(shí)就沒(méi)有量值，也可以人為產(chǎn)生的，如電表測(cè)量的是摸擬量，而定時(shí)抄錄的電量值就是離散量，這種定時(shí)抄錄稱為采樣，由而定時(shí)抄錄的電量值就是離散量，這種定時(shí)抄錄稱為采樣，由此得出的量值叫采樣值。離散量又可分為兩種，一種是隨意的此得出的量值叫采樣值。離散量又可分為兩種，一種是隨意的脈沖量，一種是經(jīng)量

3、化的有規(guī)則的數(shù)碼或稱數(shù)字量?？刂葡到y(tǒng)脈沖量，一種是經(jīng)量化的有規(guī)則的數(shù)碼或稱數(shù)字量?？刂葡到y(tǒng)中只要有一個(gè)以上的物理量是離散量，就稱這個(gè)系統(tǒng)為離散系中只要有一個(gè)以上的物理量是離散量，就稱這個(gè)系統(tǒng)為離散系統(tǒng)或采樣控制系統(tǒng)，有時(shí)候把離散量是數(shù)字量的系統(tǒng)稱為數(shù)字統(tǒng)或采樣控制系統(tǒng)，有時(shí)候把離散量是數(shù)字量的系統(tǒng)稱為數(shù)字控制系統(tǒng)?？刂葡到y(tǒng)。xoBox 典型的采樣控制系統(tǒng)方框典型的采樣控制系統(tǒng)方框圖如圖圖如圖8 81 1所示。其中，誤所示。其中，誤差差e e是時(shí)間的是時(shí)間的連續(xù)信號(hào)，經(jīng)過(guò)連續(xù)信號(hào)，經(jīng)過(guò)采樣時(shí)間為采樣時(shí)間為T T的的采樣開(kāi)關(guān)采樣開(kāi)關(guān)之后，之后，變成一組脈沖序列變成一組脈沖序列e e* *，脈沖脈沖

4、控制器將離散的誤差信號(hào)處控制器將離散的誤差信號(hào)處理后，得到離散的控制信號(hào)，理后，得到離散的控制信號(hào)，該信號(hào)經(jīng)保持器變換為連續(xù)該信號(hào)經(jīng)保持器變換為連續(xù)信號(hào)去控制被控對(duì)象。采樣信號(hào)去控制被控對(duì)象。采樣開(kāi)關(guān)每隔時(shí)間開(kāi)關(guān)每隔時(shí)間T T開(kāi)閉一次，每開(kāi)閉一次，每次閉合時(shí)間為次閉合時(shí)間為，則，則稱稱T T為采為采樣周期，樣周期，為采樣時(shí)間，為采樣時(shí)間， T T，f f s s1/T1/T，s s2/T2/T分別成為采樣頻率和采樣分別成為采樣頻率和采樣角頻率。角頻率。這樣圖這樣圖8-2 a8-2 a所示模擬量所示模擬量e e被采樣后變成了圖被采樣后變成了圖8-2 b8-2 b所所示的脈沖序列示的脈沖序列e e

5、* *。本圖中，采樣周期。本圖中，采樣周期T T是固定的，我們稱為等是固定的，我們稱為等周期采樣，另外還有多階采樣、多速采樣、及隨機(jī)采樣等，周期采樣，另外還有多階采樣、多速采樣、及隨機(jī)采樣等，本書只介紹常用的等周期采樣。本書只介紹常用的等周期采樣。 xoBox從圖中可以看出，采樣后為脈沖序列，每個(gè)脈沖之間有一從圖中可以看出，采樣后為脈沖序列，每個(gè)脈沖之間有一段無(wú)信號(hào)的時(shí)間間隔，在這段時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)工作在開(kāi)環(huán)狀態(tài)。段無(wú)信號(hào)的時(shí)間間隔，在這段時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)工作在開(kāi)環(huán)狀態(tài)。若常用周期若常用周期T T過(guò)大，則包含在被采樣信號(hào)中的大量信息將因采過(guò)大，則包含在被采樣信號(hào)中的大量信息將因采樣而丟失，因此樣而丟失，因

6、此T T是越小越好，但是是越小越好，但是T T過(guò)小，若脈沖控制器的過(guò)小，若脈沖控制器的運(yùn)算速度不夠高的話，就會(huì)造成系統(tǒng)嚴(yán)重失真，甚至不穩(wěn)定。運(yùn)算速度不夠高的話，就會(huì)造成系統(tǒng)嚴(yán)重失真，甚至不穩(wěn)定。因此保證系統(tǒng)不嚴(yán)重失真而允許的最大采樣周期，是一個(gè)采因此保證系統(tǒng)不嚴(yán)重失真而允許的最大采樣周期，是一個(gè)采樣系統(tǒng)首先要解決的問(wèn)題。下面我們就介紹解決這一問(wèn)題的樣系統(tǒng)首先要解決的問(wèn)題。下面我們就介紹解決這一問(wèn)題的采樣定理。采樣定理。 8-2 8-2 采樣定理采樣定理前節(jié)已經(jīng)提到過(guò)，連續(xù)信號(hào)前節(jié)已經(jīng)提到過(guò)，連續(xù)信號(hào)e e經(jīng)采樣后的離散信號(hào)經(jīng)采樣后的離散信號(hào)e e* *為一脈為一脈沖序列。如果采樣所得的脈沖序列

7、的脈沖持續(xù)時(shí)間沖序列。如果采樣所得的脈沖序列的脈沖持續(xù)時(shí)間極短，極短，以至遠(yuǎn)小于采樣周期及系統(tǒng)連續(xù)部分的時(shí)間常數(shù)，那么就可以至遠(yuǎn)小于采樣周期及系統(tǒng)連續(xù)部分的時(shí)間常數(shù)，那么就可以以認(rèn)為認(rèn)為趨近于零。趨近于零。在這種情況下，在這種情況下，采樣過(guò)程可看成一個(gè)理采樣過(guò)程可看成一個(gè)理想單位脈沖序列發(fā)生器對(duì)模擬信號(hào)的脈沖調(diào)制過(guò)程。想單位脈沖序列發(fā)生器對(duì)模擬信號(hào)的脈沖調(diào)制過(guò)程。設(shè)單位設(shè)單位脈沖序列發(fā)生器產(chǎn)生的單位脈沖序列脈沖序列發(fā)生器產(chǎn)生的單位脈沖序列T T（t t）如圖）如圖8 83 3所示所示，則，則T T（t t）的數(shù)學(xué)表達(dá)式）的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 xoBox式中式中 T T采樣周期采樣周期 n n整數(shù)整數(shù)

8、脈沖調(diào)制器（采樣器）的輸出信脈沖調(diào)制器（采樣器）的輸出信號(hào)號(hào)e e* *(t)(t)可表示為可表示為）（1-8 )()(nTnTtt）（2-8 )()()()()(*nTnTttettete）（3-8 )()( )()()(*00nnnTtnTenTttete）（4-8 )( )(*)(*0nnTsenTesEteL 在控制系統(tǒng)中，當(dāng)在控制系統(tǒng)中，當(dāng)t t0 0時(shí)。時(shí)。e e（t t）0 0。因此式（。因此式（8-28-2）可以）可以改寫為改寫為 對(duì)式（對(duì)式（8-38-3）取拉氏變換得）取拉氏變換得xoBox 為了建立為了建立 與與E(s)E(s)的關(guān)系，可求周期函數(shù)的關(guān)系，可求周期函數(shù)T T

9、（t t）的富）的富氏級(jí)數(shù)，其復(fù)數(shù)形式為氏級(jí)數(shù)，其復(fù)數(shù)形式為式中式中 富氏系數(shù)富氏系數(shù) 這樣，式（這樣，式（8-28-2）可以寫成下式）可以寫成下式 對(duì)上式的兩邊前拉氏變換，并由拉氏變換的復(fù)數(shù)位移定理可對(duì)上式的兩邊前拉氏變換，并由拉氏變換的復(fù)數(shù)位移定理可得得 式（式（8-78-7）表明）表明 是是s s的周期性函數(shù)。通常的周期性函數(shù)。通常 的全部的全部極點(diǎn)均位于極點(diǎn)均位于s s平面的左半平面，因此，將平面的左半平面，因此，將s sjj代入式（代入式（8-78-7），），則可以得到則可以得到e e* *(t)(t)的頻譜，的頻譜，即即）（5-8 )(nsnTtjneCtTdttjnetTCsTn

10、1)(1）（6-8 1)()()()(*nsTtjneTtettete）（7-8 )(1)(*nsjnsETsE)(* sE)(* sE)(* sExoBox）（8-8 )(1)(*nsjnjETjE 該式反映了離散信號(hào)頻譜與對(duì)應(yīng)連該式反映了離散信號(hào)頻譜與對(duì)應(yīng)連續(xù)信號(hào)頻譜之間的關(guān)系。設(shè)連續(xù)信號(hào)續(xù)信號(hào)頻譜之間的關(guān)系。設(shè)連續(xù)信號(hào)頻譜為有限帶寬頻譜，其最大頻率為頻譜為有限帶寬頻譜，其最大頻率為m m，如圖，如圖8-48-4所示。則采樣后離散信所示。則采樣后離散信號(hào)的頻譜如圖號(hào)的頻譜如圖8-58-5所示，離散信號(hào)的頻所示，離散信號(hào)的頻譜中，譜中，n n0 0的部分稱為主頻譜，它與的部分稱為主頻譜，它與

11、連續(xù)信號(hào)頻譜是對(duì)應(yīng)的，另外，連續(xù)信號(hào)頻譜是對(duì)應(yīng)的，另外， 還包含了無(wú)窮多個(gè)高頻頻譜，如果還包含了無(wú)窮多個(gè)高頻頻譜，如果采采樣頻率樣頻率s s22m m，則，則 的主頻的主頻譜與高頻頻譜之間互不重疊，譜與高頻頻譜之間互不重疊，如圖如圖8-8-5a5a所示，因此，可以通過(guò)圖中所示，因此，可以通過(guò)圖中虛線所虛線所示的低通濾波器，示的低通濾波器，濾掉所有的高頻頻濾掉所有的高頻頻譜，只保留主頻譜，從而，可以譜，只保留主頻譜，從而，可以將離將離散信號(hào)不失真地還原為原來(lái)的連續(xù)信散信號(hào)不失真地還原為原來(lái)的連續(xù)信號(hào)。號(hào)。)(*jE)(*jExoBox 如果采樣頻率如果采樣頻率s s22m m，如圖，如圖8-5b

12、8-5b所示，主頻譜與附加高所示，主頻譜與附加高頻頻譜出現(xiàn)相互重疊時(shí)的情況。在這種情況下，就不可能利頻頻譜出現(xiàn)相互重疊時(shí)的情況。在這種情況下，就不可能利用濾波方法來(lái)無(wú)畸變地復(fù)現(xiàn)采樣前的連續(xù)信號(hào)了。用濾波方法來(lái)無(wú)畸變地復(fù)現(xiàn)采樣前的連續(xù)信號(hào)了。 從上面的分析可知，采樣系統(tǒng)為了能使采樣后的信號(hào)得到從上面的分析可知，采樣系統(tǒng)為了能使采樣后的信號(hào)得到復(fù)現(xiàn)，從而確?？刂凭?，應(yīng)該使復(fù)現(xiàn)，從而確?？刂凭?，應(yīng)該使采樣頻率大于兩倍連續(xù)信采樣頻率大于兩倍連續(xù)信號(hào)頻譜中的最高頻率，這就稱為采樣定理。號(hào)頻譜中的最高頻率，這就稱為采樣定理。 采樣定理的物理意義是，采樣頻率越高，就是采樣周期越采樣定理的物理意義是，采樣

13、頻率越高，就是采樣周期越小，故采樣越細(xì)密，采樣的精度就越高，就能充分反映連續(xù)小，故采樣越細(xì)密，采樣的精度就越高，就能充分反映連續(xù)信號(hào)變化的所有信息，因此就可以按要求復(fù)現(xiàn)。反之，采樣信號(hào)變化的所有信息，因此就可以按要求復(fù)現(xiàn)。反之，采樣頻率低，不能反映信息的全部變化情況，即由于在兩個(gè)采樣頻率低，不能反映信息的全部變化情況，即由于在兩個(gè)采樣時(shí)刻之間的連續(xù)信號(hào)變化較大，而這種變化未能在采樣信號(hào)時(shí)刻之間的連續(xù)信號(hào)變化較大，而這種變化未能在采樣信號(hào)中得到反映，故就不能按一定精度復(fù)現(xiàn)原連續(xù)信號(hào)。中得到反映，故就不能按一定精度復(fù)現(xiàn)原連續(xù)信號(hào)。 需要指出，實(shí)際的非周期函數(shù)，其頻譜中的最高頻率是無(wú)需要指出，實(shí)際的

14、非周期函數(shù)，其頻譜中的最高頻率是無(wú)限的，不過(guò)由于高頻分量的幅值不大，因此通過(guò)低通濾波后限的，不過(guò)由于高頻分量的幅值不大，因此通過(guò)低通濾波后的信號(hào)基本上能復(fù)現(xiàn)。的信號(hào)基本上能復(fù)現(xiàn)。xoBox 在這種情況下，選擇采樣頻率所依據(jù)的在這種情況下，選擇采樣頻率所依據(jù)的最高頻率怎么確定最高頻率怎么確定呢呢? ?一般可先一般可先不考慮采樣開(kāi)關(guān)，按連續(xù)系統(tǒng)繪出開(kāi)環(huán)波得圖，不考慮采樣開(kāi)關(guān)，按連續(xù)系統(tǒng)繪出開(kāi)環(huán)波得圖，取取A A（）0.010.01，即，即 時(shí)的頻率為最大頻率時(shí)的頻率為最大頻率m m，則則采樣周期采樣周期T T為為dBLm40)(0 這樣選取采樣周期，連續(xù)信號(hào)的信息損失幾乎為零，故可這樣選取采樣周期

15、，連續(xù)信號(hào)的信息損失幾乎為零，故可將采樣系統(tǒng)看成連續(xù)系統(tǒng)來(lái)分析，將采樣系統(tǒng)看成連續(xù)系統(tǒng)來(lái)分析，其結(jié)果非常近似。當(dāng)然，其結(jié)果非常近似。當(dāng)然，若數(shù)字控制器的運(yùn)算速度較慢，也可按若數(shù)字控制器的運(yùn)算速度較慢，也可按m m1010c c（甚至更低（甚至更低，c c為剪切頻率）來(lái)確定采樣周期，但是，這樣有可能使信為剪切頻率）來(lái)確定采樣周期，但是，這樣有可能使信號(hào)失真嚴(yán)重，系統(tǒng)性能指標(biāo)變差，因此，要用采樣系統(tǒng)分析號(hào)失真嚴(yán)重，系統(tǒng)性能指標(biāo)變差，因此，要用采樣系統(tǒng)分析方法仔細(xì)分析、校正，才能使系統(tǒng)到達(dá)較好的性能指標(biāo)。方法仔細(xì)分析、校正，才能使系統(tǒng)到達(dá)較好的性能指標(biāo)。 8-3 8-3 采樣信號(hào)的復(fù)現(xiàn)采樣信號(hào)的復(fù)現(xiàn)

16、連續(xù)信號(hào)經(jīng)采樣和運(yùn)算后，輸出為一串脈沖信號(hào)，如果不連續(xù)信號(hào)經(jīng)采樣和運(yùn)算后，輸出為一串脈沖信號(hào)，如果不把這串脈沖信號(hào)復(fù)現(xiàn)成連續(xù)信號(hào)，則將給系統(tǒng)帶來(lái)嚴(yán)重失真把這串脈沖信號(hào)復(fù)現(xiàn)成連續(xù)信號(hào)，則將給系統(tǒng)帶來(lái)嚴(yán)重失真，系統(tǒng)性能指標(biāo)發(fā)生很大改變，特別是系統(tǒng)的快速性會(huì)大幅，系統(tǒng)性能指標(biāo)發(fā)生很大改變，特別是系統(tǒng)的快速性會(huì)大幅）（9-8 mTxoBox低。因此，要想完整地復(fù)現(xiàn)采樣信號(hào)，就必須在滿足采樣定低。因此，要想完整地復(fù)現(xiàn)采樣信號(hào)，就必須在滿足采樣定理的條件下，通過(guò)圖理的條件下，通過(guò)圖8-5a8-5a中虛線所示理想濾波器將采樣信號(hào)中虛線所示理想濾波器將采樣信號(hào)頻譜中的附加高頻頻譜分量去掉。就可不失真的再現(xiàn)連續(xù)

17、信頻譜中的附加高頻頻譜分量去掉。就可不失真的再現(xiàn)連續(xù)信號(hào)。當(dāng)然理想濾波器實(shí)際上是不存在的。因此，在工程上通號(hào)。當(dāng)然理想濾波器實(shí)際上是不存在的。因此，在工程上通常用具有低通濾波特性的零階保持器來(lái)近似代替。常用具有低通濾波特性的零階保持器來(lái)近似代替。 零階保持器零階保持器是采用是采用恒值外推恒值外推的的工作方法，它把前一個(gè)時(shí)刻工作方法，它把前一個(gè)時(shí)刻nTnT的的采樣信號(hào)采樣信號(hào)e(nTe(nT) )不增不減地一直不增不減地一直保持到下一個(gè)采樣時(shí)刻（保持到下一個(gè)采樣時(shí)刻（n+1n+1）T T，從而使從而使采樣信號(hào)變成階梯信號(hào)，采樣信號(hào)變成階梯信號(hào)，如圖如圖8 86 6所示。所示。 由圖可見(jiàn)，再現(xiàn)出的

18、信號(hào)與原連續(xù)信號(hào)是由圖可見(jiàn)，再現(xiàn)出的信號(hào)與原連續(xù)信號(hào)是有較大差別的，它有較大差別的，它包含著高次諧波。包含著高次諧波。若將梯形輸出信號(hào)各中若將梯形輸出信號(hào)各中點(diǎn)連接起來(lái)，可得到一條比原連續(xù)信號(hào)遲后點(diǎn)連接起來(lái)，可得到一條比原連續(xù)信號(hào)遲后T/2T/2的曲線，據(jù)此的曲線，據(jù)此可以直觀地看出零階保持器的可以直觀地看出零階保持器的遲后特性遲后特性。xoBox)( 1)( 1)(Ttttgh）（10-8 1)(sesGTsh）（11-8 2)( T/2T/2)sin(T)( 1)(TjGjGjejGhhTjh 為了以后分析的需要，現(xiàn)推導(dǎo)出零階保持器的傳遞函數(shù)和為了以后分析的需要，現(xiàn)推導(dǎo)出零階保持器的傳遞函

19、數(shù)和頻率特性。頻率特性。零階保持器的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)為零階保持器的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)為 由于單位脈沖響應(yīng)的拉氏變換就是傳遞函數(shù)，故對(duì)上式取由于單位脈沖響應(yīng)的拉氏變換就是傳遞函數(shù)，故對(duì)上式取拉氏變換可得拉氏變換可得零階保持器的傳遞函數(shù)為零階保持器的傳遞函數(shù)為 零階保持器的頻率特性為零階保持器的頻率特性為xoBox 繪出零階保持器的頻率特性如圖繪出零階保持器的頻率特性如圖8-78-7所示，其幅值隨頻率增所示，其幅值隨頻率增高而衰減，因此它是一個(gè)低通濾波器。但不是理想濾波器，高而衰減，因此它是一個(gè)低通濾波器。但不是理想濾波器，它除了允許主頻譜通過(guò)以外，還通過(guò)了一部分高頻分量。因它除了允許主頻譜通過(guò)以外

20、，還通過(guò)了一部分高頻分量。因此，零階保特器所復(fù)現(xiàn)的信號(hào)并不是毫無(wú)畸變的，另外，從此，零階保特器所復(fù)現(xiàn)的信號(hào)并不是毫無(wú)畸變的，另外，從相頻特性上可以看到，零階保持器還會(huì)產(chǎn)生相位滯后。因此，相頻特性上可以看到，零階保持器還會(huì)產(chǎn)生相位滯后。因此，零階保持器的引入會(huì)給系統(tǒng)的穩(wěn)定性帶來(lái)不利的影響。零階保持器的引入會(huì)給系統(tǒng)的穩(wěn)定性帶來(lái)不利的影響。 除了零階保持器以外，還可以有一階、二階等保持器，但除了零階保持器以外，還可以有一階、二階等保持器，但由于它們實(shí)現(xiàn)起來(lái)比較復(fù)雜，相位滯后比零階保持器更大，由于它們實(shí)現(xiàn)起來(lái)比較復(fù)雜，相位滯后比零階保持器更大，故很少應(yīng)用。故很少應(yīng)用。采樣信號(hào)通過(guò)零階保持器后高頻分量已

21、大大降低，采樣信號(hào)通過(guò)零階保持器后高頻分量已大大降低，又考慮又考慮到到控制對(duì)象一般都具有低通濾波特性控制對(duì)象一般都具有低通濾波特性的作用，致使采樣帶來(lái)的作用，致使采樣帶來(lái)的高頻分量對(duì)系統(tǒng)輸出的影響很小。另外，的高頻分量對(duì)系統(tǒng)輸出的影響很小。另外，若若s sm m，則則采樣信號(hào)的高頻分量集中在保持器幅值近似為零的采樣信號(hào)的高頻分量集中在保持器幅值近似為零的nns s（n n1 1、2 2）附近，如圖）附近，如圖8-78-7虛線所示，這樣，采用信號(hào)的高頻虛線所示，這樣，采用信號(hào)的高頻分量也將被大幅衰減。也就是說(shuō)，圖分量也將被大幅衰減。也就是說(shuō)，圖8-68-6中矩形脈沖越多，還中矩形脈沖越多，還原出

22、來(lái)的信號(hào)與原信號(hào)誤差越小，相位遲后也越小。原出來(lái)的信號(hào)與原信號(hào)誤差越小，相位遲后也越小。xoBox 另外，從式（另外，從式（8-78-7）可以知道，）可以知道，采樣后連續(xù)信號(hào)幅值被乘以采樣后連續(xù)信號(hào)幅值被乘以1/T1/T，若不加零階保持器則計(jì)算結(jié)果將與實(shí)際系統(tǒng)不符。若不加零階保持器則計(jì)算結(jié)果將與實(shí)際系統(tǒng)不符。加入加入零階保持器后連續(xù)信號(hào)幅值被乘以零階保持器后連續(xù)信號(hào)幅值被乘以T T，正好和采樣引起的幅值正好和采樣引起的幅值變化相抵消，即變化相抵消，即系統(tǒng)的等效開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)不變。系統(tǒng)的等效開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)不變。 由于當(dāng)今計(jì)算機(jī)的價(jià)格已經(jīng)較低，且運(yùn)算速度很快，所以由于當(dāng)今計(jì)算機(jī)的價(jià)格已經(jīng)較低，且運(yùn)算速

23、度很快，所以工業(yè)數(shù)字控制系統(tǒng)均采用計(jì)算機(jī)作為脈沖控制器，其工業(yè)數(shù)字控制系統(tǒng)均采用計(jì)算機(jī)作為脈沖控制器，其數(shù)數(shù)/ /模轉(zhuǎn)模轉(zhuǎn)換電路就相當(dāng)于一個(gè)零階保持器，而模換電路就相當(dāng)于一個(gè)零階保持器，而模/ /數(shù)轉(zhuǎn)換電路就相當(dāng)于數(shù)轉(zhuǎn)換電路就相當(dāng)于一個(gè)采樣開(kāi)關(guān)。一個(gè)采樣開(kāi)關(guān)。計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)可以取較大的采樣頻率計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)可以取較大的采樣頻率s s，故能很好地復(fù)現(xiàn)連續(xù)信號(hào)，使系統(tǒng)具有優(yōu)良的性能指標(biāo)。另故能很好地復(fù)現(xiàn)連續(xù)信號(hào)，使系統(tǒng)具有優(yōu)良的性能指標(biāo)。另外，計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)集成度很高，從而提高了系統(tǒng)的可靠性外，計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)集成度很高，從而提高了系統(tǒng)的可靠性，因此，計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)作為采樣控制系統(tǒng)的主流被廣泛應(yīng)，因

24、此，計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)作為采樣控制系統(tǒng)的主流被廣泛應(yīng)用于各種自動(dòng)化設(shè)備之中。用于各種自動(dòng)化設(shè)備之中。 8 84 4 差分方程和差分方程和Z Z變換變換xoBox一、差分方程一、差分方程 n n階線性連續(xù)系統(tǒng)被采樣離散化后，階線性連續(xù)系統(tǒng)被采樣離散化后，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可用系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可用n n階差分方程來(lái)描述，即階差分方程來(lái)描述，即式中式中 n n系統(tǒng)階數(shù)系統(tǒng)階數(shù) k k第第k k個(gè)采樣周期。個(gè)采樣周期。)() 1()( )() 1()(101krbmkrbmkrbkcankcankcmn 已知采樣系統(tǒng)的差分方程和初始條件已知采樣系統(tǒng)的差分方程和初始條件 ，則可用迭代法求得差分方程的時(shí)間解。，則可

25、用迭代法求得差分方程的時(shí)間解。)() 1 (ncc、 xoBoxdttrtc)()()()() 1(kTrTkTcTkc 2)()2()0()(0)0(TTTcTcTTcTccxoBox 但是，采樣一般系統(tǒng)的差分方程是很難求得但是，采樣一般系統(tǒng)的差分方程是很難求得的，用迭代法求得的差分方程的時(shí)間解又是脈的，用迭代法求得的差分方程的時(shí)間解又是脈沖序列，故直接用差分方程分析采樣系統(tǒng)是非沖序列，故直接用差分方程分析采樣系統(tǒng)是非常不方便的，通常是常不方便的，通常是將連續(xù)系統(tǒng)離散化后，對(duì)將連續(xù)系統(tǒng)離散化后，對(duì)傳遞函數(shù)進(jìn)行傳遞函數(shù)進(jìn)行Z變換，求出脈沖傳遞函數(shù)及輸變換，求出脈沖傳遞函數(shù)及輸出量的出量的Z變換

26、，再用變換，再用Z反變換的方法可求得采樣反變換的方法可求得采樣系統(tǒng)輸出的時(shí)間解。系統(tǒng)輸出的時(shí)間解。必要時(shí)必要時(shí)也可由脈沖傳遞函也可由脈沖傳遞函數(shù)求得采樣系統(tǒng)的差分方程。數(shù)求得采樣系統(tǒng)的差分方程。xoBox下面先介紹下面先介紹Z Z變換及變換及Z Z反變換反變換。二、二、Z Z變換的定義變換的定義 Z Z變換是拉氏變換的一種變形，是由采變換是拉氏變換的一種變形，是由采樣信號(hào)的拉氏變換演變而來(lái)的。樣信號(hào)的拉氏變換演變而來(lái)的。8 82 2中式（中式（8-48-4）給出的采）給出的采樣信號(hào)的拉氏變換為樣信號(hào)的拉氏變換為引入新的變量引入新的變量z z，并，并令令z ze eTSTS代入上式就得到代入上式

27、就得到采樣信號(hào)采樣信號(hào)e e* *(t)(t)的的Z Z變換變換E(z)E(z)為為式中式中 z z是用復(fù)數(shù)是用復(fù)數(shù)z z平面來(lái)定義的一個(gè)復(fù)變量，平面來(lái)定義的一個(gè)復(fù)變量，T T為采樣周期為采樣周期。上式就是。上式就是Z Z變換的定義。變換的定義。三、三、Z Z變換的求取變換的求取 Z Z變換的求取方法有：級(jí)數(shù)求和法、部變換的求取方法有：級(jí)數(shù)求和法、部分分式法及留數(shù)計(jì)算法等，其中以部分分式法最常用。分分式法及留數(shù)計(jì)算法等，其中以部分分式法最常用。 )( )(*)(*0nnTsenTesEteL）（12-8 )( )()( )(*0Ts0nnnnTsznTeezenTezEteZxoBox例例8-

28、1 8-1 求單位階躍函數(shù)的求單位階躍函數(shù)的Z Z變換。變換。解解 設(shè)設(shè)e(t)=1(t)e(t)=1(t)，則，則Z Z變換變換E(z)E(z)為為這是一個(gè)等比級(jí)數(shù)，這是一個(gè)等比級(jí)數(shù)， 時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，因此上式可以寫時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，因此上式可以寫成閉合形式成閉合形式用這樣的用這樣的級(jí)數(shù)求和級(jí)數(shù)求和的方法可以求出典型函數(shù)的的方法可以求出典型函數(shù)的Z Z變換，如表變換，如表8-18-1所示。所示。 表表8-18-1典型函數(shù)的典型函數(shù)的Z Z變換變換 zzz1)( 1 )(3210nnznTzE1z111 )(1zzzzE)(t)( 1 ts11zzxoBoxt21s2) 1( zzT2/2t31s3

29、2) 1(2) 1(zTzztae as 1Taezz tate 2)(1as 2 )(TaTaezzTeTta/aTsln)/1 (1)0( aazzt sin22s1 cos2 sin2TzzTzxoBoxt cos22ss1 cos2 cos22TzzTzztae 1)(assa)(1()1 ( TaTaezzezteta sin 22)( asTaTaTaeTzezTze 2 2 cos2 sinteta cos 22)(asasTaTaTaeTzezTezz 2 2 cos2) cos( 若函數(shù)是以拉氏變換形式若函數(shù)是以拉氏變換形式E(s)E(s)給出的，則可用給出的，則可用部分分式

30、法部分分式法將將E(s)E(s)分解成多個(gè)典型函數(shù)拉氏變換的代數(shù)和的形式，然后再查分解成多個(gè)典型函數(shù)拉氏變換的代數(shù)和的形式，然后再查對(duì)表對(duì)表8-18-1，求出，求出Z Z變換。變換。xoBox四、四、Z變換的基本定理變換的基本定理 與拉氏變換一樣，與拉氏變換一樣，Z變換也有變換也有幾個(gè)基本定理，熟悉這些基本定理，可以更加方便地幾個(gè)基本定理，熟悉這些基本定理，可以更加方便地應(yīng)用應(yīng)用Z變換。變換。1.線性定理線性定理2.遲后定理遲后定理 設(shè)設(shè)e（t）的）的Z變換為變換為E（z），則有），則有 )()()()(22112211zEazEateateaZ )()(zEznTteZnxoBox 遲后定理

31、說(shuō)明，原函數(shù)在時(shí)間域中延遲遲后定理說(shuō)明，原函數(shù)在時(shí)間域中延遲k k個(gè)采樣周期，相當(dāng)個(gè)采樣周期，相當(dāng)于其于其Z Z變換乘以變換乘以 。nz 3.3.終值定理終值定理設(shè)設(shè)e e（t t）的）的Z Z變換為變換為E E（z z），且），且 在以原點(diǎn)為圓心在以原點(diǎn)為圓心的單位圓上和圓外均無(wú)極點(diǎn)，則有的單位圓上和圓外均無(wú)極點(diǎn)，則有 4.4.初值定理初值定理設(shè)設(shè)e e（t t）的）的Z Z變換為變換為E E（z z），且），且 存在，則有存在，則有 5.5.超前定理超前定理設(shè)設(shè)e e（t t）的）的Z Z變換為變換為E E（z z），則有），則有)()1 (1zEz）（15-8 )() 1(lim)(*l

32、im1zEztezn）（16-8 )(lim)0(zEez）（17-8 )()()(10knnkkznTezzEzkTteZxoBox若若初始條件初始條件 ，則超前定理可表示為，則超前定理可表示為 6.6.復(fù)數(shù)偏移定理復(fù)數(shù)偏移定理設(shè)設(shè)e e（t t）的）的Z Z變換為變換為E E（z z），則有），則有7.7.卷積和定理卷積和定理設(shè)設(shè) 則有則有 式中式中, ,當(dāng)當(dāng)n n為負(fù)數(shù)時(shí)，為負(fù)數(shù)時(shí)， 0) 1()()0(TkeTee）（18-8 )()(zEzkTteZk）（20-8 )( )()(0nTrTnkgkTckn）（21-8 )()()(zRzGzC， )()( 0)()()(nTcZzCn

33、TrnTgnTc。， )()( )()(nTrZzRnTgZzG）（19-8 ) ( )( TataezEeteZxoBox例例8-2 8-2 求求 對(duì)應(yīng)時(shí)間函數(shù)的對(duì)應(yīng)時(shí)間函數(shù)的Z Z變換。變換。解解 ) 1(1)(sssE111) 1(1)(sssssE 查表查表8-18-1得得例例8-3 用用Z變換求積分環(huán)節(jié)變換求積分環(huán)節(jié) 的差分方程。的差分方程。為使信息不丟失，需加保持器，即：為使信息不丟失，需加保持器，即：結(jié)果與前面直接求的差分方程一樣。結(jié)果與前面直接求的差分方程一樣。)(1()1 (1)(TTTezzezezzzzzEssRsCsG1)()()(1) 1()1 (1)1 (11)()

34、(2121 zTzzTzsZzsseZzRzCTS)()() 1()()()(kTrTkTcTkczRTzCzzCxoBox五、五、Z反變換反變換 和拉氏反變換類似，和拉氏反變換類似，Z反變換可以表示為反變換可以表示為 Z Z反變換的方法有，長(zhǎng)除法、部分分式法及留數(shù)計(jì)算法等，反變換的方法有，長(zhǎng)除法、部分分式法及留數(shù)計(jì)算法等，其中以部分分式法最常用。其中以部分分式法最常用。 例例8-3 8-3 用用部分分式法部分分式法求求 的的Z Z反變換。反變換。 解解 用部分分式法將用部分分式法將E E（z z）展開(kāi)為）展開(kāi)為 式中式中 c c1 1、c c2 2為待定系數(shù)，由于典型函數(shù)的為待定系數(shù)，由于典

35、型函數(shù)的Z Z變換的分子上均變換的分子上均有一個(gè)有一個(gè)z z（脈沖函數(shù)除外），所以展開(kāi)時(shí)保留分子上的（脈沖函數(shù)除外），所以展開(kāi)時(shí)保留分子上的z z。查。查表表8-18-1，并由線性定理得，并由線性定理得Z Z反變換為反變換為）（22-8 )(*)(1tezEZ)2)(1(10)(zzzzE210110 21)2)(1(10)(21zzzzzzczzczzzzExoBox 例例8-4 8-4 用用長(zhǎng)除法長(zhǎng)除法求求 的的Z Z反變換。反變換。)3(70)2(30)(100 )() 12(10)(*) 12(10)(0TtTtTtnTttenTennn)2)(1(10)(zzzzE解解 用長(zhǎng)除法求得

36、用長(zhǎng)除法求得對(duì)上式取對(duì)上式取Z Z反變換為反變換為結(jié)果與例結(jié)果與例8-38-3一樣。一樣。21123110)2)(1(10)(zzzzzzzE321703010)(zzzzE)3(70)2(30)(100)(*TtTtTttexoBox從上例看出，長(zhǎng)除法求從上例看出，長(zhǎng)除法求Z Z反變換非常簡(jiǎn)單、方便，但是，反變換非常簡(jiǎn)單、方便，但是，求出的是離散函數(shù)的脈沖序列，要得到離散函數(shù)的閉合形式求出的是離散函數(shù)的脈沖序列，要得到離散函數(shù)的閉合形式是比較困難的。是比較困難的。 8 85 5 脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)一、基本概念一、基本概念 在線性連續(xù)系統(tǒng)理論中，把初始條件為零的情況下系統(tǒng)輸在線性連續(xù)系統(tǒng)

37、理論中，把初始條件為零的情況下系統(tǒng)輸出信號(hào)的拉普拉斯變換與輸入信號(hào)的拉普拉斯變換之比，定出信號(hào)的拉普拉斯變換與輸入信號(hào)的拉普拉斯變換之比，定義為傳遞函數(shù)。義為傳遞函數(shù)。 與此相類似，在線性采樣系統(tǒng)理論與此相類似，在線性采樣系統(tǒng)理論中，把初始條件為零的情況下系統(tǒng)的中，把初始條件為零的情況下系統(tǒng)的離散輸出信號(hào)的離散輸出信號(hào)的z z變換與離散輸入信變換與離散輸入信號(hào)的號(hào)的z z變換之比，變換之比，定義為定義為脈沖傳遞函脈沖傳遞函數(shù)數(shù)，或稱，或稱z z傳遞函數(shù)。它是線性采樣傳遞函數(shù)。它是線性采樣系統(tǒng)理論中的一個(gè)重要概念。系統(tǒng)理論中的一個(gè)重要概念。 對(duì)于圖對(duì)于圖8-88-8所示的采樣系統(tǒng)，脈沖傳遞函數(shù)為

38、所示的采樣系統(tǒng)，脈沖傳遞函數(shù)為 xoBox )()()(zRzCzG 如果已知系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)和輸入量的如果已知系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)和輸入量的Z Z變換，變換，由上式可求出采樣系統(tǒng)的由上式可求出采樣系統(tǒng)的離散輸出信號(hào)為離散輸出信號(hào)為 在實(shí)際上，許多采樣系統(tǒng)的輸出信號(hào)是連續(xù)信號(hào)，在實(shí)際上，許多采樣系統(tǒng)的輸出信號(hào)是連續(xù)信號(hào)，在這種情況下，為了應(yīng)用脈沖傳遞函數(shù)的概念，可在這種情況下，為了應(yīng)用脈沖傳遞函數(shù)的概念，可以在輸出端虛設(shè)一個(gè)采樣開(kāi)關(guān)，并令其采樣周期與以在輸出端虛設(shè)一個(gè)采樣開(kāi)關(guān)，并令其采樣周期與輸入端采樣開(kāi)關(guān)的相同。輸入端采樣開(kāi)關(guān)的相同。 )()()()(*11zRzGZzCZtcxoBox 二

39、、采樣系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞二、采樣系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)函數(shù) 討論采樣系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞討論采樣系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)時(shí)，應(yīng)該注意圖函數(shù)時(shí)，應(yīng)該注意圖8 89 9中所示中所示的兩種不同的情況。的兩種不同的情況。 在圖在圖8 89a9a所示的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)中所示的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)中，兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開(kāi)關(guān)，兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開(kāi)關(guān)脈沖傳遞函數(shù)可由下式求得脈沖傳遞函數(shù)可由下式求得 即即系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)即為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)即為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)g (t)g (t)，經(jīng)，經(jīng)過(guò)采樣后的離散信號(hào)過(guò)采樣后的離散信號(hào)g g* *(t)(t)的的z z變換。變換。又由于單位脈沖響應(yīng)又由于單位脈沖響應(yīng)

40、g (t)g (t)等于傳遞函數(shù)等于傳遞函數(shù)G G（s s）的拉氏反變換，故）的拉氏反變換，故可根據(jù)部分分式法直接可根據(jù)部分分式法直接由由 G G（s s）求出系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)）求出系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G G（z z）。）。)()()(tgZsGZzGxoBox存在，這時(shí)存在，這時(shí) X(z)G1(z)R(z) C(z)=G2 (z) X(z)=G2 (z)G1(z) R(z)由此可得由此可得 G(z)=C(z) / R(z)=GG(z)=C(z) / R(z)=G1 1(z)G(z)G2 2 (z)(z)上式表明，有采樣開(kāi)關(guān)分隔的兩個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，其脈沖傳上式表明，有采樣開(kāi)關(guān)分隔的兩個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)

41、，其脈沖傳遞函數(shù)等于兩個(gè)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)之積。上述結(jié)論可以推遞函數(shù)等于兩個(gè)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)之積。上述結(jié)論可以推廣到有采樣開(kāi)關(guān)隔離的廣到有采樣開(kāi)關(guān)隔離的n n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)的情況。個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)的情況。在圖在圖8 89b9b所示的系統(tǒng)中，兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間沒(méi)有采樣開(kāi)關(guān)所示的系統(tǒng)中，兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間沒(méi)有采樣開(kāi)關(guān)隔離。這時(shí)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為隔離。這時(shí)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 G(z)=C(z) / R(z)=ZG(z)=C(z) / R(z)=ZG G1 1(s) G(s) G2 2 (s)(s)G G1 1G G2 2 (z)(z)請(qǐng)讀者注意，脈沖傳遞函數(shù)書寫方式的區(qū)別，請(qǐng)讀者注意，脈沖傳遞函數(shù)書

42、寫方式的區(qū)別，G G1 1(z)G(z)G2 2 (z) (z) 表示兩個(gè)環(huán)節(jié)分別被采樣開(kāi)關(guān)隔開(kāi)，必須先求各自的表示兩個(gè)環(huán)節(jié)分別被采樣開(kāi)關(guān)隔開(kāi)，必須先求各自的Z Z變換，變換，然后再相乘；然后再相乘；G G1 1G G2 2 (z)(z)表示兩個(gè)環(huán)節(jié)沒(méi)有被采樣開(kāi)關(guān)隔開(kāi)，必表示兩個(gè)環(huán)節(jié)沒(méi)有被采樣開(kāi)關(guān)隔開(kāi)，必須先將兩個(gè)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)相乘，然后再求須先將兩個(gè)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)相乘，然后再求Z Z變換。變換。通常，通常，G G1 1(z)G(z)G2 2 (z) G(z) G1 1G G2 2 (z)(z)。xoBox例例8-5 8-5 設(shè)在圖設(shè)在圖8-98-9中中 。求系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)。求系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函

43、數(shù)。脈沖傳遞函數(shù)。解解 圖圖8-9a8-9a所示系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為所示系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 圖圖8-9b8-9b所示系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為所示系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 顯然，有無(wú)采樣開(kāi)關(guān)隔開(kāi)其結(jié)果是大不一樣的。顯然，有無(wú)采樣開(kāi)關(guān)隔開(kāi)其結(jié)果是大不一樣的。三、采樣系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)三、采樣系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)在采樣控制系統(tǒng)中，由于采樣器的設(shè)置方式是多樣的，因在采樣控制系統(tǒng)中，由于采樣器的設(shè)置方式是多樣的，因此閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式也不統(tǒng)一。比較常見(jiàn)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)之一此閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式也不統(tǒng)一。比較常見(jiàn)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)之一如圖如圖8-108-10所示。圖中輸出端的采樣開(kāi)關(guān)是為了便于分析而虛所示

44、。圖中輸出端的采樣開(kāi)關(guān)是為了便于分析而虛設(shè)，由圖可知，誤差的設(shè)，由圖可知，誤差的Z Z變換為變換為 asasGssG)(,1)(21TaezazzzzGzGzG 211)()()()(1()1 () 1()()()( 21TaTaezzezssaZsGsGZzG）（26-8 )()()(*)(*)(zBzRsBsRZzExoBox以誤差以誤差 的采樣信號(hào)為輸入的采樣信號(hào)為輸入量，可以得量，可以得 到反饋量到反饋量B B（s s）為）為故反饋量的故反饋量的Z Z變換為變換為 將上式代入式（將上式代入式（8-268-26）整理得）整理得 )(*)()()(sEsHsGsB)()() z ()()(

45、Z) z (zEzGHEsHsGB)(* sE）（27-8 )(11 )()()()()(11)(zGHzRzEzzRzGHzEe 仿照連續(xù)系統(tǒng)，仿照連續(xù)系統(tǒng)，把把e e（z z）稱為誤差脈沖傳遞函數(shù)。）稱為誤差脈沖傳遞函數(shù)。 又因系統(tǒng)的輸出為又因系統(tǒng)的輸出為)()()()(*)()(zEzGzCsEsGsCxoBox將式（將式（8-278-27）代入上式可得）代入上式可得系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為綜上所述，采樣系統(tǒng)方框圖的等效變換方法與連續(xù)系統(tǒng)一綜上所述，采樣系統(tǒng)方框圖的等效變換方法與連續(xù)系統(tǒng)一樣，只是要注意各環(huán)節(jié)被采樣開(kāi)關(guān)分隔的情況，樣，只是要注意各環(huán)節(jié)被采樣開(kāi)關(guān)分隔的情況，若輸

46、入量與若輸入量與前向通道某環(huán)節(jié)之間無(wú)采樣開(kāi)關(guān)，前向通道某環(huán)節(jié)之間無(wú)采樣開(kāi)關(guān)，則脈沖傳遞函數(shù)不能寫成則脈沖傳遞函數(shù)不能寫成式（式（8-288-28）那樣的形式，而）那樣的形式，而只能寫成輸出量只能寫成輸出量Z Z變換的形式。變換的形式。）（28-8 )(1)( )()(zGHzGzRzE 例例8-6 8-6 求圖求圖8 81111所示系統(tǒng)的所示系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。脈沖傳遞函數(shù)。 解解 前向通道中，前向通道中，R(s)R(s)與與G G1 1（s s）之間無(wú)采樣開(kāi)關(guān)，必須先相）之間無(wú)采樣開(kāi)關(guān)，必須先相乘乘 后取后取Z Z變換，反饋環(huán)中，變換，反饋環(huán)中，G G3 3（s s）、）、H (s)H (s

47、)、G G1 1（s s）之間無(wú)）之間無(wú)采樣開(kāi)關(guān)，也必須先相乘后取采樣開(kāi)關(guān)，也必須先相乘后取Z Z變換，故求得系統(tǒng)輸出量的變換，故求得系統(tǒng)輸出量的Z Z變換為變換為)()(1)()()()(312321zHGGzGzGzGzRGzCxoBox 8 86 6 采樣系統(tǒng)的性能分析采樣系統(tǒng)的性能分析分析采樣傳統(tǒng)性能指標(biāo)時(shí)，應(yīng)注意兩點(diǎn)，分析采樣傳統(tǒng)性能指標(biāo)時(shí)，應(yīng)注意兩點(diǎn)，第一，若無(wú)零階第一，若無(wú)零階保持器，則必須將開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)乘上采樣周期保持器，則必須將開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)乘上采樣周期T T，再進(jìn)行分析，再進(jìn)行分析，因?yàn)椋蓸雍笙喈?dāng)于開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)除了一個(gè)，因?yàn)?，采樣后相?dāng)于開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)除了一個(gè)T T，乘上一個(gè)

48、，乘上一個(gè)T T后才能抵消這一影響，使計(jì)算結(jié)果與實(shí)際結(jié)果一致。第二，后才能抵消這一影響，使計(jì)算結(jié)果與實(shí)際結(jié)果一致。第二，若無(wú)零階保持器，除了將開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)乘上若無(wú)零階保持器，除了將開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)乘上T T外，還外，還必須滿足必須滿足n nm m2 2（n n、m m傳遞函數(shù)分母、分子階數(shù)），傳遞函數(shù)分母、分子階數(shù)），這樣才能避免這樣才能避免信號(hào)在采樣點(diǎn)前后的跳變，否則計(jì)算結(jié)果將與實(shí)際結(jié)果相差信號(hào)在采樣點(diǎn)前后的跳變，否則計(jì)算結(jié)果將與實(shí)際結(jié)果相差很大。很大。一、采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差一、采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的分析方法可以推廣到采樣系統(tǒng)中來(lái)，連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的分析方法可以推廣到采樣系

49、統(tǒng)中來(lái)，只是拉氏變換與只是拉氏變換與Z Z變換的終值定理有所不同，其方法有些不同變換的終值定理有所不同，其方法有些不同而已。而已。對(duì)于圖對(duì)于圖8-108-10所示采樣系統(tǒng)，誤差的定義與連續(xù)類似，即誤所示采樣系統(tǒng)，誤差的定義與連續(xù)類似，即誤差等于輸入量減反饋量，式（差等于輸入量減反饋量，式（8-278-27）已經(jīng)給出了誤差脈沖傳）已經(jīng)給出了誤差脈沖傳遞函數(shù)，即遞函數(shù)，即xoBox )(11 )()()(zGHzRzEze 當(dāng)采樣系統(tǒng)為當(dāng)采樣系統(tǒng)為l l型系統(tǒng)，即型系統(tǒng)，即GH(z)GH(z)中包含一個(gè)積分環(huán)節(jié)時(shí)，中包含一個(gè)積分環(huán)節(jié)時(shí)，GH(z)GH(z)具有一個(gè)具有一個(gè)z z1 1的極點(diǎn)，這時(shí)，

50、的極點(diǎn)，這時(shí)，K Kp p，e esrsr0 0。 設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，根據(jù)設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，根據(jù)Z Z變換的終值定理可以求出在輸入信變換的終值定理可以求出在輸入信號(hào)作用下采樣系統(tǒng)的號(hào)作用下采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差終值穩(wěn)態(tài)誤差終值 上式表明，采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差決定于系統(tǒng)的脈沖傳遞函上式表明，采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差決定于系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)數(shù)GH(z)GH(z)和輸入信號(hào)的形式。和輸入信號(hào)的形式。 下面討論三種典型輸入信號(hào)的情況下面討論三種典型輸入信號(hào)的情況 1.1.輸入信號(hào)為單位階躍函數(shù)輸入信號(hào)為單位階躍函數(shù) ，代入式（，代入式（8-298-29），），得得 為系統(tǒng)的為系統(tǒng)的位置誤差系數(shù)。位置誤差系數(shù)。）（29

51、-8 )(1)() 1(lim)(lim1zGHzRzteezsrtsr1)(zzzR）（30-8 11 )(11lim1pzsrKzGHe)(lim1zGHKzpxoBox2.2.輸入信號(hào)為單位斜坡信號(hào)輸入信號(hào)為單位斜坡信號(hào) ，代入式（，代入式（8-298-29），），得得 為系統(tǒng)的為系統(tǒng)的速度誤差系數(shù)。速度誤差系數(shù)。 2) 1()(zzTzR）（31-8 )() 1(lim )(1) 1(lim11vzzsrKTzGHzTzGHzTe)() 1(lim1zGHzKzv 為系統(tǒng)的為系統(tǒng)的加速度誤差系數(shù)加速度誤差系數(shù)。 當(dāng)采樣系統(tǒng)為當(dāng)采樣系統(tǒng)為0 0和和1 1型系統(tǒng)時(shí)，型系統(tǒng)時(shí)， K Kv v

52、0 0，e esrsr。 )() 1(lim21zGHzKza 當(dāng)采樣系統(tǒng)為當(dāng)采樣系統(tǒng)為0 0型系統(tǒng)，即型系統(tǒng)，即GH(z)GH(z)中不包含一個(gè)積分環(huán)節(jié)時(shí)，中不包含一個(gè)積分環(huán)節(jié)時(shí)，GH(z)GH(z)沒(méi)有沒(méi)有z z1 1的極點(diǎn)，這時(shí)，的極點(diǎn)，這時(shí)，K Kv v0 0，e esrsr。 當(dāng)采樣系統(tǒng)為當(dāng)采樣系統(tǒng)為2 2型系統(tǒng)，即型系統(tǒng)，即GH(z)GH(z)中包含兩個(gè)積分環(huán)節(jié)時(shí)，中包含兩個(gè)積分環(huán)節(jié)時(shí)，GH(z)GH(z)有兩個(gè)有兩個(gè)z z1 1的極點(diǎn)，這時(shí)，的極點(diǎn)，這時(shí)，K Kv v，e esrsr0 0。 3.3.輸入信號(hào)為單位拋物信號(hào)輸入信號(hào)為單位拋物信號(hào) ，代入式（，代入式（8-298-2

53、9），），得得32) 1(2) 1()(zzzTzR）（32-8 )() 1(lim )(1) 1(2) 1(lim2221221azzsrKTzGHzTzGHzzTexoBox 二、采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)定條件二、采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)定條件下面通過(guò)下面通過(guò)Z Z反變換直接求出采樣系統(tǒng)輸出信號(hào)的采樣信號(hào)來(lái)反變換直接求出采樣系統(tǒng)輸出信號(hào)的采樣信號(hào)來(lái)分析采樣系統(tǒng)的性能。分析采樣系統(tǒng)的性能。設(shè)采樣系統(tǒng)的設(shè)采樣系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為設(shè)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)為設(shè)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)為i i （i=1i=1、2 2、n n，假，假設(shè)無(wú)重極點(diǎn)）。設(shè)輸入為單位階躍函數(shù)，即設(shè)無(wú)重極點(diǎn)）。設(shè)輸入為單位

54、階躍函數(shù)，即 ，代入，代入式（式（8-338-33）并用部分分式法展開(kāi)，得到輸出的）并用部分分式法展開(kāi)，得到輸出的Z Z變化為變化為對(duì)上式進(jìn)行對(duì)上式進(jìn)行Z Z反變換得系統(tǒng)輸出的采樣信號(hào)為反變換得系統(tǒng)輸出的采樣信號(hào)為）（33-8 )()()()(1111011110nnnnmmmmazazazabzbzbzbZMZNZRZCninmmmmzzbzbzbzbZC1ii0111110-zzA1-zzA 1-zz )()()(1)(zzzR）（34-8 )( 1)(*10kiniiAkAkcxoBox上式中，第一項(xiàng)為系統(tǒng)輸出采樣信號(hào)的穩(wěn)態(tài)分量，與系統(tǒng)上式中，第一項(xiàng)為系統(tǒng)輸出采樣信號(hào)的穩(wěn)態(tài)分量，與系統(tǒng)暫

55、態(tài)性能及穩(wěn)定性無(wú)關(guān)。第二項(xiàng)為系統(tǒng)輸出采樣信號(hào)的暫態(tài)暫態(tài)性能及穩(wěn)定性無(wú)關(guān)。第二項(xiàng)為系統(tǒng)輸出采樣信號(hào)的暫態(tài)分量，該項(xiàng)與系統(tǒng)暫態(tài)性能及穩(wěn)定性密切相關(guān)。隨時(shí)間的增分量，該項(xiàng)與系統(tǒng)暫態(tài)性能及穩(wěn)定性密切相關(guān)。隨時(shí)間的增長(zhǎng)暫態(tài)分量趨于零采樣系統(tǒng)穩(wěn)定，因此，閉環(huán)極點(diǎn)長(zhǎng)暫態(tài)分量趨于零采樣系統(tǒng)穩(wěn)定，因此，閉環(huán)極點(diǎn)i i在在Z Z平平面的位置決定了系統(tǒng)的暫態(tài)性能及穩(wěn)定性。隨著面的位置決定了系統(tǒng)的暫態(tài)性能及穩(wěn)定性。隨著k k趨于無(wú)窮大，趨于無(wú)窮大，若所有閉環(huán)極點(diǎn)的模若所有閉環(huán)極點(diǎn)的模|i i| |1 1，則暫態(tài)分量趨于零，系統(tǒng)穩(wěn)，則暫態(tài)分量趨于零，系統(tǒng)穩(wěn)定。反之，只要有一個(gè)極點(diǎn)的模定。反之，只要有一個(gè)極點(diǎn)的模|i i

56、| |1 1，則暫態(tài)分量不可，則暫態(tài)分量不可能趨于零，系統(tǒng)不穩(wěn)定。若能趨于零，系統(tǒng)不穩(wěn)定。若|i i| |1 1，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定。，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定。另外，由第三章中已知，線性連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要另外，由第三章中已知，線性連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是系統(tǒng)特征方程的所有根都位于條件是系統(tǒng)特征方程的所有根都位于s s平面虛軸的左半部，即平面虛軸的左半部，即都具有負(fù)實(shí)部。都具有負(fù)實(shí)部。 我們知道我們知道Z Z變換是拉氏變換的變形，即對(duì)線性采樣系統(tǒng)進(jìn)行變換是拉氏變換的變形，即對(duì)線性采樣系統(tǒng)進(jìn)行了拉氏變換以后，令了拉氏變換以后，令 ，因此要用，因此要用Z Z平面分析系統(tǒng)的穩(wěn)定平面分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性

57、，首先要弄清這兩個(gè)復(fù)平面的映射關(guān)系。性，首先要弄清這兩個(gè)復(fù)平面的映射關(guān)系。如圖如圖8-128-12所示，所示，S S平面的虛軸為平面的虛軸為s sjj，對(duì)應(yīng)的復(fù)變量，對(duì)應(yīng)的復(fù)變量 ，即，即S S平面的虛軸對(duì)應(yīng)于平面的虛軸對(duì)應(yīng)于Z Z平面上圓心在坐標(biāo)圓點(diǎn)的單位圓。平面上圓心在坐標(biāo)圓點(diǎn)的單位圓。在在S S平面的左半平面上的任意一點(diǎn)其實(shí)部均小于零，即平面的左半平面上的任意一點(diǎn)其實(shí)部均小于零，即Tsez TjezxoBoxs sjj（00）, , 對(duì)應(yīng)的復(fù)變對(duì)應(yīng)的復(fù)變量量 ，其幅值其幅值 。 因此，因此，S S平面的左半平面相當(dāng)于平面的左半平面相當(dāng)于Z Z平平面上圓心在坐標(biāo)圓點(diǎn)的單位圓的內(nèi)部面上圓心在

58、坐標(biāo)圓點(diǎn)的單位圓的內(nèi)部。 Tjez11TTeez設(shè)采樣系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為設(shè)采樣系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 相應(yīng)的相應(yīng)的特征方程式為特征方程式為 1 1十十GH(z)GH(z)0 0系統(tǒng)特征方程式的根系統(tǒng)特征方程式的根1 1 ，2 2 ，n n 。即為。即為閉環(huán)脈沖閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。根據(jù)以上的分析可知，根據(jù)以上的分析可知，閉環(huán)采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條閉環(huán)采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是，系統(tǒng)特征方程的所有根（即閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)件是，系統(tǒng)特征方程的所有根（即閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)）均位于）均位于Z Z平面上以原點(diǎn)為圓心的單位圓之內(nèi)。平面上以原點(diǎn)為圓心的單位圓之內(nèi)。)

59、(1)()()(ZGHZGZRZCxoBox三、采樣控制系統(tǒng)的暫態(tài)性能三、采樣控制系統(tǒng)的暫態(tài)性能像連續(xù)系統(tǒng)一樣，對(duì)于高階系統(tǒng)首先要確定對(duì)系統(tǒng)性能影像連續(xù)系統(tǒng)一樣，對(duì)于高階系統(tǒng)首先要確定對(duì)系統(tǒng)性能影響最大的主導(dǎo)極點(diǎn)，顯然響最大的主導(dǎo)極點(diǎn)，顯然,|,|i i| |越小，越小，即極點(diǎn)越靠近即極點(diǎn)越靠近Z Z平面的平面的坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)，衰減越快，對(duì)系統(tǒng)性能影響越小，故可忽略不計(jì)衰減越快，對(duì)系統(tǒng)性能影響越小，故可忽略不計(jì)。|i i| |越靠近單位圓，衰減越慢，對(duì)系統(tǒng)性能影響越大，故越靠近單位圓，衰減越慢，對(duì)系統(tǒng)性能影響越大，故可視為主導(dǎo)極點(diǎn)。可視為主導(dǎo)極點(diǎn)。1.1.主導(dǎo)極點(diǎn)主導(dǎo)極點(diǎn)i i為正實(shí)數(shù)為正

60、實(shí)數(shù)(0(0i i1) 1) 系統(tǒng)近似為一階系統(tǒng)，系統(tǒng)近似為一階系統(tǒng)，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為單調(diào)上升的脈沖序列，無(wú)超調(diào)量。系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為單調(diào)上升的脈沖序列，無(wú)超調(diào)量。2.2.主導(dǎo)極點(diǎn)主導(dǎo)極點(diǎn)i i為負(fù)實(shí)數(shù)為負(fù)實(shí)數(shù)( (11i i0) 0) 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為衰減振蕩的脈沖序列，系統(tǒng)出現(xiàn)超調(diào)量。為衰減振蕩的脈沖序列，系統(tǒng)出現(xiàn)超調(diào)量。3.3.主導(dǎo)極點(diǎn)主導(dǎo)極點(diǎn)i i為共軛復(fù)數(shù)為共軛復(fù)數(shù) 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為衰減的系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為衰減的正弦振蕩脈沖序列，系統(tǒng)出現(xiàn)超調(diào)量。正弦振蕩脈沖序列，系統(tǒng)出現(xiàn)超調(diào)量。以上只是定性的分析，若要求定量的指標(biāo)，可按式（以上只是定性的分析，若要求