231直線與平面垂直的判定定理精編版

1、2.3.1 直線與平面垂直的判定定理直線與平面垂直的判定定理 復習引入復習引入 1.直線和平面的位置關系是什么直線和平面的位置關系是什么? （1）直線在平面內(nèi)（無數(shù)個公共點）；）直線在平面內(nèi)（無數(shù)個公共點）； （2）直線和平面相交（有且只有一個公共點）；）直線和平面相交（有且只有一個公共點）； （3）直線和平面平行（沒有公共點）直線和平面平行（沒有公共點）. 2.在直線和平面相交的位置關系中，有一種相交是很在直線和平面相交的位置關系中，有一種相交是很特殊的，我們把它叫做垂直相交特殊的，我們把它叫做垂直相交. 這節(jié)課我們重點來探究這種形式的線面相交這節(jié)課我們重點來探究這種形式的線面相交 . 實例

2、研探實例研探 探究：什么叫做直線和平面垂直呢？當直線與平面垂直探究：什么叫做直線和平面垂直呢？當直線與平面垂直時，此直線與平面內(nèi)的所有直線的關系又怎樣呢時，此直線與平面內(nèi)的所有直線的關系又怎樣呢 ? ? 生活中線面垂直的實例生活中線面垂直的實例 : : 旗桿與地面垂直旗桿與地面垂直 路燈與地面垂直路燈與地面垂直 實例研探實例研探 探究：什么叫做直線和平面垂直呢？當直線與平面垂直探究：什么叫做直線和平面垂直呢？當直線與平面垂直時，此直線與平面內(nèi)的所有直線的關系又怎樣呢時，此直線與平面內(nèi)的所有直線的關系又怎樣呢 ? ? A 生活中線面垂直的實例生活中線面垂直的實例 : : 在陽光下觀察直立于地面的

3、旗桿在陽光下觀察直立于地面的旗桿及它在地面的影子，隨著時間的及它在地面的影子，隨著時間的變化，盡管影子的位置在移動，變化，盡管影子的位置在移動，但是旗桿所在的直線始終與影子但是旗桿所在的直線始終與影子所在的直線垂直（如圖）所在的直線垂直（如圖）. . 事實上，旗桿事實上，旗桿ABAB所在直線與地面所在直線與地面內(nèi)任意一條不過點內(nèi)任意一條不過點B B的直線也是垂的直線也是垂直的直的. . C C1 B B1 1.直線與平面垂直的定義直線與平面垂直的定義 ?內(nèi)的內(nèi)的任意一條直線任意一條直線都垂直，都垂直，l和一個平面和一個平面 (1)如果一條直線如果一條直線 l ?l與平面與平面?則稱直線則稱直線

4、 互相垂直，記作互相垂直，記作 . ?的的垂線垂線，平面，平面 ?叫做直線叫做直線 l叫做平面叫做平面 l的的垂面垂面. . 直線直線 它們惟一的公共點它們惟一的公共點P P叫做叫做垂足垂足. . 畫法：通常把直線畫成與表示平面的畫法：通常把直線畫成與表示平面的 平行四邊形的一邊垂直平行四邊形的一邊垂直. 注注1： 定義中的定義中的“任意一條直線任意一條直線”與與“所有直線所有直線”是同義詞，但與是同義詞，但與“無數(shù)條直線無數(shù)條直線”不同不同. 該定義作用：該定義作用：“線面垂直線面垂直? ? 線線平行線線平行”，這是判斷兩條直線，這是判斷兩條直線a ?,b?a?b垂直時經(jīng)常使用的一種方法，垂

5、直時經(jīng)常使用的一種方法，即即辨析 探究探究 有沒有比較方便可行的方法來判斷直線和平面垂直呢？有沒有比較方便可行的方法來判斷直線和平面垂直呢？ 1.能不能像判定直線與平面平行那樣，利用直線與平能不能像判定直線與平面平行那樣，利用直線與平面內(nèi)的一條直線垂直來判定直線與平面垂直呢？面內(nèi)的一條直線垂直來判定直線與平面垂直呢？ l C m B l n ? 2.一條直線不行，那么又能不能像判斷平面與平面平一條直線不行，那么又能不能像判斷平面與平面平行那樣，利用直線行那樣，利用直線l與平面內(nèi)兩條直線與平面內(nèi)兩條直線m，n都垂直來判都垂直來判定直線與平面垂直呢？定直線與平面垂直呢？ 當平面內(nèi)當平面內(nèi)m，n平行

6、的時候，這并不能判定平行的時候，這并不能判定l垂直于垂直于. 探究探究 有沒有比較方便可行的方法來判斷直線和平面垂直呢？有沒有比較方便可行的方法來判斷直線和平面垂直呢？ 活動：請同學們準備一塊三角形活動：請同學們準備一塊三角形的紙片，我們一起來做如圖所示的紙片，我們一起來做如圖所示的試驗：的試驗：過過ABC的頂點的頂點A翻折翻折紙片，得到折痕紙片，得到折痕AD，將翻折后的，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（紙片豎起放置在桌面上（ BD、DC與桌面接觸）與桌面接觸）. 問問:折痕折痕AD與桌面垂直嗎？如何與桌面垂直嗎？如何翻折才能保證折痕翻折才能保證折痕AD與桌面所在與桌面所在平面垂直？平面垂直？

7、 ACD?B當且僅當折痕當且僅當折痕 AD 是是 BC 邊上的高時，邊上的高時，AD所在直線與所在直線與?垂直垂直 桌面所在平面桌面所在平面 2.直線與平面垂直的判定定理直線與平面垂直的判定定理 (1)定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的 兩條相交直線兩條相交直線 都都垂直垂直，則這條直線垂直于這個平面，則這條直線垂直于這個平面. 注注2：該定理的條件中，：該定理的條件中，“平面內(nèi)的兩條相交直線平面內(nèi)的兩條相交直線”是關鍵性詞是關鍵性詞語語.不能用不能用“兩條直線兩條直線”，“無數(shù)條直線無數(shù)條直線”替換替換.即即 l?m,l?n?m?,n?l /?mn?A?l?m

8、A n 該定理作用：該定理作用：“線線垂直線線垂直? ? 線面垂直線面垂直” 應用該定理，關鍵是證明在平面應用該定理，關鍵是證明在平面?內(nèi)有兩條相交直線與已知直線內(nèi)有兩條相交直線與已知直線垂直，至于這兩條直線是否與已知直線有公共點則是無關緊要的垂直，至于這兩條直線是否與已知直線有公共點則是無關緊要的. a/ b,a?，求證：，求證：例例 如圖，已知如圖，已知 ?.b證明：在平面證明：在平面 ?內(nèi)作兩條相交直線內(nèi)作兩條相交直線m，n a?， 因為直線因為直線 根據(jù)直線與平面垂直的定義知根據(jù)直線與平面垂直的定義知 a?m ,a?n.abn又因為又因為 b/a?m所以所以 b?m ,b?n .又又

9、m?,n?,m ,n是兩條相交直線，是兩條相交直線， 所以所以 b?.例例 正方體正方體 1B1? 面DB1B1D1AABCD?A1B1C1D1中，求證：中，求證：A1B1C1D1是正方形,?A1C1?B1D1.DD1? 面A1B1C1D1,?DD1?A1C1.又B1D1DD1=D1A1DABD1B1CC1?A1C1? 面DBB1D1?A1C1?BD1，A1C1?DB1另證： DD1? 面A1B1C1D1,DD1? 面DBB1D1? 面A1B1C1D1? 面DBB1D1又面A1B1C1D1面DBB1D1?B1D1，且A1C1? 面A1B1C1D1，A1C1?B1D1?A1C1? 面DBB1D1

10、小結(jié)論：小結(jié)論： 正方體中，面的對角線垂直于過另一條面的對角線的對角面；正方體中，面的對角線垂直于過另一條面的對角線的對角面； 正方體中，異面的體對角線和面對角線互相垂直正方體中，異面的體對角線和面對角線互相垂直. 練練 如圖為直四棱柱如圖為直四棱柱 (ABCD?ABCD側(cè)棱與底面垂直側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱），其底面的棱柱稱為直棱柱），其底面 ABCD是一個是一個菱形菱形. 求證：求證： C?BDAP66 探究：直四棱柱探究：直四棱柱 ABCD?ABCD中，底面四邊形中，底面四邊形滿足什么條件時，能使得滿足什么條件時，能使得 . AC?BD底面四邊形的對角線互相垂直！底面四邊形的對角線

11、互相垂直！ A B A B D C D C 3.直線和平面所成角直線和平面所成角 1) 斜線斜線: 和平面相交，但不垂直的直線叫做平面的斜線和平面相交，但不垂直的直線叫做平面的斜線 2) 斜足斜足: 斜線和平面相交的交點斜線和平面相交的交點 P 3) 斜線在平面內(nèi)的射影斜線在平面內(nèi)的射影: 過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線,過垂足和斜足的直線稱為斜線在平面內(nèi)過垂足和斜足的直線稱為斜線在平面內(nèi)的射影的射影. ?A O 平面的平面的斜線斜線和它在平面內(nèi)的和它在平面內(nèi)的射影射影所成的所成的銳角銳角， 叫做叫做直線和平面所成的角直線和平面所成的角 . 在Rt POA

12、中，求解?PAO的大小.說明說明:若直線若直線垂直垂直平面，則直線和平面所成的角為平面，則直線和平面所成的角為90 若直線與平面若直線與平面平行平行或直線或直線在平面內(nèi)在平面內(nèi)，則直線和平面所成的角為，則直線和平面所成的角為0 直線和平面所成角的取值范圍為直線和平面所成角的取值范圍為 00,90,90 例例 如圖，正方體如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，求：中，求： (1) 直線直線A1B和平面和平面BCC1B1所成的角；所成的角； (2) 直線直線A1B和平面和平面A1B1CD所成的角所成的角. 分析分析: 關鍵是找出平面關鍵是找出平面BCC1B1和平面和平面A1B1CD內(nèi)的垂線內(nèi)的垂線. D D1 1 A A1 1 C C1 1 B B1 1 O D D C C B B A A 一、直線與平面垂直一、直線與平面垂直 (1)定義：定義： l?l垂直于平面?內(nèi)的所有直線.(2)判定定理：判定定理：l 垂直于平面?內(nèi)的兩條相交直線?l?(3)線線垂直的常用證明方法：線線垂直