221雙曲線及其標準方程

1、高中數(shù)學2.2.12.2.12.22.2雙曲線雙曲線雙曲線及其標準方程雙曲線及其標準方程高中數(shù)學課標要求課標要求1.1.了解雙曲線的定義及其焦距的了解雙曲線的定義及其焦距的概念概念; ;2.2.了解雙曲線的幾何圖形、標準了解雙曲線的幾何圖形、標準方程方程. .素養(yǎng)達成素養(yǎng)達成通過對雙曲線及其標準方程的學通過對雙曲線及其標準方程的學習習, ,滲透數(shù)形結(jié)合與類比的思想滲透數(shù)形結(jié)合與類比的思想, ,提高學生分析問題和解決問題的提高學生分析問題和解決問題的綜合能力綜合能力. .高中數(shù)學新知探求新知探求課堂探究課堂探究高中數(shù)學新知探求新知探求知識點一知識點一 雙曲線的定義雙曲線的定義素養(yǎng)養(yǎng)成素養(yǎng)養(yǎng)成問題

2、問題1:1:在平面直角坐標系中在平面直角坐標系中, ,若若A(-5,0),B(5,0),A(-5,0),B(5,0),當當|PA|-|PB|=6,|PA|-|PA|-|PB|=6,|PA|-|PB|=10,|PA|-|PB|=12|PB|=10,|PA|-|PB|=12時時, ,點點P P的軌跡分別是什么圖形的軌跡分別是什么圖形? ?答案答案: :當當|PA|-|PB|=6|PA|-|PB|=6時時, ,點點P P的軌跡是以的軌跡是以A(-5,0),B(5,0)A(-5,0),B(5,0)為焦點的雙曲線為焦點的雙曲線; ;當當|PA|-|PB|=10|PA|-|PB|=10時時, ,點點P P

3、的軌跡是兩條射線的軌跡是兩條射線; ;當當|PA|-|PB|=12|PA|-|PB|=12時時, ,點點P P的軌的軌跡不存在跡不存在. .梳理梳理平面內(nèi)與兩個定點平面內(nèi)與兩個定點F F1 1,F,F2 2的距離的距離差的絕對值差的絕對值等于常數(shù)等于常數(shù)( (小于小于|F|F F F | |且大于零且大于零) )的點的軌跡叫做雙曲線的點的軌跡叫做雙曲線. .這兩個定點叫雙曲線的這兩個定點叫雙曲線的焦點焦點, ,兩焦兩焦1 12 2點間的距離叫點間的距離叫焦距焦距. .集合集合P=M|MFP=M|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=2a,|F|=2a,|F1 1F F2 2|=2c,|=2c

4、,其中其中a,ca,c為為常數(shù)且常數(shù)且a0,c0.a0,c0.高中數(shù)學知識點二知識點二 雙曲線的標準方程雙曲線的標準方程問題問題2:2:怎樣利用雙曲線的標準方程確定焦點的位置怎樣利用雙曲線的標準方程確定焦點的位置? ?答案答案: :如果如果x x2 2項的系數(shù)是正的項的系數(shù)是正的, ,那么焦點在那么焦點在x x軸上軸上; ;如果如果y y2 2項的系數(shù)是正的項的系數(shù)是正的, ,那么那么焦點在焦點在y y軸上軸上. .問題問題3:3:雙曲線標準方程中雙曲線標準方程中a,b,ca,b,c之間的關系如何之間的關系如何? ?答案答案: :雙曲線標準方程中雙曲線標準方程中a,b,ca,b,c的關系是的關

5、系是c c2 2=a=a2 2+b+b2 2, ,不同于橢圓方程中不同于橢圓方程中c c2 2=a=a2 2-b-b2 2. .名師點津名師點津: :(1)在雙曲線的定義中要注意雙曲線上的點(動點)具備的幾何條件,即即“到兩定點到兩定點(焦點)的距離之差的絕對值為一常數(shù),且該常數(shù)必須小于兩定點的距離的距離”.若定義中的若定義中的“絕對值絕對值”去掉去掉,點的軌跡是雙曲線的一支.同時注意定義的轉(zhuǎn)化應用.(2)求雙曲線方程時一是注意標準形式判斷;二是注意a,b,c的關系易錯易混.高中數(shù)學課堂探究課堂探究素養(yǎng)提升素養(yǎng)提升題型一題型一利用雙曲線的定義求軌跡方程利用雙曲線的定義求軌跡方程【例【例1 1】

6、如圖如圖, ,圓圓E:(x+2)E:(x+2)2 2+y+y2 2=4,=4,點點F(2,0),F(2,0),動圓動圓P P過點過點F,F,且與圓且與圓E E內(nèi)切于點內(nèi)切于點M,M,求動圓求動圓P P的圓心的圓心P P的軌跡方程的軌跡方程. .解解: :由已知由已知, ,圓圓 E E 半徑為半徑為 r=2,r=2,設圓設圓 P P 的半徑為的半徑為 R, R, 則則|PF|=|PM|=R,|ME|=r=2,|PE|=|PM|-|ME|=R-2, |PF|=|PM|=R,|ME|=r=2,|PE|=|PM|-|ME|=R-2, 所以所以|PF|-|PE|=2, |PF|-|PE|=2, 由雙曲線

7、的定義知由雙曲線的定義知,P,P 的軌跡為雙曲線的左支的軌跡為雙曲線的左支, , 因為因為 a=1,c=2, a=1,c=2, 2y2 2所以所以 b=b=3 , ,故所求軌跡方程為故所求軌跡方程為 x x - -=1(x=1(x-1). -1). 3高中數(shù)學方法技巧方法技巧利用定義法求雙曲線的標準方程的步驟(1)找出兩個定點(即雙曲線的兩個焦點).(2)根據(jù)條件確定動點到兩個定點的距離的差(或差的絕對值)等于常數(shù).(3)確定c和a的值,再由c2=a2+b2求出b2.(4)寫出雙曲線(或雙曲線一支)的標準方程.高中數(shù)學即時訓練即時訓練1:1:動圓動圓C C與定圓與定圓C C1 1:(x+3):

8、(x+3)2 2+y+y2 2=9,C=9,C2 2:(x-3):(x-3)2 2+y+y2 2=1=1都外切都外切, ,求動圓圓求動圓圓心心C C的軌跡方程的軌跡方程. .解解: :如圖所示如圖所示, ,由題意由題意, ,得定圓圓心得定圓圓心C C1 1(-3,0),C(-3,0),C2 2(3,0),(3,0),半徑半徑 r r1 1=3,r=3,r2 2=1,=1,設動圓圓心設動圓圓心為為 C(x,y),C(x,y),半徑為半徑為 r,r,則則 |CC|CC1 1|=r+3,|CC|=r+3,|CC2 2|=r+1. |=r+1. 兩式相減兩式相減, ,得得|CC|CC1 1|-|CC|

9、-|CC2 2|=2, |=2, 所以所以 C C 點的軌跡為以點的軌跡為以C C1 1,C,C2 2為焦點為焦點, ,實軸長為實軸長為 2 2 的雙曲線的右支的雙曲線的右支. . 因為因為 a=1,c=3, a=1,c=3, 所以所以 b b =c=c -a-a =8. =8. 2y2 2所以方程為所以方程為 x x - -=1(x=1(x1). 1). 82 22 22 2高中數(shù)學【備用例【備用例1 1】 (2017綿陽高二期末)已知兩個定圓已知兩個定圓O O1 1和和O O2 2, ,它們的半徑它們的半徑分別是分別是2 2和和4,4,且且|O|O1 1O O2 2|=8,|=8,若動圓若

10、動圓M M與圓與圓O O1 1內(nèi)切內(nèi)切, ,又與又與O O2 2外切外切, ,則動圓圓心則動圓圓心M M的軌跡方程是的軌跡方程是( () )(A)(A)圓圓(C)(C)雙曲線一支雙曲線一支(B)(B)橢圓橢圓(D)(D)拋物線拋物線解析解析: :設動圓圓心為M,半徑為R,由題意|MO1|=R-2,|MO2|=R+4,所以|MO2|-|MO1|=6(常數(shù))且60,b0). =1(a0,b0). 2ab由題設知由題設知,a=2,a=25 , ,且點且點 A(2,-5)A(2,-5)在雙曲線上在雙曲線上, , ?a? 2 5,22yx?所以所以 ?254解得解得 a a2 2=20,b=20,b2

11、2=16.=16.故所求雙曲線的標準方程為故所求雙曲線的標準方程為- -=1. =1. 2016?2?2?1,b?a高中數(shù)學x2y2(2)(2)與橢圓與橢圓+ +=1=1 有共同的焦點有共同的焦點, ,它們的一個交點的縱坐標為它們的一個交點的縱坐標為 4. 4. 2736x2y2解解: :(2)(2)橢圓橢圓+ +=1=1 的兩個焦點為的兩個焦點為 F F1 1(0,-3),F(0,-3),F2 2(0,3),(0,3),雙曲線與橢圓的一個交點雙曲線與橢圓的一個交點2736為為( ( 15 ,4),4)或或(-(- 15 ,4). ,4). y2x2設雙曲線的標準方程為設雙曲線的標準方程為2-

12、 -2=1(a0,b0), =1(a0,b0), ab2?2152224?a ? 4,yx?1,22則則?a解得解得?2故所求雙曲線的標準方程為故所求雙曲線的標準方程為- -=1. =1. b45b ? 5.?2?22a ? b ? 3 ,? ?高中數(shù)學方法技巧方法技巧(1)求雙曲線的標準方程與求橢圓標準方程類似,也是也是“先定先定型,后定量后定量”,利用待定系數(shù)法求解.(2)當焦點位置不確定時,應按焦點在x軸上和焦點在y軸上進行分類討論.(3)當已知雙曲線經(jīng)過兩點,求雙曲線的標準方程時,把雙曲線方程設成mx2+ny2=1(mn0,b0). =1(a0,b0). bayx=1. =1. 因為因

13、為 c=c=5,c,c =a=a +b+b , ,所以所以 b b =5-a=5-a ,a,a 5.5.所以所以2- -25? aa2 22 22 22 22 22 22222由于線段由于線段 PFPF1 1的中點坐標為的中點坐標為(0,2),(0,2),則則 P P 點坐標為點坐標為( (5 ,4), ,4), 1652 22 2=25=25 舍去舍去). ). =1(a=1(aa a解得解得=1,=1,代入雙曲線方程得代入雙曲線方程得2- -25? aa2y2 2=1. =1. 故雙曲線的標準方程為故雙曲線的標準方程為 x x - -4高中數(shù)學3 54 7(2)(2)已知雙曲線過已知雙曲線

14、過 P P1 1(-2,(-2,) )和和 P P2 2( (,4),4)兩點兩點, ,求雙曲線的標準方程求雙曲線的標準方程. . 23解解: :(2)(2)設所求雙曲線的方程為設所求雙曲線的方程為 AxAx +By+By =1(AB0). =1(AB0,b0). =1(a0,b0). ab?329?2?1,22?a? 16,?ab則則?解得解得?2 ?b ? 9.?25?81?1,22?a16by2x2所以雙曲線的方程為所以雙曲線的方程為- -=1. =1. 169高中數(shù)學x2y2(2)(2)求與雙曲線求與雙曲線- -=1=1 有公共焦點有公共焦點 , ,且過點且過點(3(32 ,2),2)

15、的雙曲線方程的雙曲線方程 . . 164x2y2解解: :(2)(2)法一法一 設雙曲線方程為設雙曲線方程為2- -2=1,=1,由題意易求得由題意易求得 c=2c=25 . . ab因為雙曲線過點因為雙曲線過點(3(33 2?2 ,2),2),所以所以a224- -2=1, =1, b22xy又因為又因為 a a2 2+b+b2 2=(2=(25 ) )2 2, ,所以所以 a a2 2=12,b=12,b2 2=8,=8,故所求雙曲線的方程為故所求雙曲線的方程為- -=1. =1. 12822xy法二法二 設雙曲線方程為設雙曲線方程為- -=1(-4k16), =1(-4k16), 16?

16、 k4? kx2y2將點將點(3(32 ,2),2)代入得代入得 k=4.k=4.故所求雙曲線方程為故所求雙曲線方程為- -=1. =1. 128高中數(shù)學題型三題型三雙曲線定義的應用雙曲線定義的應用x2y2【例【例 3 3】 已知雙曲線的方程是已知雙曲線的方程是- -=1,=1,點點 P P 在雙曲線上在雙曲線上, ,且到其中一個焦點且到其中一個焦點 F F1 1的距的距168離為離為 10,10,點點 N N 是是 PFPF1 1的中點的中點, ,求求|ON|ON|的大小的大小(O(O 為坐標原點為坐標原點). ). 解解: :設雙曲線的另一個焦點為設雙曲線的另一個焦點為 F F2 2, ,

17、連接連接 PFPF2 2,ON,ON 是三角形是三角形 PFPF1 1F F2 2的中位線的中位線, , 1所以所以|ON|=|ON|=|PF|PF2 2|. |. 2因為因為|PF|PF1 1|-|PF|-|PF2 2|=8, |=8, |PF|PF1 1|=10, |=10, 所以所以|PF|PF2 2|=2|=2 或或 18, 18, 1|ON|=|ON|=|PF|PF2 2|=1|=1 或或 9. 9. 2高中數(shù)學方法技巧方法技巧雙曲線的定義是解決與雙曲線有關的問題的主要依據(jù).在應用時,一是注意條件|PF1|-|PF2|=2a(02a|F1F2|)的使用,二是注意與三角形知識相結(jié)合,經(jīng)

18、常利用正、余弦定理,同時要注意整體思想的應用.高中數(shù)學即時訓練即時訓練3:3:若雙曲線若雙曲線x x2 2-4y-4y2 2=4=4的左、右焦點分別是的左、右焦點分別是F F1 1,F,F2 2, ,過過F F2 2的直線交右的直線交右支于支于A,BA,B兩點兩點, ,若若|AB|=5,|AB|=5,則則AFAF1 1B B的周長為的周長為|BF1|=2a+|BF2|=4+|BF2|,所以|AF1|+|BF1|=8+|AF2|+|BF2|=8+|AB|=13. .解析解析: :由雙曲線定義可知|AF1|=2a+|AF2|=4+|AF2|,AF1B的周長為|AF1|+|BF1|+|AB|=18.

19、答案答案: :1818高中數(shù)學x2y2【備用例【備用例 3 3】 已知雙曲線已知雙曲線 C:C:- -=1=1 的左、右焦點分別為的左、右焦點分別為 F F1 1,F,F2 2,P,P 為為 C C 的的916右支上一點右支上一點 , ,且且|PF|PF2 2|=|F|=|F1 1F F2 2|,|,則則PFPF1 1F F2 2的面積等于的面積等于 . . x2y2解析解析: :因為雙曲線因為雙曲線 C:C:- -=1=1 中中 a=3,b=4,c=5, a=3,b=4,c=5, 916所以所以 F F1 1(-5,0),F(-5,0),F2 2(5,0). (5,0). 因為因為|PF|PF2 2|=|F|=|F1 1F F2 2|,|,所以所以|PF|PF1 1|=2a+|PF|=2a+|PF2 2|=6+10=16. |=6+10=16. 作作 PFPF1 1邊上的高邊上的高 AFAF2 2, ,則則 AFAF1 1=8,|AF=8,|AF2 2|=|= 102?82=6, =6, 11所以所以PFPF1 1F F2 2的面積為的面積為 S=S=|PF|PF1 1| |AF|AF2 2|