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1、多元函數(shù) 重積分復(fù)習(xí)一、客觀題:1判斷1)已知 ( ) 2)若二元函數(shù)可微。 ( × )3)若二元函數(shù) ( × )4)若二元函數(shù) ( × )2.選擇題1). 函數(shù)在處可微分,是在處連續(xù)的_條件. A 充分條件 B. 既充分又必要條件 C 必要條件 D. 既非充分又非必要條件答案:A2) 取得極值的_.A. 必要條件 B. 充分條件 C. 充分必要條件 D. 既非充分又非必要條件答案:D3)設(shè)函數(shù)在(0,0)處存在偏導(dǎo)數(shù),且那么 。A. 必定存在 B在(0,0)處必連續(xù)C. D答案:D4)設(shè)為連續(xù)函數(shù),則等于( )。 A B C C 答案 C5.)設(shè)區(qū)域則( ).A
2、. B.C D.答案 B D 6),下列積分值( )為零.A. B. C. D. 答案 B 3填空題1)設(shè)則_.2)交換積分順序=_ .3) 若 表達(dá)式分別為 _. 答案 4) 設(shè)由 _.答案 二、 求多元函數(shù)的定義域例1 求的定義域。解: 例2 求的定義域解: 須滿足 三 多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)1. 多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義2. 多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算(1) 由偏導(dǎo)數(shù)的定義可知,求偏導(dǎo)數(shù)仍是求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題,即(2) 求函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)時(shí),一般用一元函數(shù)的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則。(3) 求函數(shù)在一點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí),有三種方法:一是求偏導(dǎo)函數(shù)再代值;二是用公式三是用偏導(dǎo)數(shù)的定義。(4)求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)用偏
3、導(dǎo)數(shù)定義。(5)抽象函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算(6)隱函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算例1 設(shè)在點(diǎn)(1,3)處關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)。解1:由二元函數(shù)在一點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)的定義 解2:由二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和單變量函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可得 同理:解3:由偏導(dǎo)函數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 代入有, 例2 設(shè)求解:對(duì)求偏導(dǎo)數(shù),視為常量,是冪函數(shù) , 對(duì)求偏導(dǎo)數(shù),視為常量,例3 求函數(shù) 在(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù)解:由于是分段點(diǎn),用定義討論同理。但該函數(shù)在(0,0)點(diǎn)不連續(xù),這是因偏導(dǎo)數(shù)只是刻畫了沿著平行于軸或軸方向變化的情形。注意:該函數(shù)在(0,0)點(diǎn)不連續(xù)例4 求下列函數(shù)的全微分(1) (2)設(shè),求全微分解:(1)由全微分的定義,代入有 (2)于是 例5 設(shè) 解
4、: 例6 設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求 解: 令因所給函數(shù)由復(fù)合而成,根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,有求及時(shí),應(yīng)注意仍舊是復(fù)合函數(shù),根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,有于是 例7 解1:由隱函數(shù)求導(dǎo)公式,令,則,所以代入得 解2:解出有代入得 例8 設(shè)解1. 由隱函數(shù)求導(dǎo)公式,令,則所以解2:將方程中的z看作的函數(shù),方程兩邊分別對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)得,解出,解出解3:由微分形式不變性,將方程兩邊同時(shí)求微分得 整理有所以 以上三種方法是求隱函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的常用方法。練習(xí):1.設(shè) ,且函數(shù) f 具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),求: 解 2. 設(shè) ,求: 解:所以3方程計(jì)算 解:, 所以,由此可得四 多元函數(shù)的極值與條件極值例1 求由方程 解 (
5、2分) 所以有極大值,z=6. 例2 求二元函數(shù)的極值。解: 令 得駐點(diǎn)又 所以 在駐點(diǎn)處取極小值,極小值例3 設(shè)某工廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品數(shù)量S(噸)與所用兩種原料A、B的數(shù)量x,y(噸)間的關(guān)系式是,現(xiàn)準(zhǔn)備向銀行貸款150萬元購原料,已知A,B原料每噸單價(jià)分別為1萬元和2萬元,問怎樣購進(jìn)兩種原料,才能使生產(chǎn)的數(shù)量最多?解:按題意,即求函數(shù),在條件下的最大值。 作拉格朗日函數(shù), 由,解得. 因僅有一個(gè)駐點(diǎn),且最大值一定存在,故駐點(diǎn)(100,25)為最大值點(diǎn),最大值噸,即購進(jìn)A原料100噸,B原料25噸,可使生產(chǎn)量達(dá)到最大值1250噸。 例4 某公司為推銷自己的商品,采用兩種方式做廣告,設(shè)廣告費(fèi)分別為(
6、單位:萬元),已知銷售收入R和廣告費(fèi)之間的關(guān)系為:如果銷售產(chǎn)品所得的利潤(rùn)是銷售收入的再扣除廣告費(fèi)。(1)在廣告費(fèi)不限的情況下,求最佳廣告策略 ;(2)如果廣告費(fèi)共5萬元,求最佳廣告策略。解:(1)利潤(rùn) = 由 得: 根據(jù)實(shí)際問題最值一定存在,所以廣告費(fèi)分別為5萬元和10萬元時(shí)利潤(rùn)最大。 (2)因?yàn)閺V告費(fèi)共5萬元,所以,則代入, = 再由得: ,因此,, 所以根據(jù)實(shí)際問題得:廣告費(fèi)分別為萬元和萬元時(shí)利潤(rùn)最大。四 重積分的計(jì)算例1 計(jì)算二重積分其中:(1) D為圓域(2) D由直線圍成 .解: (1) 利用對(duì)稱性. (2) 積分域如圖: 添加輔助線將D 分為利用對(duì)稱性 , 得 說明:利用對(duì)稱性求二
7、重積分,被積函數(shù)應(yīng)為奇(偶)函數(shù).例2 改變積分的次序.原式例5求重積分,其中.解:由被積函數(shù)和積分域的特點(diǎn)考慮用極坐標(biāo)積分 例6計(jì)算下列積分: .解: 六1.設(shè) 2設(shè) 其中F是任意可導(dǎo)函數(shù) 。證明:1. 證明: 因?yàn)閠是x,y的隱函數(shù),所以,又,有所以2 證明: 方程兩邊分別對(duì)x、y求偏導(dǎo)數(shù)有,代入即可。練習(xí)1設(shè)其中f具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù),求 .2. 計(jì)算重積分,其中D是由圓周及坐標(biāo)軸所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域.3. 交換積分順序= _, 4. 交換積分順序=_, 5計(jì)算二次積分= _.模擬題一、 判斷題(每小題2分,共計(jì)12分)1 對(duì)任何實(shí)數(shù)a,等式總成立。 ( )2. ( )3已知 (
8、) 4若二元函數(shù) ( )5若級(jí)數(shù)收斂,則級(jí)數(shù)一定收斂。 ( )6若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,則必有 ( )二、選擇題(每小題2分,共12分):1. 設(shè)連續(xù),則= 。 A. B C. 2D -22設(shè)冪函數(shù)在x=2處收斂,則級(jí)數(shù)_A 絕對(duì)收斂 B條件收斂 C發(fā)散 D收斂性不能確定3設(shè)函數(shù)在(0,0)處存在偏導(dǎo)數(shù),且那么 。A. 必定存在 B在(0,0)處必連續(xù)C. D4設(shè)線性無關(guān)函數(shù)是二階非齊次線性微分方程三個(gè)解,則該方程的通解為_A B C D (為任意常數(shù))5. 6設(shè)級(jí)數(shù)收斂,則 。A發(fā)散 B條件收斂 C絕對(duì)收斂 D 斂散性不能判定三、填空題(每小題2分,共12分)1.已知 。2部分和數(shù)列有界是正項(xiàng)級(jí)數(shù)收
9、斂的_條件,是任意項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的_條件。3級(jí)數(shù) 的收斂收斂域?yàn)?1,3,則的收斂域?yàn)開。4設(shè)6方程的通解為_ 四、計(jì)算題(1-6題每題5分,7、8題每題7分共44分)1 求2 設(shè),求3 計(jì)算二重積分 4 計(jì)算二重積分5 求方程的通解6 討論級(jí)數(shù)的斂散性。7 將函數(shù)展開成(x4)的冪級(jí)數(shù)。8 求冪級(jí)數(shù) 的收斂域,及在收斂區(qū)間上的和函數(shù)。六、證明題(每題5分,共計(jì)10分)1 設(shè)數(shù)列收斂,證明級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。2. 證明等式: 其中在所考慮的積分區(qū)間上連續(xù)。答案一 判斷題(每小題2分,共計(jì)12分)1 對(duì)任何實(shí)數(shù)a,等式總成立。 ( B )2. ( A )3已知 ( A ) 4若二元函數(shù) ( B )5若級(jí)數(shù)
10、收斂,則級(jí)數(shù)一定收斂。 ( B )6若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,則必有 ( B )二、選擇題(每小題2分,共12分):1. 設(shè)連續(xù),則= 。 A. B C. 2D -22設(shè)冪函數(shù)在x=2處收斂,則級(jí)數(shù)_A 絕對(duì)收斂 B條件收斂 C發(fā)散 D收斂性不能確定3設(shè)函數(shù)在(0,0)處存在偏導(dǎo)數(shù),且那么 。A. 必定存在 B在(0,0)處必連續(xù)C. D4設(shè)線性無關(guān)函數(shù)是二階非齊次線性微分方程三個(gè)解,則該方程的通解為_A B C D (為任意常數(shù))5. 6設(shè)級(jí)數(shù)收斂,則( C )。A發(fā)散 B條件收斂 C絕對(duì)收斂 D 斂散性不能判定三、填空題(每小題2分,共12分)1.已知 。2部分和數(shù)列有界是正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的_充要_條件,是任意項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的_必要_條件。3級(jí)數(shù) 的收斂收斂域?yàn)?1,3,則的收斂域?yàn)開。4設(shè)6方程的通解為_四、計(jì)算題(每題5分,共20分)2 求 解 = 2設(shè),求 解 9 計(jì)算二重積分 解: 10 計(jì)算二重積分 解 5 求方程的通解解 對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 設(shè)所給方程的特解為為待定常數(shù),代入所給方程,得, 比較同次項(xiàng)系數(shù),得于是 方程通解為 (其中為任意常數(shù)) 6討論級(jí)數(shù)的斂散性。當(dāng) 當(dāng) 當(dāng) 8將函數(shù)展開成(x4)的冪級(jí)數(shù)。解:因?yàn)椋海?故:展開式成
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