高等數(shù)學(xué)-微積分下-課件-華南理工大學(xué) (20)

1、1/62一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分二、在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分二、在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分三、二重積分的換元法三、二重積分的換元法第二節(jié)第二節(jié) 二重積分的計(jì)算二重積分的計(jì)算2/62本節(jié)介紹計(jì)算二重積分的方法本節(jié)介紹計(jì)算二重積分的方法:二重積分化為二重積分化為累次積分累次積分( (即兩次定積分即兩次定積分).).3/62(1) 積分區(qū)域積分區(qū)域?yàn)椋簽椋? bxa ).()(21xyx 其中函數(shù)其中函數(shù) 、)(1x )(2x b)(2xy )(1xy aDX型型,ba在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù).xOyxOy)(1xy )(2xy Dba一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積

2、分一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分4/62的值等于的值等于)0),(d),( yxfyxfD 計(jì)算截面面積計(jì)算截面面積),(yxfz ( 紅色部分即紅色部分即A(x0) )以以D為底為底,以曲面以曲面為頂?shù)那斨w的體積為頂?shù)那斨w的體積.應(yīng)用計(jì)算應(yīng)用計(jì)算“平平行截面面積為行截面面積為已知的立體求已知的立體求體積體積”的方法的方法.用二重積分的幾何意義說(shuō)明其計(jì)算法用二重積分的幾何意義說(shuō)明其計(jì)算法是以區(qū)間是以區(qū)間)(),(0201xx 為曲邊的曲邊梯形的面為曲邊的曲邊梯形的面積積.),(0yxfz 為底為底,曲線曲線 xyzO),(yxfz D)(2xy )(0 xAab0 x1( )yx 5/

3、62)(01x ,bax yyxfxAxxd),()()()(21 有有: DyxfV d),( baxxAd)(xbad )d),()()(21 xxyyxf )(02x yyxfxAd),()(00 先對(duì)先對(duì)y后對(duì)后對(duì)x的二次積分的二次積分稱為稱為累次積分累次積分. . Dyxf d),( baxxyyxfx)()(21d),(d 6/62(2) 積分區(qū)域積分區(qū)域?yàn)椋簽椋?dyc )()(21yxy D)(2yx cd)(1yx Y型型 Dyxf d),(先對(duì)先對(duì)x后對(duì)后對(duì)y的二次積分的二次積分也即也即 dcyyxyxfy)()(21d),(d Dyxf d),(其中函數(shù)其中函數(shù) 、)(1

4、y )(2y ,dc在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù).xOyxOyD)(2yx cd)(1yx dcyd)d),( xyxf)(1y )(2y 7/62特殊地特殊地 Dbadcyyxfxyxfd),(dd),( 如如D是上述矩形域是上述矩形域, )()(),(21yfxfyxf 且且 yxyfxfDdd)()(21即等于兩個(gè)定積分的乘積即等于兩個(gè)定積分的乘積.D為矩形域?yàn)榫匦斡?則則則則axb,cyd baxxfd)(1yyfdcd)(2 yyfxfdcd)()(21 ba(xd) ba(xd)dd( , )dbcayf x yx d2( )dcfyy 1( )fx注注8/62穿過(guò)區(qū)域且平行于穿過(guò)區(qū)

5、域且平行于y軸的直線軸的直線穿過(guò)區(qū)域且平行于穿過(guò)區(qū)域且平行于x軸的直線軸的直線abdc 計(jì)算結(jié)果一樣計(jì)算結(jié)果一樣.又是又是Y型型:(3)積分區(qū)域積分區(qū)域D既是既是X型型:, bxa )()(21xyx , dyc )()(21yxy X型區(qū)域的特點(diǎn)型區(qū)域的特點(diǎn):Y型區(qū)域的特點(diǎn)型區(qū)域的特點(diǎn):與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).但可作出但可作出適當(dāng)選擇適當(dāng)選擇.xyO9/62(4) 若區(qū)域如圖若區(qū)域如圖,在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式使用積分公式. D(用積分區(qū)域的可加性質(zhì)用積分區(qū)域的可加

6、性質(zhì))D1、D2、D3都是都是X型區(qū)域型區(qū)域則則必須分割必須分割. 321DDDxyO3D2D1D10/62例例1所圍成的區(qū)域。所圍成的區(qū)域。：，計(jì)算計(jì)算1, 222 xyxyxDdyxD 例例2所圍成的區(qū)域。所圍成的區(qū)域。：，計(jì)算計(jì)算1, 1122 yxyxDdyxyD 11/62例例3yyxxdsind1012 siny2 對(duì)對(duì)y的積分的積分而它對(duì)而它對(duì)x的積分的積分交換積分次序交換積分次序的方法是的方法是:改寫(xiě)改寫(xiě)D為為:oxy 分析分析所以將所以將二次積分二次積分先先將所給的積分域?qū)⑺o的積分域(1)(2) 畫(huà)出積分域的草圖畫(huà)出積分域的草圖(3)計(jì)算二次積分計(jì)算二次積分不能用基本積分法

7、算出不能用基本積分法算出,xy )1 , 1(可用基本積分法算出可用基本積分法算出.交換積分次序交換積分次序. .用聯(lián)立不等式表示用聯(lián)立不等式表示 D:, 10 x1 yx, 10 yyx 012/62yyxxdsind1012 yxyyd)(sin0102 yyydsin102 2102dsin21yy )1cos1(21 xyydsin02 10dyoxyxy )1 , 1(, 10: yDyx 02sinDy d 13/62又是能否進(jìn)行計(jì)算的問(wèn)題又是能否進(jìn)行計(jì)算的問(wèn)題. .計(jì)算二重積分時(shí)計(jì)算二重積分時(shí), , 恰當(dāng)?shù)倪x取積分次序恰當(dāng)?shù)倪x取積分次序十分重要十分重要, , 它不僅涉及到計(jì)算繁簡(jiǎn)

8、問(wèn)題它不僅涉及到計(jì)算繁簡(jiǎn)問(wèn)題, , 而且而且凡遇如下形式積分凡遇如下形式積分: :,dsinxxx ,d2xex ,lnd xx等等等等, ,一定要放在一定要放在后面積分后面積分. .,dsin2xx ,dcos2xx ,d2xex ,dxexy 14/62例例4 求證求證 axaxxfxayyfx000d)()(d)(d 左邊的累次積分中左邊的累次積分中,積分域積分域可表為可表為提示提示 xayyfx00d)(d ayaxyfyd)(d0 ayyfya0d)()( axxfxa0d)()(不能具體計(jì)算不能具體計(jì)算.所以所以,)(yf是是y的抽象函數(shù)的抽象函數(shù),)0( a,0ax xy 0,0

9、ay axy aayyxyf0d)(證畢證畢.先交換積分次序先交換積分次序. .axyOa),(aa 15/62例例5 求兩個(gè)底圓半徑為求兩個(gè)底圓半徑為R,且這兩個(gè)圓柱面的方程且這兩個(gè)圓柱面的方程分別為分別為 及及222Ryx .222Rzx 解解 d DyxRd22 332R 313168RVV d),(1 DyxfV22xRy 222Ryx 立體底部立體底部求所圍成的求所圍成的立體的體積立體的體積.xoyzoxyDR22xR 22xR 0 xd0R22xRz 曲曲頂頂16/62計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分,dd,max22 Dyxyxe其中其中.10 , 10),( yxyxDxyO 解解 1

10、12D1D設(shè)設(shè), 10),( 1 xyxDxy 0, 10),( 2 xyxD1 yx Dyxyxedd,max22 122dd,maxDyxyxe 222dd,maxDyxyxe 12ddDxyxe 22ddDyyxe xxyex010dd2 yyxey010dd2. 1 e17/62解解 121d)(xeexxee2183 xeyxeyIyyxyyxydddd121212141 計(jì)算積分計(jì)算積分xexyd 不能用初等函數(shù)表示不能用初等函數(shù)表示,先交換積分次序先交換積分次序.yexyd x2x xd I211112141xy 2xy 21Oxy18/62iiiiiirrr 2221)(21i

11、rr iirrr OADi ii i ( ,)iir iiiirrr )2(2121()2iiiiir rr ,iiirr 極坐標(biāo)系中的面積元素極坐標(biāo)系中的面積元素rdrdd二、在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分二、在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分19/62 Dyxf d),(d d( cos , sin )rDf rrr r 極坐標(biāo)系中的面積元素極坐標(biāo)系中的面積元素rdrdd20/62 1( )r 2( )r d d( cos , sin )Df rrr r (1) 積分區(qū)域積分區(qū)域D:, 12( )( )r AO1( )r 2( )r D d)(1 d( cos , sin )f rrr r )(2 OAD

12、二重積分化為二次積分的公式（）二重積分化為二次積分的公式（）21/62D dd( )0( cos , sin )f rrr r (2)積分區(qū)域積分區(qū)域D(曲邊扇形曲邊扇形):, 0( )r d d( cos , sin )Df rrr r AOAO D ( )r ( )r 二重積分化為二次積分的公式（）二重積分化為二次積分的公式（）22/62d d( cos , sin )Df rrr r dd2( )00( cos , sin )f rrr r 極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系下區(qū)域的下區(qū)域的面積面積d dDr r (3) 積分區(qū)域積分區(qū)域D:,20 0( )r DoA( )r 注注一般一般,在極坐標(biāo)系下計(jì)

13、算在極坐標(biāo)系下計(jì)算:r 先對(duì) 再對(duì) 積分先對(duì) 再對(duì) 積分二重積分化為二次積分的公式（二重積分化為二次積分的公式（3）23/62例例1 1 寫(xiě)寫(xiě)出出積積分分 Ddxdyyxf),(的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)二二次次積積分分形形式式，其其中中積積分分區(qū)區(qū)域域,11| ),(2xyxyxD 10 x.1 yx122 yx解解在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下 sincosryrx所所以以圓圓方方程程為為 1 r,直直線線方方程程為為 cossin1 r, Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd24/62例例 2 2 計(jì)算計(jì)算dxdyeDyx 22，其中，其中 D 是由中心在是由中

14、心在原點(diǎn)，半徑為原點(diǎn)，半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域的圓周所圍成的閉區(qū)域.解解在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下D：ar 0， 20.dxdyeDyx 22 arrdred0202).1(2ae 25/62例例3 3 求求廣廣義義積積分分 02dxex.解解| ),(2221RyxyxD 2| ),(2222RyxyxD 0 ,0| ),(RyRxyxS 顯顯然然有有 21DSD , 022 yxe 122Dyxdxdye Syxdxdye22.222 Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR226/62又又 SyxdxdyeI22 RyRxdyedxe0022;)(202 Rxdxe 1I 122Dyx

15、dxdye Rrrdred0022);1(42Re 同理同理 2I 222Dyxdxdye);1(422Re 27/62當(dāng)當(dāng) R時(shí)時(shí),41 I,42 I故故當(dāng)當(dāng) R時(shí)時(shí),4 I即即 20)(2dxex4 ,所求廣義積分所求廣義積分 02dxex2 .,21III );1(4)()1(4222220RRxRedxee 28/62例例 4 4 計(jì)算計(jì)算dxdyyxD)(22 ，其，其 D為由圓為由圓yyx222 ，yyx422 及直線及直線yx3 0 ，03 xy 所圍成的平面閉區(qū)域所圍成的平面閉區(qū)域.解解32 61 sin4 r sin2 rdxdyyxD)(22 36sin4sin22rdrr

16、d).32(15 yyx422 yyx222 03 yx03 xy29/62例例 5 5 計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分 Ddxdyyxyx2222)sin(,其中積分區(qū)域?yàn)槠渲蟹e分區(qū)域?yàn)?1| ),(22 yxyxD.解解由對(duì)稱性，可只考慮第一象限部分由對(duì)稱性，可只考慮第一象限部分， 注意：注意：被積函數(shù)也要有對(duì)稱性被積函數(shù)也要有對(duì)稱性. Ddxdyyxyx2222)sin(4 12222)sin(Ddxdyyxyx 210sin42rdrrrd. 4 14DD 1D30/62例例 6 6 求曲線求曲線 )(2)(222222yxayx 和和222ayx 所圍成的圖形的面積所圍成的圖形的面積.解解

17、根根據(jù)據(jù)對(duì)對(duì)稱稱性性有有 14DD 在在極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下)(2)(222222yxayx ,2cos2 ar ,222arayx 1D31/62由由 arar 2cos2, 得得交交點(diǎn)點(diǎn))6,( aA, 所求面積所求面積 Ddxdy 14Ddxdy 2cos2064aardrd).33(2 a32/62 二重積分的計(jì)算規(guī)律二重積分的計(jì)算規(guī)律再確定再確定交換積分次交換積分次1. 交換積分次序交換積分次序:先依給定的積分次序?qū)懗龇e分域先依給定的積分次序?qū)懗龇e分域D的的不等式不等式, 并畫(huà)并畫(huà)D的草圖的草圖;序后的積分限序后的積分限;2. 如被積函數(shù)為如被積函數(shù)為圓環(huán)域時(shí)圓環(huán)域時(shí),或積分域?yàn)榛蚍e

18、分域?yàn)?,(22yxf ),(22yxf ),(xyf)(arctanxyf圓域、扇形域、圓域、扇形域、則用極坐標(biāo)計(jì)算則用極坐標(biāo)計(jì)算;33/62 3. 注意利用對(duì)稱性質(zhì)注意利用對(duì)稱性質(zhì),數(shù)中的絕對(duì)值符號(hào)數(shù)中的絕對(duì)值符號(hào).以便簡(jiǎn)化計(jì)算以便簡(jiǎn)化計(jì)算;4. 被積函數(shù)中含有絕對(duì)值符號(hào)時(shí)被積函數(shù)中含有絕對(duì)值符號(hào)時(shí), 應(yīng)應(yīng)將積分域分割成幾個(gè)子域?qū)⒎e分域分割成幾個(gè)子域, 使被積函數(shù)在使被積函數(shù)在每個(gè)子域中保持同一符號(hào)每個(gè)子域中保持同一符號(hào), 以消除被積函以消除被積函34/624 計(jì)算計(jì)算16:22 yxD因被積函數(shù)因被積函數(shù)422 yx4:221 yxD164:222 yxDD2 d)4(221yxID d

19、)4(222 yxD極坐標(biāo)極坐標(biāo) d|4|22 DyxI練習(xí)：練習(xí)：分析：分析：故故 80 422 yx的的在積分域內(nèi)變號(hào)在積分域內(nèi)變號(hào).2xoyD135/62 計(jì)算計(jì)算,dd|)|(| Dyxyx0, 1|:| xyxD解解 積分區(qū)域積分區(qū)域D關(guān)于關(guān)于x軸對(duì)稱軸對(duì)稱,被積函數(shù)關(guān)于被積函數(shù)關(guān)于y為偶函數(shù)為偶函數(shù).原式原式=記記D1為為D的的y0的部分的部分. yxyxdd|)|(| 1dd)(2Dyxxy xyxyx1001d)(d2則則21D32 xyoD111 1 yx1 1 yx36/62 .sin,cosryrx間的關(guān)系為間的關(guān)系為坐標(biāo)與極坐標(biāo)之坐標(biāo)與極坐標(biāo)之平面上同一個(gè)點(diǎn)，直角平面上

20、同一個(gè)點(diǎn)，直角的一種變換，的一種變換，坐標(biāo)平面坐標(biāo)平面到直角到直角平面平面上式可看成是從極坐標(biāo)上式可看成是從極坐標(biāo)xoyro 換是一對(duì)一的換是一對(duì)一的，且這種變，且這種變平面上的一點(diǎn)平面上的一點(diǎn)成成，通過(guò)上式變換，變，通過(guò)上式變換，變面上的一點(diǎn)面上的一點(diǎn)平平即對(duì)于即對(duì)于),(),(yxMxoyrMro 三、三、二重積分的換元法二重積分的換元法37/62( , ):( , ),( , )(1)( , ), ( , )( , )(2)( , )0;( , )(3):( , ) ( , ), ( , )( , ).DDf x yxoyDTxx u vyy u vuovDxoyDx u vy u vD

21、x yDJ u vu vT DDf x y dxdyf x u vy u vJ u v dudv定理 設(shè)在平面上的閉區(qū)域上連續(xù)，變換將平面上的閉區(qū)域變?yōu)槠矫嫔系模覞M足在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；在上雅可比式變換是一對(duì)一的，則有38/62例例2 2解解所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域橢圓橢圓為為其中其中計(jì)算計(jì)算1,122222222 byaxDdxdybyaxD.20, 0, 0, 0 rba其中其中 ,sin,cosbryarx作廣義極坐標(biāo)變換作廣義極坐標(biāo)變換,20,10),( rrDD在在這這變變換換下下39/62.),(),(abrryxJ 故換元公式仍成立，故換元公式仍成立，處為零，處為零，內(nèi)僅當(dāng)內(nèi)僅當(dāng)在在0 rDJ drdabrrdxdybyaxDD 2222211.32ab D xyO40/62的形式的形式同時(shí)也兼顧被積函數(shù)同時(shí)也兼顧被積函數(shù)的形狀，的形狀，于積分區(qū)域于積分區(qū)域作什么變換主要取決作什么變換主要取決),(1yxfD基本要求基本要求: :變換后定限簡(jiǎn)便，求積容易變換后定限簡(jiǎn)便，求積容易.),(),(1),(),(. 2yxvuvuyxJ 注意注意41/62思考題思考題 10,d)(,1 ,