2008年北京高考理科數(shù)學(xué)試題及答案

1、2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)）（北京卷）本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，第卷1至2頁(yè)，第卷3至9頁(yè)，共150分考試時(shí)間120分鐘考試結(jié)束，將本試卷和答題卡一并交回第卷（選擇題 共40分）注意事項(xiàng)：1答第卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目涂寫(xiě)在答題卡上2每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案不能答在試卷上一、本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)1已知全集，集合，那么集合等于（ ）ABCD2若，則（ ）ABCD3“函數(shù)存在反函數(shù)”是“函數(shù)在

2、上為增函數(shù)”的（ ）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件4若點(diǎn)到直線(xiàn)的距離比它到點(diǎn)的距離小1，則點(diǎn)的軌跡為（ ）A圓B橢圓C雙曲線(xiàn)D拋物線(xiàn)5若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足則的最小值是（ ）A0B1CD96已知數(shù)列對(duì)任意的滿(mǎn)足，且，那么等于（ ）ABCD7過(guò)直線(xiàn)上的一點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)，當(dāng)直線(xiàn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)時(shí)，它們之間的夾角為（ ）ABCDyxAOyxBOyxCOyxDO8如圖，動(dòng)點(diǎn)在正方體的對(duì)角線(xiàn)上過(guò)點(diǎn)作垂直于平面的直線(xiàn)，與正方體表面相交于設(shè)，則函數(shù)的圖象大致是（ ）A1ABCDMNPB1C1D12008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)）（北京卷）第卷（共110分）注意事

3、項(xiàng)：1用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫(xiě)在試卷上2答卷前將密封線(xiàn)內(nèi)的項(xiàng)目填寫(xiě)清楚二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分把答案填在題中橫線(xiàn)上9已知，其中是虛數(shù)單位，那么實(shí)數(shù) 10已知向量與的夾角為，且，那么的值為 11若展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為32，則 ，其展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為 （用數(shù)字作答）2BCAyx1O3456123412如圖，函數(shù)的圖象是折線(xiàn)段，其中的坐標(biāo)分別為，則 ； （用數(shù)字作答）13已知函數(shù)，對(duì)于上的任意，有如下條件：；其中能使恒成立的條件序號(hào)是 14某校數(shù)學(xué)課外小組在坐標(biāo)紙上，為學(xué)校的一塊空地設(shè)計(jì)植樹(shù)方案如下：第棵樹(shù)種植在點(diǎn)處，其中，當(dāng)時(shí)，表示非負(fù)實(shí)數(shù)的整數(shù)部分，例如，按此方案，第

4、6棵樹(shù)種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為 ；第2008棵樹(shù)種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為 三、解答題：本大題共6小題，共80分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程15（本小題共13分）已知函數(shù)（）的最小正周期為（）求的值；（）求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍16（本小題共14分）ACBP如圖，在三棱錐中，（）求證：；（）求二面角的大??；（）求點(diǎn)到平面的距離17（本小題共13分）甲、乙等五名奧運(yùn)志愿者被隨機(jī)地分到四個(gè)不同的崗位服務(wù)，每個(gè)崗位至少有一名志愿者（）求甲、乙兩人同時(shí)參加崗位服務(wù)的概率；（）求甲、乙兩人不在同一個(gè)崗位服務(wù)的概率；（）設(shè)隨機(jī)變量為這五名志愿者中參加崗位服務(wù)的人數(shù)，求的分布列18（本小題共13分）已知函數(shù)，求導(dǎo)函

5、數(shù)，并確定的單調(diào)區(qū)間19（本小題共14分）已知菱形的頂點(diǎn)在橢圓上，對(duì)角線(xiàn)所在直線(xiàn)的斜率為1（）當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，求直線(xiàn)的方程；（）當(dāng)時(shí)，求菱形面積的最大值20（本小題共13分）對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的數(shù)列，定義變換，將數(shù)列變換成數(shù)列對(duì)于每項(xiàng)均是非負(fù)整數(shù)的數(shù)列，定義變換，將數(shù)列各項(xiàng)從大到小排列，然后去掉所有為零的項(xiàng)，得到數(shù)列；又定義設(shè)是每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，令（）如果數(shù)列為5，3，2，寫(xiě)出數(shù)列；（）對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列，證明；（）證明：對(duì)于任意給定的每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)）（北京卷）參考答案一、選擇題（本大題共8小題

6、，每小題5分，共40分）1D2A3B4D5B6C7C8B二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）91011510121314 三、解答題（本大題共6小題，共80分）15（共13分）解：（）因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，且，所以，解得（）由（）得因?yàn)?，所以，所以，因此，即的取值范圍?6（共14分）ACBDP解法一：（）取中點(diǎn)，連結(jié)，ACBEP，平面平面，（），又，又，即，且，平面取中點(diǎn)連結(jié)，是在平面內(nèi)的射影，是二面角的平面角在中，ACBDPH二面角的大小為（）由（）知平面，平面平面過(guò)作，垂足為平面平面，平面的長(zhǎng)即為點(diǎn)到平面的距離由（）知，又，且，平面平面，在中，點(diǎn)到平面的距離為解法二：（）

7、，又，平面平面，（）如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)CBPzxyHE則設(shè)，取中點(diǎn)，連結(jié)，是二面角的平面角，二面角的大小為（），在平面內(nèi)的射影為正的中心，且的長(zhǎng)為點(diǎn)到平面的距離如（）建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)到平面的距離為17（共13分）解：（）記甲、乙兩人同時(shí)參加崗位服務(wù)為事件，那么，即甲、乙兩人同時(shí)參加崗位服務(wù)的概率是（）記甲、乙兩人同時(shí)參加同一崗位服務(wù)為事件，那么，所以，甲、乙兩人不在同一崗位服務(wù)的概率是（）隨機(jī)變量可能取的值為1，2事件“”是指有兩人同時(shí)參加崗位服務(wù)，則所以，的分布列是1318（共13分）解：令，得當(dāng)，即時(shí)，的變化情況如下表：0當(dāng)，即時(shí)，的變化情況如下表：0所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減當(dāng)，即時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減19（共14分）解：（）由題意得直線(xiàn)的方程為因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以于是可設(shè)直線(xiàn)的方程為由得因?yàn)樵跈E圓上，所以，解得設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則，所以所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為由四邊形為菱形可知，點(diǎn)在直線(xiàn)上， 所以，解得所以直線(xiàn)的方程為，即（）因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，且，所以所以菱形的面積由（）可得，所以所以當(dāng)時(shí)，菱形的面積取得最大值20（共13分）（）解：，；，（）證明：設(shè)每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列為，則為，從而又，所以，故（