八個(gè)無(wú)敵模型——全搞定空間幾何的外接球和內(nèi)切球問(wèn)題

1、八個(gè)有趣模型一一搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球文：付雨樓、段永建今天給大家?guī)?lái)8個(gè)求解立體幾何內(nèi)切球與外接球半徑的模型，本文最開始 源自付雨樓老師分享的模型，教研 QQ群（群號(hào)：9）成員段永建老師進(jìn)一步作圖編 輯優(yōu)化分享。方法：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式（2R） a類型一、墻角模型（三條線兩個(gè)垂直，不找球心的位置即可求出球半徑）22 b2 c2，即 2Ra2 b2 c2，求出 R例1A.（1）已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為16 B . 20 C . 244，體積為16，則這個(gè)球的表面積是（C ）D . 32(2)若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為則其外接球的表面積是解:(1

2、) Va2h16，a 2，4Ra2 h24 4 16 24，S24 ，選 C；(2)4R23 33 9，S 4 R2（3 ）在正三棱錐中,分別是棱的中點(diǎn)，且AM MN,若側(cè)棱，則正三棱錐S ABC外接球的表面積。36解：引理：正三棱錐的對(duì)棱互垂直 。證明如下:AE,CD交于H，連接SH，則H是底面正三角如圖（3）-1，取AB,BC的中點(diǎn)D, E，連接AE,CD，形ABC的中心， SH 平面ABC， SH AB，AC BC，AD BD， CD AB， AB 平面 SCD，AB SC，同理：BC SA，AC SB，即正三棱錐的對(duì)棱互垂直,本題圖如圖（3） -2， AMMN，SB/MN，236，即

3、4R236，正三棱錐S ABC外接球的表面積是36（4）在四面體中，SA 平面ABC ，BAC 120 ,SA AC 2,AB 1,則該四面體的外接球的表面AM SB， AC SB， SB 平面 SAC，SB SA，SB SC， SB SA，BC SA，SA 平面 SBC， SA SC，故三棱錐S ABC的三棱條側(cè)棱兩兩互相垂直,(2R)2 (2.3)2 (2.3)2 (2.3)2(6) (2R)22 ab2e23, R23R4.324343.3、3V - R3382積為(D ) A11B.710C.(5)如果二棱錐的二個(gè)側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為40D.36、4、3，那么它的外接球的表面

4、積是(6)已知某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長(zhǎng)為 何體外接球的體積為1的等腰直角三角形和邊長(zhǎng)為 1的正方形,則該幾解析：(4)在 ABC 中，BC2 AC2 AB2 2AB BC cos120ABC的外接球直徑為2rBC7sin BAC,32(2R)2 (2r)2 SA2(5)三條側(cè)棱兩兩生直，設(shè)三條側(cè)棱長(zhǎng)分別為a,b,c( a,b,c R )，則ab 12be8 ,abe 24,a 3, b 4, e 2 , (2r)2 a2 b2 e2 29, S 4 R2ac629類型二、垂面模型(一條直線垂直于一個(gè)平面)1.題設(shè)：如圖5, PA平面ABC解題步驟：第一步：將 ABC畫在小圓面上，

5、 A為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直 徑AD，連接PD，貝U PD必過(guò)球心0 ;第二步:O1為ABC的外心，所以O(shè)O1 平面ABC，算出小圓第三步:R2徑O1Dasin Ar (三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得化為 2r)，OO1 2pa；利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：(2R)2 PA2(2r)22R . PA2(2r)2r2 OO12 Rr2 OO12三棱錐P ABC的三條側(cè)棱相等P點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn)2.題設(shè)：如圖6, 7, 8, P的射影是 ABC的外心 三棱錐P ABC的底面 ABC在圓錐的底上，頂點(diǎn)解題步驟：第一步：確定球心 0的位置，取 ABC的外心01，則PQ'O

6、j三點(diǎn)共線;第二步：先算出小圓 01的半徑A01 r，再算出棱錐的高 P01 h （也是圓錐的高）；第三步：勾股定理： OA2 OiA2 O1O2R2 （h R）2 r2，解出RA.B.C.D.以上都不對(duì)解:選 C，(.3R)21R2, 3 2、3R R2 1 R2, 4 2、3R 0,RD 4r2 163例2 一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（）C方法二：小圓直徑參與構(gòu)造大圓。類型三、切瓜模型（兩個(gè)平面互相垂直）1題設(shè):如圖 9-1，平面PAC 平面 ABC ,且ABBC （即AC為小圓的直徑）第一步：易知球心 O必是PAC的外心，即PAC的外接圓是大圓，先求出小圓的

7、直徑AC2r ；第二步：在 PAC中，可根據(jù)正弦定理ab2R，求出Rsin Asin Bsin C2.如圖9-2，平面 PAC平面ABC，且ABBC（即AC為小圓的直徑）OC2O1C2 O1O2R2r2 O1O2AC2. R2O1O23.如圖9-3，平面 PAC平面ABC，且AB；BC（即AC為小圓的直徑），且 P的射影是ABC的外心三棱錐P ABC的三條側(cè)棱相等三棱PABC的底面 ABC在圓錐的底上，頂點(diǎn)P點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn)解題步驟：第一步：確定球心 O的位置，取 ABC的外心O1，則PQOj三點(diǎn)共線;第二步：先算出小圓 O1的半徑AO1 r，再算出棱錐的高 PO1 h （也是圓錐的高）；第三

8、步：勾股定理： OA2 OiA2 O1O2R2 (h R)2 r2，解出R4.如圖9-3，平面PAC 平面ABC，且AB BC (即AC為小圓的直徑)，且 PA AC，貝U利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：(2R)2 PA2 (2r)22R .PA2 (2r)2 ； R2 r2 OO12R r2 00：例3 (1)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為1，底面邊長(zhǎng)為2 . 3，則該球的表面積為 (2)正四棱錐S ABCD的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為2，各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為解：(1)由正弦定理或找球心都可得 2R 7, S 4 R249(2)方法找球心的位置，易知r 1 ,

9、h1, h r,故球心在正方形的中心方法二：大圓是軸截面所的外接圓，即大圓是42R 2, R 1 , V 3SAC的外接圓，此處特殊,ABCD 處，R 1, V 3Rt SAC的斜邊是球半徑，(3) 在三棱錐P ABC中，PA PB PC 3,側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60 ,則該三棱錐外接球的體積為()A.B.C. 4D.解：選D,圓錐A, B,C在以r 的圓上，R 12(4) 已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的求面上，是邊長(zhǎng)為的正三角形，為球的直徑，且，則此棱錐的體積為()AA.B.C .D.22, /、326 , 2 6 、， 1 , 13 2.62解：OO1 R r 1(), h, V

10、ShV 33333436類型四、漢堡模型(直棱柱的外接球、圓柱的外接球)題設(shè)：如圖10-1，圖10-2，圖10-3,直三棱柱內(nèi)接于球(同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以 是任意三角形)第一步：確定球心 O的位置，O1是 ABC的外心，則OO1 平面ABC ；1 1第二步：算出小圓O<!的半徑AO1r , OO1 AA1h ( AA1h也是圓柱的高)；2 2第三步：勾股定理：OA2 O1A2O1O2R2(-)2r2 RJr2(-)2，解出R2 2例4(1) 一個(gè)正六棱柱的底面上正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,且該六棱柱的體積為 -，底面周長(zhǎng)為3，則這

11、個(gè)球的體積為81 解：設(shè)正六邊形邊長(zhǎng)為 a，正六棱柱的高為 h，底面外接圓的關(guān)徑為 r，則a -,2底面積為 s 6 三(丄)2 口，V柱 Sh9， h 、.3，R2 ( 3)2428 柱882R 1，球的體積為V 3(2)直三棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若，則此球的表面積等于解：BC2 . 3，2r2、3sin 1204，r 2，R 、5，S 20(3)已知 EAB所在的平面與矩形 ABCD所在的平面互相垂直,EA EB 3, AD2, AEB 60，則多面體E ABCD的外接球的表面積為16解析：折疊型，法一:EAB的外接圓半徑為r,OO1R .1 32 ；法二:O1M32O2D.132，

12、R2S 16(4)在直三棱柱ABCA B1C1 中，AB4,AC6,A3，AA14則直三棱柱ABC A1B1C1的外接球的表面積為1603解析:2BC 163628，BC 2 7，2r 2 7_32R2r2 （出）2228403類型五、折疊模型(如圖11)題設(shè)：兩個(gè)全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊第一步：先畫出如圖所示的圖形，將BCD畫在小圓上，找出 BCD和 ABD的外心H1和H2 ；第二步：過(guò)H1和H2分別作平面BCD和平面ABD的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為球心O，連接OE,OC ；第三步：解 OEHi，算出OHi，在Rt OCHi中，勾股定理： OH； CH； OC2例5三棱錐P

13、ABC中，平面PAC 平面ABC , PAC和厶ABC均為邊長(zhǎng)為2的正三角形，則三棱錐P ABC外接球的半徑為2421解析:2r12r2sin 603，r1DO2H3,3，_2亠221 45 15Ro2h石 一,R3 333法二:o2h1,O1H1AH1,.3.3R2AO2AH 2O1H2O1O25R1533類型六、對(duì)棱相等模型（補(bǔ)形為長(zhǎng)方體）a,b,c，AD BC x，AB CD y，AC BD z，列方程組,題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對(duì)棱分別相等， 求外接球半徑（AB CD，AD BC，AC BD） 第一步：畫出一個(gè)長(zhǎng)方體，標(biāo)出三組互為異面直線的對(duì)棱；第三步：根據(jù)墻角模型,2Ra

14、2 b2 c22 ab22 x22 2b22 c2y(2R)22 ab22 xy zc,2c22 a2 z補(bǔ)充:VaBCDabc 1abc4 1abc63第二步：設(shè)出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為2 2 2 2 2 2R2%； z，R x ； z，求出 R，例如，正四面體的外接球半徑可用此法。例6 （ 1）棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過(guò)該球球心的一 個(gè)截面如圖，則圖中三角形 （正四面體的截面）的面積是（2）一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是（）A.B . C . D .解：（1）截面為 PCOi，面積是 2 ；（2）

15、高h(yuǎn) R 1，底面外接圓的半徑為 R 1，直徑為2R 2 ,設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，則2R a 2 , a , S 3 a23 3 ,sin 6044113三棱錐的體積為V - Sh 34（3）在三棱錐 A BCD中，AB CD 2,AD BC 3,AC BD 4,則三棱錐 A BCD外接球的表29面積為。2解析：如圖12,設(shè)補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，三個(gè)長(zhǎng)度為三對(duì)面的對(duì)角線長(zhǎng)，設(shè)長(zhǎng)寬高分別為a,b,c，則a2 b2 9 ,b22 2c a 162(a22 2b c ) 9 4 1629，2 22(a b2c ) 9 4 1629，29229，4r22如圖所示三棱錐，其中則該三棱錐外接球的表面積為解析：同上，設(shè)補(bǔ)

16、形為長(zhǎng)方體，三個(gè)長(zhǎng)度為三對(duì)面的對(duì)角線長(zhǎng),a2b2c2(4)設(shè)長(zhǎng)寬高分別為a,b,c，2（a2 b2 c2） 25 36 49 110，a2 b2 c2 55，4R2 55，S 55【55;對(duì)稱幾何體；放到長(zhǎng)方體中】（5）正四面體的各條棱長(zhǎng)都為2，則該正面體外接球的體積為 解析：這是特殊情況，但也是對(duì)棱相等的模式，放入長(zhǎng)方體中，2R -.3，32類型七、兩直角三角形拼接在一起（斜邊相同，也可看作矩形沿對(duì)角線折起所得三棱錐）模型0,連接題設(shè)： APB ACB 90，求三棱錐P ABC外接球半徑（分析：取公共的斜邊的中點(diǎn)1OP,OC，則OA OB OC OP AB， O為三棱錐P ABC外接球球心，

17、然后在 0CP中求出 2半徑），當(dāng)看作矩形沿對(duì)角線折起所得三棱錐時(shí)與折起成的二面角大小無(wú)關(guān)，只要不是平角球半徑都為定 值。則四面體ABCD的外接球的體積為（)125125125125A.BCD.12963543 4125125解：(1) 2R AC 5, RVR3-，選C2，3386（2）在矩形ABCD中，AB2,BC3,沿BD將矩形ABCD折疊,連接AC,所得三棱錐A例7（ 1）在矩形ABCD中，AB 4，BC 3，沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角 B AC的外接球的表面積為 BCD解析：（2）BD的中點(diǎn)是球心O，2R BD 13，S 4 R2 13 ；類型八、錐體的內(nèi)切球問(wèn)題 1 題設(shè)

18、：如圖14，三棱錐P ABC上正三棱錐，求其外接球的半徑。第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，E,H分別是兩個(gè)三角形的外心；第二步：求DH -BD , PO PH r, PD是側(cè)面 ABP的高； 3第三步：由 POE相似于 PDH，建立等式： 竺 史，解出rDH PD2題設(shè)：如圖15，四棱錐P ABC上正四棱錐，求其外接球的半徑第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，P,O,H三點(diǎn)共線；1第二步：求FH BC , PO PH r , PF是側(cè)面 PCD的高;2第三步：由 POG相似于 PFH，建立等式：OG 竺，解出HF PF3題設(shè)：三棱錐 P ABC是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和相等 第一步：先畫出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積；VP ABC1S rABC 13SPAB3r SPAC r31S rPBC 13(S ABC3S PABSPACS PBC ) r第三步：解出r3VP ABCSoABCSoPABSo pacSo pbc習(xí)題：1.若三棱錐SABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且SA2 ,SB SC4,則該三棱錐的外接球半徑為A. 3B.6C. 36D.9第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，建立等式：VpabcVoabcVopabVopacVo