八上全等三角形證明方法歸納經典

1、【第1部分 全等基礎知識歸納、小結】1、全等三角形的定義:能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形。兩個全等三角形中,互相重合的頂點叫做 對應頂點，互相重合的邊叫 對應邊，互相重合的角叫對應角。概念深入理解:(1 )形狀一樣，大小也一樣的兩個三角形稱為全等三角形。(外觀長的像)(2 )經過平移、旋轉、翻折之后能夠完全重合的兩個三角形稱為全等三角形。(位置變化)2、全等三角形的表示方法：若 ABC和 A B是;全等的，記作“ ABC A B'”C'其中，“也”讀作“全等于”。記兩個三角形全等時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上。3、全等三角形的性質:全等是工具、手段，最終是為

2、了得到邊等或角等，從而解決某些問題。(1)全等三角形的對應角相等、對應邊相等。(2)全等三角形的對應邊上的高，中線，角平分線對應相等。(3 )全等三角形周長，面積相等。4、尋找對應元素的方法(1 )根據對應頂點找如果兩個三角形全等，那么，以對應頂點為頂點的角是對應角；以對應頂點為端點的邊 是對應邊。通常情況下，兩個三角形全等時，對應頂點的字母都寫在對應的位置上，因此, 由全等三角形的記法便可寫出對應的元素。(2 )根據已知的對應元素尋找全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊;可以看出其中一個是由另一個3 ）通過觀察，想象圖形的運動變化狀況，確定對應關系。通過對兩個全等三角

3、形各種不同位置關系的觀察和分析，經過下列各種運動而形成的;運動一般有 3 種：平移、對稱、旋轉;5 、全等三角形的判定：深入理解）邊邊邊（SSS）邊角邊（SAS ）角邊角（ASA ）角角邊（AAS ）斜邊，直角邊（HL)注意：（容易出錯）1）在判定兩個三角形全等時，至少有一邊對應相等（邊定全等）AAA ;有兩邊和其中一角（2 ）不能證明兩個三角形全等的是，三個角對應相等，即對應相等，即 SSA 。全等三角形是研究兩個封閉圖形之間的基本工具，同時也是移動圖形位置的工具。 在平面幾何知識應用中， 若證明線段相等或角相等， 或需要移動圖形或移動圖形元素的位置， 常 常需要借助全等三角形的知識。6 、

4、常見輔助線寫法： （照著輔助線說明要能做出圖、養(yǎng)成嚴謹、嚴密的習慣）如： 過點 A 作 BC 的平行線 AF 交 DE 于 F過點 A 作 BC 的垂線，垂足為 D延長AB至C,使BC = AC在 AB上截取 AC,使 AC = DE作/ ABC的平分線，交 AC于D取AB中點C,連接CD交EF于G點同一條輔助線，可以說法不一樣，那么得到的條件、證明的方法也不同?！镜?部分中點條件的運用】1、還原中心對稱圖形（倍長中線法）中心對稱與中心對稱圖形知識:B，如果它能夠與另一個圖形重合,那么就說這B把一個圖形繞著某一個點旋轉180兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱,這個點叫做對稱中心。 這兩個圖形中的

5、對應點叫做關于中心的對稱點。中心對稱的兩條基本性質:（1）關于中心對稱的兩個圖形， 對稱點所連線段都經過對稱中心，而且被對稱中心所平分。（2 ）關于中心對稱的兩個圖形是全等圖形。中心對稱圖形把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心。（一個圖形）如：平行四邊形所以遇到中點問題，依托中點借助輔線段本身就是中心對稱圖形 ，中點就是它的對稱中心,助線還原中點對稱圖形，可以把分散的條件集中起來（集散思想）。例1、AD是 ABC中BC邊上的中線,若AB 2，AC 4，則AD的取值范圍是例2、已知在 ABC中，A

6、D是BC邊上的中線,AF EF，求證：AC BE。例3、如圖,的中線。求證：AC=2AED 是 ABC 的邊 BC 上的點，且 CD=AB , / ADB= / BAD , AE 是 ABD例 4 ABCSvBOCSVCOA SvAOB中，AD、BE、CF是三邊對應中線。（則0為重心）求證：AD、BE、CF交于點0。（類倍長中線）；練習求證：AB AC1、在ABC中，D為BC邊上的點，已知 / BAD / CAD , BD CD ,2、如圖，已知四邊形 ABCD中，ABCD，M、N分別為BC、AD中點,CD延長線交于 E、F，求證/ BEM/ CFM延長MN與AB、DE=2AM3、如圖，AB=

7、AE , AB 丄 AE , AD=AC,AD丄AC，點M為BC的中點，求證:（基本型：同角或等角的補角相等、K型）D2、兩條平行線間線段的中點（八字型”全等）如圖，li / I2 , C是線段AB的中點，那么過點 C的任何直線都可以和二條平行線以及AB構造“8字型”全等 I1/ 12例1已知梯形 ABCD，AD/ BC,點E是AB的中點，連接 DE、CE。已知 ABD和 ACE都是直角三角形，且 / ABD / ACE=90 °，連接DE，設M為八1求證：SVDEC2 SBaBCD如圖，在平行四邊形 ABCD中，AD=2AB , M是AD的中點，CE丄AB于點E,/ CEM=40D

8、E的中點。求證:MB MC ;設/ BAD / CAE，固定 Rt ABD，讓 Rt ACEMB MC是否成立？請證明你的結論。移至圖示位置，此時EE，求/ DME的大小。（提示：直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半）練習1、已知：如圖，梯形 ABCD中，AD / BC , / ABC=90 .若BD=BC , F是CD的中點，試問：/ BAF與/ BCD的大小關系如何？請寫出你的結論并加以證明;(1)求證:MD=ME2、Rt ABC 中，/ BAC=90 ° , M 為 BC 的中點，過 點D，過C作CE I于點E。(結合前面“8字型”全等，仔細思考)E3、如圖(1 ),在正方形 AB

9、CD和正方形 CGEF ( CG > BC)中，點 B、C、G在同一直線上，M是AE的中點，(1 )探究線段 MD、MF的位置及數(shù)量關系，并證明;(2 )將圖(1)中的正方形 CGEF繞點C順時針旋轉，使正方形 CGEF的對角線CE恰好(1 )中得到的兩個與正方形ABCD的邊BC在同一條直線上，原問題中的其他條件不變。結論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明。3、構造中位線三角形中位線 定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線三角形中位線性質：三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半.重點區(qū)分：要把三角形的中位線與三角形的中線區(qū)分開,三角形中線是連結一頂點和它對邊的中點；而

10、三角形中位線是連結三角形兩邊中點的線段。1（全等法）在 ABC中，D、E分別是 AB、AC邊的中點，證明： DE / BC, DE= BC2證明：延長 DE至F點，使DE=EF，連接CF （倍長中線）AF三角形的中位線在位置關系和數(shù)量關系二方面把三角形有關線段聯(lián)系起來,將題目給出的分散條件集中起來（集散思想）。注：題目中給出多個中點時，往往中點還是不夠用的。在四邊形 ABCD 中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、求證：四邊形 EFGH是平行四邊形。DG已知四邊形 ABCD的對角線AC與BD相交于點0,且 AC=BD ,M、N分別是AB、CD的中點，MN分別交BD、AC于點E、F.練習你能

11、說出0E與OF的大小關系并加以證明嗎?1、三角形ABC中，AD是/ BAC的角平分線,CBD丄AD，點D是垂足，點E是邊BC的中點，如果 AB=6 , AC=14，求DE的長。2、AB / CD , BC / AD , DE 丄 BE,DF=EF，甲從B出發(fā)，沿著 BA->AD->DF 的方向運動，乙B出發(fā)，沿著BC->CE->EF的方向運動，如果兩人的速度是相同的，且同時從B出發(fā)，則誰先到達 F點?3、等腰Rt ABC與等腰Rt CDE中，/ ACB= / EDC=90 °，連 AE、BE，點 M 為 BE的中點，連DM 。(1 )當D點在BC上時,求一的值

12、AE(2 )當 CDE繞點C順時針旋轉一個銳角時，上結論是否任然成立，試證明4、 ABC、 CEF都為等腰直角三角形，當E、F 在 AC、BC 上，/ ACB=90 ° ，連 BE、AF，點M、N分別為AF、BE的中點(1 ) MN與AE的數(shù)量關系(2 )將 CEF繞C點順時針旋轉一個銳角,MN與AE的數(shù)量關系4、與等面積相關的圖形轉換在涉及三角形的面積問題時，中點提供了底邊相等的條件，這里有個基本幾何圖形如圖， ABC中，E為BC邊的中點，那么顯然 ABE和AEC有相同的高AD，底邊也相等，故面積相等。例 E、F是矩形ABCD的邊AB、BC的中點，連 AF、CE交于點G,S四邊形A

13、GCDS矩形ABCD擴展 如圖，等腰 Rt ACD與Rt ABC組成一個四邊形 ABCD , AC=4，對角線BD把四邊形ABCD分成了二部分，求 SVABD SVBcD的值?！?、等腰三角形中的三線合一 ”A三線合一 ”是相當重要的結論和解題工具，它告訴我們等腰三角形與直角三角形有著極 為親密的關系。例 ABC 中，AB=AC ，BD 丄 AC 于 D，問/ CBD 和/ BAC的關系?轉為同類三角形。分析：/ CBD和/BAC分別位于不同類型的三角形中，可以考慮例 在 ABC 中，AB=AC=5 , BC=6，點 M 為 BC 中點,MN丄AC于點N，貝U MN=【6、直角三角形斜邊上的中

14、線等于斜邊的一半】這可以作為一個定理直接運用，關于這個定理的證明有多種方法，包括利用前面所講中 點的一些知識。例 如圖Rt ABC中，/ ACD=90 , CD為斜邊AB上的中線1求證：CD= AB2(1 )利用垂直平分線的性質：垂直平分線上任一點到線段的二個端點的距離相等。取AC的中點E,連接DE。則DE / BC （中位線性質）Q / ACB=90 °BC 丄 AC ,DE 丄 AC則DE是線段AC的垂直平分線AD=CD（2 ）全等法，證法略。例 在三角形 ABC中，AD是三角形的高，點 D是垂足，點 E、AC的中點，求證：四邊形 EFGD是等腰梯形。C練習 1、在 Rt ABC

15、 中，/ A=90°, AC=AB , M、N 分別在O為斜邊BC的中點。試判斷 OMN的形狀,AC、 AB 上，且 AN=BM 。并說明理由。C2、 ABC 中,/ A=90 ° , D是BC的中點，DE丄DF。求證：BE2 CF2 EF2（集散思想）C3、 ABC 中,AB=AC，點 D 在 BC 上，E 在 ABAD、BE、BC的中點(1 )若/ BAC=90，貝U / PMN=，并證明(2)若/ BAC=60，貝U / PMN=上，且【中點問題練習題】請解答下列問題:1、假設給出如下定義：有一組相鄰內角相等的四邊形叫做等鄰角四邊形.(1)寫出一個你所學過的特殊四邊形

16、中是等鄰角四邊形的圖形的名稱;(2)如圖1，在 ABC中，AB=AC，點D在BC上，且 CD=CA，點E、F分別為BC、AD的中點，連接EF并延長交AB于點G .求證：四邊形 AGEC是等鄰角四邊形;(3 )如圖2，若點D在 ABC的內部，(2)中的其他條件不變，EF與CD交于點H，是否存在等鄰角四邊形，若存在，是哪個四邊形，不必證明；若不存在，請說明理由.CC2、已知： ABC和 ADE都是等腰直角三角形，/ ABC= / ADE=90，點M是CE的中點，連接BM(1 )如圖，點D在AB上，連接 DM，并延長 DM交BC于點N，可探究得出 BD與BM的數(shù)量關系為，寫出證明過程。(2 )如圖，

17、點D不在AB上，(1)中的結論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，說明理由。C3、在AOB中，AB=OB=2 , COD 中，CD=OC=3 , / ABO= / DCO .連接 AD、BC ,P分別為OA、OD、BC的中點.若 A、O、C三點在同一直線上,/ ABO=60 ，則PMN的形狀是，此時ADBCE點作EF丄BD交BC于4、已知：如圖，正方形ABCD中，E為對角線 BD上一點,F，連接DF , G為DF 中點，連接EG , CG .(1 )求證：EG=CG ;中點G ,連接EG , CG .問(2 )將圖中 BEF繞B點逆時針旋轉450 ,如圖所示，取DF(1 )中的結論是否仍然

18、成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.(3 )將圖中 BEF繞B點旋轉任意角度，如圖 所示，再連接相應的線段，問(1 )中的結論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結論？(均要求證明)全等三角形綜合二知識點：1、全等三角形的判定及性質：2、角平分線的性質與判定：3、常用輔助線：例題講解例 1、如圖，在 Rt ABC中，/ ACB=90 , CDLAB于 D,于E,求證：F是BE上一點，且BF=CEFK/ AB.例2、(1) D為AC的中點，連BD,過A點作AE1 BD于E點，交BC于F點，連DF,求證：/ ADB= / CDF(2) 若D, M為AC上的三等分點，如圖 2，連BD過A

19、作AE丄BD于點E,交BC于點F,連 MF判斷/ ADB與/ CMF的大小關系并證明.如圖 1 , ABC中，/ BAC=90 , BA=AC例3、求證:如圖，在 ABC中，/ C=90 ° , M為AB的中點，DM丄AB , CD平分/ ACB ,MD=AM .A例4、為邊在AD的右側作正方形 ADEF，連接CF.(1 )若 AB=AC , / BAC=90。那么如圖一，當點D在線段BC上時，線段CF與BD之間的位置、大小關系是 接寫出結論)在 ABC中，/ ACB為銳角，動點 D (異于點B)在射線BC上，連接 AD，以AD(直如圖二，當點 D在線段BC的延長上時，中的結論是否仍

20、然成立？請說明理由.(2)若AB豐AC，/ BAC豐90°.點D在線段BC上，那么當/ ACB等于多少度時？線段例5、如圖所示，已知 A, B為直線I上兩點，點C為直線I上方一動點， 分別以AG BC為直角邊向 ABC外作等腰直角 CAD和等腰直角 CBE滿足/ CAD=/ CBE=90，過點D作DD丄I于點D,過點E作EE丄I于點E.(1) 如圖，當點(2) 在圖中，當 數(shù)量關系，并說明理由.E恰好在直線I上時，試說明 DD=AB;D, E兩點都在直線I的上方時，試探求三條線段圉AC BC,DD, EE, AB之間的Sa山b),且 a、b 滿足 JO4 14FA=FC ;BE交x例

21、6、如圖1,已知點A (a, 0),點B (0,(1) 求A、B兩點的坐標；,過點A作AD丄OC于點F,求證:(2) 若點C是第一象限內一點，且/ OCB=45(3) 如圖2，若點D的坐標為(0, 1),過點A作AE丄AD，且AE=AD，連接 軸于點G,求G點的坐標.鞏固:1、如圖，已知/ BAC=90 ° , AD丄BC于點D, / 1 = / 2, EF II BC交AC于點F.試說明AE=CF .2、如圖， ABC中，AD平分/ BAC , DG丄BC且平分BC , DE丄AB于E, DF丄AC于F.(1) 說明BE=CF的理由；(2) 如果 AB=5，AC=3，求 AE、BE

22、 的長.第2題圖EA=EC。舞3趣圏3、如圖， ABC中，AC=2AB , AD平分/ BAC交BC于D , E是AD上一點，且 求證：EB丄AB .M , MN 丄 AC 于 N, AQ=MN . AP=AM ;PC=AN .第4題圜4、如圖，在 ABC 中，/ ACB=90 °, P 為 AC 上一點，PQ 丄 AB 于 Q, AM 丄 AB 交 BP 的延長線于(1) 求證：(2) 求證：5、如圖， ABC內，/ BAC=60 , / ACB=40 , P, Q分別在 BC, CA上，并且 AP, BQ分別 是/ BAC/ ABC的平分線，求證：BQ+AQ=AB+B P6、將兩

23、個全等的直角三角形 ABC和DBE按圖(1)/ A= / D=30。，點E落在AB 上, DE所在直線交 AC所在直線于點(1) 求證：CF=EF ;(2) 若將圖(1) 不變，如圖(2). 或“=”或“<”)(3) 若將圖(1) 條件不變，如圖(F.中的 DBE繞點B按順時針方向旋轉角 a,且0° 請你直接寫出 AF+EF與DE的大小關系：AF+EF中 DBE的繞點3).請你寫出此時< av 60DE，其他條件.(填“>”B按順時針方向旋轉角B,且 60°<3<AF、EF與DE之間的關系，并加以證明.180 °，其他7、如圖，在平面

24、直角坐標系中，點B (-5, 0),C (2, 0) , BD丄AC于D且交y軸于E,連接CE. (1 )求 ABC的面積；O為坐標原點， ABC的三點坐標分別為A ( 0, 5),(2 )求需的值及 ACE的面積.第T題圖8、如圖1,在平面直角坐標系中，點 A (4, 4),點B、C分別在x軸、y軸的正半軸上，S四邊形OBAC=16 .(1) / COA的值為 ;(2) 求/ CAB的度數(shù)；(3) 如圖2,點M、N分別是x軸正半軸及射線 OA上一點，且OH丄MN的延長線于H , 滿足/ HON= / NMO ,請?zhí)骄績蓷l線段 MN、OH之間的數(shù)量關系，并給出證明.09、在平面直角坐標系中，點(1)(2)(3) 案).10、已知，在 ABC 中，CA=CB , CA、 在直線 AC、BC 上,/ MON= / A=45 °(1) 如圖1,若點M、N分別在邊AC、(2) 如圖2,若點 M在邊AC上，點N 的數(shù)量關系，請寫出你的結論(不要求證明)CB的垂直平分線的交點 0在AB上，M、NBC 上，求證：CN+MN=AM ;在BC邊的延長線上，試猜想分別之間CN、MN、AM圏1圖2第1CI趣凰A( 2，0)，點 B( 0，3)和點 C( 0.2);請寫出OB的長度：OB= ;如圖：若點 D在x軸上，且點 D的