八上全等三角形證明方法歸納經(jīng)典

1、【第1部分 全等基礎(chǔ)知識(shí)歸納、小結(jié)】1、全等三角形的定義:能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形。兩個(gè)全等三角形中,互相重合的頂點(diǎn)叫做 對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫 對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫對(duì)應(yīng)角。概念深入理解:(1 )形狀一樣，大小也一樣的兩個(gè)三角形稱為全等三角形。(外觀長(zhǎng)的像)(2 )經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、翻折之后能夠完全重合的兩個(gè)三角形稱為全等三角形。(位置變化)2、全等三角形的表示方法：若 ABC和 A B是;全等的，記作“ ABC A B'”C'其中，“也”讀作“全等于”。記兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上。3、全等三角形的性質(zhì):全等是工具、手段，最終是為

2、了得到邊等或角等，從而解決某些問題。(1)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊相等。(2)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高，中線，角平分線對(duì)應(yīng)相等。(3 )全等三角形周長(zhǎng)，面積相等。4、尋找對(duì)應(yīng)元素的方法(1 )根據(jù)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)找如果兩個(gè)三角形全等，那么，以對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的角是對(duì)應(yīng)角；以對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的邊 是對(duì)應(yīng)邊。通常情況下，兩個(gè)三角形全等時(shí)，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母都寫在對(duì)應(yīng)的位置上，因此, 由全等三角形的記法便可寫出對(duì)應(yīng)的元素。(2 )根據(jù)已知的對(duì)應(yīng)元素尋找全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊;可以看出其中一個(gè)是由另一個(gè)3 ）通過觀察，想象圖形的運(yùn)動(dòng)變化狀況，確定對(duì)應(yīng)關(guān)系。通過對(duì)兩個(gè)全等三角

3、形各種不同位置關(guān)系的觀察和分析，經(jīng)過下列各種運(yùn)動(dòng)而形成的;運(yùn)動(dòng)一般有 3 種：平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn);5 、全等三角形的判定：深入理解）邊邊邊（SSS）邊角邊（SAS ）角邊角（ASA ）角角邊（AAS ）斜邊，直角邊（HL)注意：（容易出錯(cuò)）1）在判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，至少有一邊對(duì)應(yīng)相等（邊定全等）AAA ;有兩邊和其中一角（2 ）不能證明兩個(gè)三角形全等的是，三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，即對(duì)應(yīng)相等，即 SSA 。全等三角形是研究?jī)蓚€(gè)封閉圖形之間的基本工具，同時(shí)也是移動(dòng)圖形位置的工具。 在平面幾何知識(shí)應(yīng)用中， 若證明線段相等或角相等， 或需要移動(dòng)圖形或移動(dòng)圖形元素的位置， 常 常需要借助全等三角形的知識(shí)。6 、

4、常見輔助線寫法： （照著輔助線說明要能做出圖、養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)、嚴(yán)密的習(xí)慣）如： 過點(diǎn) A 作 BC 的平行線 AF 交 DE 于 F過點(diǎn) A 作 BC 的垂線，垂足為 D延長(zhǎng)AB至C,使BC = AC在 AB上截取 AC,使 AC = DE作/ ABC的平分線，交 AC于D取AB中點(diǎn)C,連接CD交EF于G點(diǎn)同一條輔助線，可以說法不一樣，那么得到的條件、證明的方法也不同?！镜?部分中點(diǎn)條件的運(yùn)用】1、還原中心對(duì)稱圖形（倍長(zhǎng)中線法）中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形知識(shí):B，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合,那么就說這B把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱,這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心。 這兩個(gè)圖形中的

5、對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對(duì)稱點(diǎn)。中心對(duì)稱的兩條基本性質(zhì):（1）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形， 對(duì)稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過對(duì)稱中心，而且被對(duì)稱中心所平分。（2 ）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形。中心對(duì)稱圖形把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心。（一個(gè)圖形）如：平行四邊形所以遇到中點(diǎn)問題，依托中點(diǎn)借助輔線段本身就是中心對(duì)稱圖形 ，中點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心,助線還原中點(diǎn)對(duì)稱圖形，可以把分散的條件集中起來（集散思想）。例1、AD是 ABC中BC邊上的中線,若AB 2，AC 4，則AD的取值范圍是例2、已知在 ABC中，A

6、D是BC邊上的中線,AF EF，求證：AC BE。例3、如圖,的中線。求證：AC=2AED 是 ABC 的邊 BC 上的點(diǎn)，且 CD=AB , / ADB= / BAD , AE 是 ABD例 4 ABCSvBOCSVCOA SvAOB中，AD、BE、CF是三邊對(duì)應(yīng)中線。（則0為重心）求證：AD、BE、CF交于點(diǎn)0。（類倍長(zhǎng)中線）；練習(xí)求證：AB AC1、在ABC中，D為BC邊上的點(diǎn)，已知 / BAD / CAD , BD CD ,2、如圖，已知四邊形 ABCD中，ABCD，M、N分別為BC、AD中點(diǎn),CD延長(zhǎng)線交于 E、F，求證/ BEM/ CFM延長(zhǎng)MN與AB、DE=2AM3、如圖，AB=

7、AE , AB 丄 AE , AD=AC,AD丄AC，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，求證:（基本型：同角或等角的補(bǔ)角相等、K型）D2、兩條平行線間線段的中點(diǎn)（八字型”全等）如圖，li / I2 , C是線段AB的中點(diǎn)，那么過點(diǎn) C的任何直線都可以和二條平行線以及AB構(gòu)造“8字型”全等 I1/ 12例1已知梯形 ABCD，AD/ BC,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接 DE、CE。已知 ABD和 ACE都是直角三角形，且 / ABD / ACE=90 °，連接DE，設(shè)M為八1求證：SVDEC2 SBaBCD如圖，在平行四邊形 ABCD中，AD=2AB , M是AD的中點(diǎn)，CE丄AB于點(diǎn)E,/ CEM=40D

8、E的中點(diǎn)。求證:MB MC ;設(shè)/ BAD / CAE，固定 Rt ABD，讓 Rt ACEMB MC是否成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論。移至圖示位置，此時(shí)EE，求/ DME的大小。（提示：直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半）練習(xí)1、已知：如圖，梯形 ABCD中，AD / BC , / ABC=90 .若BD=BC , F是CD的中點(diǎn)，試問：/ BAF與/ BCD的大小關(guān)系如何？請(qǐng)寫出你的結(jié)論并加以證明;(1)求證:MD=ME2、Rt ABC 中，/ BAC=90 ° , M 為 BC 的中點(diǎn)，過 點(diǎn)D，過C作CE I于點(diǎn)E。(結(jié)合前面“8字型”全等，仔細(xì)思考)E3、如圖(1 ),在正方形 AB

9、CD和正方形 CGEF ( CG > BC)中，點(diǎn) B、C、G在同一直線上，M是AE的中點(diǎn)，(1 )探究線段 MD、MF的位置及數(shù)量關(guān)系，并證明;(2 )將圖(1)中的正方形 CGEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使正方形 CGEF的對(duì)角線CE恰好(1 )中得到的兩個(gè)與正方形ABCD的邊BC在同一條直線上，原問題中的其他條件不變。結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明。3、構(gòu)造中位線三角形中位線 定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線三角形中位線性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半.重點(diǎn)區(qū)分：要把三角形的中位線與三角形的中線區(qū)分開,三角形中線是連結(jié)一頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)；而

10、三角形中位線是連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段。1（全等法）在 ABC中，D、E分別是 AB、AC邊的中點(diǎn)，證明： DE / BC, DE= BC2證明：延長(zhǎng) DE至F點(diǎn)，使DE=EF，連接CF （倍長(zhǎng)中線）AF三角形的中位線在位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系二方面把三角形有關(guān)線段聯(lián)系起來,將題目給出的分散條件集中起來（集散思想）。注：題目中給出多個(gè)中點(diǎn)時(shí)，往往中點(diǎn)還是不夠用的。在四邊形 ABCD 中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、求證：四邊形 EFGH是平行四邊形。DG已知四邊形 ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)0,且 AC=BD ,M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，MN分別交BD、AC于點(diǎn)E、F.練習(xí)你能

11、說出0E與OF的大小關(guān)系并加以證明嗎?1、三角形ABC中，AD是/ BAC的角平分線,CBD丄AD，點(diǎn)D是垂足，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，如果 AB=6 , AC=14，求DE的長(zhǎng)。2、AB / CD , BC / AD , DE 丄 BE,DF=EF，甲從B出發(fā)，沿著 BA->AD->DF 的方向運(yùn)動(dòng)，乙B出發(fā)，沿著BC->CE->EF的方向運(yùn)動(dòng)，如果兩人的速度是相同的，且同時(shí)從B出發(fā)，則誰先到達(dá) F點(diǎn)?3、等腰Rt ABC與等腰Rt CDE中，/ ACB= / EDC=90 °，連 AE、BE，點(diǎn) M 為 BE的中點(diǎn)，連DM 。(1 )當(dāng)D點(diǎn)在BC上時(shí),求一的值

12、AE(2 )當(dāng) CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角時(shí)，上結(jié)論是否任然成立，試證明4、 ABC、 CEF都為等腰直角三角形，當(dāng)E、F 在 AC、BC 上，/ ACB=90 ° ，連 BE、AF，點(diǎn)M、N分別為AF、BE的中點(diǎn)(1 ) MN與AE的數(shù)量關(guān)系(2 )將 CEF繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角,MN與AE的數(shù)量關(guān)系4、與等面積相關(guān)的圖形轉(zhuǎn)換在涉及三角形的面積問題時(shí)，中點(diǎn)提供了底邊相等的條件，這里有個(gè)基本幾何圖形如圖， ABC中，E為BC邊的中點(diǎn)，那么顯然 ABE和AEC有相同的高AD，底邊也相等，故面積相等。例 E、F是矩形ABCD的邊AB、BC的中點(diǎn)，連 AF、CE交于點(diǎn)G,S四邊形A

13、GCDS矩形ABCD擴(kuò)展 如圖，等腰 Rt ACD與Rt ABC組成一個(gè)四邊形 ABCD , AC=4，對(duì)角線BD把四邊形ABCD分成了二部分，求 SVABD SVBcD的值?！?、等腰三角形中的三線合一 ”A三線合一 ”是相當(dāng)重要的結(jié)論和解題工具，它告訴我們等腰三角形與直角三角形有著極 為親密的關(guān)系。例 ABC 中，AB=AC ，BD 丄 AC 于 D，問/ CBD 和/ BAC的關(guān)系?轉(zhuǎn)為同類三角形。分析：/ CBD和/BAC分別位于不同類型的三角形中，可以考慮例 在 ABC 中，AB=AC=5 , BC=6，點(diǎn) M 為 BC 中點(diǎn),MN丄AC于點(diǎn)N，貝U MN=【6、直角三角形斜邊上的中

14、線等于斜邊的一半】這可以作為一個(gè)定理直接運(yùn)用，關(guān)于這個(gè)定理的證明有多種方法，包括利用前面所講中 點(diǎn)的一些知識(shí)。例 如圖Rt ABC中，/ ACD=90 , CD為斜邊AB上的中線1求證：CD= AB2(1 )利用垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線上任一點(diǎn)到線段的二個(gè)端點(diǎn)的距離相等。取AC的中點(diǎn)E,連接DE。則DE / BC （中位線性質(zhì)）Q / ACB=90 °BC 丄 AC ,DE 丄 AC則DE是線段AC的垂直平分線AD=CD（2 ）全等法，證法略。例 在三角形 ABC中，AD是三角形的高，點(diǎn) D是垂足，點(diǎn) E、AC的中點(diǎn)，求證：四邊形 EFGD是等腰梯形。C練習(xí) 1、在 Rt ABC

15、 中，/ A=90°, AC=AB , M、N 分別在O為斜邊BC的中點(diǎn)。試判斷 OMN的形狀,AC、 AB 上，且 AN=BM 。并說明理由。C2、 ABC 中,/ A=90 ° , D是BC的中點(diǎn)，DE丄DF。求證：BE2 CF2 EF2（集散思想）C3、 ABC 中,AB=AC，點(diǎn) D 在 BC 上，E 在 ABAD、BE、BC的中點(diǎn)(1 )若/ BAC=90，貝U / PMN=，并證明(2)若/ BAC=60，貝U / PMN=上，且【中點(diǎn)問題練習(xí)題】請(qǐng)解答下列問題:1、假設(shè)給出如下定義：有一組相鄰內(nèi)角相等的四邊形叫做等鄰角四邊形.(1)寫出一個(gè)你所學(xué)過的特殊四邊形

16、中是等鄰角四邊形的圖形的名稱;(2)如圖1，在 ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，且 CD=CA，點(diǎn)E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，連接EF并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G .求證：四邊形 AGEC是等鄰角四邊形;(3 )如圖2，若點(diǎn)D在 ABC的內(nèi)部，(2)中的其他條件不變，EF與CD交于點(diǎn)H，是否存在等鄰角四邊形，若存在，是哪個(gè)四邊形，不必證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.CC2、已知： ABC和 ADE都是等腰直角三角形，/ ABC= / ADE=90，點(diǎn)M是CE的中點(diǎn)，連接BM(1 )如圖，點(diǎn)D在AB上，連接 DM，并延長(zhǎng) DM交BC于點(diǎn)N，可探究得出 BD與BM的數(shù)量關(guān)系為，寫出證明過程。(2 )如圖，

17、點(diǎn)D不在AB上，(1)中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，說明理由。C3、在AOB中，AB=OB=2 , COD 中，CD=OC=3 , / ABO= / DCO .連接 AD、BC ,P分別為OA、OD、BC的中點(diǎn).若 A、O、C三點(diǎn)在同一直線上,/ ABO=60 ，則PMN的形狀是，此時(shí)ADBCE點(diǎn)作EF丄BD交BC于4、已知：如圖，正方形ABCD中，E為對(duì)角線 BD上一點(diǎn),F，連接DF , G為DF 中點(diǎn)，連接EG , CG .(1 )求證：EG=CG ;中點(diǎn)G ,連接EG , CG .問(2 )將圖中 BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)450 ,如圖所示，取DF(1 )中的結(jié)論是否仍然

18、成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.(3 )將圖中 BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖 所示，再連接相應(yīng)的線段，問(1 )中的結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結(jié)論？(均要求證明)全等三角形綜合二知識(shí)點(diǎn)：1、全等三角形的判定及性質(zhì)：2、角平分線的性質(zhì)與判定：3、常用輔助線：例題講解例 1、如圖，在 Rt ABC中，/ ACB=90 , CDLAB于 D,于E,求證：F是BE上一點(diǎn)，且BF=CEFK/ AB.例2、(1) D為AC的中點(diǎn)，連BD,過A點(diǎn)作AE1 BD于E點(diǎn)，交BC于F點(diǎn)，連DF,求證：/ ADB= / CDF(2) 若D, M為AC上的三等分點(diǎn)，如圖 2，連BD過A

19、作AE丄BD于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,連 MF判斷/ ADB與/ CMF的大小關(guān)系并證明.如圖 1 , ABC中，/ BAC=90 , BA=AC例3、求證:如圖，在 ABC中，/ C=90 ° , M為AB的中點(diǎn)，DM丄AB , CD平分/ ACB ,MD=AM .A例4、為邊在AD的右側(cè)作正方形 ADEF，連接CF.(1 )若 AB=AC , / BAC=90。那么如圖一，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，線段CF與BD之間的位置、大小關(guān)系是 接寫出結(jié)論)在 ABC中，/ ACB為銳角，動(dòng)點(diǎn) D (異于點(diǎn)B)在射線BC上，連接 AD，以AD(直如圖二，當(dāng)點(diǎn) D在線段BC的延長(zhǎng)上時(shí)，中的結(jié)論是否仍

20、然成立？請(qǐng)說明理由.(2)若AB豐AC，/ BAC豐90°.點(diǎn)D在線段BC上，那么當(dāng)/ ACB等于多少度時(shí)？線段例5、如圖所示，已知 A, B為直線I上兩點(diǎn)，點(diǎn)C為直線I上方一動(dòng)點(diǎn)， 分別以AG BC為直角邊向 ABC外作等腰直角 CAD和等腰直角 CBE滿足/ CAD=/ CBE=90，過點(diǎn)D作DD丄I于點(diǎn)D,過點(diǎn)E作EE丄I于點(diǎn)E.(1) 如圖，當(dāng)點(diǎn)(2) 在圖中，當(dāng) 數(shù)量關(guān)系，并說明理由.E恰好在直線I上時(shí)，試說明 DD=AB;D, E兩點(diǎn)都在直線I的上方時(shí)，試探求三條線段圉AC BC,DD, EE, AB之間的Sa山b),且 a、b 滿足 JO4 14FA=FC ;BE交x例

21、6、如圖1,已知點(diǎn)A (a, 0),點(diǎn)B (0,(1) 求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；,過點(diǎn)A作AD丄OC于點(diǎn)F,求證:(2) 若點(diǎn)C是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且/ OCB=45(3) 如圖2，若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0, 1),過點(diǎn)A作AE丄AD，且AE=AD，連接 軸于點(diǎn)G,求G點(diǎn)的坐標(biāo).鞏固:1、如圖，已知/ BAC=90 ° , AD丄BC于點(diǎn)D, / 1 = / 2, EF II BC交AC于點(diǎn)F.試說明AE=CF .2、如圖， ABC中，AD平分/ BAC , DG丄BC且平分BC , DE丄AB于E, DF丄AC于F.(1) 說明BE=CF的理由；(2) 如果 AB=5，AC=3，求 AE、BE

22、 的長(zhǎng).第2題圖EA=EC。舞3趣圏3、如圖， ABC中，AC=2AB , AD平分/ BAC交BC于D , E是AD上一點(diǎn)，且 求證：EB丄AB .M , MN 丄 AC 于 N, AQ=MN . AP=AM ;PC=AN .第4題圜4、如圖，在 ABC 中，/ ACB=90 °, P 為 AC 上一點(diǎn)，PQ 丄 AB 于 Q, AM 丄 AB 交 BP 的延長(zhǎng)線于(1) 求證：(2) 求證：5、如圖， ABC內(nèi)，/ BAC=60 , / ACB=40 , P, Q分別在 BC, CA上，并且 AP, BQ分別 是/ BAC/ ABC的平分線，求證：BQ+AQ=AB+B P6、將兩

23、個(gè)全等的直角三角形 ABC和DBE按圖(1)/ A= / D=30。，點(diǎn)E落在AB 上, DE所在直線交 AC所在直線于點(diǎn)(1) 求證：CF=EF ;(2) 若將圖(1) 不變，如圖(2). 或“=”或“<”)(3) 若將圖(1) 條件不變，如圖(F.中的 DBE繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角 a,且0° 請(qǐng)你直接寫出 AF+EF與DE的大小關(guān)系：AF+EF中 DBE的繞點(diǎn)3).請(qǐng)你寫出此時(shí)< av 60DE，其他條件.(填“>”B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角B,且 60°<3<AF、EF與DE之間的關(guān)系，并加以證明.180 °，其他7、如圖，在平面

24、直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B (-5, 0),C (2, 0) , BD丄AC于D且交y軸于E,連接CE. (1 )求 ABC的面積；O為坐標(biāo)原點(diǎn)， ABC的三點(diǎn)坐標(biāo)分別為A ( 0, 5),(2 )求需的值及 ACE的面積.第T題圖8、如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A (4, 4),點(diǎn)B、C分別在x軸、y軸的正半軸上，S四邊形OBAC=16 .(1) / COA的值為 ;(2) 求/ CAB的度數(shù)；(3) 如圖2,點(diǎn)M、N分別是x軸正半軸及射線 OA上一點(diǎn)，且OH丄MN的延長(zhǎng)線于H , 滿足/ HON= / NMO ,請(qǐng)?zhí)骄績(jī)蓷l線段 MN、OH之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明.09、在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(1)(2)(3) 案).10、已知，在 ABC 中，CA=CB , CA、 在直線 AC、BC 上,/ MON= / A=45 °(1) 如圖1,若點(diǎn)M、N分別在邊AC、(2) 如圖2,若點(diǎn) M在邊AC上，點(diǎn)N 的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出你的結(jié)論(不要求證明)CB的垂直平分線的交點(diǎn) 0在AB上，M、NBC 上，求證：CN+MN=AM ;在BC邊的延長(zhǎng)線上，試猜想分別之間CN、MN、AM圏1圖2第1CI趣凰A( 2，0)，點(diǎn) B( 0，3)和點(diǎn) C( 0.2);請(qǐng)寫出OB的長(zhǎng)度：OB= ;如圖：若點(diǎn) D在x軸上，且點(diǎn) D的