高數(shù)學復數(shù)的向量表示及復數(shù)的三角形式

1、【高3數(shù)學】12-復數(shù)的向量表示及復數(shù)的三角形式 復數(shù)的向量表示及復數(shù)的三角形式 基礎概念一、基礎知識概述由于解方程的需要，我們引進了復數(shù)和及其四則運算，并建立了復數(shù)集C和復平面內(nèi)所有的點構(gòu)成的集合之間的一一對立，我們還學過向量及其運算，在些基礎上，我們現(xiàn)在一起 來學習復數(shù)的向量表示、復數(shù)的三角形式及其運算、復數(shù)的指數(shù)形式、復數(shù)的運算的幾何意 義.二、重點知識歸納及講解1、復數(shù)的向量表示：復數(shù)集c與復平面內(nèi)的向量集合 oZ(。為原點)一一對應.說明：(1)零向量表示復數(shù)0,相等的向量表示同一個復數(shù)；(2)向量OZ的模r就是復數(shù)Z a bi(a、b R)的模，即|Z|a bi | r Ja2 b

2、2 .2、復數(shù)的三角形式及運算：(1)復數(shù)的幅角：設復數(shù) Z a bi對應向量OZ,以x軸的正半軸為始邊，向量 OZ所在的射線(起點為 O)為終邊的角，叫做復數(shù)Z的輻角，記作 ArgZ ,其中適合02的輻角 的值，叫做輻角的主值，記作 argZ .說明：不等于零的復數(shù)Z的輻角有無限多個值，這些值中的任意兩個相差2的整數(shù)倍.(2)復數(shù)的三角形式：r(cos isin )叫做復數(shù)Z a bi的三角形式，其中22a .br4ab0, cos-,sin-.rr說明：任何一個復數(shù)Z a bi均可表示成r(cos isin )的形式.其中r為Z的模， 為Z 的一個輻角.(3)復數(shù)的三角形式的運算：設 Z

3、r(cos isin ) , Z1 r1 (cos 1 isin 1), Z2 r2(cos 2 isin 2).貝 U1)乘法：Z1 Z2 rj2cos( 12) i sin( 12);1 / 9【高3數(shù)學】12-復數(shù)的向量表示及復數(shù)的三角形式2)除法： 幺 JrLcos( 12)isin( 12) (Z2 0);Z22c、rnn，3)乘方：Z r (cosn i sin n );4)開方：XlZ n,'7cos(2k) isin(2k-) (k 0,1,2, ,n 1) .nn3、復數(shù)的幾何意義：(1)復數(shù)模的幾何意義：|Z| |OZ|,即Z點到原點。的距離，一般地|Z1 Z2|即

4、Z1點到Z2點的距離.(2)復數(shù)加、減法的幾何意義：圖中給出的平方四邊形，可以直觀地反映出復數(shù)加、減法的幾何意義.即 Z 乙 Z2, ZZZ； Z2 乙.(3)復數(shù)乘、除法的幾何意義：設Z1 r1(cos 1 isin 1),則ZZ1的幾何意義是把 Z的對應向量OZ按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角1 (如果1 0 ,就要把OZ按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角| 1 |,再把它的模變?yōu)樵瓉淼?IZ倍，所得向量 OP即表不積ZZ1 ,如圖，Z1 0,上的幾何意義是把 Z的對應向量OZ按 乙順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角1 (如果1 0,就要把OZ按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角| 1|,再把它、1、 -，一一 Z的模變?yōu)樵瓉淼?1倍，所

5、得的向量即表示商 .1Z115 / 94、復數(shù)的指數(shù)形式：把模為1,輻角為(以弧度為單位)的復數(shù) cos isin用記號ei表示，即e cos i sin ,由此任何一個復數(shù) Z r(cos i sin )就可以表示為 Z rei形式, 我們把這一表達式叫做復數(shù)的指數(shù)形式.三、難點知識剖析復數(shù)的幾何意義的理解是本講的難點.由于復數(shù)集與平面點集間的一一對應關系，使得復數(shù)問題常?？捎脦缀畏椒▉斫鉀Q，幾 何問題常?？捎脧蛿?shù)語言來表述，要善于運用“數(shù)形結(jié)合”的解題思想來思考，分析這類問 題，找出最簡捷的解題方法.復數(shù)的?？梢詭椭覀儽硎境鲆恍┏Ｓ们€方程.如圓：|Z Zo | r ;線段中垂線：|Z

6、Zi | |Z Z2 | ;橢圓：|Z Zi | |Z Z2 12a (2a | 乙 Z2 |);雙曲線：|Z 乙 | |Z Z2 | 2a (2a |Zi Z21).典型例題例1、已知0 ，且 一，復數(shù)Z tan i .2(1)求Z的三角形式；(2)若|Z | 2 ,求argZ的取值范圍.解析：“、 sin1 z .(1) Z i (sincos cosi cos ),1)當0而sin,1-時，則|Z | 0 ,2 cos,3、.一3i cos cos()i sin(22 133，此時三角形式為 cos()i sin(一cos 22，1，八2)當一 時，則 一'一 |Z| 0, 2c

7、os)而 sin i coscos(一) isin(一),22,，1.此時三角形式為 cos() isin().cos 22(2)當 0而 arg Zcos32 , cos11 argZ 6當2而 arg Z|Z|cos7屋 argZ評析:化含三角函數(shù)關系的復數(shù)為三角形式時，應把握概念，準確運用有關三角公式.例2、設 |Z | 1 , argZ 0 ,且 01 Z31 Z| a bcos 成立，求 a、b ；(2)若 | | 1,求.解析：(1)依題意可設Z cos i sin ,則21 Z Z 1 cos i sin cos 2 i sin 21 cos cos 2 i (sin sin 2

8、 )22.| |(1 cos cos2 ) (sin sin 2 ).3 2cos 2cos2 2cos(2 )3 4cos 2cos22 3 4cos 2cos2 a 2ab cos,22b cos ，且 a b cos 0 ,即 3 4 cos2 cos2b 2abcos 2,2cb cos22ab b22b224當 0若| |(2 cos時,bcos0.時,則 3 4cos21)0 , cos2(2cos21)24 cos 4 cos例3、復數(shù)乙與Z2滿足：Z1 Z2 2i ,| 乙Z2 | 3,且 u乙,arguZ2,問：當|u|為何值時，cos取得最大值和最小值？并求出這一最大值和這

9、一最小值.解析:Z2r (cos i sin ) (r 0)r(cos i sin )Z2,r|Z2|.r(cos isin )Z2 r|Z2 |2 3Z22iIZ2I |r cosr sinI |2i|2,(r cos1)22 cosIZ2 |24r3一 2 一即 r 1 2r cos4r312(r當cos1時,當cos即|u|1一）（顯然r r132(r11) r0).cos131 ,-r -或 r 3 ；31一或 |U| 3 時，cos min 1,而 |u| 1 時，cos 3max3例4、設復數(shù) Z1、Z2、Z3滿足：|Z1| 1, Z2 乙Z , Z3 Z1Z ,，一 Z 一 |

10、1 ,求復數(shù)Z的模,其中 Z _(1 J3i),2若Z1、Z2、Z3在復平面上所對應的點分別是 Z1、Z2、Z3 ,求 Z1Z2Z3的面積.解析：由復數(shù)及復數(shù)乘法的幾何意義，乙點在單位圓。上，設其輻角主值為，Z點是3 3 3 _ 一(-,),其輻角主值是 一，. Z2 ZZ，.一Z2點是將OZ逆時針旋轉(zhuǎn) 角后對應向量223OZ7的終點，同理 OZ；向量則是由OZ向量逆時針旋轉(zhuǎn) 后，再將模伸長為 qz模的3倍3而得到.如圖所示:S 乙Z2Z3 S OZ1Z2S OZ2Z3S OZ1Z323 3421Z1l1Z21Sin ZQZ2 21Z2|Z31sin Z2OZ3 21Z1|Z31sin Z1O

11、Z31 (| Z |sin |Z |Zsin | Z |2 sin 2 ) 2333例5、已知復數(shù)Z滿足|r的最大、小值及對應的Z .解析:方法一: |Z|1|Z|1|Z|、R|Z|1Z| |Z|Z|1ccr 2 2 cos 2 sin r2 |Z| 1 0. ,5 1,5 12 ，一 r |Z |2 |Z | 1 022而當Z1 k(Z)(kR )時,|Z|Z|5 1gi時,r min5 1-；而當5 1gi時,2rmax1一 (cos i sin ) | r一 1、|(r-)cosr(r 1) isinr,1、22,(r -) cos(rr1 、22-)sin r方法 設 Z r(cos

12、i sin ).1 . | Z | | r(cos i sin )1-2 2 cos 2 r 0 r21 2cos2 3,3r2 10,11i時,rmin1 一i時,max2 -_4 ，給出復數(shù)：乙 a (cos 2i sin 2 ) , Z2 | a | (sin - i sin - ), 22Z3| a | sin (cosi sin )其中能確定為復數(shù)的三角形式的有(高考中對復數(shù)的考查多集中在復數(shù)的概念以及復數(shù)的代數(shù)運算，對復數(shù)的三角形式的考 查不多.有時可能采取一題多法，即設復數(shù)的代數(shù)形式和復數(shù)的三角形式均可解，只不過運 用三角形式解答時較方便.基礎練習、選擇題1、復數(shù)Z 2i4n 2

13、 (1 i)2(n Z)的輻角主值是()3A . B .2、設 a C,3A. 3個B. 2 個 C. 1個 D. 0個3、已知Zx yi , (x 0,yy 0),貝U arctan 一 x4、右B. 2 argZ(-,),則復數(shù)Z (1 i)(cos isin )的輻角主值是( 25、若6、設B.2cos 5B.1cos 3B. 24.2 ntt i sin ,則5C. 0C.D.若ZnC.D. 77、在復平面內(nèi)，把復數(shù)8、D. 2Z ,則最小的正整數(shù)n<13i對應的向量按順時針方向旋轉(zhuǎn)一，所得向量對應的復數(shù)是 32出B.2V3iC. <3 3iD. 3 V3i乙、Z2是兩個非零復數(shù)，且分別對應點Zi、Z2,則。乙OZ2的充要條件是(9、復數(shù)Z2iB.ZZ的實部為0C. argZi2D.乙Z2的虛部為0Z滿足條件:|2Z1| |Z i|,則| Z |的最大值是(C.10、設 Z x yi ( x、yR),且 |Z2| x ,則復數(shù)Z的對應點Z的軌跡是()A.圓 B.拋物線 C.橢圓 D.雙曲線二、綜合題11、已知Z和Z0均為復數(shù)，且Z Z0 3 3<3i , Z色為純虛數(shù)，求|Z|和argZ的取Zo 3值范圍.(012、設