D118一般周期的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)ppt課件

1、第八節(jié)第八節(jié)一般周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)一般周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 一、以一、以2 l 為周期的函數(shù)的為周期的函數(shù)的傅里葉展開(kāi)傅里葉展開(kāi) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 第十一章 一、以一、以2 l 為周期的函數(shù)的傅里葉展開(kāi)為周期的函數(shù)的傅里葉展開(kāi)周期為 2l 函數(shù) f (x)周期為 2 函數(shù) F(z)變量代換lxz將F(z) 作傅氏展開(kāi) f (x) 的傅氏展開(kāi)式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 設(shè)周期為2l 的周期函數(shù) f (x)滿(mǎn)足收斂定理?xiàng)l件,則它的傅里葉展開(kāi)式為10sincos2)(nnnlxnblxnaaxf(在 f (x) 的連續(xù)點(diǎn)處)naxlxnxflbllndsin)(1其

2、中定理定理.l1xlxnxflldcos)(),2, 1,0(n),2, 1(n機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 證明證明: 令令lxz, 那么,llx,z令)(zF, )(z lf那么)2()2(zlfzF)2(lz lf)(z lf)(zF所以)(zF且它滿(mǎn)足收斂定理?xiàng)l件, 將它展成傅里葉級(jí)數(shù):10sincos2)(nnnznbznaazF( 在 F(z) 的連續(xù)點(diǎn)處 )(xf變成是以 2 為周期的周期函數(shù) , 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 zznzFandcos)(1其中zznzFbndsin)(1令lxzlan1xlxnxflbllndsin)(1lxnblxnaaxfnnns

3、incos2)(10),2, 1,0(n),3,2, 1(n),2, 1,0(n),3,2, 1(n( 在 f (x) 的 連續(xù)點(diǎn)處 )xlxnxflldcos)(證畢 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 說(shuō)明說(shuō)明:1)(nnbxf),2, 1(dsin)(nxlxnxfbn其中(在 f (x) 的連續(xù)點(diǎn)處)lxnsinl20l假如 f (x) 為偶函數(shù), 則有(在 f (x) 的連續(xù)點(diǎn)處)2)(0axf),2, 1,0(dcos)(nxlxnxfan其中1nnalxncos注注: 無(wú)論哪種情況無(wú)論哪種情況 ,).()(21xfxf在 f (x) 的間斷點(diǎn) x 處, 傅里葉級(jí)數(shù)收斂于l20l假

4、如 f (x) 為奇函數(shù), 則有 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 )(tfto0d) 1sin() 1sin(ttntn例例1. 交流電壓交流電壓tEtEsin)(經(jīng)半波整流后負(fù)壓消失,試求半波整流函數(shù)的解解: 這個(gè)半波整流函數(shù)這個(gè)半波整流函數(shù)2,它在)(tfna0dcossinttntE,sintE,0傅里葉級(jí)數(shù).,上的表達(dá)式為0t t02E的周期是22機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 000d2sintt21Ea 2cos212E時(shí)1n0d) 1sin() 1sin(ttntn2Eantnn) 1cos() 1(12E0tnn) 1cos() 1(1111) 1(111) 1(21n

5、nnnEnn) 1(1) 1(21nEn32 ,0 kn,)41 (22kE), 1,0(kkn2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 tttEbdsinsin01ttntnEd) 1cos() 1cos(20) 1() 1sin(2ntnEbn0) 1() 1sin(0ntnttntEbndsinsin0ttEd)2cos1 (20022sin2ttE2En 1 時(shí)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 由于半波整流函數(shù) f ( t ),),(上連續(xù)在Etf)(tEsin2tkkEk2cos411212)(t直流部分說(shuō)明說(shuō)明:交流部分由收收斂定理可得2 k 次諧波的振幅為,14122kEAk k

6、越大振幅越小,因此在實(shí)際應(yīng)用中展開(kāi)式取前幾項(xiàng)就足以逼近f (x)了.to22)(tf上述級(jí)數(shù)可分解為直流部分與交流部分的和. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例2. 把把展開(kāi)成)20()(xxxf(1) 正弦級(jí)數(shù); (2) 余弦級(jí)數(shù).解解: (1) 將將 f (x) 作奇周期延拓作奇周期延拓, 則有則有2oyx),2, 1,0(0nan2022xbnxxnd2sin0222sin22cos2xnnxnxnnncos4),2, 1() 1(41nnn14)(nxf2sin) 1(1xnnn)20( x在 x = 2 k 處級(jí)數(shù)收斂于何值?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 2oyx(2)

7、將 作偶周期延拓,)(xf),2, 1(0nbn2022xanxxnd2cos0222cos22sin2xnnxnxn1) 1(422nnxxf)(200d22xxa2kn2,0,) 12(822k),2, 1(k則有1222) 12(cos) 12(181kxkk)20( x12 kn機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 說(shuō)明說(shuō)明: 此式對(duì)此式對(duì)0 x也成立,8) 12(1212kk由此還可導(dǎo)出121nn8212141nn61212nn12)2(1kk1222) 12(cos) 12(181)(kxkkxxf)20( x12) 12(1kk據(jù)此有2oyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 當(dāng)函

8、數(shù)定義在任意有限區(qū)間上時(shí),方法方法1, , )(baxxf令,2abzx即2abxzzabzfxfzF, )2()()(2,2abab在2,2abab上展成傅里葉級(jí)數(shù))(zF周期延拓將2abxz)(xf在,ba代入展開(kāi)式上的傅里葉級(jí)數(shù) 其傅里葉展開(kāi)方法:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 方法方法2, , )(baxxf令,azxzazfxfzF, )()()(ab,0在ab,0上展成正弦或余弦級(jí)數(shù))(zF奇或偶式周期延拓將 代入展開(kāi)式axz)(xf在,ba即axz上的正弦或余弦級(jí)數(shù) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 )(zFz55例例3. 將函數(shù)將函數(shù))155(10)(xxxf展成傅里葉級(jí)

9、數(shù).解解: 令令,10 xz設(shè))55( )10()()(zzzfxfzF將F(z) 延拓成周期為 10 的周期函數(shù), 理?xiàng)l件.由于F(z) 是奇函數(shù), 故),2, 1,0(0nan5052zbnzznd5sinnn10) 1(),2,1(n則它滿(mǎn)足收斂定5sin) 1(10)(1znnzFnn)55(z5sin) 1(10101xnnxnn)155( x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 利用歐拉公式二、傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式二、傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式設(shè) f (x)是周期為 2 l 的周期函數(shù) , 那么lxnblxnaaxfnnnsincos2)(1021coslxnlxnlxniiee2sini

10、lxnlxnlxniiee1022)(nnaaxflxnlxniiee2nbilxnlxniiee1022nnnbiaa2nnbia lxnielxnie0cncnc機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 llxfl)(21llxxfld)(21200ac llxlxnxfldcos)(1212nnnbiacllxlxnxflidsin)(llxlxnilxnxfldsincos)(21llxfl)(21),2, 1(dnxlxnie注意到2nnnbacxd同理),2, 1(nlxnie機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式:xexflcTxnillnd)(212Txninnec

11、xf2)(),2, 1,0(n因此得機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 式的傅里葉級(jí)數(shù) . 例例4. 把寬為把寬為 ,高為高為 h ,周期為周期為 T 的矩形波展成復(fù)數(shù)的矩形波展成復(fù)數(shù)形形解解: 在一個(gè)周期在一個(gè)周期,22TT)(tu它的復(fù)數(shù)形式的傅里葉系數(shù)為 2 2d1thTTh內(nèi)矩形波的函數(shù)表達(dá)式為 022d)(1TTttuTc22Toyx22Th22,th2222,0TTtt機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 tetuTTtnid)(12 22nc22 2d1tehTTtniTnnhsin),2,1(nThtu)(hTtnineTnn2sin10n), 1,0,2(kTkt 2inTTh

12、TniTnieeinh21Ttnie222機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 為正弦 級(jí)數(shù). 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 周期為2l 的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)公式)(xf20alxnblxnannnsincos1(x 間斷點(diǎn))其中naxlxnxfllldcos)(1nbxlxnxfllldsin)(1), 1 ,0(n),2, 1(n當(dāng)f (x)為奇 函數(shù)時(shí),(偶)(余弦)2. 在任意有限區(qū)間上函數(shù)的傅里葉展開(kāi)法變換延拓3. 傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式利用歐拉公式導(dǎo)出機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 將函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)為什么最好先畫(huà)出其圖形?答答: 易看出奇偶性及間斷點(diǎn)易看出奇偶性及間斷點(diǎn), 2. 計(jì)算傅里葉系數(shù)時(shí)哪些系數(shù)要單獨(dú)算 ?答答: 用系數(shù)公式計(jì)算用系數(shù)公式計(jì)算如分母中出現(xiàn)因子nk作業(yè)作業(yè): P256 1 (1) , : P256 1 (1) , (3) ; 2 (2) ; 3 (3) ; 2 (2) ; 3 從而便于計(jì)算系數(shù)和寫(xiě)出收斂域 .,時(shí)nnbakkba 或則必須單獨(dú)計(jì)算.習(xí)題課 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 備用題備用題) 11(2)(xxxf將期的傅立葉級(jí)數(shù), 并由此求級(jí)數(shù)121nn(91 考研) 解解:y1ox12)(xf為偶函數(shù),0nb100d)2(2xxa5xxnxand)co