云南省2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題含解析

1、試卷主標(biāo)題姓名：_ 班級：_考號：_一、選擇題（共12題）1、 已知集合 ， ，則 （ ） A B C D 2、 下列結(jié)論不正確的是 A 若 a b ， c 0 ，則 ac bc B 若 a b ，則 a c b c C 若 ac 2 bc 2 ，則 a b D 若 a b ， c 0 ，則 3、 已知復(fù)數(shù) 滿足 （其中 為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù) 的虛部為（） A B C D 4、 一元二次方程 ax 2 2 x 1 0( a 0) 有一個正根和一個負(fù)根的充分不必要條件是（    ） A a <0 B a >0 C a < 1 D a <1 5

2、、 已知 ， ， ，則 ， ， 的大小關(guān)系為（ ） A B C D 6、 如圖，在正方體 中， 分別是 的中點(diǎn)，則下列命題正確的是（ ） A B C D 7、 函數(shù) 的圖象大致為（ ） A B C D 8、 函數(shù) 的最小正周期為（ ） A B C D 9、 在 中， ， ， ，則直線 通過 的（ ） A 垂心 B 外心 C 重心 D 內(nèi)心 10、 擲鐵餅者取材于古希臘的體育競技活動，刻畫的是一名強(qiáng)健的男子在擲鐵餅過程中最具有表現(xiàn)力的瞬間現(xiàn)在把擲鐵餅者張開的雙臂及肩近似看成一張 “ 弓 ” ，擲鐵餅者的肩寬約為 米，一只手臂長約為 米， “ 弓 ” 所在圓的半徑約為 米，則擲鐵餅者雙手之間的直線

3、距離約為（ ） A 米 B 米 C 米 D 米 11、 若向量 ， 是不共線的兩個向量， 與 共線，當(dāng) 時， 的最小值為（ ） A 4 B 2 C D 12、 已知函數(shù) 是定義在 R 上的偶函數(shù)，對任意 都有 ，當(dāng) ，且 時， ，給出如下命題： ； 直線 是函數(shù) 的圖象的一條對稱軸； 函數(shù) 在 上為增函數(shù)； 函數(shù) 在 上有四個零點(diǎn) . 其中所有正確命題的序號為 A B C D 二、填空題（共4題）1、 已知 是任意角，且滿足 ，則常數(shù) k 的一個取值為 _ 2、 將一個直角邊長為 1 的等腰直角三角形繞其一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周所形成幾何體的體積為 _. 3、 在山頂鐵塔上 處測得地面上一點(diǎn) 的俯角

4、 ，在塔底 處測得點(diǎn) 的俯角 ，已知鐵塔 部分高 米，山高 _ 4、 已知定義在 上的函數(shù) 滿足 且 ，函數(shù) 的表達(dá)式為 ，則方程 在區(qū)間 上的所有實(shí)數(shù)根之和為 _. 三、解答題（共7題）1、 向量 ， （ 1 ）求向量 的模長； （ 2 ）若向量 ，且 ，求實(shí)數(shù) 的值 . 2、 若向量 ， ，設(shè)函數(shù) （ 1 ）求 在 上的單調(diào)增區(qū)間； （ 2 ）在角 為銳角的 中，角 的對邊分別為 ， 且 的面積為 3 ， ，求 的值 . 3、 某生物研究者于元旦在湖中放入一些風(fēng)眼蓮（其覆蓋面積為 ），這些風(fēng)眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，二月底測得鳳眼蓮的覆蓋面積為 ，三月底測得鳳眼蓮的覆蓋面積為 ，鳳眼蓮

5、的覆蓋面積 （單位： ）與月份 （單位：月）的關(guān)系有兩個函數(shù)模型 與 ）可供選擇 （ 1 ）試判斷哪個函數(shù)模型更合適并求出該模型的解析式； （ 2 ）求鳳眼蓮的覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積 倍以上的最小月份（參考數(shù)據(jù)： ， ） 4、 已知 的內(nèi)角 A ， B ， C 所對的邊分別是 a ， b ， c ， A 為銳角，在以下三個條件中任選 一個： ( b 3 c )cos A a cos B 0 ； sin 2 cos2 A ； ；并解答以下問題： （ 1 ）若選 _ （填序號），求 cos A 的值； （ 2 ）在（ 1 ）的條件下，若 a 2 ，求 面積 S 的最大值 5、 如圖所示， 為

6、平行四邊形 ABCD 所在平面外一點(diǎn)， M,N 分別為 AB,PC 的中點(diǎn)，平面 PAD 平面 PBC . (1) 求證： BC ； (2)MN 與平面 PAD 是否平行？試證明你的結(jié)論 6、 已知定義域?yàn)?的單調(diào)減函數(shù) 是奇函數(shù)，當(dāng) 時， . （ 1 ）求 的值； （ 2 ）求 的解析式； （ 3 ）若任意 ，不等式 恒 成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍 . 7、 已知集合 是滿足下列條件的函數(shù) 的全體：在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù) , 使得 成立 . (1) 判斷冪函數(shù) 是否屬于集合 ？并說明理由； (2) 設(shè) , , i) 當(dāng) 時 , 若 , 求 的取值范圍； ii) 若對任意的 , 都有 , 求 的取值

7、范圍 =參考答案=一、選擇題1、 C 【分析】 首先求集合 ，再求集合 的補(bǔ)集，即可求解 . 【詳解】 或 ， ， . 故選： C. 2、 D 【分析】 根據(jù)不等式的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果 . 【詳解】 對于選項(xiàng) A ：由于 a b ， c 0 ，根據(jù)不等式性質(zhì) 2 ，則 ac bc ，故正確 . 對于選項(xiàng) B ：由于 a b ，根據(jù)不等式性質(zhì) 1 ，則 a c b c ，故正確 . 對于選項(xiàng) C ：由于 ac 2 bc 2 ，根據(jù)不等式性質(zhì) 2 ，則 a b ，故正確 . 對于選項(xiàng) D ：當(dāng) a 0 ， b 1 時， 沒有意義，故錯誤 . 故選： D 【點(diǎn)睛】 本題主要考查判斷命題的真

8、假，熟記不等式的性質(zhì)，靈活運(yùn)用特殊值法處理即可，屬于?？碱}型 . 3、 B 【分析】 由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及模的運(yùn)算可得 ，再結(jié)合復(fù)數(shù)虛部的概念即可得解 . 【詳解】 解：復(fù)數(shù) 滿足 ，則 ， 即復(fù)數(shù) 的虛部為 ， 故選： B. 【點(diǎn)睛】 本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及模的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了復(fù)數(shù)虛部的概念，屬基礎(chǔ)題 . 4、 C 【分析】 等價(jià)轉(zhuǎn)化求得一元二次方程滿足題意的條件，再根據(jù)充分不必要條件即可判斷 . 【詳解】 一元二次方程 ax 2 2 x 1 0( a 0) 有一個正根和一個負(fù)根的充要條件是 <0 ，即 a <0 ， 則充分不必要條件的范圍應(yīng)是集合 a | a <0 的真

9、子集， 故選： C 【點(diǎn)睛】 本題考查充分不必要條件的判斷和選擇，屬簡單題 . 5、 A 【分析】 由換底公式比較 ， 的大小，再由 可得答案 【詳解】 ， ， ， ， ，則 故選： A 6、 C 【詳解】 分析：記 ACBD=O ，則 MNOD 1 ，利用線面平行的判定可得 MN 平面 BD 1 D 詳解： A ： 和 是異面直線，故選項(xiàng)不正確； B ： 和 是異面直線，故選項(xiàng)不正確； C ：記 ACBD=O 正方體 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 中， M ， N 分別 C 1 D 1 ， BC 是的中點(diǎn)， OND 1 MCD ， ON=D 1 M= CD ， MNOD 1 為平

10、行四邊形， MNOD 1 ， MN 平面 BD 1 D ， OD 1 平面 BD 1 D ， MN 平面 BD 1 D D ：由 C 知 ，而面 和面 相交，故選項(xiàng)不正確； 故答案為 C. 點(diǎn)睛：這個題目考查了空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系，對于這種題目的判斷一般是利用課本中的定理和性質(zhì)進(jìn)行排除，判斷 . 還可以畫出樣圖進(jìn)行判斷，利用常見的立體圖形，將點(diǎn)線面放入特殊圖形，進(jìn)行直觀判斷 . 7、 A 【分析】 由條件判斷函數(shù)為奇函數(shù)，且在 為負(fù)數(shù)，從而得出結(jié)論 . 【詳解】 , 因此函數(shù) 為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱排除 ； 當(dāng) 時， ， ，因此 . 故選： . 【點(diǎn)睛】 本題主要考查的是函數(shù)圖像的應(yīng)用，

11、奇偶性的應(yīng)用，根據(jù)奇偶函數(shù)的對稱性進(jìn)行判斷是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題 . 8、 C 【分析】 由切化弦，及兩角和的正弦公式化簡函數(shù)，然后由正弦函數(shù)的周期性得結(jié)論 【詳解】 由已知， ， 最小正周期為 ， 故選： C 9、 D 【分析】 根據(jù)向量的加法的幾何意義，結(jié)合菱形的對角線為相應(yīng)角的平分線，得到 在 的角平分線上，從而作出判定 . 【詳解】 因?yàn)?, ， 設(shè) , 則 ， 又 ， 在 的角平分線上， 由于三角形中 , 故三角形的 邊上的中線，高線，中垂線都不與 的角平分線重合， 故 經(jīng)過三角形的內(nèi)心，而不經(jīng)過外心，重心，垂心， 故選 D. 10、 C 【分析】 利用弧長公式可求圓心角的大小，

12、再利用解直角三角形的方法可求弦長 . 【詳解】 擲鐵餅者張開的雙臂及肩近似看成一張 “ 弓 ” 即如圖中的 及弦 ， 取 的中點(diǎn)，連接 . 由題設(shè)可得 的弧長為 ，而 ， 故 ，故 的長度為 ， 故選： C. 11、 A 【分析】 利用平面向量共線定理求出 的關(guān)系式，再利用基本不等式：積為定值，和有最小值即可求解 . 【詳解】 因?yàn)?與 共線， 由平面向量共線定理可知， ， 所以 ， 所以 ， 因?yàn)?，所以 ， 當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時等號成立 . 故選： A 【點(diǎn)睛】 本題考查平面向量共線定理和利用基本不等式求最值；考查運(yùn)算求解能力和知識的綜合運(yùn)用能力；熟練掌握平面向量共線定理是求解本題的關(guān)鍵；屬

13、于中檔題 . 12、 D 【分析】 根據(jù)題意得到函數(shù)的奇偶性、周期性和單調(diào)性，然后逐一進(jìn)行判定 【詳解】 令 ，則由 ，函數(shù) 是定義在 上的偶函數(shù)， 可得： ，故 ，故 正確 由 可得： ，故函數(shù) 是周期等于 6 的周期函數(shù) 是偶函數(shù)， 軸是對稱軸，故直線 是函數(shù) 的圖象的一條對稱軸，故 正確 當(dāng) ，且 時， ， 故 在 上為增函數(shù) 是偶函數(shù)，故 在 上為減函數(shù) 函數(shù) 是周期等于 6 的周期函數(shù) 故 在 上為減函數(shù)，故 錯誤 函數(shù) 是周期等于 6 的周期函數(shù) 故函數(shù) 在 上有四個零點(diǎn)，故 正確 綜上所述，則正確命題的序號為 故選 【點(diǎn)睛】 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性、周期性以及單調(diào)性，在求解

14、過程中熟練運(yùn)用各性質(zhì)進(jìn)行解題，注意零點(diǎn)問題的求解 二、填空題1、 （答案不唯一） 【分析】 利用誘導(dǎo)公式，求得 的取值集合 . 【詳解】 滿足 ， ，得 ， ， 當(dāng) 時， . 故答案為： （答案不唯一） 2、 【分析】 由條件可知旋轉(zhuǎn)的幾何體是圓錐，根據(jù)底面半徑和高，計(jì)算幾何體的體積 . 【詳解】 幾何體是一個高為 1 ，底面半徑為 1 的圓錐， . 故答案為： 3、 米 【分析】 設(shè) 米，在直角三角形中表示出 ，利用 的長求得 ，從而得 【詳解】 由 ， 易得 ， ， 設(shè) ， 則 ， ， ， 4、 【分析】 法一：根據(jù)解析式和遞推關(guān)系，分區(qū)間直接求解得到所有根，然后求和； 法二：繪出兩個函數(shù)

15、的整體圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合對稱性得到所有根的和 【詳解】 法一：由題意，當(dāng) 時， ， ；當(dāng) 時， ，即 ，解得 ；當(dāng) 時， ， ，無解；當(dāng) 時， ， ，無解；當(dāng) 時， ， ，無解；當(dāng) 時， ， ，無解；當(dāng) 時， ， ，則 ，解得 ；則 ；當(dāng) 時， ，可得所有根之和為 . 法二：函數(shù) 滿足 則 關(guān)于點(diǎn) 對稱，又因?yàn)?，故 關(guān)于點(diǎn) 對稱， 也關(guān)于點(diǎn) 對稱，如圖， 過點(diǎn) 和 ， 兩函數(shù)的圖象有如圖所示的三個交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為對應(yīng)方程的三個實(shí)數(shù)根 . ， ， 由于點(diǎn) 不在 上，所有根之和為 . 【點(diǎn)睛】 利用數(shù)形結(jié)合思想，注意函數(shù)的圖象的對稱性的應(yīng)用，是快捷高效的方法 . 三、解答題1、 （ 1

16、 ） ；（ 2 ） . 【分析】 （ 1 ）利用向量模的公式計(jì)算；（ 2 ）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示列式，即可計(jì)算結(jié)果 . 【詳解】 解：（ 1 ） ， . （ 2 ） ，且 ， . 2、 （ 1 ） ( ) ；（ 2 ） . 【分析】 （ 1 ）由向量數(shù)量積的運(yùn)算和三角函數(shù)恒等變換公式求得 ，由 可求出函數(shù)單調(diào)增區(qū)間； （ 2 ）由 求出角 ，由 的面積為 3 ，求出 ，再由余弦定理可求得結(jié)果 【詳解】 解：（ 1 ） ， ， 令 ( ) ， 得 ( ) ， 在 上的單調(diào)遞增區(qū)間為 ( ). （ 2 ）由（ 1 ）可得 ， ， 因?yàn)?，所有 ， 從而 ， ， 又 ， ，又 ， ， . 3、

17、（ 1 ）函數(shù)模型 較為合適，且該函數(shù)模型的解析式為 ；（ 2 ） 月份 . 【分析】 （ 1 ）根據(jù)兩個函數(shù)模型增長的快慢可知函數(shù)模型 較為合適，將點(diǎn) 、 代入函數(shù)解析式，求出 、 的值，即可得出函數(shù)模型的解析式； （ 2 ）分析得出 ，解此不等式即可得出結(jié)論 . 【詳解】 （ 1 ）由題設(shè)可知，兩個函數(shù) 、 ）在 上均為增函數(shù)， 隨著 的增大，函數(shù) 的值增加得越來越快， 而函數(shù) 的值增加得越來越慢， 由于風(fēng)眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，故而函數(shù)模型 滿足要求 . 由題意可得 ，解得 ， ， 故該函數(shù)模型的解析式為 ； （ 2 ）當(dāng) 時， ，故元旦放入鳳眼蓮的面積為 ， 由 ，即 ，故 ，

18、由于 ，故 . 因此，鳳眼蓮覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積 倍以上的最小月份是 月份 . 【點(diǎn)睛】 思路點(diǎn)睛：解函數(shù)應(yīng)用題的一般程序： 第一步：審題 弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系； 第二步：建模 將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，用數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型； 第三步：求模 求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論； 第四步：還原 將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實(shí)際問題的意義； 第五步：反思回顧 對于數(shù)學(xué)模型得到的數(shù)學(xué)結(jié)果，必須驗(yàn)證這個數(shù)學(xué)解對實(shí)際問題的合理性 4、 （ 1 ）答案見解析；（ 2 ） . 【分析】 （ 1 ）若選 ，利用正弦定理的邊角互化以及兩角和的正弦公式可得 ，從而可得 ；若選 ，利用二倍

19、角的余弦公式即可求解；若選 ，利用正弦定理的邊角互化即可求解 . （ 2 ）由（ 1 ）利用余弦定理可得 ，再利用基本不等式可得 ，根據(jù)三角形的面積公式即可求解 . 【詳解】 （ 1 ）若選 ，因?yàn)?，由正弦定理有： , 即 ， 所以 ，在 中， ，所以 . 若選 , ， ， 中， , ， ， , ，或 （舍） , . 若選 ，因?yàn)?，由正弦定理有： ，因?yàn)樵?中， ，所以 ， 又 ， A 為銳角，解得 . （ 2 ）由（ 1 ）可知， ，由 ， A 為銳角，得 ， 由余弦定理可知， ， ，當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立 . 面積： . 所以 面積 的最大值為 . 5、 （ 1 ）見解析；（ 2 ）見解

20、析 【詳解】 試題分析：證明線線平行的方法； 1 ，向量法， 2. 垂直于同一平面的兩條直線平行， 3 平行于同一直線的兩條直線平行， 4 一個平面與另外兩個平行平面相交 , 那么兩條交線也平行線面平行， 1 平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線與這個平面平行， 2 若一條直線與一個平面同時平行于另一個平面且這條直線不屬于這個平面，則這條直線與這個平面平行， 3 若一條直線與兩平行平面中的一個平行，則這條直線與另一個平面平行， 4 ，最好用的還是向量法 試題解析： (1) 證明 因?yàn)?BCAD ， AD 平面 PAD ， BC 平面 PAD ，所以 BC 平面 PAD. 又平面 PAD 平面 PBC l ， BC 平面 PBC ，所以 BCl. (2) 解 MN 平面 PAD. 證明如下： 如圖所示，取 PD 中點(diǎn) E ，連結(jié) AE ， EN. 又 N 為 PC 的中點(diǎn)， 又 即四邊形 AMNE 為平行四邊形 AEMN ，又 MN 平面 PAD ， AE 平面 PAD .MN 平面 PAD. 考點(diǎn)：線面平行的性質(zhì)定理及判