中考總復(fù)習(xí)：分式與二次根式--知識(shí)講解(基礎(chǔ))

1、【考綱要求】1. 了解分式的概念，會(huì)利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分，會(huì)進(jìn)行分式的加、減、乘、除、乘方運(yùn) 算；能夠根據(jù)具體問題數(shù)量關(guān)系列出簡(jiǎn)單的分式方程，會(huì)解簡(jiǎn)單的可化為一元一次方程的分式方程；2. 利用二次根式的概念及性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)，運(yùn)用二次根式的加、減、乘、除法的法則進(jìn)行二 次根式的運(yùn)算【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、分式的有關(guān)概念及性質(zhì)1 分式設(shè)A、 B 表示兩個(gè)整式如果B 中含有字母，式子就叫做分式注意分母B 的值不能為零，否則分式?jīng)]有意義.2 . 分式的基本性質(zhì)（ M為不等于零的整式）.3最簡(jiǎn)分式分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡(jiǎn)分式如果分子分母有公因式，要進(jìn)行約分化簡(jiǎn)要點(diǎn)詮

2、釋：分式的概念需注意的問題：（1） 分式是兩個(gè)整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分?jǐn)?shù)線則可以理解為除號(hào)，還含有括號(hào)的作用；（ 2）分式中，A和B均為整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必須含有字母且不為0；（ 3）判斷一個(gè)代數(shù)式是否是分式，不要把原式約分變形，只根據(jù)它的原有形式進(jìn)行判斷（ 4）分式有無意義的條件：在分式中，當(dāng)B 0 時(shí)，分式有意義；當(dāng)分式有意義時(shí)，B 0當(dāng)B=0 時(shí)，分式無意義；當(dāng)分式無意義時(shí)，B=0當(dāng)B 0 且 A = 0 時(shí)，分式的值為零考點(diǎn)二、分式的運(yùn)算1 基本運(yùn)算法則分式的運(yùn)算法則與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則類似, 具體運(yùn)算法則如下1）加減運(yùn)算±=同分母的分

3、式相加減，分母不變，把分子相加減.；異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法則進(jìn)行計(jì)算2）乘法運(yùn)算兩個(gè)分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母（ 3）除法運(yùn)算兩個(gè)分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘.（ 4）乘方運(yùn)算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分別乘方2零指數(shù).3負(fù)整數(shù)指數(shù)4分式的混合運(yùn)算順序先算乘方，再算乘除，最后加減，有括號(hào)先算括號(hào)里面的5約分把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分6通分根據(jù)分式的基本性質(zhì)，異分母的分式可以化為同分母的分式，這一過程稱為分式的通分要點(diǎn)詮釋：約分需明確的問題：(1

4、) 對(duì)于一個(gè)分式來說，約分就是要把分子與分母都除以同一個(gè)因式，使約分前后分式的值相等；(2) 約分的關(guān)鍵是確定分式的分子和分母的公因式，其思考過程與分解因式中提取公因式時(shí)確定公因式的思考過程相似；在此，公因式是分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)和相同字母最低次冪的積通分注意事項(xiàng)：(1) 通分的關(guān)鍵是確定最簡(jiǎn)公分母；最簡(jiǎn)公分母應(yīng)為各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有因式的最高次冪的積(2) 不要把通分與去分母混淆，本是通分，卻成了去分母，把分式中的分母丟掉(3) 確定最簡(jiǎn)公分母的方法：最簡(jiǎn)公分母的系數(shù)，取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；最簡(jiǎn)公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次冪的積.考點(diǎn)三、分式方程及其應(yīng)用1 分

5、式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程2分式方程的解法解分式方程的關(guān)鍵是去分母, 即方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程3分式方程的增根問題驗(yàn)根：因?yàn)榻夥质椒匠炭赡艹霈F(xiàn)增根，所以解分式方程必須驗(yàn)根驗(yàn)根的方法是將所得的根帶入到最簡(jiǎn)公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解4分式方程的應(yīng)用列分式方程解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題類似，但要稍復(fù)雜一些解題時(shí)應(yīng)抓住“找等量關(guān)系、恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)、確定主要等量關(guān)系、用含未知數(shù)的分式或整式表示未知量”等關(guān)鍵環(huán)節(jié)，從而正確列出方程，并進(jìn)行求解另外，還要注意從多角度思考、分析、解決問題，注意檢驗(yàn)、解釋結(jié)果的合理性 要點(diǎn)

6、詮釋：解分式方程注意事項(xiàng)：( 1 )去分母化成整式方程時(shí)不要與通分運(yùn)算混淆；( 2)解完分式方程必須進(jìn)行檢驗(yàn)，驗(yàn)根的方法是將所得的根帶入到最簡(jiǎn)公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解列分式方程解應(yīng)用題的基本步驟：(1) 審仔細(xì)審題，找出等量關(guān)系；(2) 設(shè)合理設(shè)未知數(shù)；(3) 列根據(jù)等量關(guān)系列出方程；(4) 解解出方程；(5) 驗(yàn)檢驗(yàn)增根；(6) 答答題考點(diǎn)四、二次根式的主要性質(zhì)1. a 0 (a 0) ；2. a a (a 0) ；3.a2 |a| a (a 0) a (a 0)4. 積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：ab a b(a 0， b 0) ；5. 商的算術(shù)平方根的性

7、質(zhì)：a a (a 0， b 0) . bb6. 若 a b 0 ，則 a b .要點(diǎn)詮釋：與 的異同點(diǎn)：1)不同點(diǎn)：與 表示的意義是不同的，表示一個(gè)正數(shù)a 的算術(shù)平方根的平方，而表示一個(gè)實(shí)數(shù)a 的平方的算術(shù)平方根；在中 ，而中 a 可以是正實(shí)數(shù)，0，負(fù)實(shí)數(shù)但與 都是非負(fù)數(shù)，即，而2)相同點(diǎn)：當(dāng)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即時(shí)，=； 時(shí)，無意義，考點(diǎn)五、二次根式的運(yùn)算1 二次根式的乘除運(yùn)算(1) 運(yùn)算結(jié)果應(yīng)滿足以下兩個(gè)要求：應(yīng)為最簡(jiǎn)二次根式或有理式；分母中不含根號(hào).(2) 注意知道每一步運(yùn)算的算理；2二次根式的加減運(yùn)算先化為最簡(jiǎn)二次根式，再類比整式加減運(yùn)算，明確二次根式加減運(yùn)算的實(shí)質(zhì)；3二次根式的混合運(yùn)

8、算(1) 對(duì)二次根式的混合運(yùn)算首先要明確運(yùn)算的順序，即先乘方、開方，再乘除，最后算加減，如有括號(hào)，應(yīng)先算括號(hào)里面的；(2) 二次根式的混合運(yùn)算與整式、分式的混合運(yùn)算有很多相似之處，整式、分式中的運(yùn)算律、運(yùn)算法則及乘法公式在二次根式的混合運(yùn)算中也同樣適用.要點(diǎn)詮釋：怎樣快速準(zhǔn)確地進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算.1. 明確運(yùn)算順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)先算括號(hào)里面的；2. 在二次根式的混合運(yùn)算中，原來學(xué)過的運(yùn)算律、運(yùn)算法則及乘法公式仍然適用；3. 在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能收到事半功倍的效果.(1) 加法與乘法的混合運(yùn)算，

9、可分解為兩個(gè)步驟完成，一是進(jìn)行乘法運(yùn)算，二是進(jìn)行加法運(yùn)算，使難點(diǎn)分散，易于理解和掌握. 在運(yùn)算過程中，對(duì)于各個(gè)根式不一定要先化簡(jiǎn)，可以先乘除，進(jìn)行約分，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的，但最后結(jié)果一定要化簡(jiǎn).例如826 ，沒有必要先對(duì)8 進(jìn)行化簡(jiǎn)，使計(jì)算繁瑣，可以先根據(jù)乘法分配律進(jìn)行2727乘法運(yùn)算，826862 64 2 3 ，通過約分達(dá)到化簡(jiǎn)目的；27273(2) 多項(xiàng)式的乘法法則及乘法公式在二次根式的混合運(yùn)算中同樣適用.如： 32323 22 21 ，利用了平方差公式.所以，在進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算時(shí)，借助乘法公式，會(huì)使運(yùn)算簡(jiǎn)化.【典型例題】類型一、分式的意義1 使代數(shù)式x 有意義的x 的取值范圍是（）2

10、x 111A. x 0 B. x C. x 0且 x D. 一切實(shí)數(shù)22【答案】C；x01【解析】解不等式組得 x 0 且 x 1 ，故選C2x 1 02【點(diǎn)評(píng)】代數(shù)式有意義，就是要使代數(shù)式中的分式的分母不為零；代數(shù)式中的二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，即需要x 中的 x 0；分母中的2x-10.舉一反三：【高清課程名稱：分式與二次根式高清 ID 號(hào)： 399347關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）： 例 1 】【 變式 】當(dāng) x 取何值時(shí)，分式2x2 9 有意義?值為零?x x 12【答案】有意義 .22當(dāng) x x 12 0時(shí)，分式2x 有意義，即x -3且 x 4時(shí)，分式2xx x 12x x 12

11、x2 9當(dāng) x2 9=0 且 x2 x 12 0 時(shí)，分式2x 9 值為零，x x 122解得 x= 3 ，且 x -3， x 4 ，即 x=3 時(shí)，分式2x 9 值為零 .x x 12類型二、分式的性質(zhì)112 1） 因?yàn)?x 4 , 所以 x 4 .xx2121(2)42 xx1即 x 22 16 . 所以 x 214 .x4x211222x221 14 1 15,xxx x215所以 4 x 2 xx1直接求觀察 (1) 和已知條件可知, 將已知等式兩邊分別平方再整理, 即可求出(1) 的值 ; 對(duì)于 (2),舉一反三：111ba變式 】已知, 求的值 .a baba b由 1 11 ,得

12、 a b 1a b a b ab a b所以 (a b)2 ab, 即 a2 b2ab .類型三、分式的運(yùn)算ba 所以 b aab22 abababab值很困難, 根據(jù)其特點(diǎn)和已知條件, 能夠求出其倒數(shù)的值, 這樣便可求出(2) 的值 .321221a2a 4 a2a23(a 2)122(a 2)a 2(a 2)(a 2) (a 2)(a 2) (a 2)(a 2) (a 2)(a 2)3a 18a 6(a 2)(a 2) (a 2)(a 2)3.在【點(diǎn)評(píng)】異分母分式相加減，先根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行通分，轉(zhuǎn)化為同分母分式，再進(jìn)行相加減通分時(shí)，先確定最簡(jiǎn)公分母，然后將各分式的分子、分母都乘以分母

13、與最簡(jiǎn)公分母所差的因式運(yùn)算的結(jié)果應(yīng)根據(jù)分式的基本性質(zhì)化為最簡(jiǎn)形式.舉一反三：【高清課程名稱：分式與二次根式高清 ID 號(hào)： 399347關(guān)聯(lián)的位置名稱(播放點(diǎn)名稱)： 例 2】【 變式 】已知 a 2 1 ，化簡(jiǎn)求值：( a 2 a 1) a 4a 2a a 4a 4 a 2【答案】原式 a 2 a 1 a 2a(a 2) (a 2)2 a 4a2 a1 1()aa2a4a4a(a 2) a 4 a(a 2)類型四、分式方程及應(yīng)用4如果方程13 1 x 有增根 , 那么增根是.x2 2x【答案與解析】因?yàn)樵龈鞘狗质降姆帜笧榱愕母? 由分母 x 2 0或 2 x 0可得 x 2. 所以增根是x

14、 2 .答案 : x 2【點(diǎn)評(píng)】使分母為0 的根是增根.5為創(chuàng)建“國(guó)家衛(wèi)生城市”，進(jìn)一步優(yōu)化市中心城區(qū)的環(huán)境，德州市政府?dāng)M對(duì)部分路段的人行道地磚、花池、排水管道等公用設(shè)施全面更新改造，根據(jù)市政建設(shè)的需要，須在60 天內(nèi)完成工程現(xiàn)在甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)有能力承包這個(gè)工程經(jīng)調(diào)查知道：乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程的時(shí)間比甲隊(duì)單獨(dú)完成多用 25 天， 甲、 乙兩隊(duì)合作完成工程需要30 天， 甲隊(duì)每天的工程費(fèi)用2500 元， 乙隊(duì)每天的工程費(fèi)用2000元（ 1 ）甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)單獨(dú)完成各需多少天？（ 2）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種符合要求的施工方案，并求出所需的工程費(fèi)用【答案與解析】（ 1 ）設(shè)甲工程隊(duì)單獨(dú)完成該工程需x 天，

15、則乙工程隊(duì)單獨(dú)完成該工程需（x+25）天3030根據(jù)題意得：30 + 301 x x+25方程兩邊同乘以x（ x+25） ，得30（ x+25） +30x=x（ x+25） ，即x2 35x 750=0解之，得x 1=50， x2= 15經(jīng)檢驗(yàn)，x1=50， x2= 15 都是原方程的解但x2= 15 不符合題意，應(yīng)舍去當(dāng) x=50 時(shí)， x+25=75答：甲工程隊(duì)單獨(dú)完成該工程需50 天，則乙工程隊(duì)單獨(dú)完成該工程需75 天（ 2）此問題只要設(shè)計(jì)出符合條件的一種方案即可方案一：由甲工程隊(duì)單獨(dú)完成（所需費(fèi)用為：2500× 50=125000（元）方案二：由甲乙兩隊(duì)合作完成所需費(fèi)用為：（

16、 2500+2000）×30=135000（元）【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程在工程問題中的應(yīng)用分析題意，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵工程問題的基本關(guān)系式：工作總量=工作效率×工作時(shí)間（ 1 ）如果設(shè)甲工程隊(duì)單獨(dú)完成該工程需x 天，那么由“乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程的時(shí)間比甲隊(duì)單獨(dú)完成多用25 天”，得出乙工程隊(duì)單獨(dú)完成該工程需（x+25）天再根據(jù)“甲、乙兩隊(duì)合作完成工程需要30 天”，可知等量關(guān)系為：甲工程隊(duì) 30 天完成該工程的工作量+乙工程隊(duì)30 天完成該工程的工作量=1（ 2）首先根據(jù)（1 ）中的結(jié)果，排除在60 天內(nèi)不能單獨(dú)完成該工程的乙工程隊(duì)，從而可知

17、符合要求的施工方案有兩種：方案一：由甲工程隊(duì)單獨(dú)完成；方案二：由甲乙兩隊(duì)合作完成針對(duì)每一種情況，分別計(jì)算出所需的工程費(fèi)用舉一反三：【 變式 】萊蕪盛產(chǎn)生姜，去年某生產(chǎn)合作社共收獲生姜200 噸，計(jì)劃采用批發(fā)和零售兩種方式銷售經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，批發(fā)每天售出6 噸（ 1 ） 受天氣、場(chǎng)地等各種因素的影響，需要提前完成銷售任務(wù)在平均每天批發(fā)量不變的情況下，實(shí)際平均每天的零售量比原計(jì)劃增加了2 噸，結(jié)果提前5 天完成銷售任務(wù)那么原計(jì)劃零售平均每天售出多少噸？（ 2）在（1 ）的條件下，若批發(fā)每噸獲得利潤(rùn)為2000 元，零售每噸獲得利潤(rùn)為2200 元，計(jì)算實(shí)際獲得的總利潤(rùn)【答案】（ 1 ）設(shè)原計(jì)劃零售平均每天售出x 噸200200根據(jù)題意，得5 ，6 x 6 （x 2）解得x1=2， x2= 16經(jīng)檢驗(yàn)，x=2 是原方程的根，x= 16 不符合題意，舍去答：原計(jì)劃零售平均每天售出2 噸 2） 2）20020 天 622實(shí)際獲得的總利潤(rùn)是：2000× 6× 20+2200× 4× 20=416000（元）類型五、二次根式的定義及性質(zhì)6當(dāng)x取何值時(shí)，9x 1 3的值最??？最小值是多少？【答案與解析】