利用圖形直觀 引導(dǎo)解題思路

1、利用圖形直觀 引導(dǎo)解題思路摘  要圖形能很好地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)信息，能讓隱藏的一些數(shù)學(xué)結(jié)論和數(shù)學(xué)思想顯露出來(lái)，借助圖形直觀對(duì)引導(dǎo)解題思路有著積極的作用.關(guān)鍵詞圖形直觀;解題思路;函數(shù);數(shù)列中圖分類號(hào)  G633.6    文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼  A    文章編號(hào)  1674-6058202120-0016-03一、圖形直觀的內(nèi)涵和作用史寧中教授提出：“幾何直觀是借助于見到的或想象出來(lái)的幾何圖形的形象關(guān)系，對(duì)數(shù)學(xué)的研究對(duì)象空間形式或數(shù)量關(guān)系進(jìn)行直接感知、

2、整體把握的能力.孔凡哲教授認(rèn)為：“在中小學(xué)數(shù)學(xué)中，幾何直觀具體表現(xiàn)形式有四種，即實(shí)物直觀、簡(jiǎn)約符號(hào)直觀、圖形直觀、替代物直觀.從兩位教授的觀點(diǎn)可以看出，圖形直觀作為幾何直觀的一種形式，是一種利用圖形研究數(shù)學(xué)對(duì)象的能力.它具有直接感知和整體把握的特點(diǎn).圖形直觀是幫助解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效手段.數(shù)學(xué)問(wèn)題中的很多條件往往是隱性的、片段性的，而圖形直觀那么恰恰是利用圖形把條件顯性地、連續(xù)地表達(dá)出來(lái)，進(jìn)而使解題思路直觀化.圖形直觀是利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考和想象，圖形直觀能力在本質(zhì)上是一種通過(guò)圖形所展開的想象能力.二、圖形直觀在引導(dǎo)解題思路中的應(yīng)用1.圖形直觀在函數(shù)中的應(yīng)用圖像在函數(shù)中有著得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)，因?yàn)?/p>

3、圖像本身就是函數(shù)的表達(dá)方式，是最為直觀的表達(dá)方式.例1函數(shù)fx=ax+bx，假設(shè)01，函數(shù)gx=fx-2有且只有1個(gè)零點(diǎn)，求ab的值.我們把解析分成兩段.第一段：gx=fx-2=ax+bx-2，g'x=axlna+bxlnb=axlnbbax+lnalnb，由01可得ba>1，令g'x=0得x0=logba-lnalnb，x-，x0遞減，xx0，+遞增，gx的最小值為gx0.由g0=0，可知0是函數(shù)gx的零點(diǎn).第二段：通過(guò)第一段的分析我們已經(jīng)初步掌握了這個(gè)函數(shù)的一些信息和一些不確定的信息，整理如下.函數(shù)信息：g0=0，x-，x0遞減，xx0，+遞增，gx的最小值為gx0.

4、不確定的信息：函數(shù)的極小值點(diǎn)在哪里和0比？圖像在除0以外的地方的零點(diǎn)有沒(méi)有不清楚？根據(jù)的信息，再結(jié)合需要探索的信息，我們可以畫出這樣的三種函數(shù)草圖如圖1、圖2、圖3.圖1x0=0情形   圖2x0>0情形    圖3x0圖形直觀幫助我們形成初步的感性結(jié)論：圖1符合題意，而圖2、圖3那么不符合題意.結(jié)合這樣的圖形直觀，我們得到如下的數(shù)學(xué)推理：1當(dāng)x0=0時(shí)，解得ab=1，函數(shù)gx在-，0上遞減，在0，+上遞增，符合題意.2當(dāng)x0>0時(shí)，在x-，x0遞減，xx0，+遞增，所以在x-，x0有一個(gè)零點(diǎn)0，gx00，根據(jù)零

5、點(diǎn)存在定理可得，在以x0和loga2為端點(diǎn)的正開區(qū)間內(nèi)必然存在一個(gè)零點(diǎn)，所以這樣gx就有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，不符合題意.3當(dāng)x00，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得，在以x0和logb2為端點(diǎn)的負(fù)開區(qū)間內(nèi)必然存在一個(gè)零點(diǎn).這樣，gx就有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，不符合題意.2.圖形直觀在數(shù)列中的應(yīng)用數(shù)列是特殊的函數(shù)，圖形直觀在數(shù)列中的應(yīng)用就顯得水到渠成.例2數(shù)列an，bn都為等差數(shù)列，數(shù)列cn滿足cn=an，n為奇數(shù)，bn，n為偶數(shù)，nN?.且對(duì)任意nN?，cn+1>cn恒成立.求證：數(shù)列an，bn的公差相等.分析：an=a1+n-1d1，bn=b1+n-1d2，cn+1>cn恒成立顯示an，bn上的點(diǎn)交替

6、上升.信息：an，bn是關(guān)于n的一次函數(shù)，其圖像是直線上的一系列點(diǎn).cn+1>cn恒成立顯示an，bn上的點(diǎn)交替上升.不確定的和需要探索的信息：d1，d2的大小關(guān)系未定.根據(jù)上面的信息，我們可以畫出如下圖形.圖4d1=d2情形           圖5d1上面的圖形直觀幫助我們初步得到如下結(jié)論：1圖4是d1=d2情形，符合交替上升的題意.2圖5是d1an+8，不符合交替上升的題意.d1>d2情形類似.說(shuō)明：這里的圖形是草圖，圖形繪制時(shí)需要結(jié)合我們的想象力，把盡可能多的情形繪

7、制出來(lái).如圖5中bn+7>an+8，說(shuō)明在無(wú)窮遠(yuǎn)處某個(gè)區(qū)間必然會(huì)有這樣的兩個(gè)點(diǎn)，不符合交替上升的規(guī)律.借助這樣的圖形直觀，我們有如下的數(shù)學(xué)推理.解：設(shè)數(shù)列an的公差為d1，數(shù)列bn的公差為d2.假設(shè)d1>d2，那么當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，cn=an=a1+n-1d1，cn+1=bn+1=b1+nd2，那么當(dāng)n>-a1+d1+b1d1-d2時(shí)，cn+1-cn=d2-d1n+b1+d1-a1即cn+1假設(shè)d2>d1，那么當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，cn=bn=b1+n-1d2，cn+1=an+1=a1+nd1，那么當(dāng)n>-b1-d2+a1d2-d1時(shí)，cn+1-cn=d1-d2n+a1+d2

8、-b1綜上，d1=d2，原命題得證.3.圖形直觀在解析幾何中的應(yīng)用例3橢圓x25+y2b=1和直線y=kx+1kR總有公共點(diǎn)，那么b的取值范圍為.分析：橢圓和直線都具有明顯的圖形特征，可用數(shù)形結(jié)合去試著解決問(wèn)題.信息：x25+y2b=1與x軸的交點(diǎn)為5，0;y=kx+1kR過(guò)定點(diǎn)0，1.未知和需要探索的信息：y=kx+1kR的斜率可以任意變化.x25+y2b=1與y軸的交點(diǎn)為0，b，需要探求b的取值范圍.根據(jù)上面的信息，可得出如下可能的圖形.圖60圖815情形由圖形直觀我們可以知道：圖6不符合題意，圖7至圖9符合題意，所以b的取值范圍為b>1且b5.三、圖形直觀能力的培養(yǎng)認(rèn)識(shí)論、邏輯學(xué)以

9、及心理學(xué)的研究都說(shuō)明培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)圖形直觀能力有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握和應(yīng)用.那么如何培養(yǎng)學(xué)生的圖形直觀能力呢？1.善于利用圖形描述數(shù)學(xué)問(wèn)題利用圖形描述數(shù)學(xué)問(wèn)題，有助于學(xué)生對(duì)事物關(guān)系產(chǎn)生直接的感知與認(rèn)識(shí).史寧中教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)的結(jié)果是“看出來(lái)的而不是“證出來(lái)的.所謂“看是一種直覺(jué)判斷，這種直覺(jué)判斷建立在長(zhǎng)期的有效能的觀察和思考的根底上.例1中“函數(shù)gx=fx-2有且只有1個(gè)零點(diǎn)用圖形描述為“函數(shù)圖像與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn);例2中“cn+1>cn恒成立用圖形描述為“an，bn上的點(diǎn)交替上升.這樣的圖形描述很直觀.利用圖形描述數(shù)學(xué)問(wèn)題，正是為了讓學(xué)生通過(guò)“看形成直覺(jué)判斷.2.善于利用圖形理解數(shù)

10、學(xué)問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題一般都是以符號(hào)的形式給出的，要想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們必須很好地理解數(shù)學(xué)問(wèn)題.利用圖形可以幫助我們更加直觀而有效地理解題意.如上述問(wèn)題“求證：數(shù)列an，bn的公差相等即“要想an，bn上的點(diǎn)總是交替上升，那么必然有d1=d2.于是我們聯(lián)想到了d13.善于利用圖形解決數(shù)學(xué)問(wèn)題數(shù)形結(jié)合是直觀與抽象、感知與想象的結(jié)合.圖形在解決一些不需要寫出邏輯推理過(guò)程的數(shù)學(xué)問(wèn)題中具有非常獨(dú)特的魅力.如上述中的“橢圓x25+y2b=1和直線y=kx+1kR總有公共點(diǎn)可以理解為“直線隨便怎么畫，都要和橢圓有公共點(diǎn)，所以定點(diǎn)0，1必須在橢圓內(nèi)或在橢圓上.四、誤區(qū)及反思正確的圖形直觀可以引導(dǎo)學(xué)生正確的解題思路，

11、錯(cuò)誤的圖形直觀必然導(dǎo)致錯(cuò)誤的引導(dǎo).例如，在分析函數(shù)fx=xex的性質(zhì)時(shí)，通過(guò)求導(dǎo)后發(fā)現(xiàn)函數(shù)在-，1上遞增，在1，+上遞減.圖形直觀表示如圖10所示.圖10               圖11事實(shí)上，當(dāng)x>0時(shí)，fx>0，上面的圖像是有問(wèn)題的.當(dāng)x+， fx0+，借助數(shù)的分析我們把圖像調(diào)整為圖11所示.因?yàn)槭侵庇^，所以我們只關(guān)注一些主要信息，漏掉了一些次要信息，導(dǎo)致我們對(duì)圖像的把握不準(zhǔn)確，所以圖形直觀的精確度是值得關(guān)注的，不同

12、的問(wèn)題要求圖形的精確度也不同.倘假設(shè)上面的問(wèn)題關(guān)注的是函數(shù)的最大值，那么圖10的直觀圖就足夠了.但如果是函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，那么需要用圖11的直觀圖.這就要求我們?cè)谧髦庇^圖時(shí)，搞清問(wèn)題是什么，所以在使用圖形直觀去分析時(shí)，務(wù)必要力求圖形準(zhǔn)確，分類全面.  參  考  文  獻(xiàn)  【1】 蔣海燕.中學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)方略M.濟(jì)南：山東人民出版社，2021.責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)猜你喜歡數(shù)列解題思路函數(shù)亞純函數(shù)的正規(guī)族與例外函數(shù)華東師范大學(xué)學(xué)報(bào)自然科學(xué)版(2021年1期)2021-03-16高中數(shù)學(xué)數(shù)列有效教學(xué)方式研究教師·下(2021年5期)2021-06-19運(yùn)用“構(gòu)造法，創(chuàng)新數(shù)學(xué)解題思路數(shù)學(xué)教學(xué)通訊·小學(xué)版(2021年3期)2021-04-22兩大部類再生產(chǎn)最優(yōu)平衡增長(zhǎng)的形成路徑經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)(2021年1期)2021-04-08兩種方法三條途徑中學(xué)課程輔導(dǎo)·教師教育中(2021年2期)2021-03-24高中數(shù)學(xué)一道數(shù)列典型題解法的探究數(shù)學(xué)學(xué)