第四章導(dǎo)數(shù)與微分

1、第四章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分是微分學(xué)的兩個(gè)重要概念，也是解決函數(shù)的函數(shù)值計(jì)算或近似計(jì)算的有效工具.本章將從兩個(gè)實(shí)際問題已知運(yùn)動(dòng)規(guī)律求瞬時(shí)速度和已知曲線方程求曲線的切線斜率抽象出導(dǎo)數(shù)概念，并在此基礎(chǔ)上探索基本求導(dǎo)法則與公式，進(jìn)而給出微分概念.第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)作為微分學(xué)中最重要的概念，是由英國數(shù)學(xué)家牛頓（Newton）和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲（Leibniz）分別在研究力學(xué)和幾何學(xué)過程中提出來的.一、導(dǎo)數(shù)的定義1.瞬時(shí)速度大家通過學(xué)習(xí)物理都知道這樣一個(gè)簡單的問題一輛汽車從相距120的地出發(fā)到地，行駛了4，那么該汽車行駛的速度就是，此時(shí)的只是反映了汽車從地到地的平均速度，并不能代表汽車在某一時(shí)刻的

2、瞬間速度，即瞬時(shí)速度.那么如何根據(jù)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，計(jì)算它在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度呢？如果物體作非勻速直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律為，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的距離為，那么.其中是物體在時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離，由物理知識我們知道，該物體在時(shí)間內(nèi)的平均速度滿足.顯然，隨的變化而變化，當(dāng)較小時(shí)，可將看作物體在時(shí)刻的“瞬時(shí)速度”的近似值，當(dāng)越小，它的近似程度越好.特別地，當(dāng)無限趨近于0時(shí)，平均速度的極限便可以認(rèn)為是物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度.2切線的斜率對于一些特殊曲線的切線問題，可應(yīng)用初等數(shù)學(xué)方法解決，而對一般曲線的切線斜率問題，則要涉及導(dǎo)數(shù)問題.設(shè)曲線為函數(shù)的圖象，如圖4-1所示： 圖4-1求過該曲線上一點(diǎn)的切線斜率.不妨

3、設(shè)是曲線上不同于點(diǎn)的一點(diǎn)，坐標(biāo)為，其中，.由平面解析幾何可知，割線的斜率(即對的平均變化率)為 當(dāng)較小時(shí)，越接近于點(diǎn)，此時(shí)割線的斜率可看作是曲線上過點(diǎn)的切線斜率的近似值. 當(dāng)無限趨近與0 時(shí)，割線斜率的極限 便是曲線過點(diǎn)的切線的斜率.盡管上述二例具體背景各不相同，但最終都?xì)w結(jié)為討論函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比的極限問題.正是由于這類問題的研究促使了導(dǎo)數(shù)概念的誕生.定義4-1 函數(shù)在的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，在處有一增量，相應(yīng)函數(shù)的增量為.若極限 （1）存在，則稱此函數(shù)在處可導(dǎo)（或存在導(dǎo)數(shù)），并稱該極限值為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記為.若令，則（1）式可改寫為 （2）若極限（1）或（2）不存在，則稱函數(shù)

4、在處不可導(dǎo).另外，在（1）式中，若自變量的改變量只從大于0或只從小于0的方向趨近于0，那么有如下定義定義4-2 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某右鄰域內(nèi)有定義.若 ， （3）存在，則稱該極限為在處的右導(dǎo)數(shù)，記作，此時(shí)亦稱函數(shù)在處右可導(dǎo).（3）式也可寫為. 類似地，若， （4）存在，則稱此極限為在點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù)，記作，此時(shí)也稱函數(shù)在處左可導(dǎo).（4）式也可改為 .左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù).與極限情形一樣，導(dǎo)數(shù)與它的單側(cè)導(dǎo)數(shù)有以下關(guān)系:定理4-1 若函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，則存在的充要條件是與都存在，且=下面通過幾個(gè)實(shí)例來熟悉導(dǎo)數(shù)的概念例1 求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).解 由于所以 例2 求常量函數(shù)在任一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).解

5、因?yàn)?且 故 .即常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0.例3 求正弦函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù).解 因?yàn)楣?（其中）.即正弦函數(shù)在R上任意處可導(dǎo)，且.讀者可以根據(jù)這一過程證明.下面介紹幾個(gè)不可導(dǎo)的例子.例4 設(shè)，討論在處的可導(dǎo)性.解 由于所以 即在點(diǎn)處的左右導(dǎo)數(shù)都存在，但，由定理4-1可知在處不可導(dǎo).例5 證明函數(shù)在處不可導(dǎo).證明 由于當(dāng)時(shí)，上式極限不存在，所以在處不可導(dǎo).此外函數(shù)在某點(diǎn)處的可導(dǎo)與它在該點(diǎn)處是否連續(xù)也有如下定理:定理4-2 若函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則函數(shù)在處連續(xù).證明 設(shè)在處的改變量為，則相應(yīng)函數(shù)改變量,那么即在處連續(xù).注意 可導(dǎo)僅是函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)的充分條件，不是必要條件.像定理4-2，它的逆命題是不成立的.即

6、函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)，函數(shù)在該點(diǎn)處不一定可導(dǎo)，如例4中所指出的函數(shù)，其圖象如圖4-2所示： x0y 圖4-2由圖象可知，在處連續(xù)，但它在處并不可導(dǎo).二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義由引例2可知，當(dāng)點(diǎn)沿著曲線無限趨近于點(diǎn)時(shí)，割線的極限位置就是曲線過點(diǎn)的切線，而過點(diǎn)的切線斜率正是割線斜率在時(shí)的極限，即又由導(dǎo)數(shù)定義，所以導(dǎo)數(shù)的幾何意義是：函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是曲線在點(diǎn)（）處的切線的斜率.此時(shí)曲線在點(diǎn)（）處的切線方程為例6 求在點(diǎn)處的切線方程與法線方程.解 由于 故 所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為由解析幾何知道，若切線斜率為，則法線斜率為，從而過點(diǎn)的法線斜率為，法線方程為若，則法線方程為.三、導(dǎo)函數(shù)若函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都可導(dǎo)（對

7、于區(qū)間端點(diǎn)，只要求它存在左（或右）導(dǎo)數(shù))，即，都存在，則稱函數(shù)在區(qū)間可導(dǎo).若函數(shù)在區(qū)間可導(dǎo)，則對每一個(gè)，都有的一個(gè)導(dǎo)數(shù)（在區(qū)間端點(diǎn)，則是左（或右）導(dǎo)數(shù)）與之對應(yīng)，這樣就確定了一個(gè)定義在上的函數(shù)，稱為在上的導(dǎo)函數(shù)，也簡稱導(dǎo)數(shù)，記作 : 或或.注 可以看成一個(gè)整體，是萊布尼茲首先引用的.目前它還不能被看作是與的商，但可以把理解為作用于的求導(dǎo)運(yùn)算.有時(shí)也寫作.但學(xué)過“微分”之后，可把看成與的 “商”，因此導(dǎo)數(shù)也稱之為“微商”.例7 證明：（1）則（2）則證明 （1） （2）因?yàn)?所以 （其中 ）第二節(jié) 求導(dǎo)法則上一節(jié)我們根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求出了一些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對于一般函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)然也可以用定義去求，

8、但這個(gè)過程較繁瑣.為了解決這一問題，本節(jié)將引入一些常見的求導(dǎo)方法，如四則運(yùn)算求導(dǎo)法、反函數(shù)求導(dǎo)法，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法等，便于快捷地求一些初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則定理4-3 若函數(shù)與在點(diǎn)處可導(dǎo)，則函數(shù)在處也可導(dǎo)，且.證明 設(shè)，則= = =由于函數(shù)與在點(diǎn)處可導(dǎo)，則有與所以= =即函數(shù)在處可導(dǎo)，且.定理4-3可推廣為求任意有限個(gè)函數(shù)代數(shù)和的導(dǎo)數(shù)，由此可得若, 都在處可導(dǎo)，則函數(shù)在處也可導(dǎo)，且=法則1 有限個(gè)函數(shù)的代數(shù)和的導(dǎo)數(shù)等于每個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的代數(shù)和.例1 求函數(shù)=的導(dǎo)數(shù).解 由第一節(jié)例7可知=，=，故 =+ =+.定理4-4 若函數(shù)與在處可導(dǎo)，則函數(shù)在處也可導(dǎo)，且=+.證明 設(shè)=，則= =

9、 =由于與在處可導(dǎo)，則有=與=由定理4-2,函數(shù)在處可導(dǎo),則也在處連續(xù)，于是=所以 =+ =+即函數(shù)在處可導(dǎo)，且=+注 該定理也可進(jìn)行推廣，由此可得:法則2 兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個(gè)函數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)再加上第二個(gè)函數(shù)乘第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).特殊地,當(dāng)=(是常數(shù))時(shí)，=+=.例2 求函數(shù)=的導(dǎo)數(shù).解 =+ =定理4-5 若函數(shù)與在處可導(dǎo)，且，則函數(shù)在處也可導(dǎo)，且=關(guān)于此定理的證明，留做練習(xí)，請大家自行證明.注 法則3 兩個(gè)函數(shù)商的導(dǎo)數(shù)等于另兩個(gè)函數(shù)的商 ，其分子是原來函數(shù)分子的導(dǎo)數(shù)乘分母減去分母的導(dǎo)數(shù)乘分子，其分母是原來函數(shù)分母的平方.例3 設(shè)=，求.解 由法則3可知= = =例4 求證：=

10、， = = ， 證明 僅證明=與=，其他留作練習(xí).= =類似地， = = = =二、反函數(shù)求導(dǎo)法則定理4-6 設(shè)=為=的反函數(shù)，且在的某鄰域內(nèi)連續(xù)，并嚴(yán)格單調(diào)且0，則=在處可導(dǎo)且有=.證明 設(shè)=，=.由于在的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)，則0時(shí)，也有0，從而當(dāng)0時(shí)有= =法則4 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).例5 求指數(shù)函數(shù)=的導(dǎo)數(shù).解 由于=為對數(shù)函數(shù)=，的反函數(shù)，故由前節(jié)例7對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可知=特殊地，當(dāng)時(shí)有=.即以為底的指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是它自身.例6 求下列反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1 = ( , ) 解 由于=，為=，的反函數(shù)，且在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，則由反函數(shù)求導(dǎo)法則得=當(dāng)時(shí)，所以=2 = (

11、, )解 由于=在上是=的反函數(shù)，且在上嚴(yán)格單調(diào)遞減，則由反函數(shù)求導(dǎo)法則得=當(dāng)時(shí)，所以=3 = (, )解 由于=在上存在反函數(shù)，則由反函數(shù)求導(dǎo)法則得=4 = (, )解 由于=在上存在反函數(shù)，則由反函數(shù)求導(dǎo)法則得=三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則在我們研究的函數(shù)中，有許多函數(shù)是由幾個(gè)基本初等函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù),也稱為復(fù)合函數(shù).關(guān)于復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算，還必須了解它的求導(dǎo)法則.定理4-7 若函數(shù)=在處可導(dǎo)，函數(shù)在處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在處也可導(dǎo)，且.對于這個(gè)定理的證明，有人采取如下方法，將改寫為，由于在處連續(xù)，故當(dāng)0時(shí)有.又已知，分別在，處可導(dǎo)，從而在0時(shí)極限存在，且等于.實(shí)際上，這樣的證明不盡妥當(dāng).因?yàn)楫?dāng)0時(shí)

12、，雖有.但此時(shí)不能保證恒成立.因而在上式中就不能保證有意義.如函數(shù)=在的情況.=.取=0，但這時(shí)=0，且函數(shù)在處可導(dǎo).因此，上述證明是不嚴(yán)格的.為避免產(chǎn)生上述問題，下面給出此定理的嚴(yán)格證明.證明 設(shè)=，則=+.構(gòu)造函數(shù)=由于在處連續(xù)，故當(dāng)0時(shí)有.又由的定義及在處可導(dǎo)可知，不管是否為0，總有=于是函數(shù)在時(shí)也連續(xù)，所以 = = =這就證得在處也可導(dǎo)，且有 成立.法則5 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對中間變數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以中間變數(shù)對自變數(shù)的導(dǎo)數(shù).該定理可推廣到對有限個(gè)基本初等函數(shù)生成的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo).如對由三個(gè)可導(dǎo)函數(shù)=，=，=生成的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，有=例7 求函數(shù)=的導(dǎo)數(shù).解 函數(shù)=是函數(shù)=與的復(fù)合函數(shù)，由復(fù)合

13、函數(shù)求導(dǎo)法則，有= =例8 設(shè)=，求，.解 函數(shù)=可看成函數(shù)=與的復(fù)合函數(shù)，所以= = =故=0 ，=.四、基本求導(dǎo)法則與公式為了方便大家對公式的查閱，下面將前面得到的求導(dǎo)法則與基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式歸納如下：基本求導(dǎo)法則1. =,2. =，特別地 (為常數(shù))3. =,4. 反函數(shù)求導(dǎo)：=，其中是的反函數(shù),5. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：=，其中.基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式1. =0 (為常數(shù)),2. = (為任意實(shí)數(shù)), = ， =.3. = ， = ， = ， = ， = ， =.4. = （）, =.5. = ， 特別地=.6. = ， 特別地=.由導(dǎo)數(shù)公式表知，所有基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)仍然是基本初等函數(shù)

14、的有限次四則運(yùn)算和復(fù)合，即初等函數(shù)對導(dǎo)數(shù)運(yùn)算是封閉的.且在這些函數(shù)的定義域內(nèi)，至多除去有限個(gè)點(diǎn)，它們不僅可導(dǎo)而且導(dǎo)函數(shù)連續(xù).第三節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)一、高階導(dǎo)數(shù)的實(shí)際背景及定義由前面學(xué)習(xí)已知，一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若存在，則這個(gè)導(dǎo)數(shù)仍然是一個(gè)函數(shù).因此有必要的話，還可以對這個(gè)函數(shù)繼續(xù)進(jìn)行求導(dǎo).下面我們先看一個(gè)實(shí)例：Newton在研究質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)，一個(gè)受力質(zhì)點(diǎn)的速度的改變量與所受的力及其它受力的時(shí)間=成正比，而與它的質(zhì)量成反比.若選取比例系數(shù)為1，則有沖量定律=上式可改寫為 =對于勻變速運(yùn)動(dòng)而言，相同時(shí)間內(nèi)的速度改變量是常數(shù)，不妨將這個(gè)常數(shù)用表示，就得到了著名的Newton第二定律=在一般的變

15、速運(yùn)動(dòng)中，加速度是隨時(shí)間變化而變化的函數(shù)，所以在時(shí)刻的瞬時(shí)加速度即是當(dāng)時(shí)，平均加速度的極限值，表示如下：=即加速度函數(shù)是速度函數(shù)的導(dǎo)數(shù).而由前面學(xué)習(xí)又知道是位移函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，那么可看成是的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，我們稱之為的二階導(dǎo)數(shù).定義4-3 若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在處仍可導(dǎo)，則稱在處的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)在處的二階導(dǎo)數(shù)，記為或.若在區(qū)間上每一點(diǎn)都二階可導(dǎo)，則得到一個(gè)定義在內(nèi)的二階導(dǎo)函數(shù)，記為或 ().類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)，記作或.以此類推，我們可以定義一般的階導(dǎo)數(shù)，即=二階與二階以上的導(dǎo)數(shù)，統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).注1 與的區(qū)別：前者表示二階導(dǎo)數(shù)，而后者表示一階導(dǎo)數(shù)的平方. 注2 也可以寫為或. 利用上述記號，

16、我們可以將加速度寫為在時(shí)刻的二階導(dǎo)數(shù)，即 實(shí)質(zhì)上，由高階導(dǎo)數(shù)的定義，只要按求導(dǎo)法則對逐次求導(dǎo)，就能得到它的任意階的導(dǎo)數(shù).函數(shù)在處的階導(dǎo)數(shù)記作 或 .作為例子，我們先來看幾個(gè)常用的基本初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù).例1 求=()的階導(dǎo)數(shù).解 由冪函數(shù)的求導(dǎo)公式得= =由此可見，對于正整數(shù)冪函數(shù)，每求導(dǎo)一次冪次降低1，第階導(dǎo)數(shù)為常數(shù)，大于階的導(dǎo)數(shù)都等于0.例2 求=，=的各階導(dǎo)數(shù).解 對于=，由三角函數(shù)求導(dǎo)公式得= = =若繼續(xù)求導(dǎo)，將重復(fù)以上過程.但為了求一般的階導(dǎo)數(shù)公式，可做如下變形：=以此類推=同理可得 =例3 求=的階導(dǎo)函數(shù).解 因?yàn)?，于是 = = =以此類推有 =二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則對于兩個(gè)函

17、數(shù)的線性組合和乘積的高階導(dǎo)數(shù)有以下運(yùn)算法則：定理4-8 設(shè)和都是次可導(dǎo)函數(shù)，則對任意常數(shù)和，它們的線性組合+也次可導(dǎo)，且=證明從略.定理4-9 (萊布尼茲公式) 設(shè)和都是次可導(dǎo)函數(shù)，則它們的積函數(shù)也次可導(dǎo)，即=+ =這里=是組合系數(shù)，=， =.例4 設(shè)=，求.解 設(shè)， =于是 =2 ， = =， = ， = =.由萊布尼茲公式，有 = =第四節(jié) 微分及其應(yīng)用一、微分的概念及幾何意義當(dāng)一個(gè)函數(shù)的自變量有微小的改變時(shí)，它的因變量一般說來也會(huì)有一個(gè)相應(yīng)的改變.微分的原始思想在于去尋找一種方法，當(dāng)因變量的改變也是很微小的時(shí)候，能夠簡便而又比較精確地估計(jì)出這個(gè)改變量.定義4-4 若函數(shù)在的改變量與自變量

18、的改變量，有下列關(guān)系, (是常數(shù))稱函數(shù)在可微， 稱為函數(shù)在的微分，記作由定義可見，函數(shù)的微分與增量僅相差一個(gè)較高階的無窮小量.由于是的一次函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，也說微分是增量的線性主要部分.下面我們通過一個(gè)實(shí)例來體會(huì)可微的定義.如圖4-3，半徑為的圓面積 圖4-3若半徑增大，則面積也會(huì)相應(yīng)的發(fā)生改變.設(shè)其改變量為，則由可微定義，的線性主要部分是，而比是高階無窮小，即.此時(shí)當(dāng)時(shí)，.函數(shù)在點(diǎn)的可微與可導(dǎo)有如下關(guān)系：定理4-10 函數(shù)在點(diǎn)可微函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo).證明 必要性由于在點(diǎn)可微,所以 從而 又因?yàn)?故函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo).充分性 因?yàn)樵邳c(diǎn)可導(dǎo)，即或記為 , 從而 其中是與無關(guān)的常數(shù)，比是高階無窮小，于是由可

19、微的定義，在點(diǎn)處可微.上述定理不僅指出了函數(shù)在點(diǎn)處可微與可導(dǎo)是等價(jià)的，并且給我們回答了定義中的含義是，于是函數(shù)在點(diǎn)的微分也可寫為 從幾何圖形看，如圖4-4，設(shè)是函數(shù)對應(yīng)的曲線上的一個(gè)定點(diǎn)，當(dāng)自變量由增加到時(shí)，對應(yīng)于曲線上的另一個(gè)點(diǎn).過作的切線，當(dāng)傾斜角為時(shí)，顯然有.如圖4-4： 圖4-4 因此 即與之差距為較高階無窮小量.于是在的充分小鄰域內(nèi)，可用處的切線段來近似代替處的曲線段.二、基本初等函數(shù)的微分公式與微分的運(yùn)算法則若函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都可微，稱為上的可微函數(shù).特別地,當(dāng)時(shí)，從而微分可記作 ，由此可得，函數(shù)的微分等于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量微分之積.1.基本初等函數(shù)的微分公式（1）， ，其中是常

20、數(shù)（2）， 特別地, ， ， （3）， 特殊地, ， （4），特殊地, ， （5），（6），2.函數(shù)的和、差、積、商的微分運(yùn)算法則由于可微與可導(dǎo)是等價(jià)的，且，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，我們能很容易推出如下微分運(yùn)算法則：（1），是常數(shù)（2），（3）（4）3.復(fù)合函數(shù)的微分法則若，都可導(dǎo)，則可微，即例1 求的微分.解 例2 設(shè)，求. 解 =三、高階微分函數(shù)的高階微分的定義類似于高階導(dǎo)數(shù)的定義.定義4-5 函數(shù)的微分的微分，稱為函數(shù)的二階微分，即記作:.類似地，我們稱函數(shù)的階微分的微分為函數(shù)的階微分，表示為 注意： ， 四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用由前面的學(xué)習(xí)可知，若函數(shù)在可微，則，因?yàn)?所以 或 設(shè)，則上式又可改寫為： 或 （1）我們稱（1）式為函數(shù)值的近似計(jì)算公式.特殊地，當(dāng)時(shí)，有 （2）由（2）式還可以推出幾個(gè)常用的近似公式，以供大家參考：（1） （2）（3） （4）（5） （6）這里只對最后一個(gè)近似公式加以證明.設(shè),則，, .由公式（2）得例3 利用微分計(jì)算下列數(shù)的近似值：（1）； （2）.解 （1）令 則= （2）令 且 ，則.因?yàn)?，所以 習(xí)題四1設(shè)質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，已知路程是時(shí)間的函數(shù)求從到之間的平均速度，并求出當(dāng),與的平均速度，再求在的瞬時(shí)速度.2.求下列曲線在指定點(diǎn)P處的切線方程與法線