江蘇數(shù)學(xué)試題及標準答案(word解析版)

1、2014 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學(xué) 注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1 本試卷共 4 頁，包含填空題（第1 題第 14 題）、解答題（第15 題第 20 題）本卷滿分160 分，考試時間為120 分鐘考試結(jié)束后，請將答題卡交回2 答題前，請您務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0.5 毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置3 請在答題卡上按照順序在對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無效作答必須用0.5 毫米黑色墨水的簽字筆請注意字體工整，筆跡清楚4 如需作圖，須用2B 鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗5 請保持答題卡卡面清潔，不要折疊、

2、破損一律不準使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆參考公式：圓柱的體積公式：V圓柱sh ，其中 s為圓柱的表面積，h 為高圓柱的側(cè)面積公式：S圓柱 =cl ，其中 c 是圓柱底面的周長，l 為母線長一、填空題：本大題共14 小題，每小題5 分，共計70 分 請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上（ 1）【 2014 年江蘇， 1， 5 分】已知集合A2 ， 1，3，4 ， B 1，2，3 ，則 AB _ 【答案】 1 ，3【解析】由題意得A B 1,3 （ 2）【 2014 年江蘇， 2， 5 分】已知復(fù)數(shù)z(52i)2 ( i 為虛數(shù)單位 )，則 z 的實部為 _【答案】 21【解析】由題意z(52i)

3、 2252 52i(2i) 22120i ，其實部為 21（ 3）【 2014 年江蘇， 3， 5 分】右圖是一個算法流程圖，則輸出的n 的值是 _【答案】 5【解析】本題實質(zhì)上就是求不等式2n20 的最小整數(shù)解 2n20 整數(shù)解為 n 5 ，因此輸出的 n5 （ 4）【 2014 年江蘇， 4， 5 分】從 1，2 ，3，6 這 4 個數(shù)中一次隨機地取 2 個數(shù)，則所取2 個數(shù)的乘積為 6 的概率是 _【答案】 13【解析】從 1,2,3,6這 4個數(shù)中任取2 個數(shù)共有 C426種取法，其中乘積為6 的有1,6和 2,3 兩種取法，因此所求概率為 P21 63（ 5）【 2014 年江蘇，

4、5， 5 分】已知函數(shù)ycosx 與 ysin(2 x)(0 ) ，它們的圖象有一個橫坐標為的的值是 _ 3交點，則【答案】6【解析】由題意cossin(2) ，即 sin( 2)1 ， 2kk， (k Z ) ，因為 0，所3( 1)33236以6（ 6）【 2014 年江蘇， 6，5 分】為了了解一片經(jīng)濟林的生長情況，隨機抽測了其中60 株樹木的底部周長（單位：cm），所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間80 ，130 上，其頻率分布直方圖如圖所示， 則在抽測的60 株樹木中，有株樹木的底部周長小于100 cm【答案】 241【解析】由題意在抽測的60 株樹木中，底部周長小于100cm 的株數(shù)為 (0.015

5、0.025)106024 （ 7）【 2014 年江蘇， 7，5 分】在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 an 中，若 a21 ，a8a62a4 ，則 a6的值是 _【答案】 4【解析】設(shè)公比為 q ，因為 a21 ，則由 a8a62a4得 q6q 42a2 ，q 4q 220 ，解得 q22，所以 a6a2 q44 （ 8）【 2014 年江蘇， 8，5 分】設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面積分別為S1 ，S2 ，體積分別為 V1，V2 ，若它們的側(cè)面積相等，且S19 ，則 V1 的值是 _S24V2【答案】 32【解析】設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面和高分別為h1r2S1r129r1、h1 ， r2、h2 ，則 2

6、r1 h12 r2 h2 ， hr，又 S2r224 ，所12r3Vr 2 hr 2hr 2rr3以 1，則11 111121r22V2r22 h2r22 h2r22r1r22（ 9）【 2014 年江蘇， 9， 5 分】在平面直角坐標系xOy 中，直線 x2 y30被圓 ( x2)2( y 1)24 截得的弦長為 _【答案】 2 555【解析】圓 (x2) 2( y1)24 的圓心為 C (2,1) ，半徑為 r2 ，點 C 到直線 x2 y30 的距離為22(1)33，所求弦長為 l2r2d22 49255 d1222555（ 10）【 2014 年江蘇， 10， 5分】已知函數(shù)f ( x

7、)x2mx 1，若對任意x m，m1 ，都有 f (x)0 成立，則實數(shù) m 的取值范圍是 _【答案】2，20【解析】據(jù)題意f (m) m2m210，解得20f (m1)(m 1)2m(m1)1 02m（ 11）【 2014 年江蘇， 11， 5 分】在平面直角坐標系xOy 中，若曲線yax2b( a ，b 為常數(shù) ) 過點 P(2 ， 5) ，且x該曲線在點 P 處的切線與直線7 x2 y30 平行，則 ab 的值是 _【答案】3【解析】曲線 yax 2b 過點 P(2,5) ，則 4ab5 ，又 y ' 2axb2 ，所以 4ab7 ，由解得a1b，x2x421所以 ab2 （ 1

8、2）【 2014 年江蘇， 12， 5 分】如圖，在平行四邊形ABCD 中，已知， AB8 ，AD5 ，CP3PD ，AP BP 2，則 ABAD 的值是 _【答案】 22【解析】由題意，APADDPAD1BCCPBC3CDAD3AB ，AB，BP444所以 AP132132BP( ADADABAB，AB) (ADAB)AD44216即 2251364 ，解得 AD AB 22 2AD AB161（ 13）【 2014 年江蘇， 13，5 分】已知 f ( x) 是定義在 R 上且周期為3 的函數(shù)， 當(dāng) x0 ，3) 時， f ( x) x22 x2若函數(shù) yf ( x)a 在區(qū)間 3 ，4

9、上有 10個零點 (互不相同 )，則實數(shù) a 的取值范圍是 _【答案】10 ，22【解析】作出函數(shù) f (x)x22 x1, x0,3)的圖象，可見f (0)1 ，當(dāng) x 1時，f ( x) 極大1 ，222f (3)7 ，方程 f ( x)a0 在 x 3,4上有 10 個零點，即函數(shù)yf (x) 和圖象與直線2ya 與函數(shù)y a 在 3,4上有 10 個交點，由于函數(shù)f ( x) 的周期為3，因此直線f ( x)x22 x1, x0,3)的應(yīng)該是 4個交點，則有 a(0,1) 22（ 14）【 2014 年江蘇， 14， 5 分】若ABC 的內(nèi)角滿足 sin A2 sin B2sin C

10、，則 cosC 的最小值是 _ 【答案】624a2b22a 2b2( a2b )2【解析】由已知 sin A2sin B2sin C 及正弦定理可得 a2b2c ， cosCc22ab2ab3a 22b222ab26ab2 2ab62，當(dāng)且僅當(dāng)22a28ab8ab43a2b，即b時等號成立， 所以 cosC3的最小值為642 二、解答題：本大題共6 小題，共計90 分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟（ 15）【 2014 年江蘇，15， 14 分】已知， ， sin525 （ 1）求sin4的值；（ 2）求cos62的值解：（ 1）2， ，sin5 ，

11、cos1sin225 ，55s i ns i nc o s2( c o s1 0c o s s i ns i n )44421 0（ 2）4223sin 22sincos5，cos 2cossin5 ， cos2coscos2sin sin 233146662525（ 16）【 2014 年江蘇， 16， 14分】如圖，在三棱錐 PABC 中， D ，E ，F(xiàn)PA AC ，PA6，BC8，DF5 （ 1）求證：直線 PA平面 DEF ；（ 2）平面 BDE 平面 ABC解：（ 1） D ，E 為 PC ，AC 中點 DE PA PA平面 DEF ，DE平面33410分別為棱 PC ，AC ，A

12、B的中點已知DEF PA平面 DEF （ 2） D ，E 為 PC ，AC 中點， DE1PA 3E，F(xiàn) 為 AC，AB中點， EF 1BC4 ，22 DE2EF 2DF 2 ， DEF90°， DE EF， DE /PA ，PA AC ， DEAC ， ACEFE ， DE 平面 ABC， DE 平面 BDE，平面 BDE 平面 ABC（ 17）【2014 年江蘇， 17，14 分】如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，x2y21(a b 0)12分別是橢圓a2b2的左、F，F(xiàn)右焦點，頂點 B 的坐標為 (0 ，b) ，連結(jié) BF2 并延長交橢圓于點A，過點 A 作 x 軸的垂線交橢

13、圓于另一點C，連結(jié) FC1 （ 1）若點 C 的坐標為412 ，求橢圓的方程；3， ，且 BF23（ 2）若 FC1AB ，求橢圓離心率 e 的值341161解：（ 1）C9922222( 2)222， a2b22a ，a， b1 ，3 39 ， BF b c橢圓方程為 x2y21 （ 2）設(shè)焦點212F (c ，0) ，F(xiàn) (c，0) ，C( x ，y) ， A ，C 關(guān)于 x 軸對稱， A(x ， y) ，2bby，即bxcy bc0B ，F(xiàn) ，A 三點共線，cx 1AB ， xyb1，即xcbyc20 ccFCxca2a 2 c2bc2聯(lián)立方程組，解得b2c2C2bc2b22， 22yc

14、bcb2c2a 2 c22bc225 b 2c2b2c21，化簡得 5c2a2c5C 在橢圓上，a2b2， a5 , 故離心率為5（ 18）【 2014 年江蘇， 18，16 分】如圖，為保護河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時設(shè)立一個圓形保護區(qū)規(guī)劃要求：新橋BC 與河岸 AB 垂直；保護區(qū)的邊界為圓心M 在線段 OA 上并與 BC 相切的圓，且古橋兩端O 和 A 到該圓上任意一點的距離均不少于80m經(jīng)測量，點 A 位于點 O 正北方向 60m 處，點 C 位于點 O正東方向170m 處( OC 為河岸 )，tanBCO43（ 1）求新橋 BC 的長；（ 2）當(dāng) OM 多長時，圓形保護區(qū)的面

15、積最大？解：解法一：（ 1）如圖，以 O 為坐標原點， OC 所在直線為 x 軸，建立平面直角坐標系xOy由條件知 A(0, 60) ， C(170, 0)，直線 BC 的斜率 kBC tan BCO4 3又因為 AB BC，所以直線AB 的斜率 kAB3 設(shè)點 B 的坐標為 (a,b)，4則 kBC = b04 ， k AB= b603 ，解得 a=80 ，b=120 a1703a04所以 BC=(17080) 2(0120) 2150 因此新橋 BC 的長是 150 m（ 2）設(shè)保護區(qū)的邊界圓 M 的半徑為 r m,OM=d m,(0 d60)由條件知，直線BC 的方程為 y4(x 170

16、) ，即 4x 3 y 680 0 ，3| 3d 680 |680 3d 由于圓 M 與直線 BC 相切，故點 M(0， d)到直線 BC 的距離是 r，即 r因為 O 和 A 到圓 M 上任意一點的距離均不少于80 m，556803drd 80d 80，即5，解得 10 d 35所以(60d ) 803dr680(60 d ) 805故當(dāng) d=10 時 , r6803d 最大，即圓面積最大所以當(dāng) OM = 10 m 時，圓形保護區(qū)的面積最大5解法二：（ 1）如圖，延長 OA, CB 交于點 F 因為 tan BCO= 4 所以 sin FCO= 4 ，cos FCO = 3 355因為 OA

17、=60,OC=170 ，所以 OF=OC tan FCO= 680 CF=OC850 ，3cos FCO34從而 AFOFOA500 因為 OA OC，所以 cos AFB=sin FCO = 4 ，又因為 AB BC，所以 BF=AF35cos AFB=400 ，從而 BC=CF BF=150因此新橋 BC 的長是 150 m3（ 2）設(shè)保護區(qū)的邊界圓M 與 BC 的切點為 D ，連接 MD ，則 MD BC，且 MD 是圓 M 的半徑，并設(shè) MD =r m，OM=d m(0 d 60)因為 OA OC，所以 sinCFO =cos FCO ，故由（ 1）知， sin CFO = MDMDr

18、3 所以 r6803d MFOFOM680d553因為 O 和 A 到圓 M 上任意一點的距離均不少于80 m，rd 806803dd 805，解得 10 d 35 ，所以，即r(60d ) 806803d(60d ) 805故當(dāng) d=10 時， r68053d 最大，即圓面積最大所以當(dāng)OM = 10 m 時，圓形保護區(qū)的面積最大f (x)exe x 其中 e 是自然對數(shù)的底數(shù)（ 19）【 2014 年江蘇， 19， 16 分】已知函數(shù)（ 1）證明： f ( x) 是 R 上的偶函數(shù)；（ 2）若關(guān)于 x 的不等式 mf (x) e xm1在 (0，) 上恒成立，求實數(shù)m 的取值范圍；（ 3）已

19、知正數(shù) a 滿足：存在a(x3a 1與ae 1的大小，并證明0000x 1，) ，使得 f ( x )3x ) 成立試比較 e你的結(jié)論解：（ 1）xR ，f(x)e xexf()， f (x) 是 R 上的偶函數(shù)x（ 2）由題意，xxxxxxxx(ee )em1，即m(ee1) e1，x(0，)，ee10，m即e x1對恒成立令x1t對任意恒成立mxxx (0 ，)te (1)，則m2t (1，)ee1ttt1t21 t1(t2t11)111 ，當(dāng)且僅當(dāng) t2 時等號成立，m 1 t1)(tt11133t1（ 3）xx3f'()ee，當(dāng)x1時f '( x)0f ( x)在(1，

20、)上單調(diào)增，令h(x)a(x3x)，3ax( x 1)，xh '( x) a0 ，x1， h '(x)0 ，即 h( x) 在 x(1，) 上單調(diào)減，存在 x0e-1 ln aa 1ea 1 e200301a1 e11，) ，使得 f ( x ) a( x3x ) ， f (1) e2a ，即e2eln a e 1ln ea 1(e1)ln aa1 ， 設(shè) m( a ) ( e1) lna a ，1則 m'(a )e 11 e 1 a，aa1當(dāng)1 e1a e1時， m'(a) 0 ， m(a ) 單調(diào)增；當(dāng) ae1 時， m'(a)0 ， m(a ) 單

21、調(diào)e2e減，因此 m(a) 至多有兩個零點，而m(1)m(e)0，當(dāng) ae 時， m(a)0， ae 1ea 1 ；當(dāng) 1e 1ae 時， m(a)0 ， ae1ea 1 ；當(dāng) ae 時， m(a)0 ， ae 1ea 1 2e（ 20【） 2014 年江蘇，20，16 分】設(shè)數(shù)列 an的前 n 項和為nn，總存在正整數(shù)nam，S 若對任意的正整數(shù)m，使得 S則稱aHn 是 “ 數(shù)列 ”（ 1）若數(shù)列 an 的前 n 項和 Sn2n (nN ) ，證明： an 是 “H 數(shù)列 ”；（ 2）設(shè) an 是等差數(shù)列，其首項a11，公差 d0 若 an 是 “H 數(shù)列 ”，求 d 的值；（ 3）證明：

22、對任意的等差數(shù)列aHb 和 c ，使得anb c (n N )成立n ，總存在兩個 “ 數(shù)列 ” nnnn解：（ 1）當(dāng) n 2 時， anSn Sn 12n2n 12n 1，當(dāng) n1 時， a1S12 ， n1時， 11 2nan 1，n 是“H 數(shù)列 ”S a ，當(dāng) n時， S a（ 2） n1n(n1)d nn(n1)d，對 n Nnmnn (n1)d 1 (m 1)dS na，即，22， m N 使 Sa25取 n2 得 1 d( m 1)d ，m 212 ，又 m N ， m 1 ， dd ， d0 ， m1 （3）設(shè) n 的公差為n1(n1(21nn 1n1n1d) ，ad，令 ba1)an)a ，對N ， bba ， c (n 1)(a對nNc1c a d，則b ca (n 1)d a，且 b ，c為等差數(shù)列， nn1nn1nnn bn 的前 n 項和Tnna1n( n1