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文檔簡介

1、裂項(xiàng)相消法利用列項(xiàng)相消法求和時(shí),應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng),也有可能前面剩兩項(xiàng),后面剩兩項(xiàng),再就是通項(xiàng)公式列項(xiàng)后,有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù),使列項(xiàng)前后等式兩邊保持相等。( 1)若是 an 等差數(shù)列,則11.( 11 )11 .(11 )an an 1d anan 1,2d anan 2an an 2( 2)111n( n1) nn1( 3)1k)1 ( 1n1)n( nk nk( 4)11 (11)(2n 1()2n 1) 2 2n 1 2n 1( 5)n( n12)1 1( n11)(n2n(n 1)1)( n2)( 6)1n 1nn n1( 7)n1k1 (nkn )nk1.

2、已知數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為,(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為解析 (1) 時(shí) , 得 :1 3 , 5 2.andnSnS4=2S2+8 da1=1TnnTnnN* mandS4=2S2+84a1+6d=2(2a1+d) +84d=8d=2 4 a1=1d=2an=2n-1 5 = 6 Tn= 8 TnnN*2 10m2-5m-6 0 -1 m 6 m6123.)a nS4=14,a1,a3,a7.()an;()Tnn,T2 012. ( )d,(3 )d=1 d=0(), a1=2. (5 )an=n+1. (6 )( )=-,(8 )Tn= - +-+ +-= -=.

3、(10 )T2 012=.(12 )4.)an,-=8n+4,|a n|nSn,nTn.(1)an;(2): Tn<1. (1)and,an=a1+(n-1)d. (2)- =8n+4,(an+1+an)(an+1-an)=d(2a1-d+2nd)=8n+4.3當(dāng) n=1 時(shí),d(2a1+d)=12;當(dāng) n=2 時(shí),d(2a1+3d)=20.解方程組得或(4 分)經(jīng)檢驗(yàn)知 ,an=2n 或 an=-2n都滿足要求 . an=2n 或 an=-2n. (6 分 )(2)證明 :由 (1) 知 :an=2n 或 an=-2n. |a n|=2n.Sn=n(n+1). (8 分 )=-.Tn=

4、1- + - + +-=1-. (10 分 ) T<1. (12 分 )n5.已知等差數(shù)列an的公差為2,前 n 項(xiàng)和為 Sn,且 S1,S2,S4 成等比數(shù)列 .( )求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式 ;( )令 bn=(-1)n-1,求數(shù)列 bn的前 n 項(xiàng)和 Tn.答案 查看解析解析 ( )因?yàn)?S1=a1,S2 =2a1 +× 2=2a1+2,S4=4a1+× 2=4a1+12,2由題意得 (2a1+2) =a1(4a1+12),4解得 a1=1,所以 an=2n-1.( )bn=(-1)n-1=(-1)n-1=(-1)n-1.當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí) ,Tn=-+ +-=1-

5、= .當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí) ,Tn=-+ -+=1+=.所以 Tn=6. 已知點(diǎn)的圖象上一點(diǎn),等比數(shù)列5的首項(xiàng)為,且前項(xiàng)和( ) 求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;( ) 若數(shù)列的前項(xiàng)和為,問的最小正整數(shù)是多少?解析 解: ( ) 因?yàn)椋?,所以,又?jǐn)?shù)列是等比數(shù)列,所以,所以,又公比,所以,因?yàn)椋?,所以,所以,所以?shù)列構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1,公差為1 的等差數(shù)列,所以,當(dāng)時(shí),6所以. (6分)() 由() 得,(10 分)由得,滿足的最小正整數(shù)為72. (12 分)7. 在數(shù)列,中,且成等差數(shù)列,成等比數(shù)列() .()求,及,由此歸納出,的通項(xiàng)公式,并證明你的結(jié)論;()證明:.解析 ()由條件得,由此可得.猜測.

6、 (4分)用數(shù)學(xué)歸納法證明: 當(dāng)時(shí),由上可得結(jié)論成立. 假設(shè)當(dāng)時(shí),結(jié)論成立,即,7那么當(dāng)時(shí),.所以當(dāng)時(shí),結(jié)論也成立.由,可知對(duì)一切正整數(shù)都成立. ( 7 分)()因?yàn)?當(dāng)時(shí),由()知.所以.綜上所述,原不等式成立. (12 分)8.已知數(shù)列的前項(xiàng)和是,且()求數(shù)列的通項(xiàng)公式;8 1 1 4 6 21 8 .1299. an S4=14 a1 a3 a7 I anIITnnTn¨ 122.d. 3 6 9 1210.II10解析 ()成等差數(shù)列 , ,當(dāng)時(shí),,兩式相減得:.所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為2 的等比數(shù)列,.( 6 分)( ), (8分),.(12 分)11.等差數(shù)列 an各項(xiàng)均

7、為正整數(shù), a1=3, 前 n 項(xiàng)和為 Sn, 等比數(shù)列 bn中 , b1 =1, 且 b2S2=64, 是公比為 64 的等比數(shù)列 . ( ) 求 an 與 bn;() 證明:+ +< .答案 ( ) 設(shè) an的公差為d, bn的公比為q, 則 d 為正整數(shù) ,an=3+(n-1) d, bn=qn-1.依題意有11由 (6+d) q=64 知 q 為正有理數(shù) , 又由 q= 知 , d 為 6 的因子 1, 2, 3, 6 之一 , 解 得 d=2, q=8.n-1故 an=3+2(n-1) =2n+1, bn=8.( ) 證明 :Sn=3+5+(2n+1) =n(n+2) ,所以+

8、 +=+ +=< .12. 等比數(shù)列 an的各項(xiàng)均為正數(shù), 且 2a1 +3a2 =1,=9a2 a6 .( ) 求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式 ;( ) 設(shè) bn=log3a1+log3a2+log3an, 求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 .答案 ( ) 設(shè)數(shù)列 an的公比為q. 由=9a2a6 得=9, 所以 q2= .因?yàn)闂l件可知q>0, 故 q= .由 2a1+3a2=1 得 2a1+3a1q=1, 所以 a1= .故數(shù)列 an的通項(xiàng)公式為an=.( ) bn=log3a1+log3a2+log3an=-(1+2+n)=-,故=-=-2,12+ + =-2+ +=-.所以數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為

9、 -.13.等差數(shù)列 an的各項(xiàng)均為正數(shù) ,a1=3,其前 n 項(xiàng)和為 Sn,bn為等比數(shù)列 ,b1=1,且 b2S2=16,b3S3=60.( )求 an 和 bn;()求+ + .答案 ( )設(shè) an的公差為d,且 d 為正數(shù) ,bn的公比為q,an=3+(n-1)d,bn=qn-1,依題意有b2S2=q·(6+d)=16,b3S3=q2 ·(9+3d)=60,(2 分 )解得 d=2,q=2.(4 分 )故 an=3+2(n-1)=2n+1,bn=2n-1.(6 分 ) ( )Sn=3+5+ +(2n+1)=n(n+2),(8分 )所以+ +=+ +=(10 分)= -.(12 分 )14.設(shè)數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和 Sn 滿足 :Sn=nan-2n(n-1). 等比數(shù)列 bn的前 n 項(xiàng)和為 Tn,公比為 a1, 且 T5=T3+2b5.13(1)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式 ;(2)設(shè)數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為 M n,求證 : Mn< .答案 (1) T5=T3+2b5, b4+b5=2b5,即 (a1-1)b4=0,又 b4 0, a1=1.n2時(shí) ,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)a n-1-4(n-1),即 (n-1)an-(n-1)an-1=4(n-1

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